Procesos De Poisson 86w1f

Colegio El Bosque Financiamiento Compartido Arauco

MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y VARIABILIDAD (Para datos agrupados y No

NOMBRE: SUBSECTOR: Educación Matemática

FECHA: 04 de abril de 2013 CURSO: 4º Medio (Formación General)

PROFESOR: Oscar Felipe Acevedo Jiménez

UNIDAD: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

MEDIDAS DE DISPERSION VARIANZA  La varianza es una medida de variabilidad que utiliza todos los datos.  Esta basada en la diferencia entre los valores de cada observación (xi) y la media. ( x , para una muestra, m para una población).  La varianza es el promedio de las diferencias al cuadrado entre cada valor de dato y la media. Si el conjunto de DATOS ES UNA MUESTRA, la varianza se denota por s2.

2 ∑( xi −x ) s = n −1 2

Si el conjunto de DATOS ES UNA POBLACIÓN, la varianza se denota por σ2.

∑ ( xi − µ ) 2 σ = N 2

CUANDO LOS DATOS SON AGRUPADOS  Si el conjunto de DATOS ES UNA MUESTRA, la varianza es:

s2 =

∑ f (X i

i

− x )2

n −1

 Si el conjunto de DATOS ES UNA POBLACIÓN, la varianza es:

σ

2

∑ f (X = i

i

− µ)2

N

DESVIACION ESTANDAR  La desviación estándar de un conjunto de datos es la raíz cuadrada positiva de la varianza.  Se mide en las mismas unidades que los datos, haciéndola mas comparable, que la variancia, a la media.  Si el conjunto de DATOS ES UNA MUESTRA, la desviación estándar se denota por s. s= s 2

 Si el conjunto de DATOS ES UNA POBLACIÓN, la desviación estándar se denota por σ (sigma).

σ= σ

2

COEFICIENTE DE VARIACION  El coeficiente de variación indica que tan grande es la desviación estándar en relación al promedio.  Si un conjunto de datos es una muestra, el coeficiente de variación se calcula como sigue:

s x

(100)

 Si un conjunto de datos es una población, el coeficiente de variación se calcula como sigue:

σ (100) µ  Mide la variación relativa de la variable con respecto a su promedio.  Cuando deseamos comparar la dispersión de dos distribuciones, necesitamos medir la magnitud de la desviación estándar en relación con la magnitud de la media  Expresa a la variación de los datos como porcentaje de su promedio. EJERCICIOS MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA RESOLVER 1) La siguiente tabla presenta el tiempo (en minutos) que se demora un fiscalizador del S.I.I en resolver inconsistencias en los formularios de la declaración de la Renta. Intervalo 40 - 45 45 – 50 50 - 55 55 - 60 60 - 65 65 - 70 70 - 75 75 - 80

Fi 7 10 15 13 18 21 16 10

a) Calcule el tiempo medio que se demoran los fiscalizadores. b) Calcule la varianza de los tiempos y su desviación típica. c) Se implementa un software que promete reducir en un 25% los tiempos de las declaraciones. ¿Cuál es el nuevo promedio y la nueva varianza de los tiempos? 2) La varianza de dos números es 1 y su media aritmética es 8. Calcule los números. 3) Los ingresos mensuales en miles de pesos de un grupo de personas son los siguientes: Ingresos 200-250 250-300 300-350 350-400 400-450 450-500 500-550 a) Coloque las cifras que faltan b) Calcule la media aritmética de los ingresos. c) Calcule la varianza y la desviación típica.

fi 2

Fi

12

22 29 34

4

4) La siguiente tabla presenta las notas obtenidas en una prueba por un curso de 20 personas 4,0 3,0

3 2,7

4,3 4,5

3,1 3,4

3,9 4,2

4,5 2,5

4,8 1,9

3,6 4,3

2,1 3,6

4,5 1,1

a) Determine la media y la mediana de las notas del curso. b) El profesor considera que las notas son demasiado bajas y por ello propone elevarlas mediante la siguiente función: y i = 1,2 xi + 0,5 c) Determine el nuevo promedio de notas 5) La siguiente tabla muestra el salario de 100 trabajadores en miles de pesos

SALARIO 100 – 110 110 – 120 120 – 130 130 – 140 140 - 150

fi 8 22 40 18 12

a) Calcule el salario promedio de los trabajadores. b) Calcule la varianza de los salarios c) Si la empresa donde trabaja, les ofrece un aumento de remuneraciones que permitirán a ellos $10.000 más o un aumento del 10% d) Recalcule la varianza en razón a los aumentos expuestos 6) La siguiente tabla muestra la distribución de las edades según el sexo de los trabajadores de una empresa EDAD HOMBRE MUJER 21 – 25 2 3 25 – 35 53 60 35 – 45 60 37 45 - 60 25 18

a) Calcule el promedio ponderado del hombre y la mujer b) Calcule la varianza y desviación estándar de ambos 7) En una clase hay 35 estudiantes varones con una edad media de 17. 5 años y 15 estudiantes mujeres las que en promedio son 12% más Jóvenes. ¿Cuál es la edad media de la clase? 8) Sumando 5 a cada número del conjunto 3, 6, 2, 1, 7, 5, obtenemos 8, 11, 7, 6, 12, 10. Probar que ambos conjuntos de números tienen la misma desviación típica pero diferentes medias ¿Cómo están relacionadas las medias? 9) El retraso en la entrega de los últimos 100 pedidos de material informático en una empresa se ha agrupado en 4 intervalos, recordándose solo los siguientes datos de la distribución: • • • •

El primer intervalo tiene 6 días como extremo superior, una frecuencia relativa de 0,2 y una amplitud de 4 días. En el segundo intervalo se acumulan 60 entregas retrasadas. Las marcas de clases del segundo y cuarto intervalo son 8 y 50 días, respectivamente. El tercer intervalo presenta una frecuencia de 30 entregas retrasadas y una amplitud de 30 días.

a) b) c) d)

Construya la tabla de distribución de frecuencia del tiempo de retraso en las entregas. ¿Cuál es el tiempo medio de demora en las entregas? Calcular la mediana, moda, varianza, desviación estándar, el coeficiente de variación ¿Entre qué valores se encuentra el 50% central del tiempo de retraso en las entregas?

10) La siguiente distribución, corresponde a las notas finales obtenidas por un curso de 30 personas en un curso de estadística: Xi 1 2 3 4 5 6 7

fi 3 6 7 7 3 0 4

Calcule la Varianza, desviación estándar y coeficiente de dispersión de las notas 11) Obtener la varianza y desviación estándar de la siguiente muestra, que nos indica el número de cigarros que son consumidos en promedio al día por un conjunto de 20 encuestados. 2

4

10

6

0

4

1

0

3

6

10

2

4

2

3

2

5

5

8

0

12) La siguiente tabla muestra los coeficientes de inteligencia de 480 niños de una escuela elemental. C.I. ni

70 4

74 9

78 16

82 28

86 45

90 66

94 85

98 72

102 54

106 38

110 27

114 18

118 11

122 5

126 2

Calcula: a) El C.I. medio de los niños estudiados b) Su desviación típica. c) Si una madre afirma que exactamente la mitad de los niños del colegio tienen un C.I. superior al de su hijo, ¿qué C.I. tiene el niño? d) Supongamos que se quieren hacer estudios sobre el proceso de aprendizaje de los niños con mayor C.I., pero que el psicólogo solo puede atender al 15% de los niños del centro. ¿Qué C.I. deberá tener un niño como mínimo para ser considerado dentro de ese grupo de elegidos? e) Se van a preparar unas clases de apoyo, para un 25% de los niños del centro, precisamente para aquellos que tengan menor C.I. ¿Hasta que niños de qué C.I. deberemos considerar en estas clases? 13) Calcular todas las medidas de dispersión para la siguiente distribución Xi ni

5 3

10 7

15 5

20 3

25 2

14) Calcular todas las medidas de dispersión para los datos de la siguiente distribución x n

0–100 90

100–200 140

200–300 150

300-800 120

15) Una empresa de fabricación de productos cerámicos dispone de tres centros de producción. En el centro A, el más grande y moderno, se hace un estudio de los m² de azulejo producidos al mes durante el año pasado, obteniéndose una media de producción mensual x A = 250.000 m2, con una desviación típica SA = 15.000 m2. Se sabe que el centro B, por tener maquinaria más anticuada que A, produce cada mes un tercio de la producción de A, y que el centro C, por tener un horno menos que B,

produce cada mes 25.000 m² menos que B ¿Cual es la media y la varianza de la producción mensual de C?