Derivadas En La Medicina 2m6s3m

Derivadas aplicadas en la medicina La aplicación de las matemáticas, como las derivadas, en la medicina son muy frecuentes, las siguientes son algunas áreas en las que se aplican:  Cálculo específicamente el algoritmo se aplica a la epidemiología y el logaritmo a la inmunología.  Estadística, en la bioestadística.  Cálculo de variaciones, al cálculo de desviaciones respecto a la media en mensuraciones de la clínica.  Proceso estocástico se aplica ecocardiografía y la electroencefalografía, así como a otros métodos biomédicos.  Lógica proposicional a la informática médica.  Oncología  Inmunología, como en el método de Kaerber y el método de Reed y Muench  Virología  Fisiología humana, como en el análisis del control metabólico y la gasometría arterial  Instrumental diagnóstico, como la electroencefalografía y la ecocardiografía  Informática médica, como en Cytoscape y STING  Epidemiología, como en el modelaje matemático de epidemias y la bioestadística  Genética, como en la predicción de genes, la frecuencia genotípica y la frecuencia génica

Ejercicios donde se aplican las derivadas: 1. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función v(t)=40 +15t-9t2+13,donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde que comienza en estudio (t=0)indicar los instantes de máximo y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece. Solución del ejercicio: Para que la función tenga un máximo o mínimo la derivada debe ser cero. V(t)=15-18t+3t2 igualando a 0,

3t2-18t+15=0

Simplificando t2-6t+5=0 cuyas soluciones son 5 y 1. Ahora se va a ver quién es el máximo y quien es el mínimo de la función, en el intervalo [0 ,6] que tiene que estar entre dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de weirtrars). Se ordena la función v por comodidad, v (t)= t3-9t2+15t+40 V (0)=40 V(5)=125-225+75+40=15 V(1)=1-9+15+40=47 V(6)=216-324+90+40=22 Se puede determinar que la máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas. Para observar los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V(t)=3t2-18t+15

O V’

1

5

6

+0

-0

+

Después v crece desde 0 a 1 desde 5 a 6, (crece en (0,1) unión (5,6) y decrece en el intervalo (1,5) Observando la gráfica de la función se puede ver lo que se ha deducido.

Máximo y mínimo de derivada Para determinar si existe un máximo o un mínimo de derivada basta graficar

alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración. Un punto más que hay que considerar es tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signo para la derivada por ejemplo para el caso de de la función: La función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x=0, pese a eso si existe un mínimo local. Valores máximos y mínimos de una funciones Aplicado a una derivada de una función, determinamos los intervalos en que la es creciente o decreciente a viceversa. Si f es una función cuyo valor es c, se tiene que: A) F( C) se llama valor máximo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a c tal que f(x) f (c ) para todo x en dicho intervalo ,es decir ,si f (c ) es menor que uno cualquiera de los valores de f( x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado. Ejemplo: sea f la función definida por f(x)=x2-4+5 Entonces f(x)=2x-4. Como f (2)=0, f puede tener un extremo relativo en 2. Puesto que f (2)=1 y 1<>2, concluimos que f tiene un valor mínimo relativo en 2. En la grafica se puede observar que la función tiene un valor máximo MA (=y=2) cuando x=1 y un valor mínimo NB (=y=1) cuando x =2 Máximos de una Función. En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativo, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'( xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (Se anula y cambia de signo). Máx. En (a, f) (a)

Mínimos de una Función. En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene

un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín. en (b, f (b). Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo). EJEMPLO: Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.

De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración. Un punto mas a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:

la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

Criterios de la primera derivada La base de l criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos: 1) Cuando la derivada es positiva la función crece. 2) cuando la derivada es negativa la función decrece. 3) cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo. Sea f(x) una función y c un numero en su dominio .supongamos que existe a y b con a
local, solo es necesario intercambiar “positivo “por “negativo”

Aplicación de las derivadas en la medicina En este caso la derivada representa la tasa de crecimiento con respecto al tiempo del turmor. Parte I. Crecimiento El incremento en volumen o tamaño conforme transcurre el tiempo, que caracteriza a cualquier sistema físico o biológico, es a menudo aproximado de manera satisfactoria por medio de modelos matemáticos de crecimiento. Los primeros intentos por modelar el crecimiento de poblaciones se remontan al siglo XVIII. Entre los fundadores de los modelos matemáticos poblacionales se encuentran Malthus (1798), Verhulst (1838), Pearl y Reed (1908), y después Lotka y Volterra, cuyos trabajos se publicaron entre 1920 y 1930. Se describen a continuación algunos modelos. Ley de Malthus Uno de los más comunes experimentos en microbiología consiste en analizar el crecimiento de microorganismos unicelulares bajo ciertas condiciones, a lo largo de varios días. Se coloca una cantidad inicial de microorganismos dentro de un tubo de ensaye que contiene nutrientes. Después de este proceso de inoculación, a la colonia se le mantiene en condiciones que favorecen su crecimiento. Las bacterias se reproducen exitosamente al dividirse sustancialmente, tanto que su tamaño resulta incrementado radicalmente. Consideremos a N(t) la densidad de bacterias observada en el tiempo t. Si pudiéramos observar las divisiones celulares durante un determinado período de tiempo, nos percataríamos que se obtienen k nuevas células. Así, k es la razón de reproducción por unidad de tiempo. Si despreciamos la muerte celular que pudiera ocurrir en la colonia, obtenemos la relación fundamental de la densidad de bacterias dada por esta ecuación es conocida como Ley de Malthus, cuya solución está dada por , donde es la población inicial de bacterias. Claramente, este modelo tiene limitaciones insalvables, por lo que en principio no es una buena aproximación a la modelación de neoplasias, donde sí ocurren otros procesos adicionales (entre otros: muerte, mecanismos de inhibición de crecimiento y propiedades físicas del medio que rodea a las células). Crecimiento logístico

Consideremos la ley de Malthus de la sección anterior. Cabe la posibilidad de que la razón de crecimiento dependa directamente de los recursos disponibles de la población. Supongamos que la razón k de reproducción es simplemente proporcional a la concentración de nutriente C, esto es Supongamos también que unidades de nutriente son consumidas produciendo una unidad de incremento en la colonia. Esto implica que el crecimiento de bacterias y el consumo de nutrientes pueden ser descritos mediante las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias Tal sistema se resuelve de la siguiente manera es una constante. Si la población es inicialmente muy pequeña, es aproximadamente igual a la cantidad inicial de nutriente en el tubo de ensaye. Substituyendo la última relación de (2) en laprimera relación de (1) obtenemos Este tipo de ley de crecimiento se conoce como crecimiento logístico. Comúnmente aparece en la forma La solución de la anterior ecuación es

Ley de Gompertz Finalmente, abordamos la ley de Gompertz, que es una de las principales leyes en la modelación de tumores sólidos, que considera otras de las características de la tumoración: 1. el problema de las geometrías complicadas y 2. las células en el interior de un tumor no tienen a nutrientes y oxígeno. Estas se consideran en este modelo supuniendo que la razón de crecimiento declina tanto como la masa celular crece. Este modelo surge porque en muchos de los casos, el crecimiento puede ser verdaderamente complejo por lo que resultaría difícil predecir estados posteriores del crecimiento contando solo con pocas observaciones puntuales. La ley de Gompertz permite predicciones más o menos exactas, basadas en el sistema de ecuaciones diferenciales siguiente donde son constantes, N(t) es el volumen del tumor al tiempo t y la G(t) es una función enteramente descrita por la segunda ecuación. La expresión puede pensarse como la fracción de N(t) que se duplica en tamaño durante el instante dt. Lo que distingue a este modelo es que considera un mecanismo interno de autoinhibición que se intensifica tanto como se incrementa el crecimiento, resultando en un crecimiento exponencial de decrecimiento que alcanza un límite asintótico en el tamaño del tumor. La soluciónde las últimas ecuaciones es escrito en la forma

Puesto que no hemos considerado todas las características y propiedades de un tumor, este modelo, así como todos los aquí tratados, tiene limitaciones para aplicaciones futuras. Sólo el modelo de Gompertz ha sido exitosamente empleado en oncología clínica. Se requiere algo más sofisticado, como por ejemplo las ecuaciones en derivadas parciales. Parte II. Tumor Tumoración Una de las enfermedades más antiguas de la humanidad es sin duda el cáncer, que en general, se manifiesta a través de la aparición de tumores malignos en el organismo del individuo. Existen diferentes tipos de cáncer que son clasificados de acuerdo a la malignidad y a la parte del organismo afectado. Por mucho tiempo se han investigado posibles curas contra esta enfermedad pero es aún un campo fértil de estudio. En el contexto de la tumoración se tienen bastantes resultados. El tamaño de un órgano y el número de células existentes se mantienen casi siempre constantes, con valores óptimos controlados por la actividad de mecanismos de control sobre la actividad mitótica. Tales mecanismos permiten reparar tejidos cuando sufren algún daño, por medio de proliferación continua; algo similar ocurre en los tejidos de la mucosa intestinal y en los de la piel. En contraste, la neoplasia es un estado en el cual los mecanismos son deficientes y una proliferación excesiva de células se mantiene de manera indefinida sin alguna relación con el crecimientonormal o con la reparación de tejido. Así, la neoplasia genera un neoplasma que constituye, en general, un tumor. La proliferación anormal de células puede ser despreciable, casi normal o con una proporción exagerada. Un tumor es una masa de tejido formado como el resultado de una proliferación de células excesiva e inapropiada que se refleja en el crecimiento indefinido de tal tejido que inhibe el mecanismo que controla la proliferación normal celeluar. Clasificación de tumores Los tumores se han podido clasificar de acuerdo a su malignidad en benignos y malignos. Los tumores benignos son altamente difereciados y sus células son usualmente uniformes. Crecen lentamente y raramente invaden los tejidos adyacentes, ni tampoco llegan a el proceso de la metástasis. Proliferan localmente y crecen por expansión, compresión de tejido alrededor del tumor causando atrofios y desapariciòn de sus células. El estroma del tejido que envuelve al tumor es más resistente y se llega a condensar para formar una cápsula fibrosa alrededor del tumor y éste puede incrementarse como resultado de una reacción demoplástica estimulada por el tumor. Los problemas clínicos que provocan, resultan de efectos mecánicos, tales como la obstrucción de vícera o sobre presión en nervios y diferentes órganos.

Los tumores malignos son menos diferenciados y sus células tienden a crecer rápidamente con lo cual se presentan diferencias en tamaño y forma. No se encapsulan y sus fronteras no están biendefinidas. Sus células invaden también las venas sanguíneas dentro y alrededor del tumor y además son transportadas a otras partes del cuerpo donde pueden proliferar, constituyendo el proceso de la metástasis. En resumen, las diferencias entre los tumores malignos y benignos son: Grado de diferenciación Velocidad de crecimiento Forma de crecimiento Cáncer Los tumores malignos son el producto de una de las enfermedades más antiguas, el cáncer, a la que incluso en el Ramayana se hace referencia. Según Galeno, al crecer los tumores de mama adquieren la forma de cangrejo, razón por la cual se generaliza tal enfermedad con el nombre mencionado. Bajo la denominación de cáncer se engloban distintas enfermedades que varían en sus manifestaciones clínicas y en su respuesta a las medidas terapeúticas pero que comparten mecanismos desencadenantes comunes. Los carcinomas constituyen cerca del 90% de los cánceres, que se generan en los epitelios o capas celulares que recubren la superficie de nuestro cuerpo. Los tumores cancerosos constituyen agrupaciones de células que adquieren un comportamiento anormal de la capacidad de dividirse y dejan de respetar las reglas del organismo, las cuales imponen a las células normales de cada tejido un crecimiento restringido para que se logre un desarrollo armonioso del cuerpo humano. El cambio de una célula normal a una cancerosa no parece tener lugar en un solo paso, sino que, al contrario se produce por etapas. En lostejidos accesibles a ser estudiados se ha podido observar alteraciones sutiles de algunas células, las cuales adquieren una morfología y comportamiento distintos de los de las células vecinas, y constituyen lo que se conoce como metaplasias y displasias. El crecimiento de esas células alteradas puede acentuarse y dar lugar a un tumor localizado, que, si no invade a los tejidos vecinos, se considera benigno. Nuevas modificaciones en las células tumorales traen consigo una proliferación ilimitada que se extiende hacia los tejidos aledaños, lo que da lugar a tumores cancerosos. Para muchos tumores, puede suceder que se desprendan células que viajan a través del torrente sanguíneo para ir a anidarse en otros órganos y formar nuevos tumores o metástasis. En resumen, los tumores malignos resultan de un largo proceso de cambios celulares que puede ser interrumpido si se detecta y atiende oportunamente. Hoy en día, es visible que tienden a desaparecer las fronteras existentes entre las disciplinas que abordan el estudio y tratamiento de los tumores malignos, en vista de lo cual epidemiólogos, clínicos, biólogos celulares y moleculares, incluso matemáticos, intercambian experiencias y conocimientos, para contribuir en

forma acelerada a combatir un padecimiento que es antiguo en su origen pero moderno en su impacto en la sociedad actual.

http://www.buenastareas.com/ensayos/Aplicaci%C3%B3n-De-LasDerivadas-En-La/50801693.html https://prezi.com/8yibdfccvvf8/funcion-de-las-derivadas-en-la-medicina/