Uai - Ciclo De Licenciatura En Producción De Bioimágenes - 04 2g2sg

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MATEMÁTICA

Funciones Polinómicas

Ciclo de Licenciatura en Producción de Bioimágenes Recopilación de ejercicios con explicaciones teóricas y comentarios a cargo del Esp. Marcelo Monferrato

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MATEMÁTICA 04 •Generalidades de la función polinómica. •La función cuadrática. •Elementos de la función cuadrática. Raíces, eje, vértice y ordenada al origen. •Conjunto de positividad y negatividad. •Gráfico de una función cuadrática •Problemas con funciones cuadráticas. •Sistemas que involucran rectas y parábolas.

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Función polinómica Una función polinómica de grado n responde a la expresión:

f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+ … + a0x0 en donde an no puede ser cero.

Las funciones polinómicas son todas de dominio real y continuas. Tienen, a lo sumo, tantas raíces distintas como su grado. Estas raíces pueden o no ser números reales. Por ejemplo, una función polinómica de grado 3, tiene a lo sumo 3 raíces.

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La Función Cuadrática A la función polinómica de grado dos se la denomina también función cuadrática. Su expresión general es: f(x) = ax2 + bx + c, con “a” distinto de cero. “a” es el coeficiente principal, de segundo grado o cuadrático. “b” es el coeficiente lineal. “c” es el término independiente La función cuadrática tiene, a lo sumo, dos raíces distintas, pudiendo tener una raíz doble o ninguna raíz real (son raíces complejas). El gráfico de una función cuadrática es una parábola. El coeficiente principal determina la orientación de la concavidad de dicha parábola. El eje de simetría de la parábola se encuentra realizando el cociente –b/2ª. Las raíces se encuentran con la fórmula que hemos utilizado en la unidad 01. El vértice es el máximo o el mínimo de la función, dependiendo del signo de a. Si a es negativo, la función tiene un máximo, de lo contrario tiene un mínimo. 4

Conjunto de positividad y negatividad. Al igual que en cualquier función polinómica, los conjuntos de positividad y negatividad se dan entre raíces, salvo que la función haya sido interrumpida (como pasa por ejemplo en las funciones definidas por tramos). En el caso particular de una función cuadrática, si su coeficiente principal tiene signo positivo y la función tiene dos raíces reales, entonces el conjunto de negatividad se da entre las raíces, y el de positividad se da antes o después de las mismas. El conjunto de ceros son las propias raíces. Si el signo del coeficiente principal es negativo y la función tiene dos raíces reales, se da lo contrario: el conjunto de positividad queda entre las raíces y el de negatividad antes o después de ellas.

Si la función tiene una sola raíz real, es toda positiva o toda negativa, a excepción de la propia raíz. Si no tiene raíces reales, es toda positiva o toda negativa.

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Problemas con funciones cuadráticas En los problemas asociados a funciones de segundo grado, lo primero y más importante es tener en cuenta cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente. Luego, habrá que prestar mucha atención a las preguntas. Cuando se pregunta sobre el momento en el que se produce el máximo, o el mínimo, lo que están preguntando es qué número del eje de abscisas es el eje. En cambio si preguntan a cuánto asciende ese máximo, es la ordenada. El momento o la distancia en la que se anula la función, son las raíces, y habrá que tener cuidado con respecto a si se debe tener en cuenta una raíz negativa, ya que a veces no tiene sentido. Por último, cuando preguntan sobre valores iniciales, están haciendo referencia a la ordenada al origen. Veamos algunos ejemplos:

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Sistemas que involucran rectas y parábolas Cuando en un sistema de ecuaciones se incluyen una función de primer grado y una de segundo grado (como ha pasado en ejercicios de la unidad 1), lo que representa gráficamente esta situación es, si la hay, la intersección de una recta y una parábola. De acuerdo a la solución del sistema, la recta y la parábola se estarán cruzando en dos, uno, o ningún punto. A continuación veremos unos ejemplos.

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IMPORTANTE: Dar siempre ambas coordenadas del o de los puntos de intersección.

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Reconocimientos y Derechos de Autor •Extractos de Solucionarios de Ejercicios de Bachillerato. © Editorial Anaya. •Gráficos generados con la aplicación web de Geogebra http://web.geogebra.org/app/ •Imágenes de uso libre descargadas de http://pixabay.com/ •Edición online de imágenes utilizando soft de https://pixlr.com/

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