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VESTIBULAR: RESUMOS PROFESSOR: WALTER TADEU MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA: CIRCUNFERÊNCIA Equação da Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos equidistantes de um ponto, chamado centro e esta distância comum é o raio. A fórmula da distância entre dois pontos P1 x1 , y1 e

P2 x2 , y2  é dada por: d  x2  x1    y2  y1  2

2





2

Considerando o centro C(a, b), r como raio e um ponto qualquer da circunferência,

x  a2  y  b2  r 2 . 2 2 2 OBS: Se P for interno à circunferência, x  a   y  b  r  0 . 2 2 2 Caso P seja externo, a condição será x  a   y  b  r  0 . a equação reduzida é dada pela fórmula:

É conhecida como a equação geral da circunferência. Esta expressão é uma forma quadrática da seguinte forma ax  by  cx  dy  e  0 , onde a = b ≠ 0. Nem toda forma quadrática representa uma circunferência. Comparando a expressão acima com a forma geral, temos as condições: 2

2

c c   2c1  c1   a 2 a  c d e  2 2 2 2 d ax  by  cx  dy  e  0  x  y  x  y   0  d a a a    2c2  c2    2a x2  y2  2c x  2c y  (c 2  c 2  r 2 )  0 a 1 2 1 2  e e e 2 2 2 2 2 2 2   c1  c2  r  r  c1  c2   c1  c2   0 a a a

Essa verificação permite encontrar centro e raio de uma circunferência, caso satisfaçam as condições. (OBS: Uma forma quadrática que representa uma circunferência não apresenta termo (xy).) POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA: Quando temos um ponto P (x,y) e uma circunferência C de centro (a,b) e raio r, as possíveis posições relativas de P e C são:

Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x – a)2 + (y – b)2 – r2:  se ( m – a)2 + ( n – b)2 – r2 > 0, então P é exterior à circunferência;  se ( m – a)2 + ( n – b)2 – r2 = 0, então P pertence à circunferência;  se ( m – a)2 + ( n – b)2 – r2 < 0, P é interior à circunferência. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA