Geometria 112z4g

CONTEÚDO: Geometria Plana

2

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MA2-1. GEOMETRIA PLANA 1.1 ÂNGULOS Define-se ângulo à reunião de duas semiretas de mesma origem; a medida do ângulo indica a abertura do mesmo. AÔB e BÔC são ângulos adjacentes Ângulos que são adjacentes consecutivos também.

são

1.1.3 Ângulos Opostos pelo Vértice Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as correspondentes semi-retas opostas dos lados do outro.  = medida do ângulo AÔB Em que: OA e OB são os lados do ângulo. O é o vértice do ângulo.

1.1.1 Ângulos Consecutivos Dois ângulos são consecutivos quando um lado de um deles é também lado do outro. AÔB e DOC são opostos pelo vértice AÔD e BÔC são opostos pelo vértice

1.1.4 Bissetriz de um Ângulo É a reta que divide ao meio o ângulo, formando desta forma, dois ângulos de mesma medida. AÔC e BÔC são ângulos consecutivos



1.1.5 Ângulos Suplementares e Adjacentes AÔC e BÔC são ângulos consecutivos

1.1.2 Ângulos Adjacentes Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as correspondentes semi-retas opostas dos lados do outro.

São ângulos adjacentes cuja soma de suas medidas resulta 180°. AÔB =  e BÔC =  são suplementares adjacentes  +  = 180°.

1.1.6 Ângulos Retos São ângulos suplementares adjacentes de mesma medida. 1

CONTEÚDO: Geometria Plana

2

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AÔB e BÔC são suplementares adjacentes iguais, logo, são retos. med(AÔB) = med(BÔC) = 90°

1.1.7 Ângulo Agudo É um ângulo cuja medida é inferior à medida de um ângulo reto. AÔB =  é agudo   < 90°

1.1.8 Ângulo Obtuso É um ângulo cuja medida é superior à medida de um ângulo reto (menor que a medida de dois retos). AÔB =  é obtuso   > 90°

1.1.11 Ângulos Replementares São dois ângulos cuja soma de suas medidas é igual ao quádruplo da medida de um ângulo reto. AÔB =  e BÔC =  são suplementares adjacentes  +  = 360°.

1.1.12 Ângulos Entre duas Retas Paralelas Cortadas por uma Transversal

1.1.9 Ângulos Complementares São dois ângulos cuja soma de suas medidas é igual à medida de um ângulo reto. AÔB =  e BÔC =  são suplementares adjacentes  +  = 90°. Ângulos correspondentes ˆ ˆ; 4 ˆ  ˆ 1 ˆ 5; ˆ 2  6ˆ ; ˆ 3  7 8 Alternos internos ˆ 3  ˆ 5 ; 4ˆ  6ˆ

1.1.1 Ângulos Suplementares São dois ângulos cuja soma de suas medidas é igual ao dobro da medida de um ângulo reto. AÔB =  e BÔC =  são suplementares adjacentes  +  = 180°.

Alternos externos ˆ1  7ˆ ; ˆ 2  ˆ 8 Colaterais internos ˆ 3 + 6ˆ = 4ˆ + 5ˆ = 180° Colaterais externos ˆ ˆ + 7 ˆ = 180° 1 + 8ˆ = 2

Propriedades  Ângulos alternos internos são congruentes.  Ângulos alternos externos são congruentes.  Ângulos correspondentes são congruentes. 2

CONTEÚDO: Geometria Plana

2

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 

Ângulos colaterais suplementares. Ângulos colaterais suplementares

internos

são

externos

são

3

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2

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1.2 POLÍGONOS CONVEXOS NOMENCLATURA Seja o polígono da figura: Si = 180°  (n – 2)

Em que: A, B, C e D são os vértices do polígono; AB, BC, CD e DA são os lados do polígono. Quando todo e qualquer par de pontos R e S, tomados na região poligonal, determinar um segmento RS completamente interno à região, o polígono é convexo. Caso contrário, o polígono é não-convexo ou côncavo. Tipos de polígonos convexos: triângulo 3 lados quadrilátero 4 lados pentágono 5 lados hexágono 6 lados heptágono 7 lados octógono 8 lados eneágono 9 lados decágono 10 lados undecágono 11 lados dodecágono 12 lados pentadecágono 15 lados icoságono 20 lados

1.2.3 Soma dos Ângulos Externos de um Polígono Convexo A soma dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados é igual ao quádruplo da medida de um ângulo reto.

Se = 360°

OBSERVAÇÃO: 1. Se o polígono for regular, ele tem todos os lados e os ângulos congruentes; logo:

1.2.1 Números de Diagonais de um Polígono Convexo O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é determinado pela relação: Si n S 360º Ângulo externo  a e  e  n n

Ângulo interno  a i  d

n  (n  3) 2

2. Todo polígono circunscritível.

1.2.2 Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Convexo A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é determinada pela relação:

regular

1.2.4 Polígonos Regulares

é

inscritível

e

Convexos

Um polígono convexo é regular se, e somente se, possui todos os seus lados com medidas iguais e todos os seus ângulos congruentes. 4

CONTEÚDO: Geometria Plana

2

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R

 3 r 2

S  6

2 3 4

Quadrado As relações métricas quadrado são as seguintes:

d 2

Triângulo Equilátero As relações métricas relativas ao triângulo eqüilátero são as seguintes:

 3 2 2  3 S 4 h

R

d 2

r

relativas

ao

 2

S  2

2 h 3 1 r  h 3

R

Hexágono Regular As relações métricas relativas hexágono regular são as seguintes:

ao

5

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1.3 TRIÂNGULOS Dados três pontos A, B e C nãocolineares, define-se como triângulo a reunião dos segmentos AB , AC e BC .

Os três lados possuem comprimentos iguais: AB = AC = BC Os três ângulos têm a mesma medida: ˆ =B ˆ = C ˆ A Vértice: A, B e C ˆ, B ˆ e C ˆ Ângulos: A Lados: AB, BC e AC Perímetro: 2p = AB + AC + BC 2p = c + b + a

1.3.4 Triângulo Retângulo Triângulo que possui um ângulo reto.

1.3.1 Triângulo Isósceles Triângulo que possui dois lados de mesma medida.

AB  AC ˆ = C ˆ B BC é a base e A é o vértice

 = 90° BC é hipotenusa AB e AC são catetos

1.3.5 Triângulo Obtusângulo Triângulo que possui um ângulo obtuso.

1.3.2 Triângulo Escaleno Triângulo que possui os três lados com medidas distintas.

 > 90° (obtuso)

1.3.6 Triângulo Acutângulo Os três lados possuem comprimentos distintos. AB  AC  BC  ˆ A  Bˆ  C

Triângulo que possui os três ângulos agudos.

1.3.3 Triângulo Equilátero Triângulo que possui os três lados com medidas iguais. ˆ  90 ˆ  90  ; B ˆ  90 ; C A

6

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Observação:

1. Qualquer lado é menor que a soma dos outros dois. a
1.3.7 Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo

2   AG  3 AM1 AG  2GM1   GM  1 AM 1 1 3 

AG = 2GM1

BG = 2 G M2

CG = 2G M3

1.3.10 Bissetriz dos Internos e Incentro ˆ +B ˆ + C ˆ = 180° A

1.3.8 Soma dos Ângulos Externos de um Triângulo

Ângulos

Bissetriz interna de um triângulo é o segmento com extremidades num vértice e no lado oposto que divide o ângulo de mesma medida. O ponto de encontro das três bissetrizes é o incentro do triângulo (centro da circunferência inscrita).

ˆ + C ˆ ˆ eA = B ˆ + C ˆ ˆB = A e ˆ ˆ ˆC = A + B e ˆ + B ˆ + C ˆ ) = 360° ˆA + e ˆB + e ˆC = 2  ( A e

1.3.9 Mediana e Baricentro Mediana de um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto. O ponto de encontro das três medianas é o baricentro.

1.3.11 Altura e Ortocentro Altura de um triângulo relativa a um lado ou o seu prolongamento formando um ângulo reto ao vértice oposto. O ponto de encontro das três alturas é o ortocentro do triângulo.

7

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|a – c| < b < a + c |a – b| < c < a + b

1.3.14 Teorema de Tales Retas paralelas determinam sobre retas transversais segmentos de medidas proporcionais. “Um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais.”

1.3.12 Mediatriz e Circuncentro Mediatriz de um lado de um triângulo é a reta que a pelo ponto médio do lado formando um ângulo reto. O ponto de encontro das três mediatrizes é o circuncentro do triângulo (centro da circunferência circunscrita).

r // s // u // v // x y z xyz    a b c abc Conseqüência

Se MN // BC 

1.3.13 Desigualdade Triangular A medida de qualquer lado de um triângulo é superior à diferença e inferior à soma das medidas dos outros dois lados.

AM AN MN   AB AC BC

1.3.15 Semelhança de Triângulos Dois triângulos que são semelhantes têm as medidas dos lados correspondentes proporcionais e os ângulos correspondentes iguais, dois a dois.

|b – c| < a < b + c 8

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1.3.16 Teorema da Bissetriz Interna Considere o triângulo ABC e a bissetriz interna relativa ao vértice A.

Aˆ  Aˆ ' a b c ABC ~ A’B’C’  Bˆ  Bˆ' e = = =k a' b' c ' ˆ C ˆ' C

Em que k é a constante proporcionalidade. Existem três casos de semelhança. 1° caso de semelhança (AA)

de

Da figura, temos:

BD AB  DC AC

A bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.

ˆX ˆ  A   ABC ~ XYZ ˆY ˆ B 

2° caso de semelhança (LAL)

ˆX ˆ A  b c   ABC ~ XYZ   y z

3° caso de semelhança (LLL)

a b c    ABC ~ XYZ x y z

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1.4 RELAÇÕES MÉTRICAS TRIÂNGULO RETÂNGULO Dado um triângulo conforme a figura, temos:

retângulo

NO ABC,

Em um triângulo retângulo a altura, relativamente à hipotenusa, determina dois tios triângulos retângulos. Os três triângulos retângulos possuem ângulos correspondentes iguais e, desta forma, são semelhantes entre si. Logo as seguintes proporções são verificadas:

1.4.1 Elementos a = medida do lado oposto ao ângulo reto, denominada hipotenusa; b, c = medidas dos lados que formam o ângulo reto, são denominados catetos; h = medida da altura do triângulo relativamente à hipotenusa; m, n = são as medidas das projeções (sombras) ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

c h n   b m h

h2 = m  n

Através de semelhanças de triângulos obtêmse facilmente as seguintes relações métricas: O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto das medidas da hipotenusa pela projeção ortogonal do correspondente cateto sobre a mesma. 2 2 b =am c =an O produto das medidas da hipotenusa e da altura relativa a mesma, é igual ao produto das medidas dos dois catetos. ah=bc

a b c   c h n

ah=bc c2 = a  n

O quadrado da medida da altura relativamente à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções ortogonais dos catetos sobre a mesma. 2 h =mn A partir dessas relações métricas obtém-se o teorema mais conhecido da Matemática:

Teorema de Pitágoras O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. 2 2 2 a =b +c

1.4.2 Demonstração das Relações

a b c   b m h

2

b =am

1.4.3 Relações Métricas 10

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Dado um triângulo qualquer, definem-se três razões trigonométricas para os dois ângulos agudos do triângulo.

a b c   senA senB senC

RAZÃO SENO O seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão existente entre as medidas do cateto oposto ao ângulo e da hipotenusa.

1. A razão de proporcionalidade na Lei dos Senos é igual ao valor numérico do diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

RAZÃO COSSENO O cosseno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão existente entre as medidas do cateto adjacente ao ângulo e da hipotenusa. RAZÃO TANGENTE A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão existente entre as medidas do cat elo oposto e do cai elo adjacente ao ângulo. a b c    2R senA senB senC

As razões trigonométricas mais empregadas nos problemas práticos de Física ou Matemática são para os ângulos 30º, 45º e 60º, conforme tabela a seguir: 30° 1 2

45°

60°

2 2

cos

3 2

2 2

3 2 1 2

Tg

3 3

sen

2. A partir da razão seno estudada em triângulo retângulos é possível calcular a área de um triângulo qualquer.

S

1

1.4.4 Teorema dos Triângulo Qualquer

3

Senos:

A Lei dos Senos, também conhecida como Teorema dos Senos, é uma proporção existente entre as medidas dos lados de um triângulo qualquer e os senos dos ângulos opostos. Em todo triângulo, as medidas de seus lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a esses lados.

1 1 1  a  b  senC   b  c  senA  a  c  senB 2 2 2

1.4.5 Teorema dos Triângulo Qualquer

Cossenos:

A Lei dos Cossenos também conhecida como Teorema dos Cossenos é uma relação entre as medidas dos quadrados dos lados de um triângulo e do cosseno de um de seus ângulos. Em todo triângulo o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.

11

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2

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2

2

2

a = b + c – 2  b  c  cosA 2 2 2 b = a + c – 2  a  c  cosB 2 2 2 c = a + b – 2  a  b  cosC

12

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1.5 QUADRILÁTEROS 1.5.1 Definição e Elementos Quadrilátero é o polígono de quadro lados. Valem as seguintes propriedades: 1. Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. AB  DC e BC  AD 2. Os ângulos opostos são congruentes ˆ e Bˆ  Dˆ Aˆ  C 3. As diagonais cortam-se no ponto médio. AM  MC e DM  MB Elementos principais:  vértices: são os pontos A, B, C e D;  lados: são os segmentos AB, BC, CD e DA;  ângulos internos: são os ângulos A, B, C e D;  ângulos externos: são os ângulos a, b, c e d;  diagonais: são os segmentos AC e BD.

Paralelogramos Notáveis: RETÂNGULO

1.5.2 Soma dos Ângulos Internos 5.2 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º. DEFINIÇÃO: é o paralelogramo que tem os quatro ângulos congruentes e de medida igual a 90º. PROPRIEDADE: as diagonais são congruentes.

LOSANGO ˆ  Dˆ  360º Aˆ ˆ B  C

1.5.3 Classificação Quadriláteros

dos

Os quadriláteros podem ser classificados como: paralelogramo, trapézio ou quadrilátero qualquer.

1.5.4 Paralelogramos É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.

DEFINIÇÃO: é o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes entre si. PROPRIEDADE: as diagonais cortam-se perpendicularmente e são bissetrizes dos ângulos de seus vértices

QUADRADO

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DEFINIÇÃO: possui o par de lados opostos nãoparalelos não congruentes

TRAPÉZIO ISÓSCELES

DEFINIÇÃO: é o paralelogramo que temo os quatro lados e os quatro ângulos congruentes entre si. PROPRIEDADE: as diagonais são congruentes, cortam-se perpendicularmente e são bissetrizes dos ângulos de seus vértices.

PROPRIEDADE: os lados não-paralelos são congruentes entre si.

TRAPÉZIO RETÂNGULO

1.5.5 Trapézios É o quadrilátero que tem apenas dois lados paralelos entre si.

PROPRIEDADE: Um dos lados opostos nãoparalelos é perpendicular as bases

AB // CD AB é denominado base maior CD é denominado base menor DH é denominado altura Propriedade: Teorema da base média.

MN 

AB  CD 2

Trapézios Notáveis TRAPÉZIO ESCALENO

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2

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1.6 RELAÇOES NA CIRCUNFERÊNCIA Apresentamos a seguir as principais relações e propriedades sobre uma circunferência.

1.6.1 Comprimento Circunferência

da t é tangente à

   t circunferê ncia em P

C = 2R

1.6.6 Teorema do Comprimento das Tangentes 1.6.2 Comprimento de um Arco

360  2R   x

1.6.3 Corda e Arco

t tangente em A  PA  PB s tangente em B 

1.6.7 Teorema do Quadrilátero Circunscrito

AB + CD = AD + BC

1.6.4 Teorema da Corda

1.6.8 Ângulo Central É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. AC  BC  raio   M é o ponto médio de AB 

r  AB

1.6.5 Teorema da Tangente 15

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2

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

AB  2 

 = AB

1.6.11 Ângulo de Vértice Interno

A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que ele enxerga.

1.6.9 Ângulo Inscrito



É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os seus lados são cordas.





AB  CD 2

A medida de um ângulo de vértice interno à circunferência é igual à semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos seus lados. 



AB 2

1.6.12 Ângulo de Vértice Externo

A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco que ele enxerga. OBSERVAÇÃO Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. 





AB  CD 2

A medida de um ângulo de vértice externo à circunferência é igual à semidiferença dos arcos determinados pelos seus lados. ABC é retângulo

1.6.13 Teorema do Ângulo Inscrito

1.6.10 Ângulo de Segmento É todos ângulo cujo vértice pertence à circunferência, sendo um de seus lados secante e o outro, tangente à circunferência.

Ângulos inscritos correspondentes ao mesmo arco têm medidas iguais

1.6.14 Teorema do Quadrilátero Inscrito

16

2

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2° caso: SECANTES

ˆB ˆ C ˆD ˆ  180  A

1.6.15 Teorema Retângulo

do

RELAÇÕES

MÉTRICAS

DAS

Quando duas secantes se cortam externamente a um círculo, o produto da medida da secante interna pela medida da sua parte externa é igual ao produto da medida da outra secante pela medida da sua parte externa.

Triângulo

PA  PB = PC  PD 3° caso: RELAÇÃO SECANTE E TANGENTE

AB: diâmetro  ABC é triângulo retângulo em C

1.6.16 Potência de um Ponto

MÉTRICA

ENTRE

Quando, de um ponto exterior, traçamos uma tangente e uma secante a um círculo, a medida da tangente é a média proporcional entre a medida da secante inteira e a medida da sua parte externa.

2

PA = PB  PC em que t  AO Pot(p) = AP  PB 1° caso : RELAÇÕES ENTRE DUAS CORDAS Quando duas cordas se cruzam no interior de um círculo, o produto das medidas dos dois segmentos determinados sobre essas cordas é igual ao produto das medidas dos segmentos determinados sobre a outra.

PA  PB = PC  PD

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1.7 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS Para o cálculo de áreas das principais figuras planas utilizam-se as chamadas fórmulas, que podem ser demonstradas.

S

b h 2

RETÂNGULO

S=bh

S

QUADRADO

b  c  sen 2

S = b  h =    = 2 S  p  (p  a)(p  b)(p  c)

PARALELOGRAMO

P

abc 2

S=bh

S=pr abc P 2

TRAPÉZIO

 b  b2  S 1 h  2 

LOSANGO S

S

Dd 2

a b c 4R

POLÍGONO REGULAR

S=pr TRIÂNGULOS

CÍRCULO 18

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2

S = R

SETOR CIRCULAR  em graus: R 2 S= 360º  em radianos: R 2 S= 2

3. A medida de um arco de circunferência é dada por:

SEGMENTO CIRCULAR

   R ( em radianos)

S = área do setor – área do triângulo S = Ssetor - SABC OBSERVAÇÃO: 1. No caso do triângulo equilátero, temos:

 3 2 3 S 2 4 2. O apótema de um polígono regular é a distância do centro do polígono a qualquer um dos lados; logo: h

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Questão 08. Dois ângulos adjacentes somam o 136 . Qual é a medida do ângulo formado pelas suas bissetrizes?

MA2-1. GEOMETRIA PLANA 1.1 ÂNGULOS (exercícios) Questão 01. O maior ângulo formado entre os ponteiros de um relógio às 23 h 45 min é: a) 189o30’ b) 277o30’ o c) 270 o d) 254 45’ o e) 277 50’

Questão 02. Se OP é bissetriz de determine x e y nos casos: a)

AOˆ B ,

A 3x-5o P 2x+10o B

O

Questão 09. As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um ângulo de 52 o. Se um deles mede 40 o, qual é medida do outro?

Questão 10. Qual o ângulo que excede o seu suplemento de 66º? Questão 11. Qual é o ângulo que somado ao triplo de seu complemento dá 210º?

Questão 12. Um ângulo excede seu complemento de 48º. Determinar o suplemento desse ângulo. Questão 13. Dois ângulos estão na relação 4/9. Sendo 130º sua soma, determine o complemento do menor.

b) B P y-10o

2y

Questão 14. A razão entre dois ângulos suplementares é igual a 2/7. Determinar o complemento do menor.

x+30o O

A

Questão 03. A soma de dois ângulos adjacentes é o 120 . Calcule a medida de cada ângulo, sabendo que a medida de um deles é a diferença entre o triplo do outro e 40o.

Questão 15. Calcule os ângulos de um triângulo, sabendo que eles são proporcionais aos números 1, 3 e 5. Questão 16. (Unimontes/MG) Se, na figura abaixo, as retas r e s são paralelas, então α vale:

Questão 04. Dar a medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento. Resposta: 60º Questão 05. Calcule um ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento vale 36o. a) 50° Questão 06. Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares formam um ângulo reto.

b) 30°

c) 80°

d) 130°

Questão 17. Na figura, sabendo que r // s, determine a medida do ângulo x.

Questão 07. Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes e complementares formam um o ângulo de 45 .

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Questão 18. Sejam r e s retas paralelas. A medida x na figura abaixo é:

a) 60°

b) 70°

c) 80°

d) 90°

Questão 22. Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule o valor de x.

e) 100°

Questão 19. Sendo r paralela a s na figura, calcule o valor de x.

Questão 23. (CAR/SP) O gráfico, a seguir, representa o resultado de uma pesquisa sobre a preferência por conteúdo, na área de matemática, dos alunos do CAR.

Questão 20. (FGV-SP) Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s.

Assinale o valor de α. a) 30° b) 50° c) 40°

Sabendo-se que no gráfico o resultado por conteúdo é proporcional à área do setor que a representa, pode-se afirmar que o ângulo central do setor do conteúdo MATRIZ é de a) 14º b) 57º 36’ c) 50º 24’ d) 60º 12’ d) 70°

e) 60°

Questão 21. Na figura, as retas r e s são paralelas. Então, qual é a medida x?

Questão 24. (Unicamp/SP) Pero Vaz de Caminha, na carta enviada ao Rei de Portugal, afirma: Esta Terra, Senhor, me parece que da ponta que mais contra o Sul vimos, até outra ponta que contra o Norte vem, será tamanha que haverá nela bem vinte ou vinte e cinco léguas por costa.

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a) itindo-se que a légua a que se refere Caminha seja a légua marítima e que esta equivale a 6.350 metros, qual seria o maior valor, em quilômetros, estimado para a costa? b) No final do século XV itia-se que a distância, ao longo do equador, entre dois meridianos que compreendem 1° era de 17,5 léguas marítimas. A partir desses dados, calcule o comprimento do equador, apresentando o resultado em metros. c) A latitude da Baía de Todos os Santos, medida na época do descobrimento, era de 15° 40' sul. O valor aceito atualmente para a latitude do mesmo local é de 12° 54' sul. Calcule o erro cometido, em graus e minutos. Além disso, diga se a medida da época localizava a Baía de Todos os Santos ao norte ou ao sul em relação à localização aceita atualmente.

avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que a pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o ageiro Carlos fez uma conexão em a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.

Questão 26. (OBM) No retângulo ABCD, E é o ponto médio do lado BC e F é o ponto médio do lado CD. A interseção 

o de DE com FB é G. O ângulo EAF mede 20 .

Questão 25. (NOVO ENEM) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília - DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.



Quanto vale o ângulo EGB ? F

D

C G E

A

B

Questão 27. (UFG/GO) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é:

a) 100º

b) 120º

c) 110º

d) 140º

e) 130º

Questão 28. (Mack/SP) Na figura, se MN // AC, a medida de a é: SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br . o em: 28 jul. 2009 (adaptado).

Suponha que um ageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135° graus no sentido horário com a rota Brasília - Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo

a) 28º

b) 30º

c) 32º

d) 34º

e) 36º

1.2 POLÍGONOS (exercícios) 22

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Questão 29. Qual o polígono convexo que tem 170 diagonais? Questão 30. Um polígono convexo tem 3 lados a mais que o outro. Descubra esses polígonos, sabendo que juntos têm 64 diagonais.

Questão 31. A diferença entre o número de diagonais de dois polígonos é 27. O primeiro polígono tem 3 lados a mais que o segundo. Determine os dois polígonos. Questão 32. Considere as afirmações sobre polígonos convexos: I. Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados. II. Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados. III. Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o número de lados do polígono é impar. a) Todas as afirmações são verdadeiras b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras c) Apenas (I) é verdadeira d) Apenas (III) é verdadeira e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras

Questão 37. Os números de lados de três polígonos são ímpares e consecutivos. Sabendo que juntos eles têm 46 diagonais, determine esses polígonos.

Questão 38. Os números de lados de três polígonos convexos são consecutivos. Sendo 1.620° a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine esses polígonos. Questão 39. Calcule a soma dos ângulos assinalados na figura abaixo.

Questão 33. Qual é a soma das medidas dos ângulos internos do polígono que tem o número de Diagonais igual ao quádruplo do número de lados? Questão 34. Qual o polígono convexo que tem a soma dos ângulos internos excedendo a soma dos ângulos externos em 720°?

Questão 35. Calcule a soma dos ângulos a, b, c, d, e indicados na figura.

Questão 40. Todos os ângulos internos de um polígono convexo têm medidas iguais, exceto um deles, que é menor em 40°. Sendo ímpar o número de lados desse polígono, determine o seu número de diagonais. Questão 41. (Mackenzie-SP) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então, o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152 Questão 42. (FAAP-SP) A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25 é:

Questão 36. Na figura abaixo, calcule o valor de a + b + c + d.

23

CONTEÚDO: Geometria Plana

2

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Questão 48. Determine a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e CD de um polígono ABCDE... regular de 30 lados.

a) 60°

b) 45°

c) 36°

d) 83°

e) 51°

Questão 43. O ângulo externo de um polígono regular é igual ao dobro do seu ângulo interno. Determine o número de diagonais desse polígono. Questão 44. (Fuvest-SP) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo α é:

Questão 49. Dado um decágono regular ABCDE..., as bissetrizes internas dos ângulos A e D interceptam-se no ponto P; então, a medida do ângulo APD é: a) 68° b) 82° c) 108° d) 112° e) 120° Questão 50. (SpeedSoft) Dado um quadrado de lado 6cm, obtenha: a) seu apótema b) o raio da circunferência circunscrita ao quadrado. Questão 51. (Vunesp) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é igual a 2 3 cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é:

a) 32°

b) 34°

c) 36°

d) 38°

e) 40°

Questão 45. (Fuvest-SP) Os pontos B, P e C pertencem a uma mesma circunferência e BC é lado de um polígono regular inscrito em γ. Sabendo que o ângulo BPC mede 18°, podemos concluir que o número de lados de um polígono é igual a:

a) 5

b) 6

c) 7

d) 10

a) 3 . b) 2. c) 2,5. d) 3. e) 4.

Questão 52. (SpeedSoft) Na figura abaixo, a altura do triângulo equilátero RBS de lado 2 3 é o lado AB do quadrado ABCD. Qual é o comprimento da diagonal AC desse quadrado?

e) 12

Questão 46. Determine o número de lados de um polígono regular convexo cujo ângulo externo é a quinta parte do ângulo interno.

Questão 47. Num polígono regular a medida de cada ângulo interno excede a medida de cada ângulo externo em 108°. Quantas diagonais tem esse polígono?

Questão 53. (IBMEC/SP) Um matemático gostaria de recobrir o chão de sua sala com várias peças de mesma forma e mesmo tamanho, colocando as peças uma ao lado da outra, sem deixar espaços e sem sobreposições. Não serviriam para este recobrimento as peças com o formato de a) triângulo equilátero. b) quadrado. 24

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c) losango. d) pentágono regular. e) hexágono regular. Questão 54. (UERJ/RJ) Ao observar, em seu computador, um desenho como o apresentado, um estudante pensou tratar-se de uma curva.

Porém, após aumentar muito a figura, verificou que a tal "curva" era, de fato, um polígono, com o menor perímetro possível, formado por uma quantidade finita de lados, todos paralelos ao eixo x ou ao eixo y. Verificou ainda que esse polígono possuía um lado em cada uma das seguintes retas: x = 1, x = 8, y = 2 e y = 5. Se foi utilizada a mesma unidade de comprimento em ambos os eixos, a medida do perímetro desse polígono é: a) 10 b) 13 c) 18 d) 20

Questão 58. (UFSCar/SP) Uma placa de aço quadrada vai ser transformada em um octógono regular, recortando-se os quatro cantos do quadrado de forma a obter o maior polígono possível, como mostra a figura.

Sendo a medida do lado do quadrado igual a L, calcule, em função de L, a) a medida de x. b) o perímetro do octógono obtido.

Questão 59. (CAR) O lado de um quadrado inscrito em um disco de raio R é a - b e o lado do triângulo equilátero inscrito no mesmo disco é a +

b vale a a) 5  2 6 7 b) 3 c) 5  2 6 b. Então

Questão 55. (ITA/SP) Um hexágono regular e um quadrado estão inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono possui uma aresta paralela a uma aresta do quadrado. A distância entre estas arestas paralelas será: a) ( 3 -

2 )R/2

d)

b) ( 2 + 1)R/2

13

c) ( 3 + 1)R/2 d) ( 2 - 1)R/2 e) ( 3 - 1)R/2

Questão 56. (AFA) Seja ABCD um quadrado, ABE um triângulo eqüilátero e E um ponto interior 

ao quadrado. O ângulo a) 55 b) 60 c) 75 d) 90

A E D mede, em graus,

Questão 57. (OMU) Encontre n de modo que o polígono convexo de n lados tenha 5n diagonais.

Questão 60. (ITA/SP) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5º. Então, seu maior ângulo mede, em graus, a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 e) 160 Questão 61. (UFSCar/SP) A figura 1 representa um determinado encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 hexágono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes.

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Questão 64. (UNIFESP/SP) A soma de n – 1 ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 1900º. O ângulo remanescente mede a) 120º. b) 105º. c) 95º. d) 80º. e) 60º.

Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado na figura 2, é correto dizer que a) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 15º. b) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30º. c) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 50º e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30º. d) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos retângulos isósceles. e) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos escalenos. Questão 62. (Mack/SP) Se de cada vértice de um polígono regular partem 15 diagonais, a medida dos ângulos internos desse polígono, em radianos, é: a)

11 12

b)

6 7

c)

7 8

d)

17 10

e)

8 9

Questão 63. (UFPB/PB) A figura ao lado representa um barril totalmente fechado, que foi construído unindo-se 12 tábuas encurvadas e iguais, encaixadas e presas a outras 2 tábuas circulares e iguais, de raio 10 cm. Com base nessas informações, pode-se concluir que a medida, em cm, do segmento de reta AB é igual a:

a) 10

b) 8

c) 7

d) 6

Questão 65. (FUVEST/SP) O círculo C , de raio R , está inscrito no triângulo eqüilátero DEF . Um círculo de raio r está no interior do triângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois lados do triângulo, conforme a figura.

Assim, determine a) a razão entre R e r. b) a área do triângulo DEF em função de r. Questão 66. (ITA/SP) De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: a) 53 b) 65 c) 66 d) 70 e) 77

Questão 67. (UNIUBE/MG) Sejam dois círculos de raios R e r tangentes no ponto A e ambos tangentes ao quadrado, conforme figura abaixo. Se o lado do quadrado mede 1 cm, então r é igual a

e) 5

26

2

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a)

3 2 2 2 2 1 2

b)

2 2 2

2 1 4

c)

d)

Questão 68. (UFPA-PA) O raio de uma circunferência onde se inscreve um triângulo equilátero de lado 3 cm é: a)

3 2

b)

3 4

c)

2 3 3

d) 1

e)

3 cm 5 10 e) cm 3 a)

5 cm 6

c)

 cm

d)

5 cm 3

Questão 75. ( UFPI-PI) Numa circunferência na qual está inscrito um quadrado de lado 10 cm, o comprimento, em cm, de um arco da mesma, medindo 120º é:

 m 2 3 m

3

b)

a)

b)

m

c)

3 m 2

d) 2 m

e)

Questão 69. Calcule o apótema de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 2 2 . Questão 70. Determine o raio da circunferência circunscrita ao polígono regular, sabendo que o raio da circunferência inscrita é 6 m, nos casos: a) quadrado; b) hexágono; c) triângulo. Questão 71. (Cefet-MG) Se um quadrado está inscrito numa circunferência de 6 cm de raio, então o seu lado e seu apótema medem, respectivamente, em cm: a) 6 e 3 2

Questão 76. Determine a razão entre o apótema de um quadrado e o lado de um triângulo equilátero, ambos inscritos numa circunferência de raio igual a 6 cm. Questão 77. Determine a razão entre os perímetros do quadrado circunscrito e do hexágono regular inscrito numa circunferência de raio R.

1.3 TRIÂNGULOS (exercícios) Questão 78. (UECE/CE) As retas na figura interceptam-se duas a duas nos pontos P, Q e R. Considerando os valores indicados, o ângulo α é igual a:

3 2 b) 3 2 e 2 c) 6 2 e 3 d) 3 2 e 6 2 Questão 72. O lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência mede 2 6 Determine a medida do raio da circunferência.

m. a) 101°

Questão 73. Uma diagonal de um quadrado inscrito numa circunferência mede 8 cm. Calcule, de um hexágono regular inscrito a essa circunferência, as medidas de um lado e de um apótema.

b) 102°

c) 103°

d) 104°

Questão 79. (PUC/SP) Na figura, BC = CA = AD = DE. O ângulo CÂD mede:

Questão 74. (Unisa-SP) Um hexágono regular de lado 3 cm está inscrito numa circunferência. Nessa circunferência, um arco de medida 100º tem comprimento: a) 10°

b) 20°

c) 30°

d) 40°

e) 60° 27

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Questão 80. (Ibmec/SP) Sejam α, β, γ, λ e θ as medidas em graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da figura, respectivamente.

Questão 84. (UPF/RS) No triângulo abaixo, x é um ângulo interno e a e b são ângulos externos. Sabendo-se que a + b = 210° e 3a – 2b = 130°, sobre o ângulo x pode-se afirmar que:

A soma α + β + γ + λ + θ é igual a: a) 120º b) 150º c) 180º d) 210º

a) seu suplemento é 110°. b) seu complemento é 60°. c) seu complemento é 20°. d) seu suplemento é 100°. e) seu suplemento mais seu complemento é 180°.

e) 240º

Questão 81. (UFU/MG) Na figura abaixo, o ângulo x, em graus, pertence ao intervalo:

Questão 85. (UFMG/MG) Observe esta figura:

a) (0°, 15°) 30°)

b) (15°, 20°)

c) (20°, 25°)

d) (25°,

Questão 82. (Mackenzie/SP) Na figura, AB = AC e CE = CF. A medida de β é:

Nessa figura, os pontos F, A e B estão em uma reta e as retas CB e ED são paralelas. Assim sendo, o ângulo ABC mede: a) 39° b) 44° c) 47° d) 48° Questão 86. (FGV/SP) De acordo com a figura a seguir, se a – b = 10°, então:

a) 90°

b) 120°

c) 110°

d) 130°

e) 140°

Questão 83. Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de m.

a) cos a = − ½ b) sen a = ½

d) sen a = 3/2 e) sen a = 1/2 28

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c) cos b = − 1/2

Questão 90. Determine a área do retângulo ABCD da figura, sabendo que M é ponto médio de BC e 2 que a área do triângulo PMB é 16 cm .

Questão 87. (Unifacs-BA) Na figura, a área do triângulo ABC mede 54 u.a. e BC = 3EC e EC = 3BD. A partir dessa informação, pode-se concluir que a área sombreada mede:

Questão 91. O triângulo ABC da figura tem área 2

132 cm . Sabendo que MC é

a) 18

b) 20

c) 24

d) 30

é

e) 36

Questão 88. Num triângulo acutângulo ABC, AH e AM são respectivamente altura e mediana. Se

MH 

1 de BC, determine a área do quadrilátero 4

PMCN.

BC , é correto afirmar que: 5

a) o triângulo ABC não é isósceles. b) H é o ortocentro do triângulo ABC. c) O ortocentro do triângulo ABC é externo ao triângulo.

1 d) a área do triângulo AHM é da área do 5 triângulo ABC. e) B é o ortocentro do triângulo AHM. Questão 89. (UFPI-PI) A área do triângulo ABC, na figura abaixo, é igual a A. Temos também

AD 

1 de AC e que NC 3

1 1 AC e EC  BC . 3 4

Questão 92. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). a) O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. b) O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. c) O incentro é interno ao triângulo. d) O baricentro é interno ao triângulo. e) O ortocentro é interno ao triângulo. f) O circuncentro é interno ao triângulo. g) O baricentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Questão 93. No triângulo ABC da figura, determine a medida dos ângulos A, B e C, sabendo que I é o incentro do triângulo.

Julgue (V ou F) o que segue: (

) A área do triângulo DEC é

1 da área do 6

triângulo ABC. ( ) A área do triângulo DEC é 25% da área do triângulo BCD. ( ) A área do triângulo BDC é o dobro da área do triângulo ABD. ( ) A área do triângulo DEC é 35% da área do triângulo BDE.

Questão 94. No ΔABC da figura, determine a medida dos ângulos A, B e C sabendo que O é circuncentro do triângulo.

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Questão 99. No ΔABC da figura, determine Â, sabendo que O é circuncentro do triângulo. Questão 95. A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praça central, uma estátua em homenagem a Tiradentes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça.

Questão 100. Num ΔABC, M1 e M2 são os pontos médios de AB e AC. Sendo  = 140°, determine M1ÔM2, onde O é o circuncentro de ABC.

Questão 96. Num triângulo eqüilátero de altura 9 cm, calcule as medidas dos raios das circunferências inscrita e circunscrita ao triângulo.

Questão 101. Calcule a soma dos ângulos assinalados:

Questão 97. No ΔABC da figura, determine Â, sabendo que I é incentro do triângulo.

a)

b)

Questão 98. No triângulo ABC, I é incentro e  = α. Calcule BIC em função de α.

Questão 102. (FGV-SP) Na figura ao lado, o triângulo AHC é retângulo em H e s é a reta e da bissetriz do ângulo CÂH. Se c = 30° e b = 110°, então:

30

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a) x = 15° b) x = 30° c) x = 20° d) x = 10° e) x = 5° Questão 103. (UFRN-RN) A figura ao lado é composta por um triângulo e três quadrados construídos sobre os seus lados. A soma dos ângulos α, β e γ é:

Questão 106. (Vunesp-SP) Considere o triângulo ABC da figura. Se a bissetriz interna do ângulo B forma, com a bissetriz externa do ângulo C, um ângulo de 50°, determine a medida do ângulo interno Â.

Questão 107. (Fuvest-SP) Na figura abaixo, AB = AC, CB = CD e  = 36°. a) Calcule os ângulos DCB e A DC. b) Prove que AD = BC. a) 400°

b) 360°

c) 300°

d) 270°

Questão 104. Na figura, AC = BC = CD; então BÂD é igual a:

Questão 108. (Mackenzie-SP) No triângulo abaixo, temos AB = BC e CD = AC. Se x e y são medidas em grau dos ângulos A e B, respectivamente, então x + y é igual a: a) 75° b) 80° c) 90° d) 100° e) 120° Questão 105. Na figura, sendo AB congruente a AC e AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE. Dado: BÂD = 42°. a) 120°

b) 110°

c) 115°

d) 95°

e) 105°

Questão 109. Na figura abaixo, AB = BC = CD = DE = EF e ainda GD = DH. Assinale a afirmativa verdadeira. 31

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c) 18 d) 24 e) 36 Questão 114. (UFT/TO-2010) Na figura abaixo, os comprimentos dos lados AB e BC do triângulo ABC são iguais. a) GB é mediana no triângulo AGD. b) E é o baricentro do triângulo GFH. c) C é o baricentro do triângulo AGH. d) Os triângulos AGD e FGD têm a mesma área. e) O triângulo AGF tem o dobro da área do triângulo HFD.

Questão 110. Sendo, no triângulo ABC, M e N os pontos médios dos segmentos BC e AB, respectivamente, e P o ponto de intersecção dos segmentos AM e CN. Sabendo que P dista 8 cm do vértice C, calcule a distância de P ao ponto N.

Questão 111. Considerando congruentes os segmentos com “marcas iguais”, determine o valor de y/x.

Questão 112. Observe a figura abaixo.

O valor do ângulo na figura é: a) 18º b) 20º c) 25º d) 22º

e) 17º

Questão 115. (UFV-2010) Numa aula de geometria, um estudante considerou um triângulo retângulo. A partir do ponto médio da hipotenusa, traçou segmentos de reta perpendiculares aos catetos e concluiu que: “Em qualquer triângulo retângulo, o ponto médio da hipotenusa é equidistante dos três vértices.” Em seguida, o estudante considerou um outro triângulo retângulo, no qual fora inscrito um círculo. A partir da decomposição desse triângulo em três triângulos, tendo como vértice comum o centro do círculo, concluiu que: “Em qualquer triângulo retângulo, a medida do raio do círculo inscrito é igual ao produto das medidas dos catetos dividido pela medida do perímetro do triângulo.” Sobre essas duas conclusões do estudante, é CORRETO afirmar que: a) ambas são verdadeiras. b) ambas são falsas. c) apenas a primeira é verdadeira. d) apenas a segunda é verdadeira. Questão 116. (SpeedSoft) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A. N é ponto médio do cateto AB e M é ponto médio da hipotenusa BC. Sabe-se que NC = 6cm e BC = 14cm.

A e E → Atiradores de elite B e D → Alvos móveis Sabendo que B e D partiram de C para alcançar A e E e que estão na metade do caminho quando são atingidos, determine as distâncias percorridas pelas balas de A e E até atingir os alvos B e D. Questão 113. Sendo G o baricentro do triângulo 2 2 ABC, de área 72 cm , a área em cm do triângulo BGC é: a) 12 b) 16

a) Qual o comprimento de PC ? b) Qual o comprimento de AM ? c) Se o Ângulo ABM medir 20º quanto medirá o ângulo PAC ? 32

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Questão 117. (SpeedSoft) B M C P N Q A D Dado o quadrilátero ABCD ao lado, M e N são pontos médios dos lados BC e CD, respectivamente. Se AM = 33 cm e AQ = 18 cm, calcule:

Questão 121. (FGV) Na figura, ABC é um triângulo com AC = 20cm, AB = 15cm e BC = 14cm. Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o quociente

a) a medida do segmento AP. b) a medida do segmento AN.

QR é igual a AR

Questão 118. (SpeedSoft) Obtenha o ângulo HAS no triângulo abaixo, sabendo que AH é altura e AS é bissetriz.

a) 0,3. b) 0,35. c) 0,4. d) 0,45. e) 0,5. Questão 122. (Vunesp) O triângulo ABC da figura é eqüilátero. Os pontos M e N e os pontos P e Q dividem os lados a que pertencem em três segmentos de reta de mesma medida. Questão 119. (SpeedSoft) Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero de lado 3 cm. N é ponto médio do segmento AC e B é ponto médio do segmento MC.

a) Quanto mede o segmento AN ? b) Quanto mede o segmento MC ? c) Quanto mede o segmento AP ? Questão 120. (SpeedSoft) Na figura, Q é o circuncentro do triângulo ABC. Calcule  , o sabendo que o ângulo QCA = 35 e o ângulo QBC o = 25 .

Nessas condições, calcule: a) a medida do ângulo MPQ (vértice P); b) a medida do ângulo BMQ (vértice M).

Questão 123. (UFG/GO) Se dois lados de um triângulo medem respectivamente 3dm e 4dm, podemos afirmar que a medida do terceiro lado é: a) igual a 5 dm b) igual a 1dm c) igual a 7 dm 33

2

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d) menor que 7 dm e) maior que 7 dm Questão 124. (SpeedSoft) Obtenha o valor de x na figura abaixo, sabendo que AB e AC são semiretas: a)

2 2 6 5 7 b) c) d) 3 3 3 3

e)

6 3

Questão 129. (PUCCampinas/SP-2007) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas entre si.

Questão 125. (SpeedSoft) Um triângulo ABC tem lados valendo AB=10, AC =15 e BC = x. Se os ângulos A, B e C são tais que C < B < A, então qual é o menor valor inteiro para x?

AC  x , BC  8 , DE  15 , EF  x  10 , GI  y e HI  10 , então x  y é um número

Se Questão 126. (SpeedSoft) Na figura, ABC é um triângulo equilátero, ABDE é um quadrado e o ponto C pertence ao segmento EF. Qual o valor  do ângulo CFB?

a) maior que 47. b) entre 41 e 46. c) menor que 43. d) quadrado perfeito. e) cubo perfeito. Questão 130. (UFG/GO-2007) No trapézio ABCD abaixo, o segmento AB mede a, o segmento DC mede b, M é o ponto médio de AD e N é o ponto médio de BC.

Questão 127. (Unicamp/SP) a) Quantos são os triângulos não congruentes cujas medidas dos lados são números inteiros e cujos perímetros medem 11 metros? b) Quantos dos triângulos considerados no item anterior são eqüiláteros? E quantos são isósceles? Nestas condições, a razão entre as áreas dos trapézios MNCD e ABNM é igual a

TTeeoorreem maa ddee TTaalleess Questão 128. (FGV/SP-2007) Na figura, AN e BM são medianas do triângulo ABC, e ABM é um triângulo equilátero cuja medida do lado é 1. A medida do segmento GN é igual a:

a  2b 3a  b a  3b b) 2a  b a  3b c) 3a  b a)

a  2b 2a  b 3a  2b e) 2a  3b d)

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Questão 131. (UFG/GO-2007-Fase2) O desenho abaixo, construído na escala 1:7000, representa parte do bairro Água Branca em Goiânia. As ruas R. 1, R. 2 e R. 3 são paralelas à Av. Olinda. O comprimento da Av. B, da esquina com a Av. Olinda até a esquina com a Rua Dores do Indaya, é de 350 m.

Considerando-se que cada rua mede 7 m de largura, calcule quantos metros um pedestre caminhará na Av. B, partindo da esquina com Av. Olinda, até a esquina com a Rua R. 2, sem atravessá-las.

Questão 134. O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir:

As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito ando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Assinale a opção que indica o perímetro do circuito. a) 4,5 km b) 19,5 km c) 20,0 km d) 22,5 km e) 24,0 km Questão 135. (UFMG) Observe a figura.

Questão 132. Um feixe de quatro paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm, respectivamente. Determine os comprimentos dos segmentos que esse mesmo feixe determina sobre uma outra transversal, sabendo que o segmento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 60 cm.

Questão 133. Na figura tem-se o trapézio isósceles ABCD no qual as bases medem 15cm e 27cm. Os lados AB e CD foram divididos em 4 partes iguais, e pelos pontos de divisão, foram traçados 3 segmentos paralelos às bases. A soma das medidas dos três segmentos traçados é, em centímetros.

O triângulo ABC é equilátero, AD=DE=EF =FB , DG // EH // FI // BC , DG+EH+FI = 18. O perímetro do triângulo ABC é: a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 54 Questão 136. O perímetro de um triângulo ABC é 100 cm. A bissetriz interna do ângulo A divide o lado oposto BC em dois segmentos de 16 cm e 24 cm. Determine os lados desse triângulo.

Questão 137. No trapézio da figura AE = 4 cm, ED = 8 cm, AB = 3 cm e BF = 5 cm. Calcule CD.

a) 52

b) 58

c) 59

d) 61

e) 63

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Questão 138. Na figura, calcule os valores de x e y, respectivamente, sendo BS a bissetriz interna do ângulo B.

Questão 139. Determine a medida do lado AB do DABC sabendo que AS é bissetriz, e que o perímetro do DABC mede 75 cm.

Questão 142. No triângulo ABC da figura, AB = 5 cm, AC = 10 cm e BC = 9 cm. Sendo AD bissetriz do ângulo BAC e DE // AB , calcule DE.

Questão 143. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A; AM é a mediana relativa à hipotenusa; AD é a bissetriz do ângulo BÂC. Então, DM vale:

a) 5/2

Questão 140. (Mackenzie-SP) Na figura temos r//r’ e s//s’. Então, para todo a > 1, o valor da abscissa x é:

2

2

a) 2a b) a c) (a + 1) d) a + 1 e)

a 1

b) 2/5

c) 7/20

d) 5/7

e) 1

Questão 144. No triângulo ABC da figura, AB = 5 m e AC = 8 cm. Sendo BAD = DAE = EAC com EC = 2 BD, calcule AD/AE.

Questão 145. Os lados do retângulo da figura medem AB = 3 cm e BC = 4 cm. Sendo AEB = 45°, determine PD.

Questão 141. (Unicamp-SP) No triângulo abaixo, obter a medida AB.

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Atenção: Use a figura abaixo para resolver a questão 05.

SSeem meellhhaannççaa ddee TTrriiâânngguullooss Questão 146. (FGV/RJ-2007) No início do século ado, o dr. Afrânio Corrêa possuía um terreno no centro da cidade com a forma do triângulo retângulo ABC que se vê na figura a seguir.

Em seu testamento, para contemplar igualmente seus dois filhos, o proprietário determinou que o terreno fosse dividido em duas partes de mesma área por meio de uma cerca paralela ao cateto BC, e que a parte com a forma de um trapézio fosse do filho mais velho. Com a morte do dr. Afrânio, seus advogados mandaram medir o comprimento do lado AB do terreno e receberam a resposta: 156m. Deveriam, então, mandar construir a cerca PQ, paralela ao lado BC, de forma que os dois terrenos tivessem mesma área, mas, para isso, precisariam conhecer a medida AP = x. Sabe-se que o testamento foi cumprido. O valor de x é, aproximadamente: a) 100m. b) 105m. c) 110m. d) 115m. e) 120m. Questão 147. (UEM/PR-2007) Um edifício projeta no solo uma sombra de 15 m de comprimento no instante em que um muro de 200 cm projeta no solo uma sombra de 4 m. Considerando que o muro e o edifício são perpendiculares ao solo plano, pode-se afirmar que a altura do edifício é: a) 7.500 cm. b) 750 cm. c) 3.000 cm. d) 300 cm. e) 2.500 cm.

Questão 148. (PUCCampinas/SP-2007) Há mais de 4000 anos, a pirâmide de Quéops media 233 m na aresta da base. Suponhamos que Tales tenha escolhido uma posição conveniente do Sol, para a qual a medição da sombra da pirâmide fosse adequada, e que tenha fincado uma estaca com 3 m de altura, como mostra a figura. Nesse instante, a sombra EA da estaca mediu 5 m e a distância de E a M era 127 m. Se M é o ponto médio da aresta da base, então o inteiro mais próximo da altura da pirâmide, em metros, é: a) 150 b) 149 c) 148 d) 147 e) 146

Questão 149. A figura seguinte representa um rio cujas margens são retas paralelas. Qual é o número inteiro mais próximo da largura do rio, quando esta é medida em metros?

a) 20 m b) 26 m c) 27 m d) 30 m e) 24 m

Questão 150. Dois decágonos regulares são semelhantes e a razão de semelhança entre eles é 1/4. Se o perímetro do menor mede 130 cm, quanto mede cada lado do maior decágono? Questão 151. Em determinada hora do dia, o sol projeta a sombra de um poste de iluminação sobre o piso plano de uma quadra de vôlei. Neste instante, a sombra mede 16m. Simultaneamente, 37

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um poste de 2,7m, que sustenta a rede, tem sua sombra projetada sobre a mesma quadra. Neste momento, essa sombra mede 4,8m. A altura do poste de iluminação é de a) 8,0 m b) 8,5 m c) 9,0 m d) 7,5 m

Questão 152. Um homem sobe numa escada de 5 metros de comprimento, encostada em um muro vertical. Quando ele está num degrau que dista 3 metros do pé da escada, esta escorrega, de modo que a extremidade A se desloca para a direita, conforme a seta da figura a seguir e a extremidade B desliza para baixo, mantendo-se aderente ao muro. Encontre a fórmula que expressa a distância h, do degrau em que está o homem até o chão em função da distância x, do pé da escada ao muro.

a) 248 188

B

D

d) 208

e)

b) 2,5

c) 1,5

d) 1

e) 33

Questão 156. (Mackenzie-SP) Na figura, ABCD é um quadrado inscrito no triângulo EFG. Se a medida de FG é 10, o perímetro do quadrado é:

E

a) 20 A

c) 288

Questão 155. (Mackenzie-SP) Na figura AC = 5, AB = 4 e PR = 1,2. O valor de RQ é:

a) 2 Questão 153. O triângulo ABC a seguir é retângulo em A; ADEF é um quadrado, AB = 6cm e AC = 12. Quanto mede o lado do quadrado?

b) 368

F

b) 15

c) 18

d) 16

e) 17

C

Questão 154. (UFV-MG) Para determinar o comprimento de uma lagoa, utilizou-se o esquema indicado pela figura abaixo, onde os segmentos AB e CD são paralelos. Sabendo-se que AB = 36 m, BP = 5 m e DP = 40 m, o comprimento CD da lagoa, em metros, é:

Questão 157. (Cefet-MG) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A e DEFG é um quadrado inscrito nesse triângulo.

Considerando-se que BG = 9 e CF = 4, o perímetro desse quadrado é igual a: 38

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a) 24 b) 28 c) 32 d) 36

Questão 161. (UFES-ES) Os campos de petróleo Peroá (P) e Golfinho (G) distam, respectivamente, 56 km e 120 km de um ponto A do litoral, o qual estamos supondo retilíneo (veja a figura abaixo).

Questão 158. (UERJ-RJ) O gráfico a seguir representa, em bilhões de dólares, a queda das reservas internacionais de um determinado país no período de julho de 2000 a abril de 2002. ita que, nos dois intervalos do período considerado, a queda de reservas tenha sido linear. Determine o total de reservas desse país, em bilhões de dólares, em maio de 2001.

Questão 159. (Unifei-MG) No retângulo ABCD da figura abaixo, os lados medem AB = 12 cm e AD = 16 cm. Toma-se um ponto P sobre o lado AD, de modo que AP = x cm. Por esse ponto P traça-se o segmento PQ, paralelo à diagonal AQ. Calcule a medida de PQ em função de x.

Questão 160. (Cesgranrio-RJ) O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura. Se AB = 12 m, BC = 8 m e AC = 6 m, o lado d do losango mede:

Os pontos A e B são os pontos do litoral que estão mais próximos, respectivamente, dos campos P e G. A distância do ponto A ao ponto B é de 88 km. Deseja-se construir no litoral um pólo de gás que fique situado à mesma distância dos campos P e G. Nessas condições, pode-se afirmar que o pólo de gás deve ficar situado a: a) 74 km de A e a 14 km de B. b) 64 km de A e a 24 km de B. c) 44 km de A e a 44 km de B. d) 24 km de A e a 64 km de B. e) 14 km de A e a 64 km de B. Questão 162. Na figura abaixo, consideremos os quadrados de lados a e b (a > b). Calcule o valor de x.

Questão 163. (ESPM-SP) Na figura a seguir, os pontos A, B e C estão alinhados. Se PA = x, PB = y e PC = z, podemos afirmar que:

1 xz 1 1 1 d)   y x z a) y 

a) 5 m b) 3 m c) 2 m

x z 2 x y e) z  x y

b) y 

2

c) y  x  z

d) 4 m e) 8 m 39

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Questão 164. (UFS-SE) Na figura abaixo, são dados AC = 8 cm e CD = 4 cm. A medida de BD é, em cm:

a) 3 a) 9

b) 10

c) 12

d) 15

e) 16

Questão 165. (Fadi-SP) A vista lateral do piso superior de um chalé é em forma de um triângulo isósceles. Em uma das caídas do telhado principal, há uma janela alojada sob um pequeno telhado, conforme mostra o desenho.

b) 8/3

c) 4

d) 4/5

e) 5/3

Questão 168. (Vunesp-2005) Uma estátua de 2 metros de altura e um poste de 5 metros de altura estão localizados numa ladeira de inclinação igual a 45º, como mostra a figura. A distância da base do poste à base da estátua é 4 metros, e o poste tem uma lâmpada acesa na extremidade superior.

Adotando 2 = 1,41 e sabendo que tanto o poste quanto a estátua estão na vertical, calcule a) o comprimento aproximado da sombra da estátua projetada sobre a ladeira; b) a área do triângulo XYZ indicado na figura. O comprimento x da cumeeira deste pequeno telhado mede, em cm, aproximadamente: a) 57 b) 60 c) 63 d) 77 e) 81 Questão 166. (Mackenzie-SP) Na figura, se o triângulo ABC é isósceles, a medida de AE é:

3

a)

b)

5 3

c)

4 3

2 167. (FEI-SP) Na figura, x mede:

d)

2 3

Questão 169. (Unicamp/SP) Uma caixa d’água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura ao lado.

Dados: AB = 6m, AC= 1,5m, CD= 4m. e) a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa? b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85% da altura da caixa, quantos litros de água podem ser armazenados na caixa? 40

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Questão 170. (NOVO ENEM) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros.

1.4 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO (exercícios) Questão 171. (UFSC/SC-2009) A figura a seguir representa a tesoura do telhado de uma casa. A telha que vai ser usada é a telha sa, que exige uma inclinação de pelo menos 40% para que a água das chuvas escoe. Essa inclinação de 40% é obtida da seguinte maneira: partindo da extremidade para o topo do telhado, para cada metro na horizontal, sobe-se 40% de metro na vertical. Portanto, qual o comprimento da viga AC?

Questão 172. (UFBA/BA-2007) Na figura ao lado, todos os triângulos são retângulos isósceles, e ABCD é um quadrado. Nessas condições, determine o quociente

GH . CE

Questão 173. (UFRN/RN-2006) Um grande vale é cortado por duas estradas retilíneas, E1 e E2, que se cruzam perpendicularmente, dividindo-o em quatro quadrantes. Duas árvores que estão num mesmo quadrante têm a seguinte localização: a primeira dista 300 m da estrada E1 e 100 m da estrada E2 enquanto a segunda se encontra a 600 m de E1 e a 500 m de E2. A distância entre as duas árvores é A) 200 m. B) 300 m. C) 400 m. D) 500 m. Questão 174. (UFSJ/MG-2006) A maior distância, em metros, entre dois vértices de um cômodo na forma de paralelepípedo retangular de 3m de altura, com o piso de dimensões 2 e 6 metros, é igual a: a) 11 b) 7 c) 2 10 d) 5 2 Questão 175. (IBMEC-2006) Dois irmãos, curiosos para saber a que altura do chão conseguiam empinar sua pipa, resolveram mandála ao ar presa em duas linhas. Eles fizeram esta experiência num momento em que o sol projetava uma sombra perfeitamente vertical sobre eles. Cada um dos irmãos ficou segurando uma das linhas, ambas supostamente esticadas. Eles observaram que suas posições estavam alinhadas com a sombra da pipa, estando a sombra da pipa entre os dois. E mediram 24 metros de distância entre um dos irmãos e a sombra da pipa e 78 metros de distância entre os dois. a) Faça um esboço da situação descrita, destacando as posições dos irmãos, a pipa e sua sombra. b) Supondo que as duas linhas formavam um ângulo reto no nó preso à pipa, calcule a que altura estava a pipa. Questão 176. (UFG/GO-2006-Fase2) A figura abaixo representa um triângulo retângulo ABC e um quadrado cujo lado é igual à altura relativa à hipotenusa AB. itindo que AB mede 10 cm e que a área do quadrado é a metade da área do triângulo, ABC calcule: a) o perímetro do quadrado; b) a área do triângulo BDE.

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a) 1,69 b) 1,3 c) 0,6 d) ½ e) 6/13 Questão 177. (UFMG-2006) Nesta figura, estão representadas três circunferências, tangentes duas a duas, e uma reta tangente às três circunferências. Sabe-se que o raio de cada uma das duas circunferências maiores mede 1cm. Então, é CORRETO afirmar que a medida do raio da circunferência menor é:

Questão 180. (FAAP-SP) No retângulo ABCD de lados AB = 4 cm e BC = 3 cm, o segmento DM é perpendicular à diagonal AC. Calcule o comprimento do segmento AM.

Questão 181. (Unifei-MG) Calcule a distância entre os pontos A e E da figura abaixo, onde BD = 10 cm, AB = 2 cm e DE = 8 cm. A)

2 2 1 1 cm B) cm C) cm D) cm 3 4 2 4

Questão 178. (UFPB/PB-PSS2-2006) Em uma sala de cinema cuja tela é plana, o olho de um espectador vê a tela a uma distância de 10 m, segundo um ângulo de visão vertical , como mostra a figura abaixo. Questão 182. O quadrado ABCD da figura tem lado 2a. Sendo P eqüidistante de A, B e CD, a distância de P ao lado CD é:

Sabendo que os segmentos de reta CD e DB medem, respectivamente, 2 m e 1 m, e que AD e BC são perpendiculares, conclui-se que a medida do segmento AC vale:

Questão 179. (UFRGS-RS) O lampião representado na figura está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendose que essas cordas medem 1/2 e 6/5, a distância do lampião ao teto é:

a) 3a/2 b) 6a/5 c) 5a/4 d) 13a/10 e)(3a/4)a

Questão 183. (Fuvest-SP) Na figura abaixo, os quadrados ABCD e EFGH têm, ambos, lado a e centro O. Se EP = 1, então a é:

42

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Questão 187. (FVG-SP) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e AMCN é um losango. Determine a medida do segmento NB, sabendo que AB = 2AD = 20 cm

a)

2 2 1

d) 2

b) e)

2 3 1 2 2 1

c)

2 2

Questão 184. (UFPE-PE) Caminhando em uma região plana e partindo do ponto A, João caminha 7 m na direção nordeste, fazendo um ângulo de 33º com o leste, e em seguida, caminha 24 m na direção noroeste, fazendo um ângulo de 57º com o oeste, chegando ao ponto B. Qual a distância, em metros, entre A e B?

Questão 188. (Fuvest-SP) Os lados de um triângulo medem 5 , 10 e 5. a) Qual é a medida da altura relativa ao maior lado? b) Qual a área desse triângulo? Questão 189. As retas r e s são perpendiculares a t, como mostra a figura. Sabe-se que AB = 2a, BC = 3a e que AC é perpendicular a BD.

Questão 185. A hipotenusa do triângulo retângulo ABC está localizada sobre a reta real, conforme indica a figura. Calcule, em função de a, as medidas de AD e DC. Questão 190. (Cefet-MG) Na figura abaixo o raio mede 5 cm e a corda AB mede 6 cm. MO é a distância da corda AB ao centro da circunferência. Se x > 0 e a medida da altura BD relativa ao lado AC do triângulo ABC, é 2 6 , então x é o número real: a) 2 3 b) 4 c) 3 2 d) 5 e) 3 3

Questão 186. (UFPE-PE) Um triângulo com lados 2 · 1050, 10100 – 1 e 10100 + 1: a) é isósceles. b) é retângulo. 150 c) tem área 10 – 1. 150 d) tem perímetro 4 · 10 . e) é acutângulo.

O valor de MO, em cm, é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Questão 191. Na figura abaixo, temos duas circunferências concêntricas, com raios medindo 4 cm e 5 cm, respectivamente. Por um ponto P da circunferência menor, traça-se a reta tangente à mesma, a qual determina os pontos A e B na circunferência maior. O comprimento do segmento AB é: 43

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b) Determine o valor de m para  = 1 cm. Questão 196. (Fuvest-SP) Na figura abaixo, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O segmento RM é perpendicular a PQ e

RM  a) 3 2 cm d) 6,1 cm

b) 6 cm c) 3 3 cm e) 5,8 cm

4 3 . Calcule: 3

Questão 192. Num triângulo retângulo de catetos com medidas 3 cm e 4 cm, calcule a medida do raio da circunferência inscrita. Questão 193. Calcule x na figura:

a) o raio da circunferência; b) a medida do ângulo PÔQ, em que O é o centro da circunferência. Questão 197. Na figura abaixo, a circunferência maior de centro O tem raio 8 cm. Calcule o raio da circunferência menor.

Questão 194. A figura mostra um círculo de centro O inscrito em um trapézio isósceles. Sabendo que as bases desse quadrilátero medem 16 cm e 36 cm, calcule o raio do círculo.

Questão 198. Na figura, as três circunferências são tangentes duas a duas e também tangentes à reta r. Sendo 4a o raio das duas circunferências maiores, calcule o raio da circunferência menor. Questão 195. (UFF-RJ) Na figura abaixo, o retângulo PQRS, cujos lados medem  e m, está situado entre duas circunferências concêntricas de diâmetros iguais a 6 cm e 10 cm. Os pontos P e S pertencem à circunferência maior e o segmento QR é tangente à circunferência menor.

Questão 199. (UFMS-MS) Três círculos C1, C2 e C3, são tangentes a uma reta t, conforme ilustra a figura abaixo. O raio de C1 mede 40 cm, o de C2 mede 90 cm e o de C 3 mede r cm. Sabendo-se que os três círculos são tangentes entre si, determine 10r.

a) Escreva a expressão de m em função de  . 44

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Questão 200. (Fuvest-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a figura abaixo. Questão 203. (Vunesp/SP) As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética crescente de razão r. a) Mostre que as medidas dos lados do triângulo, em ordem crescente, são 3r, 4r e 5r. b) Se a área do triângulo for 48, calcule r.

Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros, é:

1 7 2 7 d) 1  3 a)

1 7 3 7 e) 1  4 b)

c)

1 7 4

Questão 201. (ENEM) Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a

Questão 204. (Mack/SP) Considere um poste perpendicular ao plano do chão. Uma aranha está no chão, a 2 m do poste, e começa a se aproximar dele no mesmo instante em que uma formiga começa a subir no poste. A velocidade da aranha é de 16 cm por segundo e a da formiga é de 10 cm por segundo. Após 5 segundos do início dos movimentos, a menor distância entre a aranha e a formiga é: a) 2,0 m b) 1,3 m c) 1,5 m d) 2,2 m e) 1,8 m Questão 205. (UFSCar/SP) A figura representa uma ponte, vista de lado, que será construída sobre pilares de sustentação. A ponte terá um número inteiro de es de apoio na forma de triângulos isósceles idênticos de altura h, o que definirá seu comprimento total d, conforme indicado.

a) 1,8 m. d) 2,1 m.

b) 1,9 m. e) 2,2 m.

c) 2,0 m.

Questão 202. (UFRJ/RJ) Na figura, o triângulo AEC é eqüilátero e ABCD é um quadrado de lado 2 cm. Calcule a distância BE.

O número de pilares de sustentação da ponte, em função de h e d, será igual a a)2 3 dh d)

d 1 2h

b)

d d 1 c) 2h 3h d 1 e) 2 3h 45

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apenas losangos congruentes entre si. Os ângulos internos desses losangos medem: o o a) 30 e 150 o o b) 36 e 72 o o c) 36 e 144 o o d) 45 e 135 o e) 60 e 120o

Questão 206. (Fuvest/SP)

Questão 212. (SpeedSoft) O perímetro de um losango é 80cm. Se uma de suas diagonais é o triplo da outra, qual a medida da diagonal maior?

Na figura acima, as 12 circunferências têm todas o mesmo raio r, cada uma é tangente a duas outras e ao quadrado. Sabendo-se que cada uma das retas e das diagonais do quadrado tangencia quatro das circunferências (ver figura), e

Questão 213. (OBM) O retângulo ao lado está dividido em 9 quadrados, A, B, C, D, E, F, G, H e I. O quadrado A tem lado 1 e o quadrado B tem lado 9. Qual é o lado do quadrado I?

que o quadrado tem lado 2 7 , determine r.

D

1.5 QUADRILÁTEROS (exercícios)

I

G C

Questão 207. (SpeedSoft) Obtenha o perímetro de um losango cujas diagonais meçam 2 cm e 4 cm. Questão 208. (Fuvest/SP) No retângulo a seguir, o valor, em graus, de  +  é:

F H

A B

E

Questão 214. (Fuvest/SP) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE mede 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se ainda que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a medida de AD.

a) 50

b) 90

c) 120

d) 130

e) 220

Questão 209. (Fuvest/SP) Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4. O perímetro desse trapézio é: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 Questão 210. (Unifesp/SP) Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão 1 : 3 . O ângulo menor desse paralelogramo mede a) 45° b) 50° c) 55° d) 60° e) 65° Questão 211. (UEL/PR) Embora o desenho abaixo pareça representar uma figura em três dimensões, ele foi feito no plano, usando-se

Questão 215. (Unicamp/SP) O quadrilátero formado unindo-se os pontos médios dos lados de um quadrado é também um quadrado. a) Faça uma figura e justifique a afirmação acima. 46

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b) Supondo que a área do quadrado menor seja 2 de 72 cm , calcule o comprimento do lado do quadrado maior.

Questão 220. (SpeedSoft) Na figura, ABC é um triângulo equilátero, ABDE é um quadrado e o ponto C pertence ao segmento EF. Qual o valor  do ângulo CFB?

Questão 216. (Unicamp/SP) Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudo  e um ângulo obtuso . Suponha que, em um tal trapézio, a medida de  seja igual a cinco vezes a medida de . a) Calcule a medida de , em graus. b) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes de  e  é reto.

Questão 217. (SpeedSoft) Qual é o menor número de quadriláteros que precisam ser desenhados para que se tenha 2 quadrados, 3 losangos, 2 retângulos, 4 paralelogramos e 4 trapézios ? Faça esses desenhos.

Questão 221. (SpeedSoft) Um trapézio ABCD foi montado a partir de 2 trapézios retângulos, ABQP e QCDP, como mostra a figura. Obtenha o comprimento do segmento AP, estando todas as medidas em cm.

Questão 218. (SpeedSoft) Num heptágono, seus ângulos internos medem x, 2x, 3x, 4x, ... e assim por diante até o último (e maior) ângulo. a) Quanto mede esse maior ângulo? b) Este heptágono é um polígono côncavo ou convexo? Justifique. Questão 219. (UFSCar/SP) A figura mostra um círculo de centro O e raio R = 18 cm. O segmento AB é o lado de um hexágono regular inscrito e ACE, um triângulo eqüilátero inscrito.

Nessas condições, a área do paralelogramo EFBG é

Questão 222. (UFC/CE) Um paralelogramo tem dois lados consecutivos medindo 3cm e 4cm. Sabendo-se que esses lados formam um ângulo o de 120 , então, o produto dos valores numéricos das medidas das diagonais do paralelogramo é igual a: a) 407

444 c) 481 d) 518 e) 581 b)

Questão 223. (VUNESP/SP) Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio.

2

a) 216 3 cm

b) 180 3 cm2 c) 116 3 cm

2

d) 120 3 cm2 2

e) 108 3 cm

47

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Se o ângulo XYZ é o dobro do ângulo XWZ, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é: a) 7,5. b) 5,7. c) 4,7. d) 4,3. e) 3,7.

Questão 228. Na figura abaixo, calcule o valor de x.

1.6 CIRCUNFERÊNCIAS (exercícios) Questão 224. (UFV-MG) Qual é o valor do ângulo α na figura?

Questão 229. Na figura abaixo, calcule a medida dos arcos AMB e CND.

a) 55° b) 65° c) 35° d) 110° e) 130° Questão 225. (UFES-ES) Na figura, a medida de α em graus é:

Questão 230. (Mackenzie-SP) O quadrilátero ABCD da figura é inscritível. O valor de x é:

a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 58

Questão 226. (FGV-SP) A medida do ângulo ADC inscrito na circunferência de centro O é: a) 36° b) 48° c) 50° d) 52° e) 54° Questão 231. (UFRR-RR) Na figura, a reta TA é tangente à circunferência de centro O no ponto A, e a medida do ângulo TAB é 40°. a) 125° b) 110° c) 120° d) 100° e) 135° Questão 227. (UFPE-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro em O, e AB é um diâmetro. Indique o valor do ângulo α, em graus.

Sabendo que o triângulo ABC é isósceles de base AB, a medida em graus do ângulo BAC é igual a: a) 30 b) 45 c) 55 d) 70 e) 85 48

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Questão 232. Na figura, α = 20° e PA têm a mesma medida do raio da circunferência de centro O. Calcule x.

Questão 233. Sendo O1 e O2 os centros das circunferências da figura, calcule x.

Questão 237. (UEMS-MS) As circunferências C1 e C2 estão contidas no plano  . Seus raios são 1 e 2, respectivamente, e a distância entre seus centros é 3. Quantas são as retas de  que tangenciam C1 e C2? a) Infinitas b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

Questão 238. A distância entre os centros de duas circunferências tangentes internamente é 5 cm. Se a soma dos raios é 11 cm, determine os raios. Questão 239. Duas circunferências tangentes externamente têm raios r = 2 cm e R = 3 cm. Calcule o menor raio de uma terceira circunferência, sabendo que as duas primeiras são tangentes internamente à terceira.

Questão 234. As circunferências da figura são tangentes externamente. Se a distância entre os centros é 28 cm e a diferença entre os raios é 8 cm, determine os raios.

Questão 235. Duas circunferências são tangentes internamente e a soma dos raios é 30 cm. Se a distância entre os centros é 6 cm, determine os raios.

Questão 240. Considere duas circunferências de raios r = 4 cm e R = 6 cm, com centros distantes 12 cm. Calcule o raio da menor circunferência tangente externamente às duas circunferências dadas. Questão 241. Considere duas circunferências de centros A e B e raios de 4 cm e 2 cm, respectivamente. Sendo AB = 10 cm, determine: a) Quantas retas tangentes às duas circunferências dadas existem? b) Qual a medida do raio da menor circunferência tangente comum às duas circunferências dadas? c) Quantas circunferências distintas de raio 8 cm são tangentes simultaneamente às duas circunferências dadas?

Questão 242. (Unifesp-SP) Um inseto vai se deslocar sobre uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um ponto A até um ponto B, diametralmente opostos, conforme a figura.

Questão 236. Considere duas circunferências de centros A e B com raios R e r (R > r), respectivamente. Sendo AB = R + r, quantas circunferências distintas, com raio R, são tangentes simultaneamente às duas circunferências dadas?

O menor trajeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento igual a: 49

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a)

 3 m b)  m c) m d) 2 m e) 3 m 2 2

Questão 243. (Ufla-MG) Os raios das rodas traseiras de um trator medem 75 cm e dão 30 voltas, ao mesmo tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O raio de cada uma das rodas dianteiras é: a) 20 cm b) 30 cm c) 25 cm d) 15 cm e) 22 cm

Questão 244. Quantas voltas dá uma das rodas de um carro num percurso de 60 km, sabendo que o diâmetro dessa roda é igual a 1,20 m? Questão 245. Um carpinteiro vai construir uma mesa redonda para acomodar seis pessoas sentadas ao seu redor. Determine o diâmetro dessa mesa para que cada pessoa possa dispor de um arco de 50 cm na mesa. Questão 246. (UEM-PR) Uma pista de atletismo tem a forma circular e seu diâmetro mede 80 m. Um atleta treinando nessa pista deseja correr 10 km diariamente. Determine o número mínimo de voltas completas que ele deve dar nessa pista, a cada dia. Questão 247. (UFRJ-RJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal.

Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m.

Questão 248. (UEPB-PB) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 502,4 km sobre uma pista circular de raio 200 m. O número de voltas que ele deve dar é: (Considere  = 3,14) a) 500 b) 350 c) 450 d) 400 e) 300

Questão 249. (Vunesp-SP) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é:

a)  – 1 d) 2 

b)  + 1 e) 2  + 1

c) 2  – 1

Questão 250. Os ponteiros de um relógio medem 1 cm e 1,5 cm, respectivamente. A circunferência descrita pelo ponteiro maior tem comprimento maior que a circunferência descrita pelo ponteiro menor. Determine essa diferença. Questão 251. (Mackenzie-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 4 cm. Supondo  = 3, a distância, em centímetros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 25 minutos é: a) 15 b) 12 c) 20 d) 25 e) 10 Questão 252. Uma corda determina em um círculo um arco que mede 80°. Sendo 20 cm o comprimento desse arco, determine a medida do raio desse círculo. Questão 253. (Uesb-BA) O setor de 60º, destacado na figura abaixo, corresponde à superfície de um canteiro circular plano, no qual pretende- se plantar duas roseiras por metro quadrado. Se esse canteiro tem 42 m de diâmetro, quantas roseiras deverão ser plantadas? (Use π = 22/7).

a) 22 b) 88 c) 231 d) 462 e) 924 50

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Questão 254. Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo central α, sabendo que os arcos AB e CD medem, respectivamente, 100 cm e 80 cm, e que CA = DB = 25 cm. Os arcos AB e CD são centralizados em O.

Sendo AB um diâmetro e V um ponto, da circunferência acima, distinto de A e B, o ângulo AVB inscrito tem, como medida, em trentos: a) 25 b) 50 c) 75 d) 100 e) 125

Questão 255. (Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo com o esquema abaixo. Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus centros é 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxima do comprimento da correia?

a) 122,8 cm d) 50 cm

b) 102,4 cm e) 32,4 cm

Questão 258. Na circunferência de centro O da figura, o menor arco com extremidades A e D mede 110°. Calcule x e y.

c) 92,8 cm

Questão 256. Na figura abaixo, os três círculos têm mesmo raio r igual a 10 cm. Determine o comprimento da correia que envolve os três círculos.

Questão 257. (UFPB-PB) Dividindo uma circunferência qualquer em exatamente trezentos arcos iguais, considere, como um trento, a medida do ângulo central correspondente a um desses arcos.

Questão 259. Que representa o ponto I para o triângulo ABC?

Questão 260. Na figura abaixo, AB = 18 cm é o diâmetro da circunferência de centro M.

a) Sendo C um ponto da circunferência distinto de A e B, mostre que o ângulo BCA é reto. 51

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b) N é um ponto médio do lado AC. Calcule a medida do segmento PM. Questão 261. ABCDE é um pentágono regular, determine x. o

a) 25

o

b) 35

c) 45

o

o

d) 55

o

e) 65

Questão 265. (SpeedSoft) Obtenha o comprimento da linha cheia ABC na figura abaixo. Cada vértice do triângulo eqüilátero maior está no centro de cada uma das 3 circunferências de raio 10cm. Desconsidere as imperfeições do desenho.

Questão 262. (SpeedSoft) Um desenhista fez uma letra “S” usando como base 2 círculos tangentes, um menor, de raio 8 cm e outro maior, de raio 12 cm, conforme figura abaixo. Qual é o comprimento dessa letra “S”?

Questão 266. (SpeedSoft) Obtenha o valor do raio r do círculo da figura abaixo, sabendo que ABCD é um trapézio retângulo e AD é diâmetro. Questão 263. (PCE do Chile) Na figura, T é o ponto de tangência da reta L com a circunferência o de centro O. O ângulo OAT = 25 . Calcular o ângulo OBT.

o

a) 25

b) 35

o

c) 45

o

o

d) 55

e) NRA

Questão 264 (PCE do Chile) PT é uma tangente. Então o ângulo x mede:

Questão 267. (ENEM) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente: a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas Questão 268. (UFSCar) Uma pizza circular será fatiada, a partir do seu centro, em setores circulares. Se o arco de cada setor medir 0,8 52

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radiano, obtém-se um número máximo N de fatias idênticas, sobrando, no final, uma fatia menor, que é indicada na figura por fatia N+1.

a) 10

Considerando p = 3,14, o arco da fatia N+1, em radiano, é a) 0,74. b) 0,72. c) 0,68. d) 0,56. e) 0,34.

b) 15

c) 20

d) 30

e) 40

Questão 272. (UnB) Três quadrados de lados 5cm, 4cm e 3cm são colocados num retângulo ABCD, como indicado na figura abaixo. Calcule a 2 área da região hachurada, em cm .

Questão 269. (Mack/SP) Na figura, se MB = 18cm e A, B e C são pontos de tangência, o perímetro do triângulo assinalado é igual a:

a) 30cm d) 36cm

b) 32cm e) 38cm

c) 34cm

Questão 273. (FGV) A área da figura hachurada, no diagrama abaixo, vale: a) 4,0 b) 3,5 c) 3,0 d) 4,5 e) 5,0

7.7 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS (exercícios) Questão 270. (UNESP) Considere um quadrado ABCD cuja medida dos lados é 1dm. Seja P um ponto interior ao quadrado e eqüidistante dos vértices B e C e seja Q o ponto médio do lado DA.

Questão 274. (FUVEST) A área de um triângulo de lados a, b e c é dada pela fórmula: onde p é S  p(p  a)(p  b)(p  c) semiperímetro (2p = a + b + c). Qual a área de um triângulo de lados 5, 6 e 7?

o

Questão 275. (MACK) Dois lados de um triângulo Se a área ABPQ é o dobro da área B, a distância do ponto P ao lado BC é: 2 2 3 1 3 a) dm b) dm c) dm d) dm e) dm 3 5 5 2 5

medem 2m e 3m , sendo de 60 o ângulo entre eles. A área desse triângulo, em m2, vale: a) 1

b) 3/2

c) 3

d)

3

e) 9

Questão 276. (UnB) Julgue: A área do trapézio da Questão 271. (FUVEST) No quadrilátero ABCD abaixo, ABˆC = 150, AD = AB = 4cm, BC = 10cm, MN = 2cm, sendo M e N, respectivamente, os 2 pontos médios de CD e BC . A medida, em cm , da área do triângulo BCD é:

figura é igual a 18 2 .

53

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Questão 277. (UnB) Julgue: Na figura abaixo, P e Q são os pontos médios de dois lados do retângulo ABCD. A área da região hachurada 3 BDPQ corresponde a da área do retângulo. 8

Questão 278. (PUC/SP) Seja o octógono EFGHIJKL, inscrito num quadrado de 12cm de lado, conforme mostra a figura abaixo.

a)

S 12

b)

S 8

c)

S 6

d)

S 5

e)

S 4

Questão 281. (MACK) A área do triângulo OPQ assinalado na figura é:

a)

15 4

b)

15 8

c) 2

d) 3

e) 4

Questão 282. (UFRGS) Os triângulos eqüiláteros concêntricos da figura têm, cada um, área a. A área do polígono regular hachurado é: 3a 2a 3a 5a a) b) c) a d) e) 4 3 2 3

Se cada lado do quadrado está dividido pelos pontos assinalados em segmentos congruentes entre si, então a área do octógono, em centímetros quadrados, é: a) 98 b) 102 c) 108 d) 112 e) 120 Questão 279. (UnB) Julgue: Se por um ponto arbitrário de uma das diagonais de um paralelogramo forem traçadas duas retas paralelas aos lados, decompondo-o assim em 4 paralelogramos menores, então dois destes paralelogramos terão áreas iguais.

Questão 283. (VUNESP) O mosaico da figura foi desenhado em papel quadriculado 1 x 1. A razão entre a área da parte escura e a área da parte clara, na região compreendida pelo quadrado ABCD é igual a: 1 1 2 5 5 a) b) c) d) e) 2 3 5 7 8

Questão 280. No triângulo ABC da figura seguinte, a medida do Iado AB é o dobro da medida do lado AC , AM é a mediana relativa ao lado BC e AN é a bissetriz do ângulo BÂC. Se a área do triângulo ABC é igual à S, então a área do triângulo AMN é igual a:

Questão 284. (UnB) Julgue: OABC é um trapézio retângulo onde OC = 2cm e AB = 10cm. 54

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Sabendo-se que AC é perpendicular a BC, podemos afirmar que a área do trapézio OABC é 2 24cm .

Questão 285. (UNICAMP) Considere dois quadrados congruentes de lado 4cm. O vértice de um dos quadrados está no centro do outro quadrado, de modo que esse quadrado possa girar em torno de seu centro. Determine a variação da área obtida pela intersecção das áreas dos quadrados durante a rotação.

Questão 286. (FUVEST) Na figura, ABCD é um quadrado de 6cm de lado, M é o ponto médio do lado DC e A é o ponto médio de PC. Calcule a área do triângulo MDN.

tangentes de mesmo raio. Calcular o raio dessas circunferências em função de n.

Questão 289. (ITA) Os catetos de um triângulo retângulo medem 3 e 6. Qual é a área do círculo com centro na hipotenusa e que tangencia os catetos desse triângulo retângulo? Questão 290. Calcular a área hachurada na figura abaixo, sabendo que ABCD é um quadrado e DEF é um triângulo equilátero, ambos de lados de medida a

Questão 291. Calcular a área do triângulo equilátero ABC da figura a seguir:

Questão 287. (UnB) Na figura abaixo, tem-se: O raio do círculo é r = 4 3 , o segmento PR é diâmetro do círculo; os triângulos PQR e QST são congruentes; o ângulo  mede 60. Sendo A a área da parte hachurada na figura, determine o número S = 8 . A.

Questão 292. (UnB) Na figura a seguir, os triângulos retângulos ABC e BDE são congruentes e C é o ponto médio do segmento BD . Calcule, em centímetros quadrados, a área do triângulo BCF, itindo que a medida de AB seja 40cm.

Questão 288. No triângulo retângulo abaixo, cujos catetos valem 3 e 4, existem n circunferências 55

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Questão 293. (UnB) Considere um triângulo equilátero e um hexágono regular de perímetros iguais. Determine a área do hexágono, em centímetros quadrados, sabendo que o triângulo 2 tem área de 48cm . Desconsidere a parte fracionáría de seu resultado, caso exista. Questão 294. A área de um triângulo é dada pela (a 2  b 2 ) , onde a e b são dois de 4 seus lados. Determine o maior ângulo desse triângulo.

fórmula A 

Questão 295. (UNESP) A figura foi obtida mediante rotações de 60, 120, 180, 240 e 300 aplicadas a um quadrado cujos lados medem 1dm, em torno de um mesmo vértice desse quadrado e num mesmo sentido. A área da região escura é:

a) 1 – 2tg (15) b) tg (30)

Com base no texto e nas figuras, julgue os itens que se seguem. (1) Os paralelogramos representados na figura I são semelhantes. (2) Na figura I, os paralelogramos traçados têm áreas iguais. (3) Na figura II, cada par de triângulos com um lado comum sobre a diagonal tracejada do paralelogramo maior representa um par de triângulos congruentes. (4) Os paralelogramos hachurados na figura II têm áreas iguais. Questão 297. (UnB) Um trapézio é desenhado sobre uma folha de cartolina, como ilustra a figura abaixo, em que O é o ponto médio do lado NP. Recorta-se, então, o triângulo OMN, girando-o, no plano, 180 em torno do ponto O; assim, o vértice N coincidirá com o vértice P. Desse modo, obtém-se uma nova figura geométrica.

c) 1 – 4tg (15) d) 1 – tg (30) e) 1 – tg (15) Questão 296. (UnB) Um dos conceitos fundamentais em geometria plana é o de semelhança entre polígonos. Diz-se que dois polígonos são semelhantes quando existe uma correspondência biunívoca entre seus vértices, de modo que ângulos correspondentes sejam iguais e lados correspondentes sejam proporcionais. Quando os lados correspondentes têm medidas iguais, os polígonos são chamados congruentes. Nas figuras abaixo, estão representados vários paralelogramos, sendo as retas r e s paralelas.

Considerando MO = 10 cm, LM = 8 cm e o ˆ O = 90, julgue os seguintes itens. ângulo LM (1) A nova figura geométrica é um quadrilátero. 2 (2) A área da nova figura é igual a 80 cm . (3) A soma dos comprimentos LP e MN é maior que 21 cm. (4) Considerando o ponto Q obtido pela interseção do segmento LP com a reta paralela a LM ando por O, para se completar o retângulo de lados LM e MO é necessário recortar um triângulo de cartolina cuja área seja igual à soma das áreas dos triângulos OMN e OPQ.

Questão 298. Um latifúndio foi desapropriado para fins de reforma agrária. A vasta extensão de terras foi destinada a uma cooperativa organizada pelo Movimento dos trabalhadores Sem Terra (MST). O latifúndio tem a forma do trapézio retângulo 56

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representado pela figura, com suas dimensões dadas em quilômetros. Para melhor organizar a distribuição e a futura utilização das terras, os integrantes do MST dividiram o latifúndio da forma seguinte:

Questão 299. (UnB) Por que as abelhas constroem seus favos de modo que os alvéolos da colméia apresentem forma hexagonal? Por que as abelhas não constroem alvéolos quadrados, já que um quadrado é mais simples do que um hexágono regular. A resposta a essas perguntas leva à comparação de áreas de hexágonos e de quadrados com perímetros iguais, escolhendo-se os de maior área. Essa escolha permite que a colmeia seja construída com a maior economia de cera possível. A tabela abaixo mostra, parcialmente, dados referentes à comparação de áreas desses polígonos. Hexágono regular

De acordo com a figura, as linhas contínuas de traço duplo são estradas e as linhas tracejadas são cercas. Todas as linhas divisórias foram traçadas paralelas a um dos lados do trapézio, determinando em cada lado partes congruentes, exceto em um deles, onde foram determinadas cinco partes, sendo uma maior do que as outras quatro, estas congruentes entre si. Os terrenos retangulares serão destinados a implantação de usinas de beneficiamento e aos alojamentos dos trabalhadores, enquanto que os lotes triangulares serão destinados à produção. A cooperativa pretende usar as estradas abertas ao longo da propriedade para o escoamento da produção até as usinas, de modo que cada usina atenda à produção dos lotes com ela alinhados no sentido das estradas, e somente esta. Em relação a situação apresentada, analise e julgue as afirmativas seguintes: (1) A área destinada às usinas de beneficiamento e aos alojamentos está dividida em lotes 2 congruentes de 1200 km cada um. (2) Foram determinados 16 lotes triangulares, todos congruentes, cuja forma é semelhante à figura formada pelo conjunto dos lotes destinados à produção. (3) A dimensão do latifúndio não mencionada na figura, tem uma extensão total de 181 km. (4) Considerando as usinas em seqüência de acordo com sua posição, a área de produção correspondente a cada usina varia segundo uma progressão aritmética. (5) Considere apenas os lotes destinados à produção correspondentes à usina que atende à maior área de cultivo. Considere que em cada um desses lotes se possa cultivar apenas um dentre três cereais distintos por safra. Sabe-se que quatro dos lotes deverão ser preservados em cada safra, para que a terra se recupere. Existirão, então, exatamente 210 disposições distintas possíveis para tal cultura dentro da área mencionada.

Quadrado

Perímetro

Lado

Área

Lado

Área

6

1

3 3 /2

3/2

9/4

12

2

3

9

18

3

6 3

y z X A partir dessas informações e considerando apenas hexágonos regulares, julgue os seguintes itens. z (1)  3 xy (2) Considerando a vista frontal, para cobrir a mesma área ocupada por uma colméia com 600 alvéolos hexagonais idênticos seriam necessários mais de 800 quadrados de perímetros iguais ao do hexágono. (3) Se os lados dos alvéolos de duas colméias estão na razão 1:2 e, além disso, elas têm o mesmo número de alvéolos, então em relação às vistas frontais, as áreas que elas ocupam também estão na razão 1:2. (4) Um dos motivos que levam as abelhas a construírem alvéolos hexagonais, em vez de quadrangulares, pode ser o fato de que um hexágono tem sempre área maior do que um quadrado de igual perímetro.

Questão 300. Uma apresentação de ginástica olímpica acontecerá num campo de futebol. Para setorizar os grupos de ginastas nas suas devidas posições, utilizou-se fios de nylon, que só eram percebidos pelos participantes da apresentação. A divisão foi feita da seguinte forma. (I) Fincou-se duas estacas na linha central do campo ( linha central divide o campo em duas partes iguais, no sentido do comprimento ). (II) Fixou-se oito fios de nylon, cada um com uma extremidade fixa numa bandeirinha de escanteio e a outra fixa numa das estacas centrais.

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Assim, ficaram determinadas, apenas pelos fios, quatro regiões triangulares, as quais deverão comportar todos os atletas. De acordo com estas informações, julgue os itens que se seguem. (1) As áreas das quatro regiões triangulares são iguais, para uma dada posição das estacas. (2) Se as estacas forem dispostas de modo a dividir a linha central em três partes iguais, então a área do quadrilátero central formado, apenas por fios, é 18 vezes menor que a área do campo de futebol. Questão 301. Grandes incêndios florestais dizimam enormes áreas verdes nos períodos de seca no Brasil. A falta de chuva, a baixa umidade e principalmente galhos e folhas secas dão às chamas uma velocidade devastadora. Uma grande propriedade rural tem a forma de um triângulo escaleno e é cortada por duas auto-estradas, de modo que cada uma delas a por um dos vértices da propriedade e divide o lado oposto nas seguintes proporções: de 1 para 1 e de 1 para 3 a partir do vértice que não é atravessado por nenhuma auto-estrada. Sabe-se que um incêndio só é debelado quando encontra uma auto-estrada pela frente, pois o asfalto impede a sua propagação. Considerando que as auto-estradas sejam retilíneas, mesmo fora das terras em questão, e que um grandioso incêndio foi deflagrado e adentra à propriedade pelo vértice que não possui nenhuma auto-estrada, calcule, em porcentagem, a área da propriedade que será completamente consumida pelas chamas. Despreze a parte fracionária do resultado, caso exista.

área que ficará interna ao sistema de irrigação é 2 dada, em m , por: 2 A (c) = 15c – 2c , onde c é o comprimento, em metros, de cada um dos dois tubos paralelos do sistema. Analise e julgue os itens seguintes, relativos à situação descrita: (1) Se forem usados três comprimentos iguais para os tubos que compõem o sistema, a área 2 irrigada será correspondente a 65 m . (2) Para qualquer valor do comprimento c, a 2 área irrigada será maior do que 225 m . (3) A maior área que o sistema poderá irrigar vale 3,75 m2. (4) Se os três tubos do sistema tiverem comprimentos iguais, a área irrigada será máxima. (5) Se o jardim tiver uma forma retangular com lados proporcionais a 3 e 5, para que a região irrigada seja um retângulo semelhante ao jardim, o comprimento c dos tubos paralelos será próximo de 4,09 m ou de 5,77 m. Questão 302. Considere o quadrado ABCD cujo lado mede 2cm. Sabendo que E e F são pontos médios de AB e BC respectivamente, calcular, em cm, a área hachurada na figura abaixo. Multiplique o resultado por 15.

Questão 302. Um ser humano ao construir sua moradia reservou uma extensa área verde de seu terreno para ali construir um jardim. Nesse jardim, aquele ser humano deverá instalar um sistema de irrigação no qual serão utilizados tubos de pvc. Para que o sistema apresente um melhor rendimento os tubos serão dispostos em forma de U, conforme a figura, possibilitando a irrigação de toda a região interna ao sistema e somente esta.

Sabe-se que a extensão total dos tubos que formam o sistema deve ser de 15 m. Portanto, a 58

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GABARITO 7-1. (Ângulos) Gabarito: Questão 01. Resposta: B Questão 02. Respostas: a) 15º b) x = 10º e y = 50º Questão 03. Questão 04. Resposta: 60º Questão 05. Questão 06. Questão 07. Questão 08. Questão 09. Questão 10. Resposta: 123º Questão 11. Resposta: 30º Questão 12. Resposta: 111º Questão 13. Resposta: 50º Questão 14. Resposta: 50º Questão 15. Resposta: 20º, 60º, 100º Questão 16. Resposta: C Questão 17. Resposta: 95º Questão 18. Resposta: C Questão 19. Resposta: 60º Questão 20. Resposta: D Questão 21. Resposta: 90º Questão 22. Resposta: 30º Questão 23. Resposta: C Questão 24. a) 6,35 x 25 = 158,75 km b) 17,5 x 6.350 x 360 = 40 005 000 m c) 15°40’ - 12°54’ = 2° 46’ Localização correta (SUL) Questão 25. Resposta: B Questão 26. Resposta: 20º Questão 27. Resposta: A Questão 28. Resposta: B

GABARITO 7-2. (Polígonos) Questão 29. Resposta: icoságono Questão 30. Resposta: octógono e undecágono Questão 31. Resposta: eneágono e dodecágono Questão 32. Resposta: B Questão 33. Resposta: 1620º Questão 34. Resposta: octógono Questão 35. Resposta: 180º Questão 36. Resposta: 220º Questão 37. Resp.: pentágono, heptágono e eneágono Questão 38. Resp.: quadrilátero, pentágono e hexágono Questão 39. Resposta: 540º Questão 40. Resposta: 5 Questão 41. Resposta: D Questão 42. Resposta: E Questão 43. Resposta: triângulo eqüilátero (regular) e ele não possui diagonais

Questão 44. Resposta: C Questão 45. Resposta: D Questão 46. Resposta: 12 Questão 47. Resposta: 35 Questão 48. Resposta: 156º Questão 49. Resposta: C Questão 50. Respostas: a) a4 = 3cm

b) R =

3 2 cm Questão 51. Alternativa: B Questão 52. Resposta: 3 2 Questão 53. Alternativa: D Questão 54. Alternativa: D Questão 55. Alternativa: E Questão 56. Alternativa: C Questão 57. Resposta: n = 13 Questão 58. Resposta: a)

2 2 L 2

b) 8(

2 -1).L

Questão 59. Alternativa: A Questão 60. Alternativa: E Questão 61. Alternativa: D Questão 62. Alternativa: E Questão 63. Alternativa: A Questão 64. Alternativa: D Questão 65. Respostas: a) 3 Questão 66. Alternativa: B Questão 67. Alternativa: A Questão 68. Questão 69. Questão 70. Questão 71. Questão 72. Questão 73. Questão 74. Questão 75. Questão 76. Questão 77.

2

b) 27 3 r

GABARITO 7-3. (Triângulos) Questão 78. Resposta: A Questão 79. Resposta: B Questão 80. Resposta: C Questão 81. Resposta: B Questão 82. Resposta: B Questão 83. Resposta: x = 2m Questão 84. Resposta: B Questão 85. Resposta: D Questão 86. Resposta: B Questão 87. Resposta: D Questão 88. Resposta: D Questão 89. Resposta: V V V F Questão 90. Resposta: 192 Questão 91. Resposta: 17 Questão 92. Resposta: V V V V F F F Questão 93. Resposta: 80º, 60º, 40º Questão 94. Resposta: 65º, 60º, 55º 59

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Questão 95. Resposta: Questão 96. Resposta: 3 cm e 6 cm Questão 97. Resposta: 80º Questão 98. Questão 99. Resposta: 65º Questão 100. Resposta: 40º Questão 101. Resposta: a) 180º b) 360º Questão 102. Resposta: D Questão 103. Resposta: B Questão 104. Resposta: C Questão 105. Resposta: 21º Questão 106. Resposta: 100º Questão 107. Resposta: a) 36º e 108º b) Questão 108. Resposta: E Questão 109. Resposta: C Questão 110. Resposta: 4 Questão 111. Resposta: 3 Questão 112. Resposta: 12 e 24 Questão 113. Resposta: D Questão 114. Resposta: B Questão 115. Resposta: A Questão 116. Respostas: a) 4 cm (P é baricentro) b) 7 cm (triângulo BMA é isósceles) c) 70º (triângulo BMA é isósceles) Questão 117. Respostas: a) AP = 22cm b) NA = 27cm Questão 118. Resposta: Ângulo HAS = 9o Questão 119. Respostas: a) AN mede 1,5 cm. b) MC mede 6 cm c) AP mede 2 cm (note que B é baricentro do triângulo AMC) o Questão 120. Resposta:  = 30 Questão 121. Alternativa: C Questão 122. Respostas: a) ângulo MPQ = 120° b) ângulo BMQ = 90° Questão 123. Alternativa: D o Questão 124. Resposta: x = 149 Questão 125. Resposta: o menor valor inteiro é x = 16. o Questão 126. Resposta:  = 105 Questão 127. Resposta: a) Existem apenas 4 triângulos não congruentes cujos lados são números inteiros (positivos) e cujos perímetros medem 11 metros. São eles: (5, 5, 1), (5, 4, 2), (5, 3, 3) e (4, 4, 3). b) Nenhum eqüilátero e três isósceles.

Questão 129. Resposta: B Questão 130. Resposta: C Questão 131. Resposta: 168 metros Questão 132. Resposta: 15 cm, 18 cm, 27 cm Questão 133. Resposta: E

TTeeoorreem maa ddee TTaalleess

GABARITO 7-4. (R.M. Triâng. Retângulo)

Questão 128. Resposta: D

Questão 134. Questão 135. Questão 136. Questão 137. Questão 138. Questão 139. Questão 140. Questão 141. Questão 142. Questão 143. Questão 144. Questão 145.

Resposta: B Resposta: C Resp.: 24 cm, 36 cm, 40 cm Resposta: 12 cm Resposta: x = 5 cm e y = 4 cm Resposta: 20 cm ou 15 cm Resposta: B Resposta: 5 Resposta: 10/3 Resposta: D Resposta: 4/5 Resposta: 20/7 cm

SSeem meellhhaannççaa ddee TTrriiâânngguullooss Questão 146. Questão 147. Questão 148. Questão 149. Questão 150. Questão 151.

Resposta: C Resposta: B Resposta: E Resposta: 52 cm Resposta: D

Questão 152. Resposta: h = Questão 153. Questão 154. Questão 155. Questão 156. Questão 157. Questão 158.

3 25  x 2 5

Resposta: 4cm Resposta: C Resposta: Resposta: B Resposta: A Resposta: 24,2

Questão 159. Resposta:

516  x  cm 4

Questão 160. Resposta: D Questão 161. Resposta: B Questão 162. Resposta:

b2 ab

Questão 163. Questão 164. Questão 165. Questão 166. Questão 167. Questão 168.

Resposta: D Resposta: C Resposta: A Resposta: B Resposta: B Respostas: a) 2,67m 2 b) 11,75m Questão 169. Respostas: a) 1,2m = 12dm 3 b) 0,85.12 = 1468,8 L Questão 170. Alternativa: D

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Questão 171. Questão 172. Questão 173. Questão 174. Questão 175.

2

2

(x - r) à 4xr = x à x = 4r ou x=0 (não convém). Para x = 4r, a PA fica (3r, 4r, 5r). cqd. b) r = 8 Questão 204. Alternativa: B Questão 205. Alternativa: E

Resposta: 29 m Resposta: 04 Resposta: C Resposta: B Respostas:

Questão 206. Resposta:

14  7

GABARITO 7-5. (Quadriláteros) a) b) 36m Questão 176. Questão 177. Resposta: B Questão 178. Questão 179. Resposta: E Questão 180. Resposta: 9/5 cm Questão 181. Questão 182. Questão 183. Questão 184. Questão 185. Questão 186.

5 41 m 2

Questão 188. Resposta: a) 1

DC 

6 2 cm Questão 213. Resposta: O quadrado A medida de lado 1cm enquanto que o quadrado B tem medida de lado 9cm. Daí que as longitudes dos lados dos quadrados restantes são: C = 10cm G = 4cm. F = 7cm E = 8cm. D = 14cm. I = 18cm.

Resposta: 2 34 cm Resposta: C Resposta: E Resposta: 25 m Resposta: B Resposta: B

Questão 187. Resposta:

Questão

Questão 207. Resposta: Perímetro = 4 5 cm Questão 208. Alternativa: D Questão 209. Alternativa: D Questão 210. Alternativa: A Questão 211. Alternativa: E Questão 212. Resposta: Diagonal maior =

189.

b) 8,5

Resposta:

AD 

4a 3

e

a 61 3

Questão 190. Resposta: C Questão 191. Resposta: B Questão 192. Resposta: 1 cm

Questão 214. Resposta: 7 Questão 215. Respostas: a) Para provar que MNPQ é um quadrado, vamos mostrar que os seus quatro lados têm o mesmo comprimento e os seus ângulos internos são retos.

Questão 193. Resposta: 3 7 Questão 194. Questão 195. Respostas: a) m  2 16  6   b) 6 Questão 196. Respostas: a) Questão 197. Questão 198. Questão 199. Questão 200. Questão 201.

2

8 3 3

b) 120º Resposta: 8/3 cm Resposta: a Resposta: 144 cm Resposta: E Alternativa: D

Questão 202. Resposta: EC = 6  2 Questão 203. Respostas: a) Sejam os lados a PA (x - r, x e x + r). Então, (x + r)2 = x2 +

Os triângulos 1, 2, 3 e 4 são retângulos, isósceles e congruentes [dois lados, que são os catetos, e os ângulos compreendidos entre eles, que são retos, iguais]. Logo, as hipotenusas, que são os lados de MNPQ, são iguais. Os ângulos , ,  ... medem, o cada um deles 45 . Ou seja,  + o  = 90 de modo que o ângulo N = 90o. Analogamente, os outros 61

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3 ângulos do quadrilátero o também medem 90 . b) L = 12cm. Questão 216. Respostas: o a)  = 30 b) Ao se traçar as duas bissetrizes mencionadas, temos um triângulo formado por /2, /2 e o ângulo x entre as o bissetrizes. Como +  = 180 (já que os outros 2 ângulos do trapézio são retos) então /2 + o o /2 = 90 e x = 180 - (/2 + /2) = o 90 Questão 217. Resposta:4 quadriláteros:

Questão 218. Respostas: a) 225o b) é côncavo, pois tem pelo menos um ângulo maior que o 180 . Questão 219. Alternativa: A o Questão 220. Resposta:  = 105 Questão 221. Resposta: AP = 9cm Questão 222. Alternativa: C Questão 223. Alternativa: E

GABARITO 7-6. (Circunferências) Questão 224. Questão 225. Questão 226. Questão 227. Questão 228. Questão 229. Questão 230. Questão 231. Questão 232. Questão 233. Questão 234. Questão 235. Questão 236. Questão 237. Questão 238. Questão 239. Questão 240. Questão 241.

Resposta: A Resposta: E Resposta: A Resposta: 37º Resposta: 45º Resposta: 80º e 20º Resposta: D Resposta: D Resposta: 30º Resposta: 19º Resposta: 18 cm e 10 cm Resposta: 18 cm e 12 cm Resposta: 3 Resposta: B Resposta: 8 cm e 3 cm Resposta: 5 cm Resposta: 1 cm Resposta: a) 4 b) 2 cm c) 3 Questão 242. Resposta: A Questão 243. Resposta: C Questão 244. Resposta:  15.924

Questão 245. Resposta: Questão 246. Questão 247. Questão 248. Questão 249. Questão 250. Questão 251. Questão 252. Questão 253. Questão 254. Questão 255. Questão 256. Questão 257. Questão 258. Questão 259. Questão 260. Questão 261. Questão 262. Questão 263. Questão 264. Questão 265. Questão 266. Questão 267. Questão 268. Questão 269.

300 cm 

Resposta: 4 Resposta: 32 Resposta: D Resposta: E Resposta:  cm Resposta: E Resposta:  14,3 cm Resposta: D Resposta: 4/5 ou 0,8 rad Resposta: A Resposta: 20(3 +  ) cm Resposta: C Resposta: 35º e 20º Resposta: Incentro Respostas: a) b) 3 cm Resposta: 72º Resposta: S = 30 cm Resposta: E (OBT = 40o) Alternativa: D Resposta: C = 10 Resposta: 6 Alternativa: C Alternativa: C Alternativa: D

GABARITO 7-7. (Áreas) Questão 270. Questão 271. Questão 272. Questão 273.

B C 20 D

Questão 274. 6 6 Questão 275. b Questão 276. F Questão 277. V Questão 278. d Questão 279. V Questão 280. c Questão 281. b Questão 282. b Questão 283. a Questão 284. V Questão 285. zero 2 Questão 286. 6cm Questão 287. 5 2 Questão 288. n 1 Questão 289. 4 u.a. a 2 (2 3  1) 44 129 3 Questão 291. u.a. 4

Questão 290.

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Questão 292. 80 Questão 293. 72 Questão 294. 90 Questão 295. (1) F (2) V (3) V (4) V Questão 296. (1) F (2) V (3) V (4) V Questão 297. (1) V (2) V (3) F (4) V (5) F Questão 298. (1) F (2) F (3) F (4) V Questão 299. (1) V (2) F Questão 300. 17 Questão 301. (1) F (2) F (3) F (4) F (5) V Questão 302. 16

30. a

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