Estructuras Isostaticas I.pdf 4245p

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

CAPITULO 1 FUNDAMENTOS DE LA ESTATICA Y ENFOQUE VECTORIAL 1.1 OBJETIVO GENERAL. El objetivo fundamental de este capitulo es que el estudiante conozca los fundamentos de la estática con un enfoque vectorial, y este desarrolle destrezas para el cálculo del equilibrio estático. 1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS. Al finalizar este capitulo el estudiante podrá: Describir una fuerza en términos de su modulo, dirección, y sentido. Comprender y calcular el concepto de momento con relación a un punto y un eje, además el efecto que este implica. Adquirir destrezas para hallar la resultante de un conjunto de fuerzas y momentos en el espacio y de momentos. 1.3 FUERZA. La fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro, que produce en este último una modificación en su estado de reposo o de movimiento. La unidad dimensional en el análisis de las estructuras es libra, kilogramo, tonelada. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 1 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Un vector fuerza es un segmento orientado en el espacio, se puede caracterizar por tener: Origen a considerar cuando interese conocer el punto de aplicación del vector. Dirección o línea de acción coincidente con la de la recta que la contiene o cualquier otra recta paralela. Sentido viene determinado por la punta de flecha localizada en el extremo del vector. Módulo es la distancia entre el origen y el extremo del vector. Introduciendo los vectores unitarios i, j, k orientados en las direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente, (figura 1.1), podemos expresar F en la forma: r r r F = FX iˆ + FY ˆj + FZ kˆ

Expresión vectorial de la fuerza

Figura 1.1

Donde definiremos cada término: r Componentes escalares de F están definidas por las relaciones: FX , FY , FZ a largo de los

tres ejes de coordenadas. r r r Vectores unitarios en dirección de los cartesianos: i ; j ; k r r r Componentes vectoriales de F = FX iˆ + FY ˆj + FZ kˆ .

Relación entre la magnitud de F y sus componentes escalares r ⇔ F = F 2 X + F 2Y + F 2 Z

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 2 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

r r 1 Vector unitario en la dirección de F : eFr = r [FX , FY , FZ ] F r Los tres ángulos αx, βy, γz definen la dirección de la fuerza F , los cósenos de αx, βy, γz se r conocen como los cósenos directores de la fuerza F :

F cos α = rX F F cos β = rY F F cos γ = rZ F Para la mejor concepción del anterior concepto, proponemos a continuación el siguiente ejercicio.

Ejercicio #1 Dada la fuerza F = [ 2, -3, 5 ] en toneladas, determinar la magnitud y dirección de la fuerza

Solución.- Se tiene los componentes escalares (2t, -3t, 5t) - Se tiene los componentes vectoriales (2 i, -3 j, 5 k) r La magnitud de F será: r 2 2 2 F = (2 ) + (− 3) + (5) = 6.16 ton Entonces: cos α

cos β

cos γ

2 6 , 16 −3 6 , 16 5 6 , 16

0, 32

−0 , 49

0 , 81

La dirección del vector es: 1 r eFr = [2;−3;5] 6.16 r ⇒ eFr = [0.32;−0.49;0.81]

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 3 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

1.4 VECTOR DE POSICION. Si tenemos un punto cualquiera P1 se define el vector de posición del punto P1 como el segmento orientado que determina el origen de coordenadas O y el punto P1. Es el segmento rectilíneo orientado dirigido del origen al punto como vemos en la fig1.2.

Figura 1.2

Consideramos el sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido en los puntos X1, Y1, r Z1, definidos por los vectores posición r1 . P1 = (X1, Y1, Z1)

r r1 = [ X 1 ; Y1 ; Z 1 ] es la magnitud, y representa la distancia entre O y P1 r Si se desea encontrar la magnitud y dirección de la Fuerza r puede calcularse de las

componentes rx, ry, rz como se explica a continuación. Fácilmente podemos verificar que los vectores de posición obedecen la ley de suma para vectores. Consideremos, por ejemplo, los vectores de posición r y r’ con respecto a los puntos de referencia O y O’ y el vector de posición de s y O con respecto a O’ de la figura 1.3 verificamos que el vector de posición r’ = O’A puede obtenerse de los vectores de posición s = O’O y r = OA aplicando la regla del triangulo para la suma de vectores.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 4 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

A r r' O s Figura 1.3

Como siempre es posible trazar un segmento rectilíneo, entre el origen y un punto arbitrario dado, entonces, siempre es posible asociar a dicho punto, su respectivo vector de posición.

1.5 VECTOR DE DEZSPLAZAMIENTO. Vamos a empezar por la cantidad vectorial más simple, el desplazamiento, que no es más que el cambio de posición de un punto a otro (Atención, este punto puede ser un modelo que representa una partícula o un pequeño cuerpo que se traslada). El desplazamiento es un vector porque no solamente basta decir a qué distancia se movió sino en qué dirección. No es lo mismo salir de la puerta de casa y moverse 2 cuadras hacia la derecha que hacia la izquierda. El desplazamiento no es el mismo. El desplazamiento a menudo lo representamos por una sola letra mayúscula que aquí la mostraremos en negrita P, pero hay muchas otras maneras. En la fig 1.4 mostramos que el desplazamiento para ir de A hasta B es una línea recta que une estos puntos, empieza en A y termina en B dirigida hacia B. Cuando el cuerpo se mueve de manera que vaya y vuelva al punto inicial, el desplazamiento es cero. Es importante darse cuenta que el desplazamiento no está relacionado con la distancia recorrida.

B

B

P A Figura 1.4 (a)

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

P

A

Figura 1.4 (b)

Pag - 5 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Vamos a representar la magnitud de un vector (la longitud en el caso del desplazamiento) por la misma letra del vector pero no en negrita o bien:

r r (Magnitud o módulo de P) = P = P Por definición el módulo de P es un escalar (un número) y siempre es positivo. Suponemos ahora que una partícula tiene un desplazamiento P, seguido por un desplazamiento Q. El resultado es el mismo que si se hubiera considerado partiendo del mismo punto inicial un único desplazamiento R como podemos ver en la figura.

Figura 1.5

Lo que en símbolos podemos expresar R = P + Q, a este vector se lo llama suma o

resultante. Poner atención que aquí estamos sumando vectores y no es la simple suma algebraica de sus módulos sino que debemos tomar en cuenta sus direcciones.

Figura 1.6

Viendo la fig 1.6 se deduce que: r

δ12 = rr2 + (− rr1 ) = rr2 − rr1

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 6 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

r

δ12 Llamado vector de desplazamiento entre P1 y P2 Siempre se puede asociar a un punto su respectivo vector de posición r r r1 = [X 1 ; Y1 ; Z1 ] ; r2 = [X 2 ; Y2 ; Z 2 ] r δ12 = [ X 2 ; Y2 ; Z 2 ] − [ X 1 ; Y1 ; Z1 ] r δ12 = [X 2 − X 1 ; Y2 − Y1 ; Z 2 − Z1 ]

r

δ ⇔

( X 2 − X 1 )2 + (Y2 − Y1 )2 + (Z 2 − Z1 )2

r

δ Es la fórmula de distancia entre dos puntos P1 y P2 Ejercicio #2 Dados los puntos P1 de coordenadas (2,-3,0) metros, P2 de coordenadas (0,1,3) metros, P3 de coordenadas (-1,0,3) metros. a) Hallar el vector de posición entre P2 y P3 b) Hallar el vector de desplazamiento entre P2 y P3 c) Hallar la distancia entre P1 y P2 Z

Solución.a) → → → → r1 ⇔ [2,-3, 0] ⇔ 2 i -3 j + 0 k →

→

→

→

→

r2 ⇔ [0, 1, 3] ⇔ 0 i + 1 j +3 k →

→

δ23

→

P3 O

o P1 O P2 Y

→

r3 ⇔ [-1, 0, 3] ⇔ -1 i +0 j + 3 k

b)

→

→

→

δ23 ⇔ r3 – r2 ⇔[-1, 0, 3] - [0, 1, 3] X

→

δ23 = [-1,-1, 0] c) → → → δ12 ⇔ r2 – r1 ⇔ [0, 1, 3] - [2,-3, 0] →

δ12 ⇔ [-2, 4, 3] → δ12

=

(− 2)2 + 4 2 + 32

= 5, 38 (m) de distancia

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 7 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

1.6 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO. Consideremos una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido como se muestra en la figura 1.7. Como sabemos la fuerza F se representa por un vector que define su magnitud y dirección. Sin embargo, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rígido depende también de su punto de aplicación P. La posición de P se define convenientemente por el vector r que une el punto de referencia fijo O con el punto P; este vector se conoce como vector de posición de P. El vector de posición r y la fuerza F definen el plano mostrado en la figura 1.7

Figura 1.7

Definiremos el momento de F con respecto a O como el producto vectorial de r y F.

Mo = r * F →

r ⇔ Vector de posición de P →

→

→

M P1 = δ * F1 →

δ ⇔ Vector de desplazamiento entre P1 y P2

El momento Mo debe ser perpendicular al plano que contiene a O y a F. El sentido de Mo se define por el sentido de rotación que podría llevar el vector r a ser colineal con el vector F; pero esta rotación es la rotación que F tiende a imprimir al cuerpo. Así, el sentido del momento Mo ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 8 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

caracteriza el sentido de la rotación que F tiende a imprimir al cuerpo rígido; esta rotación será observada como contraria a la de las agujas del reloj por un observador situado en el extremo de Mo. Otra manera de establecer la relación entre el sentido de Mo y el sentido de la rotación del cuerpo rígido es el suministrado por la regla de la mano derecha: cierre su mano derecha manteniendo el dedo pulgar extendido, sosténgala de tal modo que sus dedos indiquen el sentido de rotación que la fuerza F tiende a impartirle al cuerpo rígido; su dedo pulgar indicara el sentido del momento Mo. Finalmente, llamando θ al Angulo comprendido entre las líneas de acción del vector de posición r y la fuerza F hallamos que el momento de F con respecto a O es:

Mo = r F. sen θ = F d

Ejercicio #3 Dada la fuerza [1, 2,-2] toneladas, que pasa por el punto P1 (2,1,3) metros. Determinar el momento de la fuerza respecto el punto P2 (0, 2,-1).

Solución.-

→

Z

δ21

→

r1⇔ [2,1,3]

P2 o

o P1

→

r3 ⇔ [0, 2,-1]

→

→

Y

→

→

δ21 ⇔ r1 – r2 ⇔ [2, 1,3]-[0, 2,-1]

F

→

→

δ21 ⇔ [2,-1,4] vector desplazamiento

F X

→

→

→

→

→

→

M2 = δ21 * F

M2 = δ21 * F =

2 -1 4 1 2 -2 i j k

= -6 i + 8 j + 5 k = [-6, 8,5 ]

→

M2 = √ (-6)2 + (8)2 + (5)2 →

M2 = 11, 86 ton_m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 9 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

1.7 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN EJE. Ahora que se han aumentado nuestros conocimientos de algebra vectorial, introduciremos un nuevo concepto, el concepto del momento de una fuerza con respecto a un eje. Consideraremos nuevamente una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido y el momento Mo de esa fuerza con respecto a la (fig 1.8).

Figura 1.8

a) En el grafico se puede observar que el eje es perpendicular al plano II b) El punto P pertenece al plano II c) El punto a es la traza del eje en el plano r r d) F1 es la componente de F contenida en el plano II r r e) F2 es la componente de F paralela al eje donde: Ma = Momento de fuerza, respecto de a o cualquier punto de ese eje. r eE = Es el vector unitario en la dirección del eje. Donde este momento se lo expresa como: r r M E = M a * eE

Se concluye de la definición de momento de una fuerza con respecto a un eje, que el momento de F con respecto a un eje coordenado es igual ala componente Ma con respecto a dicho eje. Sustituyendo sucesivamente cada uno de los vectores unitarios i, j, k, por eE, comprobamos que las expresiones asi obtenidas de los momentos de F con respecto a los ejes coordenados son, respectivamente, iguales a las expresiones de las componentes del momento Ma de F con respecto a P. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 10 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #4 → Los Puntos P1 (0,-2,1) metros y P2 (3,-2,1) definen un eje en el espacio, cierta fuerza F [2, 3,1] Kg. pasa por el punto P0 (-1,-2,0). Determinar el momento de la fuerza respecto del eje.

Solución.→ P2P1 ⇔ [-3, 0,1]

P1 o

→ e

→ P2P1 = 10 = 3,2 ⇔

E = [-0,94; 0; 0,31]

P1P2

→ P1P2 ⇔ [3, 0, -1]

o P2

→ e P1P2

P1P2 = 10 = 3,2 ⇔

[0,94; 0; -0,31]

=

→ δ10 = [-1, 0, -2] → → → MP1 = δ10 * F = [-1, 0,-2] * [2, 3, 1] i j k = -1 0 -2 = 6i – 3j -3k 2 3 1 → → ME = Mp1 * e p2p1 * E = [6, -3, -3] * [-0.94; 0; -0.31] = [-5.64 + 0.93] = 6.54 Kg_m ME ⇔ [6, -3, -3] * [0.94; 0; -0.31] = 0.54 Kg_m → → Mp2 ⇔ δ2 0 * F = [-4, 0, 1] * [2, 3, 1]

=

-4 0 1 2 3 1 i j k

= 3 i + 2 j – 12 k

ME ⇔ [3, 2,-12] * [-0.94; 0; 0.31] = -2.82 + 0 + (-3.72) ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 11 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

= -6.54 Kg_m. ME ⇔[3, 2, -12] * [0.94; 0; -0.31] = 2.82 + 3.72 = 6.54 Kg_m.

1.8 TEOREMA DE VARIGNON. La propiedad distributiva de los productos vectoriales puede utilizarse para determinar el momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes. Si varias fuerzas F1, F2,……….se aplican al mismo punto P, y si llamamos r al vector de posición de P, se concluye inmediatamente que: r * (F1 + F2 + …….) = r * F1 + r * F2 + ………

Figura 1.9

En palabras, el momento con respecto a un punto dado O de la misma resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al mismo punto O. La relación de la grafica hace posible la determinación del momento de una fuerza F por el calculo de los momentos de dos o mas fuerzas componentes. La fuerza F se descompone en F = F1 + F2 +F3 →

→

→

→

→

→

⇒ ME = M * e = [r * (F1 + F2 + F3)] * e Donde:

→

→

→

→

→ →

→

→

→

ME = (r * F1) .e + (r * F2).e + (r * F3). e Teorema momento de una fuerza respecto de un punto ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 12 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

1.9 PAR DE FUERZAS – MOMENTO DEL PAR. Se dice que dos fuerzas F y –F forman un par si tienen la misma magnitud, dirección pero sentido contrario, ver figura 1.10

Figura 1.10

Es evidente que la suma de los componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección es cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero. Aunque las fuerzas no desplazan al cuerpo sobre el que actúan ellas tienden a imprimirle un movimiento de rotación

Figura 1.11

Representando por rA y rB los vectores de posición de los puntos de aplicación de F Y – F de la figura 1.11 encontramos que la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a O es:

rA * F + rB * (-F) = (rA – rB) * F

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 13 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Remplazando rA – rB = r, donde r es el vector que une los puntos de aplicación de las dos fuerzas, concluimos que la suma de los momentos de F y –F con respecto a O se representan por el vector:

Mo = r * F (1) El vector Mo se le llama momento del par; es un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas y su magnitud es:

Mo = r.F.senθ = Fd

(2)

Donde d es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de F y –F, y el sentido de Mo se encuentra mediante la regla de la mano derecha del grafico. r Como el vector r en (1) es independiente de la elección del origen O de los ejes coordenados, se obtendría el mismo resultado si los momentos de F Y – F se hubieran calculado con respecto a un punto diferente O′. Por tanto, el momento M de un par es un vector libre que puede aplicarse en cualquier punto como se ve en la grafica.

Figura 1.12

De la definición del momento de un par, se concluye que dos pares, uno formado por las fuerzas F1 y -F1, y el otro por las fuerzas F2 y -F2 como se ve en la figura 1.13 (a) y (b), tendrán momentos iguales si y solo si; los dos pares están en planos paralelos o en el mismo plano y tienen el mismo sentido: F1d1 = F2d2 -F1 d1 F1 Figura 1.13 (a) →

La expresión:

→

F2 d -F2 Figura 1.13 (b)

→

MO = δ * F representa el momento del PAR DE FUERZAS

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 14 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #5 Dados los pares de la figura 1.14 se pide determinar la suma de los momentos pares. Donde: C1 y C3 pertenecen al plano YZ, C2 pertenece al plano α paralelo XZ.

Figura 1.14

Se tiene: →

a) Momento de los pares

→

Mc1 = 6 i = [6, 0, 0] t.m →

→

→

→

Mc2 = - 8 j = [0, -8, 0] t.m Mc3 = 20 i = [20, 0, 0] t.m b) Suma de los pares

→ → → → S = Mc1 + Mc2 + Mc3 = [26, -8, 0] t.m Es decir: para sumar pares se debe sumar los momentos de los pares

1.10 TRASLACION DE UNA FUERZA A UNA POSICION PARALELA. Se muestra una fuerza y se desea trasladarla a una posición paralela que pasa por el punto P. Como se ve en la figura 1.15

Figura 1.15

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 15 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

El procedimiento para trasladar una fuerza a cierta posición paralela dada consiste en los siguientes pasos: 1) Se traslada la fuerza a la nueva posición manteniendo su dirección, magnitud, y sentido. 2) Se añade la fuerza simétrica en la dirección de traslado 3) Se incluye el momento del par ocasionado por la fuerza y su simétrica.

→

→

c = es el par formado por F y -F

figura 1.16

r Con estos pasos se origina un nuevo sistema, constituido por F en la posición paralela y el r r par c formado por F y – F como se ve en la fig 1.16.

Cuando se traslada una fuerza a una posición paralela dada, debe además de la fuerza, tomarse en cuenta el par. Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si tienen a producir el mismo efecto sobre un cuerpo. Se ha visto que une fuerza se puede desplazar sobre su línea de acción y el efecto sobre el cuerpo no se modifica tanto para traslación como para rotación. Así mismo se ha dicho que un Par, por ser un vector libre, se puede trasladar a cualquier posición sin que se cambie el efecto que produce sobre el cuerpo.

Ejercicio #6 r Dada la fuerza F = [2, 1, 0] toneladas que pasa por el punto P1 (3, 2, -1) metros y el punto

P2 (4, 0, 2) metros, se pide trasladar la fuerza a una posición paralela que pasa por P2: r a) traslación de F a la posición paralela que pasa por P2 r F en P

r F =[ 2, 1,0] t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 16 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

→ → P2P1 = δ =[-1, 2, -3] t → → → MP2 = δ = F =

-1 2 -3 2 1 0 = [3, -6, -5] t.m i j k

→ Por lo tanto, el nuevo sistema queda constituido por F = [2, 1, 0] ton trasladada a la → posición paralela que pasa por P2 y el momento del Par MP2 = [3, -6, -5].

1.11 RESULTANTE DE FUERZAS Y MOMENTOS.

Figura 1.17 (a)

Figura 1.17 (b)

En la figura 1.17 (a) se observa un sistema general de fuerzas, constituido por fuerzas y momentos de pares. Mediante el procedimiento descrito en el anterior titulo. Siempre es posible trasladar las fuerzas a una posición paralela que pasa por el origen, obviamente teniendo en cuenta los momentos correspondientes y recordando que los momentos de los pares son vectores libres. En la figura 1.17 (b) se tiene: →

→

→

→

FR = F1 + F2 + F3 →

→

→

→

→

→

→

→

→

MR = r1 * F1 + r2 * F2 + r3 * F3 + C1 + C2 ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 17 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Claramente, los sistemas de las figuras 1.17 (a) y (b) son EQUIVALENTES PARA

CIERTA CAPACIDAD. Sin importar la complejidad de un sistema de fuerzas y momentos, este siempre puede →

→

ser reducido a una sola fuerza FR y a un solo momento MR. →

FR = se denomina Resultante de fuerzas →

MR = se denomina Resultante de momentos Entonces: La resultante de un sistema es la EQUIVALENCIA más simple.

Ejercicio #7 Dado el sistema de la figura 1.18 determinar la resultante de momentos.

Figura 1.18 →

→

Donde: F1 = [3, 2,1] t y F2 = [-4, 1,3] m; P2 (4, 5,6) m y el Par C se encuentra en el plano xy; se pide: a) Resultante de fuerzas en el origen: →

→

→

FR = F1 + F2 = [-1, 3,4] t b) Resultante de momentos en el origen: →

→

r1 = [2,-2,1] ; r2 = [4, 5,6] Por tanto:

→ MR = [2,-2,1] * [3, 2,1] + [4, 5,6] * [-4, 1,3] + [0, 0,6] ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 18 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

→ MR = [5,-35,40] ton_m c) Resultante del sistema:

Figura 1.19

Obviamente; el sistema de la figura 1.19 es EQUIVALENTE al sistema de la figura 1.18 para cierta capacidad.

Ejercicio #8 2 Verificar la igualdad de los desplazamientos entre los puntos P1 0 (m) y P2 3 Solución.-

-3 4 (m) 1

→

a)

δ12 vector de desplazamiento →

→

→

→

→

δ12 ⇒ r1 = [2, 0,3] ; r2 = [-3, 4,1] →

δ12 ⇔ r2 + (- r1) ⇔ [-3, 4,1] + (-)[2, 0,3] →

δ12 ⇔ [-5, 4,-2] b)

→

→

→

δ21 ⇔ r1 + (-r2) ⇔ [5,-4,2] →

δ21 = [5,-4,2] →

δ1 2

→ ≠

δ21

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 19 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #9 →

La fuerza F⇔ [0, 3, -2 ] t. pasa por el punto P2

-1 → 2 (m) determinar el momento de F 3

Solución.a) Respecto del origen (0,0,0) m

r ⇒ r2 ⇔ [− 1,2,3] −1 2 3 r M O = r2 * F = 0 3 − 2 i j k M O = −9 + (− 4 )* iˆ + (− 2 ) * ˆj + (− 3) * kˆ M O = −13iˆ − 2 ˆj − 3kˆ M O = [− 13,−2,−3] ton _ m b) Respecto de P1 (-4, 2,0) m

r M P1 = δ 12 * F r r r1 = [− 4,−2,0] ; r2 = [− 1,2,3] r δ 12 ⇔ [3,0,3] i

j

k

M p1 = 0 3 − 2 =[-9,6,9] ton_m 3 0 3 ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 20 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #10

−1 r r Dada la fuerza F ⇔[-1, 2, 3 ] t que pasa por el punto P 2 m Determinar el momento de F 3 Solución.a) Respecto del origen (0, 0,0) m. →

F O• →

→

r2 ⇔ [-1, 2, 3]

r2 • P2

→

-1 2 3 0 3 -2 i j k

→

MO = r * F =

= -9 + (-4) i + (-2) j + (-3) k = -13 i – 2 j -3 k → ⇒ MO = [-13, -2, -3] ton_m b) Respecto de P1 (-4, 2, 0) M 0

P1 → F

→

r1 →

→

δ

0

→

Mp1 = δ12 * F

→

r2

→

0

P2

→

r1 = [-4, 2, 0] ; r2 = [-1, 2, 3] →

δ12 ⇔ [3, 0, 3] → i j k Mp1 = 0 3 -2 = [-9, 6, 9] ton_m 3 0 3

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 21 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #11 2 -3 Cierto eje esta definido por los puntos P1 3 (m) y P2 2 0 1 → 4 F ⇔[4, 0, 1] Kg que pasa por el punto Po -2 -1 Determinar el momento de la fuerza respecto del eje. Solución.→

→ P1P2 ⇔ [-5, -1, 1] → P1P2 = 5 * 19

F 0

PO

P2

→

δ

0

P1 →

e

E

1 * [-5, -1, 1] ⇔ [-0.96, -0.19, 0.19]

=

5 .19 → δ20 ⇔ [7, -4, -2] → → 7 -4 -2 Mp2 ⇔ δ20 * F ⇔ 4 0 1 i j k Mp2 = [-4, -15, 16]

→

→

∴ ME = Mp2 *

e

E

⇒ ME = [(-4) (-0.96) + (-15) (-0.19) + (16) (0.19)] ∴ME = 9.73 Kg.m

Ejercicio #12 Se pide determinar la resultante más simple del sistema a) definido en forma coplanar F1 ⇔ [3, -2, 0] ; P1 (2, 4, 0) F2 ⇔ [-1, -1.5, 0] ; P2 (-1, 3, 0)

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 22 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Solución.→

r1 ⇔ [2, 4, 0]

→

r2 ⇔ [-1, 3, 0]

→

MR ⇔ →

→

r1 * F1 =

i j 2 4 3 -2

k 0 0

i j → → r2 * F2 = -1 3 -1 -1.5

= [0, 0, -16] ton_m

k 0 0

= [0, 0, 4.5] ton_m

→

Par = [0, 0, 4.5] ton_m →

→

→

→

→

→

MR = r1 * F1 + r2 * F2 + Par →

MR = [0, 0, -16] + [0, 0, 4.5] + [0, 0, -5] →

MR = [0, 0, -16.5] ton_m → Momento de FR ⇔ Momento del sistema

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 23 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

y → → → rR * FR ⇔ MR → MR x → FR → Sea P de coordenadas (x, y, o) m un punto de la línea de acción de FR P (x, y, o) m ⇒ rR ⇔ [x, y, o] →

→

→

⇒ rR * FR ⇔ MR ⇒

x y o -2 -3.5 0 = [0, 0, -16.5] i j k

⇔ [0, 0, -3.5 x -2 y]

*

La expresión * representa la ecuación de una recta que define la línea de acción de la resultante. 3.5 x + 2 y = 16.5 8.25 • → FR

Si x = 0 ⇒ y = 8.25 Si y = 0 ⇒ x = 5.7 • 5.7

SISTEMA MÁS REDUCIDO

Ejercicio #13 →

La fuerza F ⇔ [2, 3, -3 ]t pasa por el punto P2

-1 -2 (m); Determinar el momento -3

0 de dicha fuerza respecto del punto P1 -2 (m). 2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 24 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Solución.-

O

P1

→

→

→

δ12 = r2 – r1

→

→

→

δ12

r1

F

→

r2 = [X2, Y2, Z2] ⇔ [-1, -2, 3] →

r1 = [X1, Y1, Z1] ⇔ [0, -2, 2]

O

O

O

P2

→

r2

→

→

→

→

δ12 = [-1, 0, 1] ; Mp1 = δ12 * F

→ -1 0 1 ⇒ Mp1 = 2 3 -3 = [-3, -1, -3] ton_m i j k → → → → → → → MP = r * F ⇔ r * (FX + FY + FZ) → → → → → → → MP = r * FX + r * FY + r * FZ TEOREMA DE VARIGNON

Ejercicio #14 Los puntos P1

0 -3 → 2 (m) y P2 1 (m) definen un eje en el espacio, una fuerza F 1 0 →

en Kg. pasa por el punto P (3, 2, -4). Se pide determinar el momento de F respecto del eje.

Solución.-

P1

0 2 1

y

P2

-3 1 ; 0

3 F ⇔ [2, 3, 1] kg ; P 2 (m) -4 →

Suponer una orientación: ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 25 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

E → P1P2 ⇔ [(-3-0), (1-2), (0-1)] ⇔ [-3, -1, -1] m

→

P2 0

→ P1P2 ⇔ √ 32 + 12 + 12 = 3.32 m →

UE =

1/3.32

= [-3, -1, 1] = [-0.90, -0.30, -0.30]

F

δ

→

oP

P1o

→

δP1 P ⇔ [3, 0, -5] →

→

→

⇒ MP1 ⇔ δP1 P * F ⇔

3 2 i

0 -5 3 1 ⇔ [15, -13, 9] j k

∴ ME ⇔ [15, -13, 9] * [-0.90, -0.30, -0.30] ⇔ [15*(-0.90) + (-13)*(-0.30) + 9*(-0.30)] = [-13.5 + 3.9 -2.7] ME = -12.3 kg_m

EL TEOREMA DE VARIGNON DEMOSTRADO EN EL EJERCICIO ANTERIOR ES TAMBIEN VALIDO EN EL CASO DE MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN EJE (SE DEJA AL ESTUDIANTE SU DEMOSTRACION). Ejercicio #15 Dado el sistema (a) constituido por dos fuerzas y un par; Se pide determinar un sistema resultante constituido por una sola fuerza en el origen y un solo momento.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 26 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Solución.→

C1 Pertenece al Plano XY →

→

→

FR = F1 + F2 ⇔ [1, 4, 1] →

→

r1 ⇔ [-3, -1, 2] ; r2 ⇔ [5, 3, 1] →

→

→

→

→

→

MR ⇔ r1 * F1 + r2 * F2 + C1 ;

→

→

C1 =

F * d = 2 * 3 = 6 ton_m

Z →

→

FR

MR

-3 -1 ⇒ r1 * F1 = 4 2 i j →

→

-2 0 = [4, -8, -2] k

Y 5 3 1 r2 * F2 = -3 2 1 = [1, -8, 19] i j k

→

(b)

X

→

→

C1 = [0, 0, -6] → MR = [5, -16, 11] ton_m

Ejercicio #16 Dadas las 3 fuerzas y los 2 pares. Hallar un sistema resultante.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 27 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

-3 → F1 ⇔ [2, 0, 4] t; P1 -1 (m) -2 2 → F2 ⇔ [5, -1, 1] t; P2 -1 (m) 2 5 → F3 ⇔ [2, 4, -1] t; P3 3 (m) 1

Solucion.→

C1 Pertenece al plano YZ →

C2 Pertenece al plano XY →

→

→

→

FR ⇔ F1 + F2 + F3 ⇔ [9, 3, 4] t →

→

→

r1 ⇔ [-3, -1, -2]; r2 ⇔ [2, -1, 2]; r3 ⇔ [5, 3, 1] -3 -1 -2 r1 * F1 = 2 0 4 = [-4, -8, 2] i j k →

→

→

→

r2 * F2 = →

→

r3 * F3 =

→

→

→

2 -1 2 5 -1 1 i j k 5 3 1 2 4 -1 i j k →

→

→

= [1, 8, 3] = [-7, 7, 14]

→

→

→

MR = r1 * F1 + r2 * F2 + r3 * F3 + C1 + C2 →

⇒ C1 = 5 * 4 = 20 ; →

⇒ C2 = 4 * 2 = 8

→

C1 = [20, 0, 0] →

;

C2 = [0, 0, -8]

→

∴ MR = [10, 7, 11] ton_m

Ejercicio #17 r Dada la fuerza F = [3, -2, 4] en toneladas, se pide determinar:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 28 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Solución.a) Componentes escalares ⇔ 3 t, -2 t, 4 t →

→

→

b) Componentes vectoriales ⇔ 3 i , - 2 j , 4 k →

c) Magnitud de F =

3 2 + (− 2 ) + 4 2 = 5.38 t 2

→

→ →

d) Vector unitario en la dirección de F ⇔ e

F

→ →

1

e F=

* [3, -2, 4] = [0.55, -0.37, 0.74]

5.38 e) Cósenos directores: 3 cos α =

-2 = 0.55

cos β =

5.38

4 = - 0.37 cos γ =

5.38

= 0.74 5.38

Ejercicio #18 Dados los puntos P1 (2, -3, -4) y P2 (0, 5, -1), en metros, se pide:

Solución.a) Vectores de posición de P1 y P2 →

→

r1 = [2, -3, -4] m; r2 = [0, 5, -1]

b) Vector de desplazamiento entre P1 y P2 →

→

→

δ = r2 – r1 = [0 – 2.5 – (-3), -1 – (- 4)] = [-2, 8, 3] m

c) Distancia entre P1 y P2 ⇔ →

δ =

→

δ

(− 2)2 + 8 2 + 32

= 8.77 m

Ejercicio #19 Dado el punto (2, 3, -5) m, y la fuerza F1 = [0, -4, 3] t, que pasa por el punto P2 (6, -4, 2) m, se pide:

Solución.ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 29 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

a) Momento de F1 respecto del origen O (0, 0, 0) → → OP2 = [6, -4, 2] ⇔ r ⇔ vector de posición de P2 → → → 6 -4 2 MO = r * F1 = 0 - 4 3 = [- 4, - 18, - 24] ton_m i j k → Magnitud de MO ⇔ MO = 30.26 ton_m →

b) Momento de F1 respecto de P1 → → P1P2 = [4, -7, 7] ⇔ δ ⇔ vector de desplazamiento de P1 a P2 4 -7 7 MP1 = δ * F1 = 0 - 4 3 = [7, - 12, - 16] ton_m i j k → → MX = 7 i → → → MY = 12 j Componentes vectoriales de Mp1 → → MZ = - 16 k

Donde:

Además: Magnitud de Mp1 = Mp1

= 21.19 ton_m

Ejercicio #20 r Dados los puntos P1 (2, 0, 3) m y P2 (-4, 5, 0) m que definen un eje y la fuerza F = [5, 6, -2] t que pasa por P3 (0, -2, 1) m, se pide:

Solución.→

a) Momento de F respecto del eje ⇔ ME → → P1P3 = δ = [-2, -2, -2] m → → P2P3 = δ1 = [4, -7, 1] m entonces: → -2 -2 -2 → → Mp1 = δ * F = 5 6 -2 = [16, - 14, - 2] ton_m i j k ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 30 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

→ → → Mp2 = δ * F = →

4 5 i

-7 6 j

1 -2 = [8, 13, 59] ton_m k

→

→

Además: P1P2 = [-6, 5, -3] ⇒ P1P2 = 8.37 m, por tanto;

e E = [-0.72, 0.6, -0.36]

entonces:

→

→

→

ME = Mp1 *

eE

→

o bien

ME = Mp2 *

eE

Es decir: ME = [16, -14, -2] * [-0.72, 0.6, -0.36] = - 19.2 ton_m o bien ME = [8, 13, 59] * [-0.72, 0.6, 0.36] = - 19.2 ton_m

Ejercicio #21 Con los datos del anterior ejemplo se pide:

Solución.a) Momento de F respecto a tres ejes ortogonales concurrentes en P1 y a los ejes cartesianos ⇔ MEJES

→ Mp1 = [16, - 14, -2] MEJE X = [16, 0, 0] * [i, 0, 0] = 16 ton_m MEJE Y = [0, -14, 0] * [0, j, 0] = -14 ton_m MEJE Z = [0, 0, -2] * [0, 0, k] = - 2 ton_m

Se nota además; que el momento de una fuerza respecto de un punto, es igual a la suma de los momentos de dicha fuerza, respecto de tres ejes ortogonales que pasan por el punto; es decir: → → → → MP1 = MEJE X + MEJE Y + MEJE Z = [16, - 14, - 2] ton_m

1.12 PROBLEMAS PROPUESTOS. Problema #1 →

→

F = [3, 4, -2] t y P (4, 0, -3) m un punto de la línea de acción de F, además un punto arbitrario P1 (5, -3, -1) m Se pide: →

a) Momento de F respecto del origen. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 31 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil →

b) Momento de F respecto de P1 Respuesta: a) MO = [12, -1, 16] ton_m, b) Mp1 = 2 i – 8 j – 13 k ton_m

Problema #2 Los del ejercicio 1.1 y el punto arbitrario P2 (0, 4, -2) m Se pide: →

a) Momento de F respecto del eje P1 P2. Respuesta: a) ME = - 621 ton_m

Problema #3 →

→

F = [-3, 5, 0] t y P (0, 2, 4) m un punto de la línea de acción de F, además un punto arbitrario P1 (2, 3, -1) m Se pide: a) Momento de F respecto a tres ejes ortogonales concurrentes en P1 y paralelos a los ejes cartesianos.

Respuesta: a) Mx = -25 ton_m; My = -15 ton_m; Mz = -13 ton_m

Problema #4 Demostrar el teorema de Varignon, para el caso del momento de una fuerza respecto de un punto.

Problema #5 Para la siguiente figura se pide determinar: a) Los momentos de los pares C1, C2 y C3. b) La suma de los momentos de los pares

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 32 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

→

→

→

→

→

→

Respuesta: a) M1 = 6 j; M2 = -7.5 i; M3 = 4 k en ton_m, b) M1 + M2 + M3 = [-7.5, 6, 4] ton_m

Problema #6 Con los datos del problema 3 se pide: →

a) Trasladar F a una posición paralela que pase por P1. b) Indicar la composición del nuevo sistema. →

→

Respuesta: a) F traslada a P1 en forma paralela, b) F en P1 mas Mp1= [-25, -15, -13] ton_m

Problema #7 El sistema de la figura:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 33 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Se pide: a) Resultante de fuerzas en el origen. b) Resultante de momentos. Respuesta: a) FR = [4, 7, 9] t, b) MR = [-6, 6, 14] ton_m

Problema #8 En el sistema coplanar de la figura

Se pide: a) Resultante del sistema. b) Línea de acción de la resultante. →

Respuesta: a) FR = [3, 7, 0] t, b) según la recta 7x – 3y = 8

Problema #9 El sistema coplanar de la figura

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 34 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Se pide: a) Resultante del sistema. →

Respuesta: a) el par MO = [0, 0, 1] ton_m

1.13 EVALUACION DIAGNOSTICO DEL CAPITULO. En este apartado se propone que el estudiante realice una evaluación de todo lo aprendido en este capitulo, para lo cual se necesita que responda las siguientes preguntas sin revisar el contenido del presente capitulo.

Como se encuentra el desplazamiento de un punto respecto del origen? Que es la magnitud de un vector? Definiendo la magnitud, como se encuentra la distancia entre el origen y un punto? Como se define el momento de una fuerza con respecto a un punto? Demostrar el teorema de VARIGNON respecto de un eje. Definir que es un par de fuerzas. Para concluir este diagnostico se pide hallar la resultante del siguiente sistema de fuerzas.

.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 35 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

CAPÍTULO 2 INTRODUCCION AL ANÁLISIS DE LAS ESTRUCTURAS

2.1 OBJETIVO GENERAL. El objetivo fundamental de este capitulo es hacer que el estudiante conozca el concepto de estructura como también los diferentes tipos de cargas y apoyos que actúan en un sistema estructural.

2.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS. Al terminar el capitulo el estudiante podrá:

Clasificará las estructuras por su forma geométrica, por su sistema de cargas, por su sistema de apoyos y por sus condiciones de isostaticidad.

Determinara las resultantes de cargas distribuidas y la posición en la que esta actúa. Determinara las reacciones de apoyo de distintos tipos de estructuras (vigas, pórticos, arcos, estructuras mixtas).

2.3 INTRODUCCION. Con un razonamiento lógico y ordenado se le proporciona al lector los elementos de análisis para que, a partir de la definición del concepto de estructura; las clasifique; de la misma forma por sus condiciones de isostaticidad, identificando a: las estructuras hipostáticas (inestables), cuando el número de las incógnitas del sistema es menor a las condiciones del equilibrio estático; estructuras isostáticas (estables) cuando el número de las incógnitas del sistema es igual al número de las ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 36 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

ecuaciones de equilibrio estático; estructuras hiperestáticas, cuando el número de las incógnitas es mayor al número de las ecuaciones del equilibrio estático.

2.4 CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICIONES. Durante el proceso de formación del ingeniero civil, el concepto de estructura se encuentra referido a un conjunto de elementos que la conforman; empero, ésta aseveración no demuestra una definición para entenderlo en toda la extensión de su significado. Por ende, al plantearse la pregunta de que es una estructura, la respuesta puede darse un tanto subjetiva. Por lo que, para entenderlo y asimilarlo es necesario considerar como premisa el entorno que la rodea. Si tuviéramos curiosidad de ser observadores teniendo únicamente nuestro medio ambiente como límite, o en otras palabras, el límite de nuestra vista y razonamiento; nos daríamos cuenta que podemos identificar diferentes estructuras, diferenciándolas por su utilización para lo que fueron diseñadas; así, en el ámbito científico de la ingeniería civil, en forma natural discriminaríamos: Casas habitaciones, edificios de oficinas, escuelas, puentes, tanques, edificios departamentales, anuncios espectaculares, aeropuertos, presas, distrito de riego, carreteras, alcantarillado, líneas de conducción y distribución de agua potable, entre otras, todas ellas cumpliendo un propósito particular para lo que fueron diseñadas. Por lo tanto:

ESTRUCTURA, ES UN CONJUNTO DE ELEMENTOS CON FORMA GEOMÉTRICA QUE, UNIDOS ENTRE SÍ POR MEDIO DE NODOS, SOPORTAN CARGAS QUE SON TRANSMITIDAS

A

SUS

APOYOS

A

TRAVÉS

DE

LOS

ELEMENTOS

ESTRUCTURALES QUE LA INTEGRAN. APOYO, ES UN DISPOSITIVO CONSTRUCTIVO QUE PERMITE ENLAZAR ENTRE SI LOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES Y/O SUJECIÓN ENTRE LA ESTRUCTURA Y EL SISTEMA TIERRA, CON EL PROPÓSITO DE EVITAR DESPLAZAMIENTOS. De ser aceptada la definición, el conjunto de elementos que integran una estructura debe de contener simultáneamente: forma geométrica, sistema de cargas y sistema de apoyos, referencias que facilitan tener elementos de análisis para plantear una clasificación en función de su geometría, de sus apoyos y de sus cargas.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 37 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

2.5 TIPOS DE ESTRUCTURAS. La clasificación en el entorno de las estructuras, se da en función de la ubicación de sus elementos, que pueden estar localizados en el plano o en el espacio; en consecuencia, las estructuras se dividen en:

2.5.1 Estructuras planas. Son aquellas cuando sus elementos se encuentran en un plano; una representación de éstas se ejemplifica idealizando una viga simplemente apoyada que se encuentra localizada sobre el plano XY, como se muestra en la figura 2.1 con la barra AB.

Figura 2.1

2.5.2 Estructuras en el espacio. Se identifican como tales cuando al menos, uno de sus elementos se encuentra en el espacio. Si se observa la figura 2.2, el marco AB-OE se encuentra en el plano XY; y perpendicular a éste, sobre el eje Z se ubica el marco GH-KL resultando en consecuencia una estructura en el espacio. Tomando de referencia el alcance que se pretende en el análisis de las estructuras isostáticas, se abordan únicamente las estructuras planas; identificando entre ellas la siguiente clasificación:

Figura 2.2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 38 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

2.6 CLASIFICACION DE LAS ESTRUCTURAS Las clasificaremos por su forma geométrica, por su sistema de apoyos, por su sistema de cargas.

2.7 POR SU FORMA GEOMÉTRICA. Las estructuras por su forma geométrica en el contexto de sus elementos que las integran se clasifican en rectas, curvas y de o; para su identificación se indicarán en algunas las cargas y apoyos únicamente para su identificación, ya que para su definición se exponen en las siguientes secciones de éste capítulo.

2.7.1 Viga Horizontal. La figura representa una viga simplemente apoyada con carga concentrada "P" y una carga uniformemente distribuida "W".(ver fig.2.3).

Figura 2.3

2.7.2 Viga Inclinada. La figura 2.6 representa a una viga simplemente apoyada con carga concentrada, observando que la barra AB tiene una dirección respecto al eje horizontal en función del ángulo α

Figura 2.4

2.7.3 Columnas. Es un elemento estructural vertical o inclinado. Con la figura 2.5 que se muestra se esquematiza una columna vertical AB con carga concentrada axial. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 39 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Figura 2.5

2.7.4 Marcos o Pórticos. Están constituidos por un conjunto de elementos rectilíneos, horizontales, verticales y/o inclinados. Elementos que soportan cargas concentradas o distribuidas como se muestra en las siguientes figuras.

Fig 2.6 (a)

Fig 2.6 (b)

2.7.5 Armaduras. Las integran un conjunto de elementos rectilíneos relativamente esbeltos que está unidos rígidamente en sus extremos que soportan cargas concentradas directamente sobre las uniones o nodos como se muestra en la figura.

Figura 2.7

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 40 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

2.7.6 Arcos. Están integradas por un conjunto de elementos curvos de forma circular, elíptica o parabólica. Al respecto se muestran las siguientes figuras:

Fig 2.8 (a)

Fig 2.8 (b)

2.7.7 Cables. Rectilíneos en cuyos puntos de inflexión soportan cargas concentradas. Parabólicos que soportan cargas repartidas, Cables que soportan su peso propio.

Fig 2.9 (a)

Fig 2.9 (b)

Fig 2.9 (c)

2.8 POR SU SISTEMA DE APOYOS ¿QUE ES UN APOYO? Como ya habíamos mencionado un apoyo es un dispositivo constructivo que permite enlazar entre si los elementos estructurales y/o sujeción entre la estructura y el sistema tierra, con el propósito de evitar desplazamientos. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 41 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Estos apoyos tienen por objeto restringir los desplazamientos en alguno de los ejes en los que este ubicado, y según a los tipos de apoyo con las restricciones respectivas las clasificaremos en el plano de la siguiente manera: Tabla 2.1 Sistemas de apoyos

Nombre del apoyo

Vínculos

Grados de libertad

Móvil

Uno

Dos

Fijo

Dos

Uno

Empotramiento

Tres

Cero

Guía

Dos

Uno

diagrama

Para la mejor concepción del sentido de las reacciones de apoyo en el plano proponemos la siguiente tabla: Tabla 2.2 Grados de libertad en apoyos

Esquema

Nombre

Grados de libertad

Móvil

Dos

Diagrama

RY Y

Fijo

Uno

R Empotramiento

Cero

Guía

Uno

RY

MZ

MZ RX

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 42 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

2.9 POR SU SISTEMA DE CARGAS Una primera clasificación de las estructuras por su sistema de cargas se identifican:

Las cargas externas: actúan sobre la superficie del elemento estructural. Las cargas internas: actúan dentro del elemento estructural (como es el caso de los elementos mecánicos que se analizan en el siguiente capitulo) Con base en lo anterior, cuando la estructura soporta un sistema de cargas externo se identifican: Por el tipo de carga, por su permanencia y por la forma en que actúa.

2.9.1 Por el tipo de carga. 2.9.1.1 Cargas concentradas. Son aquellas que tienen un solo punto de aplicación 2.9.1.2 Cargas Axiales. Son aquellas que están actuando en el centro geométrico de una sección transversal.

Figura 2.10

2.9.1.3 Cargas no axiales. Son aquellas que actúan fuera del centro geométrico de una sección transversal, generando una excentricidad (e). ver fig 2.11

Figura 2.11

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 43 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

2.9.1.4 Cargas distribuidas. La variación de la carga es constante sobre el claro "L" donde esta actuando como se observa en la figura:

Figura 2.12

2.9.1.5 Carga no uniforme. La variación de la carga no es constante sobre el claro "L" donde esta actuando. Por ejemplo, en la figura que se muestra se distingue una carga de variación lineal sobre el tramo "a" y con una variación cuadrática sobre el tramo "b".

Figura 2.13

2.9.2 Por su permanencia. Se clasifican en cargas vivas, cargas muertas y cargas accidentales.

2.9.2.1 Cargas vivas. Para una simple identificación y un tanto coloquial, se definen como aquellas que se mueven; por ejemplo en un salón de clases la carga viva esta representada por el peso de los alumnos que se expresan en unidades de longitud al cuadrado.

2.9.2.2 Cargas muertas. Están representadas por el peso propio del elemento estructural

2.9.2.3 Cargas accidentales. Son aquellas que están representadas por la fuerza sísmica, por la fuerza del viento, por el peso de la nieve, etc. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 44 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

2.9.3 Por la forma en que actúan. Son las cargas activas, las cargas reactivas y las cargas internas.(ver figura 2.14)

Figura 2.14

2.9.3.1 Cargas activas. Están representadas por el sistema de cargas externo (y = mx; y = mx²) que están actuando sobre el elemento estructural.

2.9.3.2 Cargas reactivas. Están representadas por las componentes de cada uno de los apoyos que soportan al elemento estructural (RA; RB) identificándose también como vínculos o reacciones.

2.9.3.3 Cargas internas. Son las que actúan dentro del elemento estructural, mismas que se oponen a la acción de las cargas externas. Dentro de ésta clasificación se distinguen: La fuerza normal, es una fuerza interna que esta actuando perpendicularmente a la sección transversal del elemento estructural. La fuerza cortante, es una fuerza interna que esta actuando paralelamente a la sección transversal del elemento estructural. Por los efectos que generan éstas fuerzas internas, se les asocia con los elementos mecánicos del elemento estructural; conceptos que se analizan en el siguiente capitulo.

2.10 CONDICIONES DE EQUILIBRIO. En el contexto de la teoría de la Estática, se dice que un sistema de fuerzas se encuentra en equilibrio cuando su resultante es igual a cero; esto es:

∑F = F

R

=0

y

∑M = M

R

=0

O bien desde el punto de vista escalar:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 45 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

* En el espacio existen 6 ecuaciones:

∑F

∑M

; ∑ FY = 0

=0

; ∑MY = 0

; ∑ FZ = 0

=0

; ∑ FY = 0

; ∑ FZ = 0

X

=0

X

; ∑MZ = 0

* En el plano existen 3 ecuaciones:

∑F

X

En base de lo anterior, las condiciones de equilibrio para una estructura en el plano están representadas por tres ecuaciones que nos servirán para determinar las reacciones de apoyo. Sin embargo, a estas ecuaciones de la estática, usualmente pueden añadirse otras ecuaciones, llamadas “especiales” originadas por la presencia de “articulaciones” ver fig 2.15

articulación Figura 2.15

La articulación introduce una ecuación especial, a saber:

∑ M = 0 ; a la izquierda o derecha de la articulación 2.11

GRADO DE ISOSTATICIDAD. El “grado de ISOSTATICIDAD” de una estructura se define mediante la siguiente

expresión: G = R – E –e

Donde: R => Numero de reacciones (depende del numero y del tipo de apoyos) E => Ecuaciones de la estática (en el plano 3 y en el espacio 6) e => Ecuaciones especiales

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 46 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

De lo anteriormente expuesto, se ha podido demostrar los tres escenarios que se pueden presentar en el análisis de una estructura para determinar las condiciones de isostaticidad, que a manera de resumen se expone a continuación:

Tabla 2.3 Grados de isostaticidad de una estructura Condiciones de

Diferencia entre las incógnitas y

isostaticidad:

ecuaciones de equilibrio

G<0

E - I = grado de libertad de la estructura

G=0

CERO

G>0

I - E = grado de isostaticidad de la estructura

Tipo de estructura HIPOSTÁTICA o estructura inestable ISOSTÁTICA o estáticamente determinada HIPERESTÁTICA o estáticamente indeterminada

Donde: I => numero de incógnitas E => numero de ecuaciones de la estática

2.12 CARACTERIZACION DE LAS CARGAS. Como ya habíamos mencionado en el análisis de estructuras las cargas se pueden analizar como cargas puntuales o concentradas, cargas axiales, cargas no axiales (con excentricidad), cargas distribuidas y cargas no uniformes.

2.13 RESULTANTE DE CARGAS DISTRIBUIDAS LINEALMENTE. Para algunos propósitos es conveniente sustituir una carga distribuida linealmente, por una fuerza concentrada (puntual) según sea la línea de acción, y de la misma manera saber cual es la posición de dicha carga. Dentro las relaciones matemáticas que se aplican para el cálculo de la resultante de una carga distribuida linealmente lo expresamos de la siguiente manera:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 47 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

y

d R

R X

x

d x

(m ) L (m )

dR = ω ( x)dx l

R = ∫ ω ( x)dx

[t]

0

Además: l

x =

∫ x ⋅ ω ( x ) dx 0

[m]

l

∫ω

⋅ ( x ) dx

0

Donde:

x ⇒ es la posición aproximada donde se encuentra la carga resultante R a lo largo de la viga.

2.14 DETERMINACIÓN DE REACCIONES DE APOYO. En este subtitulo se mostrará el procedimiento que se sigue para determinar las reacciones en los apoyos de las estructuras, PERO ANTES DE INTRODUCIRNOS EN ESTE AMBITO estamos obligados a regirnos a una convención de signos, que nos permita solucionar las ecuaciones estáticas de una manera mas sencilla especialmente si seguimos un procedimiento análisis escalar.

Esta es la convención de signos de la estática, pero cuando se desconoce el sentido de la reacción es conveniente asumir para ella el sentido positivo, y si al realizar el cálculo obtenemos un resultado positivo significara que el sentido asumido será el contrario.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 48 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

2.15

EJERCICIOS RESUELTOS. Para poder tener una mejor percepción de la introducción al análisis de las estructuras

presentaremos a continuación a una serie de ejercicios resueltos, por los métodos ya mencionados anteriormente, para así realizar verificar el tipo de estructura y también hallar reacciones de apoyos en los distintos tipos de estructuras que se muestran a continuación.

Ejercicio #1 Dadas las siguientes estructuras en el plano, determinar su grado de ISOSTATICIDAD. a)

R 2

R 1

R 3

Como el grado de isostaticidad esta definido por el número de reacciones menos el número de ecuaciones de la estática tenemos:

G = 3 – 3 = 0; Estructura ISOSTATICA b)

R2

M 1 R2

R1 R1

Realizamos el mismo análisis: G = R – E – e G = 5 – 3 = 2; Estructura HIPERESTATICA Esta en una estructura Hiperestática de grado 2 o estáticamente indeterminada.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 49 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

c)

R2

R1

R3

Recordemos que con la presencia de una articulación se añade un ecuación especial (e)

G = 4 – 3 – 1 = 0 ; Estructura ISOSTATICA

d)

R2

R1

R3

G = 3 - 3 – 1 = 0 ; Estructura HIPO-ESTÁTICA

e)

R4

R2

R1

R3

G = 4 - 3 – 1 = 0; Estructura ISOSTÁTICA o arco ISOSTATICO ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 50 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

f)

R3

M1

R2

R5 R1

R4

G = 8 – 3 – 1 = 4; Estructura HIPERESTATICA DE GRADO 4

Ejercicio #2 Las siguientes estructuras no son adecuadas para soportar cargas, ya que se las considera GEOMETRICAMENTE INESTABLES. a)

h Esta estructura si bien tiene un grado de isostaticidad igual a cero ( G=0 ) carece de propiedades geométricas de estabilidad. b)

h

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 51 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

En este tipo de estructura podemos ver que tiene un grado isostático de G = 6 pero de igual manera presenta una INESTABILIDAD GEOMÉTRICA.

Ejercicio #3 Para las siguientes estructuras que presentan carga distribuida, determinar el valor de la resultante y la ubicación exacta de la misma: a) y

w (x)

dR

R

dx

X

x

L

La ecuación de w(x) corresponde claramente a la de una recta paralela al eje x, entonces w(x)= constante q. Por lo tanto: l

l

0

0

dR = q ⋅ dx ⇒ R = ∫ q ⋅ dx = q ⋅ x = q ⋅ l ⇒ R = q ⋅ l En este caso el valor de R, coincide con el valor de la superficie RECTANGULAR definida por la carga distribuida, además: l

∫ q ⋅ xdx = q 0

x2 2

l 0

=

q ⋅l2 2

Ahora solo reemplazamos en la formula anteriormente enunciada y obtenemos la posición exacta donde se esta aplicando la resultante de la carga distribuida.

l

x =

∫

x ⋅ ω ( x ) dx

0 l

∫ ω ⋅ ( x ) dx

q ⋅l2 l 2 = = [m ] q ⋅l 2

0

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 52 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Por lo tanto la ecuación de la línea de acción de R será:

x =

l [m ] 2

recta paralela al

eje “y”. La línea de acción de R pasa por el CENTRO DE GRAVEDAD de la superficie RECTANGULAR definida por la carga distribuida.

b)

2/3L R y

q(t/m)

w(x) x L(m)

q ⋅ x , entonces: l

w(x) representa a una recta cuya ecuación tiene la forma ω ( x) =

q q x2 R = ∫ * xdx = * 0 l l 2 l

q l2 = * ⇒ l 2

l

0

R=

q ⋅l 2

Nuevamente el valor de la resultante R coincide con el valor de la superficie TRIANGULAR definida por la carga distribuida, para hallar la posición exacta de la carga distribuida integramos nuevamente y reemplazamos en la formula ya mencionada:

q q x3 ⋅ x ⋅ xdx = * 0 l l 3

R=∫

l

l

0

⇒

R=

q ⋅l2 3

Por tanto la posición de la resultante será: l

x =

∫

x ⋅ ω ( x ) dx

0

l

∫ω 0

⋅ ( x ) dx

q ⋅l2 2 3 = = l[ m ] q ⋅l 3 2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 53 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

2l Por tanto la ecuación de la línea de acción de R será x = 3 [ m ]

Si nos damos cuenta la posición de la resultante R pasa por el centro de gravedad de la superficie triangular definida por la carga distribuida. c)

dR

R

w(x)

q(x)

p(x) x

dx

x L(m)

Dentro de la experiencia en asignaturas anteriores sabemos que ω ( x) representa una ecuación que esta representada por la siguiente ecuación:

ω ( x) = p + l

dR = ∫ ( p + 0

q− p ⋅x l

q− p x)dx l

⇒

R = (q + p)

l 2

Una vez más como en los casos anteriores, el valor de la resultante coincide con el valor de la superficie trapezoidal definida por la carga distribuida, para hallar la posición exacta de la carga distribuida integramos nuevamente y reemplazamos en la formula ya mencionada: l

dR= ∫ ( p + 0

q− p x)xdx l

⇒

p l2 (q+ ) 2 3

Por tanto la posición exacta de la resultante será: l

x =

∫ x ⋅ ω ( x ) dx 0

l

∫ ω ⋅ ( x ) dx 0

=

p l2 p ) (q + )l 2 2 3 = 2 [m ] ( q + p )l 3 (q + p ) 2

(q +

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 54 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

La línea de acción de R pasa por el centro de gravedad de la superficie trapezoidal definida por la carga distribuida.

Ejercicio #4 Para la siguiente estructura, determinar el valor de las reacciones de apoyo (resolver por el método vectorial y escalar). 3 t B

A R2 R1

R3 2 6

a partir de esta estructura es conveniente construir un diagrama de cuerpo libre (D.C.L.), para asi poder ubicarnos de mejor manera en el análisis de esta estructura

3t=P B

A R2

R1

R3

Procedimiento Vectorial: r r R1 = R1 ,0,0 t ; R2 = 0, R2 ,0 t ;

r R3 = 0, R3 ,0

t

;

r P = 0,−3,0

Como solamente nos corresponde analizar en el plano, utilizamos la siguiente condición de equilibrio:

r FR = 0 por tanto reemplazando obtenemos la siguiente ecuación: r r r r R1 + R2 + R3 + P = 0

ec.(1)

r Ahora recurrimos a una segunda condición de equilibrio para estructuras coplanáres: M A = 0

[2,0,0]x[0,−3,0] + [6,0,0]x[0, R3 ,0] = 0 ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 55 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Donde [2,0,0] m es un vector de posición de un punto de P y [6,0,0] m es un vector de posición de un r punto de R3 , entonces resolviendo el sistema vectorial tenemos:

[0,0,6 R3 − 6] = 0 r r ⇒ R3 = 1t ⇒ R3 = [0,1,0] Como ya tenemos calculado el valor de la reacción en B(R3), reemplacemos este valor en la ecuación 1, asi se tiene:

R1 ,0,0 + 0, R2 ,0 + 0,1,0 + 0,−3,0 = 0,0,0 ⇒ [R1 , ( R2 + 1 − 3),0] = [0,0,0] ⇔ R1 = 0t _ y _ R2 = 2t Por tanto tenemos los siguientes resultados: r R1 = [0,0,0] t r R2 = [0,2,0] t r R3 = [0,1,0] t

Procedimiento Escalar: Para la solución de esta estructura por el método escalar es necesario que recordemos la convención de signos asumidos a principio de este capitulo.

3t=P B

A R2

R1

R3

Empecemos analizando las ecuaciones fundamentales de equilibrio:

∑F = 0 ⇔ ∑H = 0⇒ H = 0 ∑ F = 0 ⇔ ∑V = 0 ⇒ V − 3 + V = 0 ∑ M = 0 ⇔ ∑ M = 0 ⇒ (3)(2) − 6(V x

A

y

A

Z

A

B

B

ec.(1) ec.(2)

) = 0 ⇒ VB = 1[t ]

ec.(3)

Sustituyendo las ecuaciones (3) y (1) en la ecuación (2) tenemos:

VA = 2 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 56 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Nótese que al calcular el valor de la reacción VA , dependió del cálculo de la reacción VB , ósea que si se hubiera cometido un error al calcular la primera reacción, se transmitiría como un gran error para la segunda reacción, para evitar esa incógnita se plantea el siguiente procedimiento de análisis:

∑F = 0 ⇔ ∑H = 0⇒ H = 0 ∑ M = 0 ⇒ (3)(2) − 6(V ) = 0 ⇒ V = 1[t ] ∑ M = 0 ⇒ (3)(4) − 6(V ) = 0 ⇒ V = 2[t ] CONTROL ∑ V = 0 ⇒ 2 − 3 + 1 = 0 x

A

A

B

B

B

A

A

Este procedimiento de verificación consiste en realizar una sumatoria de todos los esfuerzos existentes en el eje “y” o todas las componentes de cargas en sentido vertical, dicha sumatoria debe dar por resultado cero (0), por que así estará confirmado que los esfuerzos de las cargas activas estarán compensadas por las cargas reactivas (reacciones), mostrando que existe un equilibrio tanto geométrico como interno. Dentro de marcos aceptables se puede aceptar que en la verificación de equilibrio un pequeño margen de error: + 0.02, pasado este error la estructura será considerada como estáticamente inestable.

Ejercicio #5 Para la siguiente estructura, determinar el valor de las reacciones de apoyo.

2 t q = 0 .5 t /m 1 .5 m

2 3

2

Primeramente realizamos un análisis para verificar el grado de isostaticidad

G = 3 – 3 = 0 ; Estructura ISOSTATICA

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 57 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Para efectos de facilidad de calculo presentamos en el siguiente DCL, nótese que se realiza el análisis solo con la resultante de la carga distribuida, esta es equivalente a la anterior estructura pero solo para efectos de calculo de reacciones, pero las estructuras NO SON IGUALES.

2 t

R = 0 .5 x 2 = 1 . 0 t

HA VA

VB

Empecemos analizando las ecuaciones fundamentales de equilibrio:

∑F ∑M ∑M

x

=0⇔ ∑H =0⇒ HA + 2=0 A

= 0 ⇒ (1)(1) − 3(VB ) + (2)(1.5) = 0 ⇒ VB = 1.33[t ]

B

= 0 ⇒ (2)(1.5) − 3(V A ) − (1)(2) = 0 ⇒ V A = −0.33[t ]

Nótese el signo (-) de la reacción VA, esto no quiere decir que hayamos realizado de manera errónea los cálculos de estática, solo que se tiene que cambiar el sentido que habíamos asumido para dicha reacción en primera instancia.

1.0 t

2t

2t 0.33 t CONTROL

1.33 t ∑ V = 0 ⇒ 1.33 − 1 + 0.33 = 0

Este procedimiento de verificación consiste en realizar una sumatoria de todos los esfuerzos existentes en el eje “y” o todas las componentes de cargas en sentido vertical, dicha sumatoria debe dar por resultado cero (0), por que así estará confirmado que los esfuerzos de las cargas activas estarán compensadas por las cargas reactivas (reacciones), mostrando que existe un equilibrio tanto geométrico como interno. Dentro de marcos aceptables se puede aceptar que en la verificación de ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 58 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

equilibrio un pequeño margen de error: + 0.01, pasado este error la estructura será considerada como estáticamente inestable.

Ejercicio #6 Para la siguiente estructura, determinar el valor de las reacciones de apoyo. 1.5 t q=1 t/m

2t.m C 1 3 4 B

A 3

2

2

Para efectos de facilidad de calculo y observación realizamos el D.C.L. de la estructura tomando en cuenta solo las resultantes de la carga distribuida pero verificando siempre el grado de isostaticidad. 1 .5 t

2 t.m 1 .5 t

R = 0 .5 (5 )(1 )

C

2 t

2 ,6 7

B M

HA

A VA

B

VB 2

G = 4 - 3 – 1 = 0 ; Estructura ISOSTATICA En este caso observamos cuatro incógnitas provenientes por cada una de las reacciones encontradas, para determinar su valor contamos con tres ecuaciones de la estática y una ecuación especial que esta dada por la articulación en el punto C. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 59 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Empecemos analizando las ecuaciones fundamentales de equilibrio:

∑ H = 0 ⇒ H + 2 = 0 ⇒ H = −2 t ∑ M = 0 ⇒ 2(2.67) + 1.5(2) + 1.5(5) + 2 + M − V = 0 ∑ M = 0 ⇒ − (−2)(1) + 5V + 2(1.67) − 1.5(3) + 2 + M = 0 A

A

A

B

B

B

A

B

Como ya habíamos mencionado, estas tres ecuaciones de la estática no son suficientes para realizar los cálculos necesarios, pero si debemos usar la ecuación especial que esta dada por la articulación en el punto C, tomando esta ecuación especial podemos analizar hacia el lado que más te convenga para facilidad de cálculo (izquierda o derecha).

∑M

C DERECHA

= 0 ⇒ 1.5(1) + 2 + M B − 1(VB ) = 0

Con esta ecuación podemos resolver el sistema, luego tenemos los siguientes resultados: 2t.m R=0.5(5)(1)

1.5 t

C

2t

B 0.11 t_m

A

2t

3.59 t

0.59 t

CONTROL

∑V = 0 ⇒ −0.59 − 1.5 − 1.5 + 3.59 = 0

Ejercicio #7 Para la siguiente estructura, determinar el valor de las reacciones de apoyo.

C

3

HA

1 t.m A

HB

3 VA

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

B

0.6 t/m

3 VB

Pag - 60 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Realizamos el D.C.L. de la estructura tomando en cuenta solo las resultantes de la carga distribuida y verificando siempre el grado de isostaticidad.

1.5

C

R=0.5(0.6)(3) 1 t.m A

HA

1

HB

B

VB

VA

La articulación introduce al sistema una ecuación de momento, que debe tomarse a la izquierda o a la derecha de la articulación pero no a ambos lados.

G = 4 - 3 – 1 = 0 ; Estructura ISOSTATICA Analizando las ecuaciones fundamentales de equilibrio tenemos:

∑ H = 0 ; H + H − 0.9 = 0 ∑ M = 0 ; 1 + 1.2(1.5) − 0.9(1) − 6V A

B

A

⇒

∑M

B

=0

VB = 0.32 t

= 0 ; 1 − 1.2(4.5) − 0.9(1) + 6VB = 0 ⇒

Ecuación especial;

⇒

B

V A = 0.88 t

∑M

C DERECHA

=0

0.9(2) − 3(0.32) − 3H B = 0 ⇒ H B = 0.28 t ;

H A = 0.62 t

Para verificar realizamos el control correspondiente. CONTROL

∑V = 0 ⇒ 0.88 − 1.2 + 0.32 = 0

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 61 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #8 Para la siguiente estructura, determinar el valor de la fuerza resultante y su línea de acción para el sistema (a) sabiendo que f(x) = parábola de 2do grado.

P1

f (x)

P2

6 t/m

0.7 t

0.5 t

M1 1

x

2

1 t.m

z 2

3 3

2

(a) La línea de acción esta representada por una ecuación, de modo que es preciso decidir un sistema de coordenadas, el origen de dicho sistema puede situarse en cualquier punto del plano que contiene a las fuerzas, pero es preferible que este se situara en el lugar mas adecuado.

f (x) dR

R

dx

6 t/m 3

x

x

3m Realizamos un cálculo previo: dR = f(x) dx

y = f(x) = k x2 6 = k * 32 ⇒ k =6/9 ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 62 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

⇒ k = 0.67 ⇒ f(x) = 0.67 * x2 [t/m] Integrando tenemos el valor de la resultante: 3

R = ∫ 0.67 * x 2 dx 0

⇒ R = 0.67 * 9 ⇒ R = 6t ; Coincidencia Ahora hallamos la posición exacta de la resultante de la carga.

∫ x=

3

0

x(0.67 x 2 )dx R

=

34 / 4 * 0.67 13.57 = = 2.26 m 6 6

Para imaginarnos de mejor manera:

P(x,y)

R(-P,0)

x

Q(P,0)

PQ = PR Ahora procedemos a vectorializar las fuerzas. r r P1 = [0,−0.5,0]t ; r1 = [−4,0,0] r r P2 = [0,−0.7,0]t ; r2 = [−2,0,0] r M 1 = [0,0,1]t _ m r r r3 = [2.26,0,0] R1 = [0,−6,0]t ; r r r r Sabemos que: FR = P1 + P2 + R1 ⇔ [0,−7.2,0] t r r r r r r r r M R = r1 xP1 + r2 xP2 + r3 xR1 + M 1

∴

−4 0 r M R = 0 − 0 .5 ˆj iˆ

0

−2

0 + 0 kˆ iˆ

0

0

− 0 .7 0 + ˆj kˆ

2.26 0 iˆ

0

0

− 6 0 + [0,0,1] ˆj kˆ

r FR ⇔ [0,0,2] + [0,0,1..4] + [0,0,−13.56] + [0,0,1] = [0,0,−9.16] ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

t_m Pag - 63 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

r Sea el punto P de coordenadas P = [x ,0 ,0] m, un elemento de la línea de acción de FR , r r r entonces rP xFR = M R ; Es decir el momento de la fuerza resultante FR debe ser igual a la resultante de momentos.

∴

x 0 0 r M R = 0 − 7 .2 0 ˆj kˆ iˆ

⇒ [0,0,−7.2 x] = [0,0,−9.16]

⇒ − 7.2 x = −9.16 ⇒ x = 1.27

m

Esta es la ecuación de una recta paralela al eje y.

F=7.2 t R

x

(b)

1.27

Por tanto el sistema (a) (complejo) puede ser sustituido por el sistema (b) (simple), sin embargo ambos sistemas no son iguales, son equivalentes para ciertos efectos de cálculo.

Ejercicio #9 La figura muestra una manivela OE, esa pieza esta sujeta al plano XZ mediante 2 cables (tensores), el extremo O es una pasador en el espacio, se pide determinar las reacciones de apoyo en el pasador y en los tensores. Las coordenadas de los puntos en el espacio son:

2 A 0 [m] 3

−2 B 0 [m] 3

0 C 9 [m] 0

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

0 D 9 [m] 3

0 E 13 [m] 3

0 G 4 [m] 0

Pag - 64 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Z R=0.6t

B q1=0.5 t/m

q2=0.2 t/m

D

A

R=0.8

E

T2

T1

0.8 t.m

G

O

Y

C

X Vectorializar: →

GA ⇔ [2,−4,3] r

r u

→

GA

→

⇒

GA = 5.38

⇔ [0.37,−0.74,0.56]

r

r

r → ⇒ ⇔ [0.37a,−0.74a,0.56a] ⇒ T 1 ⇔ T 1 ⋅u { GA T 1 a

→

GB ⇔ [−2,−4,3] r

r u

→

GB

⇒

→

GB = 5.38

⇔ [−0.37,−0.74,0.56]

r

r

r → ⇒ ⇔ [−0.37b,−0.74b,0.56b] ⇒ T 2 ⇔ T 2 ⋅u { GB T 2 b

r R1 = [ R1 ,0,0] r R2 = [0, R2 ,0] r R3 = [0,0, R3 ] r Q = [0,0,−0.6]

r M 1 = [−0.8,0,0] r R∆ = [0,0,−0.6] r Rrec = [0,0,−0.8]

; ; ;

* FR = 0 ⇒ [0.37 a − 0.37b + R1 ,−0.74a − 0.74b + R2 ,0.56a + 0.56b + R3 − 0.6 − 0.6 − 0.8] = [0,0,0, ] { { { 0

6t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

− 2.55

Pag - 65 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

**

r MR = 0 ⇒

0 4 0 0 4 0 0 4 0 0 10.33 0 0 11 0 0.37 a − 0.74a 0.56a + − 0.37b − 0.74b 0.56b + 0 0 − 0.6 + 0 0 − 0.6 + 0 0 − 0.8 + ˆj ˆj ˆj iˆ kˆ iˆ kˆ iˆ ˆj kˆ iˆ kˆ iˆ ˆj kˆ + [−0.8,0,0] = 0

∴ [2.24a,0,−1.48a] + [2.24b,0,+1.48b] + [−2.4,0,0] + [−6.198,0,0] + [−8.8,0,0] + [−0.8,0,0] = 0 ⇒ [2.24(a + b) − 18.198,0,1.48(b − a )] = [0,0,0, ] ⇒a =b Sol.

r ⇒ a = T1 = 4.06

r t ⇔ b = T2

Ejercicio #10 Se pide determinar las reacciones de apoyo para la siguiente figura. 2 t/m C

0.5 t/m

D

A

HA

4

B

HB

VA 3

3

2,5

VB

Verificamos el grado de isostaticidad G = 4 – 3 – 1 =0 ; Estructura ISOSTATICA Realizamos el siguiente cálculo previo. L = 3 2 + 4 2 ⇒ L = 5m El ángulo de inclinación será: senθ =

4 4 ⇒ θ = arcsen = 53.3º 5 5

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 66 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Realizamos el cálculo de la resultante de la carga distribuida linealmente a lo largo del tramo CD luego realizamos el cálculo de las componentes verticales y horizontales.

RY

R RX

sen53.3º =

RY ⇒ RY = (0.80) * 2.5 = 2t 2 .5

cos 53.3º =

RX ⇒ RX = (0.598) * 2.5 = 1.5t 2 .5

Aplicando las ecuaciones de equilibrio tenemos:

∑ H = 0 ⇒ H − 1.5 = 0 ⇒ H = 1.5t ∑ M = 0 ⇒ 6 *1.5 − 2 * 4.5 − 1.5 * 2 + 1 − 8.5V ⇒ V = −0.23t ∑ M = 0 ⇒ −6 * 7 + 8.5V − 1.5 * 2 + 2 * 4 + 1 = 0 ⇒ V = 4.23t A

A

A

B

B

B

A

A

Realizamos el control respectivo. CONTROL

∑ V = 0 ⇒ 4.23 − 6 + 2 − 0.23 = 0

2.16 EJERCICIOS PROPUESTOS. Problema #1 Determinar las reacciones de apoyo de la siguiente figura 1 t/m 0.5 t/m

2t

A

B

2

Respuesta:

2

2

2

HA=0 t ; VB=1.75 t ;

2,5

2

VA=0.75 t VC=1.95 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

D

C

F

E

;

2,5

VD=1.05 t

Pag - 67 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Problema #2

1 t/m

C

3 A

B

3

3 Respuesta:

1 t/m

HA=1.5 t ; HB=1.5 t VA=3 t ; VB=0 t

Problema #3 Determinar las reacciones de apoyo:

1.5 t/m 1.5 m

1 t/m

0.5 t/m C

1m 2m

A

2t

2m

1m B

2.5 m

Respuesta:

1.5 m

HA=0.42 t

; HB=1.33 t

VA=2.91 t

; VB=-4.246 t

2.5 m

1.5 m

VC=1.957 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 68 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Problema #4 Determinar las reacciones de apoyo de la siguiente figura 0.5 t/m

F

E

D

C

1.5 m

2t 4m 1.5 m

B

A

2m

Respuesta:

2m

2m

2m

HA=2 t VA=1.75 t VB=1.083 t MB=7.298 t

Problema #5 Determinar las reacciones de apoyo de la siguiente figura

3

1

0.5 t/m

0.3 t/m

0.3 t.m

0.2 t A

B

5

Respuesta:

D

2

C

E

2

2 4

HC=0.2 t MC=0.7 t_m VB=1.31 t VA=0.14 t VC=0.25 t

Problema #6 Determinar las reacciones de apoyo de la siguiente figura

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 69 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil B

4

0.4 t/m 0.2 t/m

A

Respuesta:

0.3 t/m C

E

D

6

0.5 t

2

1

1

HA=1.1 t VA=0.8 t VB=0.17 t VC=0.27 t

Problema #7 Determinar las reacciones de apoyo de la siguiente figura 0.2 t/m

C 0.6 t/m

4

A

B

3

Respuesta:

3

HA=2.30 t ; VA=3.06 t HB=0.7 t ; VC=0.13 t

Problema #8 Determinar las reacciones de apoyo de la siguiente figura

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 70 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

6

A

B

3

Respuesta:

1 t/m

3

HA=6 t VA=5.25 t VB=2.25 t

Problema #9 Determinar las reacciones de apoyo de la siguiente figura

B

2

1 t/m 2t

A

3

4 2 Respuesta:

HA=2 t ; VA=2.08 t HB=0 t ; VB=0.75 t MA=4.6 t_m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 71 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Problema #10 Determinar las reacciones de apoyo de la siguiente figura

1 C

D

1 t.m

4 0.5 t/m

A

B

3 Respuesta:

3

HA=4 t ; VB=1.04 t

VA=2.54 t

Problema #11 Determinar las reacciones de apoyo de la siguiente figura Z

EMPOTRAMIENTO

O Y 1t

A

2t

C

1 t.m

C

B

0.2 t/m

D

x

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 72 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Respuesta:

Rx= 2.5 t ; Mx=8.25 t_m Ry= -0.5 t ; My=15.5 t_m Rz= 2 t ; Mz=-3.0 t_m

Problema #12 Determinar las reacciones de apoyo de la siguiente figura dados los siguientes datos:

0

0

3

A5 1

B7 2

C0 5

−3 D 0 5

Z D

C T2

B

T1

1t

A

Y

X

Respuesta:

HA=0.531 ; VA=0.55 t t HB=0.031 t ; VB=2.55 t

2.17 EVALUACION DIAGNOSTICO DEL CAPITULO. Para realizar una evaluación diagnostico referente al presente capitulo, se propone al estudiante responder las siguientes preguntas.

Definir el concepto de ESTRUCTURA. Que es un apoyo? Que tipo de estructuras existen? Cual es la clasificación de las estructuras? Que tipos de apoyos existen y cuales son los grados de libertad de cada uno? Que es el grado de isostaticidad? ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 73 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Para concluir este diagnostico se pide determinar las reacciones de apoyo de la siguiente figura.

3 2t 0.5 t

5

A

1,5

B

10

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

1,5

Pag - 74 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

CAPÍTULO 3 ESFUERZOS INTERNOS EN LAS ESTRUCTURAS 3.1 OBJETIVO GENERAL. El estudiante aprenderá a elaborar los diagramas de variación de los elementos mecánicos que se presentan en cualquier punto de una estructura isostática a través de la deducción de sus funciones y de la relación que existe entre las cargas externas con las fuerzas internas de la estructura.

3.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS. Aprenderá cuales son los esfuerzos internos de una estructura y sabrá en que dirección actúan estas (normal, cortante y momento).

El estudiante aplicara una convención de signos apropiada para aplicar al cálculo de los elementos ya mencionados.

El estudiante aprenderá los distintos métodos de análisis para la determinación de los esfuerzos internos de los diferentes tipos de estructuras (vigas, pórticos, arcos, estructuras mixtas).

Según cada método aprendido realizara de manera combinada la elaboración de los diagramas de esfuerzos internos.

El estudiante con los métodos de análisis mencionados, demostrara que las estructuras analizadas están en equilibrio estático. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 75 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

3.3 INTRODUCCION. Si un elemento bajo la acción de un sistema de fuerzas externo se encuentra en equilibrio, cualquier porción del mismo, también deberá de encontrarse en equilibrio. Este es el principio de punto de referencia para que el lector entienda la causa-efecto de un sistema de fuerzas externo con un sistema de fuerzas interno; principio que nos demuestra la frontera entre la mecánica de los cuerpos rígidos asociándola al equilibrio externo y la mecánica de los cuerpos deformables, con el equilibrio interno. En este capitulo se demuestra como encontrar el equilibrio interno a través de la relación entre las fuerzas externas y las fuerzas internas; resultando de esta relación los elementos mecánicos que son generados por la acción del sistema de fuerzas externo; y que, por sus efectos se clasifican en: Fuerza normal “N” como la fuerza interna que actúa perpendicular a la sección transversal, con un efecto de tensión o de compresión. Fuerza cortante “V”, como una fuerza interna que actúa paralela a la sección transversal, con un efecto de corte o deformación de la sección transversal. Momento flexionante “M”, como un momento interno que actúa paralelo a la sección, generando un efecto de flexión, por lo tanto, las fibras del elemento estructural están sometidas a compresión o tensión. Momento torsionante “T”, como un momento interno que actúa perpendicular a la sección transversal, identificándose por su efecto de “torcer” al eje longitudinal sobre el cual esta actuando. Con la definición, identificación y clasificación de los elementos mecánicos por sus efectos, se le proporciona al lector elementos de análisis para encontrar la variación de los elementos mecánicos sobre estructuras en forma de vigas, pórticos simples y arcos, considerando cargas repartidas en forma rectangular, en forma triangular, cargas concentradas y momentos, a través de la deducción de las funciones de los elementos mecánicos señalando los puntos de discontinuidad de las cargas externas; y por la relación, entre la carga externa con la fuerza cortante, y la fuerza cortante con el momento flexionante.

3.4 DEFINICION Y ANÁLISIS DE LOS ELEMENTOS MECANICOS INTERNOS. Si idealizamos un elemento estructural que se encuentra en equilibrio bajo la acción del sistema de fuerzas externo representados por las cargas “P”; como se muestra en la figura 3.1(a) y (b), ¿Que sucede si sobre el plano de corte imaginario separamos el cuerpo?:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 76 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Figura 3.1 (a)

Figura 3.1 (b)

¿Estaría de acuerdo en aceptar que el efecto que se genera al separar el cuerpo sobre el plano de corte imaginario es el rompimiento del equilibrio externo?, si es así, entonces no se cumple el principio de que “si un cuerpo bajo la acción de un sistema de fuerzas externo se encuentra en equilibrio, cualquier porción del cuerpo también deberá de encontrarse en equilibrio”; por lo tanto, será necesario equilibrar la porción izquierda y derecha a través de un sistema resultante interno localizado en el centroide de la sección transversal que sea equivalente a la acción del sistema de fuerzas externo de cada porción . Para lo anterior observe la figura 3.2:

Figura 3.2

Porción izquierda: Sobre el centroide de la sección transversal se localiza un sistema resultante interno integrado por la fuerza resultante FRi y por el momento resultante interno MRi, equivalente a la acción del sistema de fuerzas externo que actúa en la misma porción izquierda. Porción derecha: En forma análoga y sobre el centroide de la sección transversal, se localiza un sistema resultante interno equivalente a la acción de las fuerzas externas que actúan sobre la porción derecha; distinguiéndose éste sistema resultante interno, por tener sentido contrario al de la porción izquierda para que exista el equilibrio interno entre ambas secciones. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 77 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

En base de lo anterior y dado que estamos abordando el concepto de resultante, es de suponerse que éste tiene sus componentes en la dirección de los ejes X, Y, y Z respectivamente, tanto para la fuerza como para el momento resultante; tomando como referente la porción izquierda, las componentes se observan en la figura 3.3:

Figura 3.3

En consecuencia, las componentes del resultante interno (tres fuerzas componentes internas y tres momentos componentes internos); se les define como elementos mecánicos; que por sus efectos se identifican: Fuerza normal (N): También reconocida como FXX es la fuerza componente interna que actúa perpendicular a la sección transversal; se identifica por dos efectos: tensión o compresión, ver fig 3.4.

Figura 3.4

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 78 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Fuerza cortante (V): Esta representada por FXY FXZ (este ultimo en el espacio); componentes internas que actúan paralelamente a la sección transversal; se identifican por su efecto de corte. ver fig 3.5.

Figura 3.5

Momento torsionante (T): MXX momento componente interno que actúa perpendicular a la sección transversal; se le identifica por su efecto de torsión al eje longitudinal del elemento estructural. Momento flexionante (M): MXY MXZ momentos componentes internos que actúan paralelamente al eje longitudinal, que se les asocia un efecto de flexión.

Figura 3.6

3.5 CONVENCIÓN DE SIGNOS DE ESFUERZOS INTERNOS. A continuación presentamos la convención de signos para los elementos mecánicos y sus efectos, éste será de acuerdo al efecto que genera sobre el elemento estructural. Para ello,

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 79 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

consideremos una viga simplemente apoyada con carga concentrada al centro del claro como se muestra en la figura 3.7(a).

P 30°

B

A

C

L/2

L/2 Figura 3.7(a)

Con un diagrama de cuerpo libre, nos permitirá identificar el sistema activo y el sistema reactivo ver fig 3.7 (b) P 30° B

A

l/2

C

l/2

R3=cos30 R1=Psen30/2

R2=Psen30/2

l/2 A

l/2 B

C

Figura 3.7 (b)

Tomando de referencia el diagrama de cuerpo libre, sobre el tramo AB se localiza una sección perpendicular al eje longitudinal a una distancia X del eje A, la porción izquierda de la estructura se observa en la figura 3.8.

Figura 3.8

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 80 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

En base de lo anterior, la porción izquierda no se encuentra en equilibrio; por lo que, para equilibrarla se requiere un sistema interno integrado por diferentes elementos mecánicos, esto es: La acción de R1 genera una fuerza interna vertical que actúa paralelamente a la sección transversal la que se define como fuerza cortante VA’ ; asimismo, la fuerza externa R1, y la interna VA’ producen un giro a la porción de la estructura generando un par interno representado por MA’, que se define como momento flexionante; finalmente, la acción de la fuerza externa R3 genera una fuerza interna perpendicular a la sección transversal NA’, que se define como la fuerza normal; lo anterior se representa en la fig 3.9:

Figura 3.9

De lo anterior se deduce que los elementos mecánicos generados por el sistema externo que actúa sobre la porción derecha de la estructura, se equilibran con los generados en la porción izquierda; esto es:

Figura 3.10

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 81 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Idealizando sobre la sección A’ un elemento de longitud dx, los elementos mecánicos generados por el sistema externo de cada porción se muestra en la fig 3.11:

Figura 3.11

A continuación abordaremos cada uno de los elementos mecánicos para visualizar sus efectos que nos permitan asociarle el signo correspondiente:

3.5.1

Fuerza normal: A la fuerza normal se le asocia el signo positivo cuando el efecto

de las fuerzas externas que actúan sobre ella son de tensión.

Figura 3.12

3.5.2

Fuerza cortante: A la fuerza cortante se le asocia el signo positivo cuando la carga

externa que actúa sobre la porción izquierda de la estructura tiene una dirección vertical con sentido ascendente.

Figura 3.13

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 82 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

3.5.3 Momento flexionante: Al momento flexionante se le asigna el signo positivo cuando el efecto sobre la fibra superior es de comprensión.

Figura 3.14

En resumen tenemos que la convención de signos en sentido positivo será:

M

M DER

IZQ

(+)

N Q

N Q

Figura 3.15

3.6 ANÁLISIS DE LAS ESTRUCTURAS. El análisis de las estructuras, puede en general sub-dividirse en:

Análisis de vigas. Las vigas son barras, en las cuales la dirección del eje centroidal es paralela al horizonte geográfico.

Análisis de pórticos. Los pórticos son estructuras en las cuales, la dirección de los ejes centroidales de las barras no es paralela al horizonte geográfico sino que el eje x coincide con el eje local de la barra.

Análisis de arcos. Los arcos son estructuras en las cuales la ecuación del eje centroidal corresponde a una curva (no lineal).

Análisis de estructuras mixtas. Son las que están compuestas por vigas, pórticos y arcos.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 83 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

3.7 ANÁLISIS DE VIGAS. 3.7.1 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Una vez entendido que los elementos mecánicos son generados por la acción de un sistema de fuerzas externo que actúa en una estructura, en éste apartado plantearemos el procedimiento de análisis para trazar los diagramas de variación correspondiente, contemplando para ello dos procedimientos; la deducción de las funciones de los elementos mecánicos (método de las secciones o análisis funcional) y la relación de la carga externa con la fuerza cortante y la fuerza cortante con el momento flexionante (método de suma de áreas o análisis relacional). Para ello, y tomando de base la aplicación de una carga concentrada, de una carga uniformemente distribuida y de una carga distribuida de forma triangular sobre una estructura (viga o barra), identificaremos la variación de la fuerza cortante, la fuerza normal y el momento flexionante expresándola en su respectivo diagrama.

3.7.1.1 MÉTODO DE LAS SECCIONES.

Tiene como objetivo encontrar la

magnitud de los elementos mecánicos que se presentan en una estructura isostática a través de la deducción de sus funciones respectivas en el contexto de un parámetro definido; en consecuencia, el análisis para determinar éstas funciones está limitado por la variación de las cargas externas que actúan en la estructura. Para demostrar lo anterior proponemos:

PRIMERO.- A partir de la estructura planteada, se construye un diagrama de cuerpo libre para identificar:

El sistema de fuerzas.- Dado que se analizan estructuras planas, el sistema de fuerzas en su conjunto podrá ser un sistema de fuerzas paralelo o un sistema de fuerzas generales en el plano.

El número de ecuaciones de equilibrio estático.- En consecuencia de lo anterior, el número de las ecuaciones de equilibrio estático para el sistema de fuerzas en su conjunto, se identificarán DOS para el sistema de fuerzas paralelo o TRES para el sistema de fuerzas generales en el plano.

El número de incógnitas.- Están representadas por las componentes reactivas o reacciones en cada uno de los apoyos de la estructura y considerando su sistema de apoyos se podrá identificar: UNA incógnita representada por la componente reactiva de un apoyo móvil; DOS incógnitas representadas por las componentes reactivas en

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 84 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

un apoyo fijo; y TRES incógnitas cuando se tiene un apoyo identificado como empotramiento.

Las condiciones de isostaticidad.- Identificado el número de las incógnitas y el número de las ecuaciones de equilibrio estático que contiene el sistema en su conjunto, se tendrán elementos de análisis para abordar estructuras cuando las condiciones de isostaticidad sean iguales; esto es: I = E.

El tipo de estructura.- Con el resultado anterior, estaremos en condiciones para abordar el análisis de una estructura que se define como Isostática.

SEGUNDO.- Aplicando las condiciones de equilibrio sobre el diagrama de cuerpo libre, se determinan las reacciones para encontrar el equilibrio externo.

TERCERO.- Analizando la estructura de izquierda a derecha o viceversa según sea el caso se identifican los tramos que presenten cambios de forma en la carga externa, para que, sobre cada uno de ellos, se construya un diagrama de cuerpo libre indicando la acción de las cargas externas (que actúan sobre la porción que se analice) las que se habrán de equilibrar con un resultante interno, identificando en éste, las componentes que definen a los elementos mecánicos que actúan en el tramo respectivo.

CUARTO.- Aplicando las condiciones del equilibrio estático se deducen las funciones de los elementos mecánicos que se presentan en cada tramo, y al sustituir en éstas los parámetros de variación de la distancia X se obtienen las magnitudes respectivas.

QUINTO.- Con el resultado del punto anterior se procederá a trazar el diagrama de variación para cada elemento mecánico considerando:

Línea base de la fuerza normal, fuerza cortante o momento flexionante: A partir de un marco de referencia, sobre el eje horizontal se traza la línea base sobre la que se indicarán los parámetros de variación de la distancia “X”; que se relacionarán sobre el eje vertical en el que se localizarán las magnitudes de los elementos mecánicos respectivos.

Trazo de la variación de los elementos mecánicos.- Con los puntos encontrados del resultado anterior, se une punto a punto obteniéndose la variación que estará definida

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 85 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

por las funciones de los elementos mecánicos, identificándose en éstas, las siguientes características: Para cuando la carga externa es nula, la función del diagrama de la fuerza cortante es una línea horizontal y paralela al eje longitudinal a través de una ecuación de la forma “y =” y la del diagrama del momento flexionante se representa por una línea inclinada que obedece a una ecuación de la forma” y = mx + b”; . Para cuando la carga externa es uniformemente distribuida la función del diagrama de la fuerza cortante se representa por una línea inclinada por estar condicionada a una ecuación de la forma “y = mx + b” y la del diagrama del momento flexionante por una línea curva de segundo grado mediante una ecuación de la forma “y

= ax2 + bx + c” Para cuando la carga externa es repartida de forma triangular, la función del diagrama de la fuerza cortante se representa por una línea curva de segundo grado por contener una ecuación de la forma “y = ax2 + bx + c” y la del diagrama del momento flexionante por una línea curva de tercer grado con una ecuación “y = ax3 + bx2 + cx +

d”. Valores críticos.- En cada diagrama de variación de los elementos mecánicos como resultado del punto anterior, se habrá de identificar el valor máximo (positivo y negativo), mínimo y cero todos, referidos a la línea base respectiva; en éste supuesto se tiene: Cuando la fuerza cortante pase por cero, se asocia en el diagrama del momento flexionante un valor máximo que puede ser positivo o negativo; y cuando el momento flexionante pase por cero el punto se define como punto de inflexión.

3.7.1.2 ANALISIS RELACIONAL.

Es un procedimiento de análisis para

determinar la variación de los elementos mecánicos relacionando la carga externa con la fuerza cortante; y la fuerza cortante con el momento flexionante, entre dos puntos definidos en una estructura. Para demostrar lo anterior, tomaremos de referencia la estructura idealizada que a continuación se muestra:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 86 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

W t/m

P ton 2

1

R1

R2

W t/m

dx

X Figura 3.16

Partiendo del supuesto que la estructura se encuentra en equilibrio, esta se define como una viga simplemente apoyada con carga repartida (de forma triangular y uniforme) y carga concentrada las que en su conjunto, representan al sistema reactivo; y el sistema reactivo esta representado por las reacciones R1 y R2 . Iniciaremos el análisis a partir de un elemento diferencial de la carga uniformemente distribuida localizado a una distancia “X” y limitado por dos secciones (1 y 2 ) perpendiculares al eje longitudinal y separadas una distancia dx. Los elementos mecánicos que se presentan en cada una de las secciones señaladas, se muestran en la siguiente figura:

Figura 3.17

El sistema mostrado esta compuesto por un sistema externo, representado por la fuerza resultante equivalente a la carga uniformemente distribuida FR = W dx y por un sistema interno representado por los elementos mecánicos M y V que se presentan en la sección 1, y por (V + dV) y

(M + dM) en la sección 2; en consecuencia, el sistema en su conjunto se define como un sistema de fuerzas paralelo en el plano. Aplicando las ecuaciones de equilibrio externo: Suma de fuerzas verticales. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 87 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

V + Wdx − (V + dV ) = 0 Wdx − dV = 0

V + Wdx − V − dV = 0

; ∴

De la ecuación (1) obtenemos W =

Wdx = dV

ec.(1)

dV , por lo tanto se puede afirmar que: dx

“La pendiente de la fuerza cortante esta representada por la carga externa”. Integrando la ecuación (1) podemos obtener: V2

∫

V1

x2

dV = ∫ Wdx x1

Si la primer integral representa la variación de la fuerza cortante entre las secciones 1 y 2 , y la segunda, el área bajo la forma de la carga externa entre las secciones 1 y 2; entonces:

“La variación de la fuerza cortante entre las secciones 1 y 2 es igual al área bajo la forma de la carga externa entre ambas secciones”. Con base en lo anterior se tiene que:

∆V = V2 − V1 ; área de la carga externa entre 1-2 Aplicando ahora la segunda condición del equilibrio estático, con suma de momentos: M + Vdx + Wdx

dx − ( M + dM ) = 0 2 ∴

De la ecuación (2) obtenemos V =

;

Vdx = dM

M + Vdx + 0 − M − dM = 0

ec.(2)

dM , por lo tanto se puede afirmar que: dx

“La pendiente del momento flexionante esta representado por la fuerza cortante”. Integrando la ecuación 2:

∫

2

1

x2

dM = ∫ Vdx

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

x1

Pag - 88 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

La primera integral representa la variación del momento flexionante entre las secciones 1 y 2; y la segunda el área de la fuerza cortante entre las mismas secciones 1 y 2; por lo tanto:

“La variación del momento flexionante entre las secciones 1 y 2 es igual al área del diagrama de la fuerza cortante entre ambas secciones respectivamente”. Esto es:

∆M = M 2 − M 1 ; área del diagrama de fuerza cortante entre 1-2 Con base de lo anterior, la relación entre la carga externa y la fuerza cortante; y la fuerza cortante con el momento flexionante, para determinar la variación de los elementos mecánicos entre dos puntos se resume:

PRIMERO.- La pendiente de la fuerza cortante, esta representada por la carga externa. SEGUNDO.- La variación de la fuerza cortante entre dos puntos, es igual al área de la carga externa entre los mismos puntos de referencia.

TERCERO.-

La pendiente del momento flexionante, esta representada por la fuerza

cortante.

CUARTO.- La variación del momento flexionante entre dos puntos, es igual al área del diagrama de variación de la fuerza cortante entre los mismos puntos de referencia. Para tener una concepción grafica de las aplicaciones de vigas en estructuras complejas ver anexos del capitulo 3.

EJERCICIOS RESUELTOS. Para poder tener una mejor percepción de la introducción al análisis de las estructuras presentaremos a continuación a una serie de ejercicios resueltos por los métodos ya mencionados anteriormente, para así realizar la verificación de cada tipo de estructura y analizar el comportamiento estructural de cada viga, también aprender a graficar los diagramas de N, Q y M.

Ejercicio #1 Para demostrar lo anteriormente expuesto, se propone a continuación aplicar el análisis funcional o método de secciones juntamente con el método relacional.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 89 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

a) Método de las secciones o análisis funcional.

l /2

l /2

A

C

B

Primeramente realizamos un análisis para verificar el grado de isostaticidad

G = 3 – 3 = 0 ; Estructura ISOSTATICA Realizamos el cálculo de las reacciones de apoyo:

∑M

C

= 0 ⇒ −0.5(WL) + (VA ) = 0

∑M

A

= 0 ⇒ (WL)0.5 − VC = 0

CONTROL

WL [t ] 2 WL ⇒ VC = [t ] 2 ⇒ VA =

∑ V = 0 ⇒ WL − WL / 2 − WL / 2 = 0

Ahora seguimos con la obtención de las ecuaciones de esfuerzos internos basándonos en la convención de signos que ya hemos mostrado. M

M

IZQ

DER

(+)

N

N

Q

Q

Ahora, es conveniente establecer un sistema de referencia, haciendo coincidir el eje x con la dirección del eje centroidal de la viga

w (x)

A

C

B

l /2

l /2 X

W L /2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

W L /2

Pag - 90 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Se efectúa un corte en la viga, “S”, misma que se analizara una longitud X en un rango de longitud de viga “L”. Observemos el primero corte, sección “S” S

R

w(x)

M

N

B WL/2

Q x

DOMINIO ⇔ 0 < x < L Cortante Q ⇒

WL − WX 2

 x = L ⇒ Para   x=0 

⇒

WL 2 WL Q= 2

Q=−

⇒

Se observa que cuando X=0, la fuerza cortante tiene un efecto, positivo, y cuando X=L negativo. Por lo anterior se deduce que la fuerza cortante de A a C, sobre algún punto habrá de pasar por cero; en consecuencia, la distancia donde ocurre lo anterior, la función de la fuerza cortante se iguala a cero, para determinar eso es: WL − WX = V 2

pero cuando V=0, tenemos que:

WL = WX 2

⇒

X=

L 2

Procedemos al trazo del diagrama de la fuerza cortante primero se traza un marco de referencia compuesto por un eje horizontal “X” y un eje vertical “Y”, sobre el eje horizontal se localiza los primeros parámetros de la variable “X” y sobre el eje vertical se localiza la magnitud de la fuerza cortante para cada parámetro de la variable “X”. Uniendo los puntos desde A con X=0 y V=0 hasta, resulta la variación de la fuerza cortante que obedece a la función que se obtuvo. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 91 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

W L /2

(+ ) V=0

NR

V=0

x

( -) A

X=0

Momento M ⇒

C

B

WL WX 2 X− 2 2

X = L /2

x = L ⇒ Para  x = 0

-W L /2

X=L

⇒

M =0

⇒

M =0

Para tal efecto debemos tener conocimiento que cuando se observe un valor mínimo de la cortante (0), es ahí donde se encuentra el valor máximo del diagrama de momentos. Momento M ⇒

WL WX 2 X− 2 2

 ⇒ Para  x = L / 2 

⇒

WL2 M= 8

Procedemos al trazo del diagrama del momento flexionante, como ya mencionamos trazando un eje horizontal “X” y un eje vertical “Y”, sobre el eje horizontal se localiza los primeros parámetros de la variable “X” y sobre el eje vertical la magnitud del momento flexionante para cada parámetro de la variable “X”.

y 2

WL /8

(+) M=0

NR

M=0 A

X=0

B

X=L/2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

x

C

X=L

Pag - 92 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Una vez realizado el grafico de los esfuerzos internos de la estructura procedemos a anotar los valores críticos de la estructura.

Fuerza cortante máxima: esta representada en los apoyos en X=0 con signo positivo y en X=L con signo negativo, en ambos casos con un valor de WL/2

Fuerza cortante cero: se representa al centro del claro de la viga, punto en que el diagrama del momento flexionante es un valor máximo.

Momento flexionante cero: se presenta en los apoyos respectivos. Momento flexionante máximo: se presenta al centro del claro con un efecto positivo ( la fibra superior esta sometida a un efecto de comprensión) punto que, en el diagrama de fuerza cortante esta pasa por cero.

b) Método relacional.

l /2 A

l /2 C

B

Realicemos un diagrama de cuerpo libre que nos permita identificar las fuerzas existen en la viga.

R

w(x) A

C

B

l/2

l/2

WL/2

WL/2

Por dato sabes que las reacciones de apoyo en VA y VC son:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 93 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

∑M

C

∑M

= 0 ⇒ −0.5(WL) + (VA ) = 0 A

= 0 ⇒ (WL)0.5 − VC = 0

WL [t ] 2 WL ⇒ VC = [t ] 2 ⇒ VA =

Tomando de referencia el diagrama que representa a la estructura equilibrada realizamos el

diagrama de variación de la fuerza cortante: Cuando X=0, la fuerza cortante en A es: VA = VA = WL/2 Cuando X=L/2, la fuerza cortante en B es: VB = VA + (área de la carga externa actuando de A a B) esto es: VB = WL/2 + (-W * L/2) = WL/2 – WL/2 = 0 Cuando X=L, considerando un punto diferencial antes del punto C es: VC = VB + (área de la carga externa actuando de B a C) esto es: V’c = 0 + (-W * L/2) = – WL/2

antes de C

FINALMENTE la fuerza cortante en C es: VC = V’c + (reacción en C) VC = -WL/2 + WL/2 = 0 Con los resultados anteriores, el diagrama de variación de esfuerzos de la fuerza cortante se muestra en la siguiente figura:

WL/2

(+) V=0

NR

V=0

x

(-) A

X=0

B

X=L/2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

-WL/2

C

X=L

Pag - 94 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Tomando como referencia el diagrama de variación de la fuerza cortante realizamos ahora el

diagrama de variación del momento flexionante Cuando X=0, el momento en A es: MA = 0 Cuando X=L/2, el momento en B es: MB = MA + (área del diagrama de la fuerza cortante de A a B) esto es: MB = 0 + (WL/2)(L/2)(1/2) = WL2/8

Cuando X=L, el momento en B es: MC = MB + (área del diagrama de la fuerza cortante de B a C) esto es: MC = WL2/8 + (-WL/2)(L/2)(1/2) = WL2/8- WL2/8 = 0 MC = 0 El diagrama de variación del momento flexionante que se presenta en la viga, se muestra en la siguiente figura:

y 2

WL /8

(+) M=0

NR

M=0 A

X=0

B

X=L/2

x

C

X=L

Ejercicio #2 Se pide analizar la siguiente estructura por el método de secciones o análisis funcional juntamente con el método relacional.

a) Método de las secciones o análisis funcional.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 95 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil 2 /3 L R

W

A

B

VA

VB

L

Primeramente realizamos un análisis para verificar el grado de isostaticidad

G = 3 – 3 = 0 ; Estructura ISOSTATICA Realizamos el cálculo de las reacciones de apoyo: R = ½*L*W => R=WL/2 2 WL L − VC L = 0 3 2 1 WL ∑ M C = 0 ⇒ − 3 L 2 + VA L = 0

∑M

A

WL [t ] 3 WL ⇒ VA = [t ] 6

=0⇒

CONTROL

∑V = 0 ⇒ −

⇒ VC =

WL WL WL + + =0 2 6 3

Se efectúa un corte en la viga, “S”, misma que se analizara una longitud X en un rango de longitud de viga “L”.

2 /3 L S

R

A

W

B

VA

VB

X

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 96 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Observemos el primer corte, sección “S” 2/3X S

R

Aplicando las ecuaciones de equilibrio TENEMOS: Y

V’A = WL/6 – YX/2

A

Por triángulos semejantes tenemos: W/L = Y/X

VA

X

Y=

Entonces:

W X L , sustituyendo en la función de cortante referida al punto A’

DOMINIO ⇔ 0 < x < L

WL W X VC ' = − X 6 L 2

WL W X 2 − 6 L 2

Cortante Q ⇒

∴

WL W X VC ' = − 6 L 2

 x = L ⇒ Para   x=0 

⇒ ⇒

2

WL 3 WL Q= 6

Q=−

Determinamos la distancia horizontal por donde se efectúa el cambio de positivo a negativo en la cortante. WL WX 2 − =V 6 2L X2 =

WL 2 L 6 W

⇒

pero cuando V=0, tenemos que:

X =

1 L 3

o

X = 0.577 L

Procedemos al trazo del diagrama de la fuerza cortante.

WL/6 (+)

V=0

V=0

(-)

A

X=0

B

X=0.577L

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

-WL/3

C

X=L Pag - 97 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Momento M ⇒

WL WX 3 X− 6 6L

x = L ⇒ Para  x = 0

⇒

M =0

⇒

M =0

Para tal efecto debemos tener conocimiento que cuando se observe un valor mínimo de la cortante (0), es ahí donde se encuentra el valor máximo del diagrama de momentos. Momento M ⇒

WL WX 2 X− 2 2

{

⇒ Para x = 0.577 L

⇒

M = 0.064WL2

Procedemos al trazo del diagrama del momento flexionante, como ya mencionamos trazando un eje horizontal “X” y un eje vertical “Y”, sobre el eje horizontal se localiza los primeros parámetros de la variable “X” y sobre el eje vertical la magnitud del momento flexionante para cada parámetro de la variable “X”.

0.0064WL2

(+) M=0

M=0 B

A

X=0

X=0.577L

C

X=L

Una vez realizado el grafico de los esfuerzos internos de la estructura procedemos a anotar los valores críticos de la estructura.

Fuerza cortante máxima: cuando X=L con magnitud WL/3. Fuerza cortante mínima: cuando X=0 con magnitud WL/6 Fuerza cortante cero: se presenta cuando X = 0.577 L distancia que se asocia en el diagrama del momento flexionante con un valor máximo de este.

Momento flexionante cero: se presenta en los apoyos respectivos. Momento flexionante máximo: se presenta cuando X=0.577 L distancia que en la que el diagrama de fuerza cortante pasa por cero. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 98 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

b) Solución por el método relacional. 2 /3 L R

W

A

B

VA

VB

L

En vista de que el cálculo de las reacciones de apoyo es el mismo, se tendrán los siguientes valores: R = ½*L*W => R=WL/2 2 WL L − VB L = 0 3 2 1 WL ∑ M B = 0 ⇒ − 3 L 2 + VA L = 0 Realizamos el cálculo de los elementos de corte.

∑M

A

=0⇒

WL [t ] 3 WL ⇒ VA = [t ] 6

⇒ VB =

Cuando X=0, la fuerza cortante en A es: VA = WL/6 Cuando X=L, considerando un punto diferencial antes del punto B es: VC = VA + (área de la carga externa actuando de A a B) esto es: VB’ = WL/6 + (-W * L/2) = – WL/3

antes de B

En base a lo anterior se observa también que cuando X=0, la fuerza cortante tiene un efecto, positivo, y cuando X=L negativo. Por lo anterior se deduce que la fuerza cortante de A a B, sobre algún punto habrá de pasar por cero; en consecuencia, la distancia donde ocurre lo anterior, la función de la fuerza cortante se iguala a cero, para determinar eso es: 2/3X R

La Y

A VA

función

de

la

fuerza

cortante

igualada

a

cero

WL WX 2 −1/ 2 = 0 => X = 0.577 L 6 L

X

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 99 -

es:

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Analizando de igual manera para el momento flexionante:

WL WX 3 M= X− =0 6 6L

X =L ∴   ⇒  X = 0.577 L ∴  X =0 ∴ 

M = 0. M = 0.064WL2 M =0

Graficando tenemos: WL/6 (+)

V=0

V=0

(-)

X=0

-WL/3

B

A

C

X=0.577L

X=L

2

0.0064WL

(+) M=0

M=0 A

X=0

B

X=0.577L

C

X=L

CONCLUSIÓN: La variación del diagrama tanto de la fuerza cortante como del momento flexionante son similares, independientemente del análisis que se aborde; es decir, del análisis funcional o el análisis relacional. Otro aspecto importante a señalar: cuando la carga externa es uniformemente repartida, la función de la fuerza cortante es una línea recta e inclinada y la función del momento flexionante es una línea curva de segundo grado; asimismo, cuando sobre la estructura esta actuando una carga puntual, ésta genera un cambio brusco de la fuerza cortante y finalmente, el momento en A, también genera un cambio brusco del momento flexionante. Para poder realizar un análisis un poco mas metódico planteamos al lector, un recetario para la resolución de vigas isostáticas, mismo que será explicado a continuación.

Ejercicio #3 Se pide analizar la siguiente estructura por el método de secciones o análisis funcional juntamente con el método relacional.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 100 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

1 t

1 t /m

0 .5 t

0 .8 t .m

1 .5 t A

C

3

B

1

D

1,5

2

Paso 1) Realizamos el cálculo de reacciones de apoyo, pero solo para efectos de calculo realizamos el cambio de la carga distribuida a carga puntual. R=3.0 t

1t

0.5 t

0.8 t.m

1.5 t

HA

C

D

VA

VB

R = 3*1 => R=1 t

∑M ∑M

∑H =0⇒ H

A B

A

− 1.5 = 0 ⇒ H A = 1.5

= 0 ⇒ (3)(1.5) + 1(4) + 0.8 − 6(V B ) + 0.5(7.5) = 0 ⇒ V B = 2.18 t = 0 ⇒ 6(V A ) − 3(4.5) − 1(2) + 0.8 + 0.5(1.5) = 0 ⇒ V A = 2.32 t CONTROL

∑ V = 0 ⇒ 2.32 − 3 − 1 + 2.18 − 0.5 = 0

Paso 2) Realizamos la obtención de las ecuaciones de esfuerzos internos

S1

S2

S4 1t

1 t/m

S3 0.5 t

0.8 t.m

1.5 t

HA=1.5 t

C VA =2.32 t

D VB =2.18 t

X'

X X

X'

El DCL que se muestra en el paso 1 realizamos el cambio de la carga distribuida a cargas puntuales, pero solo para efectos de facilidad de cálculo, para la obtención de esfuerzos internos es necesario trabajar con la carga distribuida.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 101 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

En este se han introducido 4 secciones para su análisis, y a diferencia de los ejercicios anteriores este, se analizara de ambos lados de la viga y se realizara un control en el nudo intermedio C. para lo cual introducimos un eje de coordenadas x – y que ira de izquierda a derecha, y otro x’ – y’, que ira de derecha a izquierda.

SECCIÓN S1 Normal

N ⇒

DOMINIO ⇔ 0 < x < 3 x = 3 ⇒ Para  x = 0

− 1 .5

⇒

Q = − 1 .5 t

⇒

Q = − 1 .5 t

Cortante Q ⇒ 2.32 − 1 ⋅ x

 x=0 ⇒ ⇒ Para  x = 3 ⇒

Momento M ⇒ 2.32 ⋅ x − 1 ⋅ x ⋅

x 2

Q = 2.32 t Q = − 0.68 t

Q = 0 t ⋅m  x=0 ⇒ ⇒ Para  Q = 2.46 t ⋅ m x = 3 ⇒ 1

1 t/m M H A= 1.5 t

N Q VA = 2.32 t X

DOMINIO ⇔ 3 < x < 4 x = 3 ⇒ N ⇒ − 1.5 ⇒ Para  x = 4 ⇒

SECCIÓN S2 Normal

Cortante Q ⇒ 2.32 − 3

x = 3 ⇒ ⇒ Para  x = 4 ⇒

Momento M ⇒ 2.32 ⋅ x − 3( x − 1.5)

Q = − 1 .5 t Q = − 1 .5 t Q = − 0.68 t Q = − 0.68 t

x = 3 ⇒ ⇒ Para  x = 4 ⇒

M = 2.46 t ⋅ m M = 1.78 t ⋅ m 2

R= 3.0 t H A= 1.5 t

VA = 2.32 t X

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 102 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

DOMINIO ⇔ 0 < x’ < 1.5  x ' = 0 ⇒ N = − 1 .5 t N ⇒ − 1.5 ⇒ Para   x ' = 1 .5 ⇒ N = − 1 .5 t

SECCIÓN S3 Normal

 x ' = 0 ⇒ Q = 0 .5 t ⇒ Para   x ' = 1 .5 ⇒ Q = 0 .5 t

Cortante Q ⇒ 0.5 Momento M ⇒

M = 0 t ⋅m  x' = 0 ⇒ − 0.5 x' ⇒ Para  M = − 0.75 t ⋅ m  x ' = 1 .5 ⇒

S

3

0 .5 t M

1 .5 t

N

D

Q X '

SECCIÓN S4

DOMINIO ⇔ 1.5 < x’ < 3.5

S4 0.5 t

0.8 t.m M

1.5 t

N Q

D

VB =2.18 t

X'

Normal

N ⇒ − 1 .5

 x ' = 1 .5 ⇒ N = − 1 .5 t ⇒ Para   x ' = 3 .5 ⇒ N = − 1 .5 t

Cortante Q ⇒ 0.5 − 2.18 Momento M ⇒

 x' = 1.5 ⇒ Q = − 1.68 t ⇒ Para   x' = 3.5 ⇒ Q = − 1.68 t

 x ' = 1 .5 ⇒ − 0.5 x'−0.8 + 2.18( X '−1.5) ⇒ Para   x ' = 3 .5 ⇒

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

M = − 1.55 t ⋅ m M = 1.780 t ⋅ m

Pag - 103 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Paso 3) Realizamos el DIAGRAMA DE ESFUERZOS INTERNOS 1t

1 t/m

0.5 t

0.8 t.m

1.5 t

HA=1.5 t

C

VA=2.32 t

D

VB=2.18 t

N

(-)

1.5 t

1.5 t Q

(+)

(+)

1.5 t

(-)

1.5 t 1.5 t 2.69 t.m

2.46 t.m 1.78 t.m

(+) M

(-) 1.55 t.m

0.75 t.m

Paso 4) Verificación de los esfuerzos extremos según a los métodos ya mencionados en el procedimiento de cálculo. N ⇒

Max = 0 t

Q ⇒

Min = −1.5 t

Max = 2.32 t

M ⇒

Min = −1.68 t

Max = 2.69 t Min = −1.55 t

Ejercicio #4 Se pide analizar la siguiente estructura por el método de secciones o análisis funcional juntamente con el método relacional.

1 t

2 t/m

A

C

B

2

1

D

2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

E

1

F

1

1

Pag - 104 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Paso 1) CÁLCULO DE REACCIONES DE APOYO.

R=4 t

1t D

C VA

VB

VE

4t

2t

VF

2t PARTE DERECHA

PARTE IZQUIERDA

2t

2t

1t

HA

D

C VA

VB

VE

VF

PARTE IZQUIERDA

2 t HA

C VA

VB

∑H = 0⇒ H = 0 t ∑ M = 0 ⇒ 2(V ) + (2)(3) = 0 ⇒ V ∑ M = 0 ⇒ 2(V ) + (1)(2) = 0 ⇒ V A

A

B

B

=3 t

B

A

A

= −1 t

PARTE DERECHA

2 t

1 t

D VE

∑M ∑M

VF

E

= 0 ⇒ −2(1) + 1(1) − 2(VF ) = 0 ⇒ VF = − 0.5 t

F

= 0 ⇒ 2(VE ) − 2(3) − 1(1) = 0 ⇒ VE = 3.5 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 105 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

R=4 t D

C 1t

1t

3t

CONTROL

0.5

3.5 t

∑V = 0 ⇒ −1 + 3 − 4 + 3.5 − 1 − 0.5 = 0

Paso 2) OBTENCION DE ECUACIONES DE ESFUERZOS INTERNOS 1

3

2

6

5

4

2 t/m

1t

D

C 1t

3t

x

3.5 t

0.5 x'

x

x' x

x'

De igual manera se introducirá dos sistemas de coordenadas para que pueda ser analizado por ambos lados, un eje de coordenadas x – y que ira de izquierda a derecha, y otro x’ – y’, que ira de derecha a izquierda.

SECCIÓN S1

DOMINIO ⇔ 0 < x < 2

x = 0 ⇒ 0 ⇒ Para  x = 2 ⇒ x = 0 ⇒ Cortante Q ⇒ − 1 ⇒ Para  x = 2 ⇒

Normal

N ⇒

Momento M ⇒

Q=0 t Q=0 t

 x=0 ⇒ − 1x ⇒ Para  x = 2 ⇒

; N=0 para todas las secciones

Q = −1 t Q = −1 t M =0 t⋅m M =−2 t⋅m

DOMINIO ⇔ 2 < x < 3 x = 2 ⇒ Q = 2 t Cortante Q ⇒ − 1 + 3 ⇒ Para  x = 3 ⇒ Q = 2 t

SECCIÓN S2

Momento M ⇒

x = 2 ⇒ − 1( x) + 3( x − 2) ⇒ Para   x=3 ⇒

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

M = − 2 t ⋅m M = 0 t ⋅m Pag - 106 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

El valor de M=0 en x=3, se da por que se encuentra en la articulación, como recordaremos una articulación ocasiona un ecuación especial de libertad de momento a un de los lados.

SECCIÓN S3

DOMINIO ⇔ 3 < x < 5

Cortante Q ⇒ − 1 + 3 − 2( x − 3) Momento M ⇒

SECCIÓN S4

− 1x + 3( x − 2) − 2( x − 3)

SECCIÓN S5

x = 3 ⇒ ( x − 3) ⇒ Para  2 x = 5 ⇒

M = 0 t ⋅m M = 0 t⋅m

DOMINIO ⇔ 0 < x’ < 1

Cortante Q ⇒ 0.5 Momento M ⇒

 x=3 ⇒ Q=2 t ⇒ Para  x = 5 ⇒ Q = − 2 t

 x ' = 0 ⇒ Q = 0 .5 t ⇒ Para   x ' = 1 ⇒ Q = 0 .5 t

M = 0 t ⋅m  x' = 0 ⇒ − 0.5 x' ⇒ Para  M = − 0 .5 t ⋅ m  x' = 1 ⇒

DOMINIO ⇔ 1 < x’ < 2  x ' = 1 ⇒ Q = 1 .5 t ⇒ Para   x ' = 2 ⇒ Q = 1 .5 t M = − 0 .5 t ⋅ m  x' = 1 ⇒ − 0.5 x'−1( x'−1) ⇒ Para  M = −2 t⋅m  x' = 2 ⇒

Cortante Q ⇒ 0.5 + 1 Momento M ⇒

SECCIÓN S6

DOMINIO ⇔ 2 < x’ < 3  x' = 2 ⇒ Q = − 2 ⇒ Para   x' = 3 ⇒ Q = − 2  x' = 2 − 0.5 x'−1( x'−1) + 3.5( x'−2) ⇒ Para   x' = 3

Cortante Q ⇒ 0.5 + 1 − 3.5 Momento M ⇒

t t ⇒ ⇒

M = −2 t⋅m M = 0 t⋅m

Nuevamente el valor de M=0 cuando llegamos a la articulación.

Paso 3) DIAGRAMA DE ESFUERZOS INTERNOS

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 107 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

2 t/m

C 1t

1t

D

3t

3.5 t

0.5

N 2t

1.5 t (+)

(-)

1t

0.5 t

(+)

Q (-) 2t 1 t.m (+)

M

(-)

(-) 2 t.m

2 t.m

2 t.m

Paso 4) Verificación de los esfuerzos extremos según a los métodos ya mencionados en el procedimiento de cálculo. N ⇒

Max = 0 t

Q ⇒

Min = 0 t

Max = 2 t

M ⇒

Min = −2 t

Max = 1 t Min = −2 t

Ejercicio #5 Se pide analizar la siguiente estructura por el método de secciones o análisis funcional juntamente con el método relacional.

0.5 t/m 0.2 t/m 0.4 t.m B A

2

2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

6

Pag - 108 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Paso 1) CÁLCULO DE REACCIONES DE APOYO. 4

0.3 t/m

R=0.9 t 1

0.2 t/m

0.4 t.m

MB HB

C

VA

R=1.2 t 2

VB 3

Para facilitar el cálculo separemos la carga trapezoidal en 2 cargas distribuidas, una triangular y una rectangular, las que tendrán las siguientes resultantes, como se muestra en la figura anterior: R1 =

1 ⋅ (6) ⋅ (0.3) ⇒ R1 = 0.9 t 2

∑H = 0 ⇒ H ∑M

C

∑M

B

∑M

C

IZQ

B

R2 = (6) ⋅ (0.2) ⇒ R1 = 1.2 t

=0 t

= 0 ⇒ 4(VA ) + (0.1)(10) = 0 ⇒ VA = − 0.1 t

= 0 ⇒ M B − 0.1(10) + 0.4 − R1 (2 / 3)(6) − R2 (6)(1 / 2) = 0 ⇒ M B = 7.8 t ⋅ m DER

= 0 ⇒ (0.9) / 3 + (1 / 2)1.2 + 7.8 − 6VB = 0 ⇒ VB = 2.2 t

CONTROL

∑ V = 0 ⇒ −0.1 − 0.9 − 1.2 + 2.2 = 0

Paso 2) OBTENCION DE ECUACIONES DE ESFUERZOS INTERNOS

S3

0.3 t/m

S1

S2 0.2 t/m

0.4 t.m

MB HB

C

VA

X'

X

VB

X

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 109 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

SECCIÓN S1 Normal

N ⇒

DOMINIO ⇔ 0 < x < 2 x = 0 ⇒ 0 ⇒ Para  x = 2 ⇒

Cortante Q ⇒ − 0.1

Momento M ⇒

SECCIÓN S2

SECCIÓN S3

; N=0 para todas las secciones

 x = 0 ⇒ Q = − 0 .1 t ⇒ Para   x = 2 ⇒ Q = − 0 .1 t M = 0 .0 t ⋅ m M = − 0 .2 t ⋅ m

DOMINIO ⇔ 2 < x < 4  x = 2 ⇒ Q = − 0 .1 t ⇒ Para   x = 4 ⇒ Q = − 0 .1 t

x = 2 ⇒ − 0.1( x) + 0.4 ⇒ Para   x=4 ⇒

M = 0 .2 t ⋅ m M = 0 t⋅m

DOMINIO ⇔ 0 < x’ < 6

Cortante Q ⇒ − 2.2 + 0.2 ⋅ x'+0.025 ⋅ X ' 2

Momento M ⇒

Q=0 t

 x=0 ⇒ − 0.1x ⇒ Para  x = 2 ⇒

Cortante Q ⇒ − 0.1

Momento M ⇒

Q=0 t

2.2 x'−0.2 x'⋅

 x ' = 0 ⇒ Q = − 2 .2 t ⇒ Para   x ' = 6 ⇒ Q = − 0 .1 t

M = − 7.8 t ⋅ m  x' = 0 ⇒ x' 1 − 0.025 ⋅ x' 2 ⋅( ⋅ x' ) − 7.8 ⇒ Para M = 0 t⋅m 2 3  x' = 6 ⇒

Nuevamente el valor de M=0 cuando llegamos a la articulación.

Paso 3) DIAGRAMA DE ESFUERZOS INTERNOS Observemos el diagrama de variación de esfuerzos internos, en la figura siguiente:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 110 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil 0.3 t/m

0.2 t/m

0.4 t.m

MB HB

C

VA

VB

N Q 0.1 t

(-) 2.2 t 0.2 t.m

M 0.2 t.m

(-)

7.8 t.m

Paso 4) Verificación de los esfuerzos extremos según a los métodos ya mencionados en el procedimiento de cálculo. N ⇒

Max = 0 t Min = 0 t

Q ⇒

Max = −2.2 t

M ⇒

Min = −0.1 t

Max = 0..2 t Min = −7.8 t

3.8 ANÁLISIS DE PÓRTICOS Ejercicio #6 Tomando como referencia el marco que se muestra en la siguiente figura; determinar la variación de los elementos mecánicos que se presentan en la estructura, que son generados por la acción de la carga puntual de 6 ton. Actuando en el punto C. 2

2 6t

B

D C

4

4

A

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

E

Pag - 111 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

3.8.1 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS. Los criterios de análisis para determinar el diagrama de variación de los elementos mecánicos que se presentan en una estructura en el contexto geométrico de un marco, son similares a los que se aplicaron en los apartados 6.1.1 y 6.1.2 respectivamente; es decir, utilizando el análisis funcional o el análisis relacional, en estructuras en forma de viga, pero, es importante señalar dos variantes mas que se utilizan para ello:

Primera: Se define un marco de referencia general en el contexto de la estructura, integrado por dos ejes rectangulares: uno horizontal: X y el otro vertical: Y, teniendo como origen el nodo A tal como se muestra en la figura.

Segunda: El análisis de los elementos que integran la estructura (tramo AB, tramo BC, tramo CD, y tramo DE), se abordan considerando un sentido de recorrido por la parte interna de la estructura y de izquierda a derecha definiéndole a cada uno de ellos un marco de referencia particular; por ejemplo, para el tramo BC, su origen está localizado en el nodo B de tal manera que en el sentido de B a C, se identifica el eje horizontal positivo X; y en el sentido vertical a partir de B el eje Y.

3.8.2 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Nos permite identificar: Las cargas activas y las cargas reactivas. El sistema de fuerzas que se asocia con la estructura. El número de las ecuaciones de equilibrio para el sistema de fuerzas determinado. El número de las incógnitas que contiene el sistema. Las condiciones de isostaticidad para determinar el tipo de estructura que se está analizando.

Cargas activas: Se identifica únicamente la carga puntual de 6 ton. actuando en el punto C.

Cargas reactivas: Están representadas por las reacciones en cada uno de los apoyos; esto es: en A el apoyo móvil que contiene una componente reactiva en la dirección vertical RA. En E, el apoyo fijo, que contiene dos componentes reactivas; una, en la dirección vertical y la otra, en la dirección horizontal, pero, dado que no existe carga externa en ésta dirección, la componente es igual a cero.

Sistema de fuerzas sobre la estructura: Paralelo en el plano. Número de ecuaciones que contiene el sistema: Dos; suma de fuerzas verticales y suma de momentos.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 112 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Número de incógnitas en el sistema: Dos; la reacción vertical en A,: RA, y la reacción vertical en E: RE.

Condiciones de isostaticidad: Iguales; esto es: si el número de incógnitas I = 2, y el número de ecuaciones E = 2, en consecuencia: I = E; por lo tanto se trata de una estructura isostática. Tomando como referencia lo anterior, el diagrama de cuerpo libre de la estructura es:

6t B

D C

x VA

VE

Paso 1) Cálculo de reacciones: Aplicando las condiciones de equilibrio sobre el diagrama de cuerpo libre:

∑ M = 0 ⇒ 2(6) − 4(V ) = 0 ⇒ V = 3 t ∑ M = 0 ⇒ −2(6) − 4V = 0 ⇒ V = 3 t ⋅ m A

E

E

A

E

A

Paso 2) Análisis de los elementos estructurales. Análisis del tramo AB: Tomando como referencia el análisis funcional, las funciones de los elementos mecánicos se obtienen aplicando sobre el diagrama de cuerpo libre del tramo, las condiciones de equilibrio del sistema de fuerzas que se le asocia en su conjunto. Para demostrar lo anterior tomemos como referencia la figura que a continuación se muestra: ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 113 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

DOMINIO ⇔ 0 < x < 4

x

TRAMO A-B B

Normal

x = 0 − 3 ⇒ Para  x = 4 x = 0 0 ⇒ Para  x = 4

N ⇒

Cortante Q ⇒

4

⇒

Q=−3 t

⇒

Q=−3 t

⇒ Q=0 t ⇒ Q=0 t

x = 0 ⇒ 0 ⇒ Para  x = 4 ⇒

X

y

Momento M ⇒

M =0 t⋅m M =0 t⋅m

3t

Análisis del tramo BC: Para el efecto, tomaremos como referencia la estructura equilibrada: El diagrama de cuerpo libre para el tramo BC se muestra a continuación: Considerando el marco de referencia particular para el tramo BC y con origen en el punto B: el sistema de fuerzas que se integra en el diagrama de cuerpo libre es: paralelo en la dirección del eje Y incluyendo pares.

Tomando como referencia el diagrama de cuerpo libre, y aplicando sobre éste las condiciones de equilibrio estático para un sistema de fuerzas paralelo, se obtienen las funciones de los elementos mecánicos que se presentan en el tramo BC, que al sustituir en éstas los parámetros de la distancia X, resulta en consecuencia la magnitud de cada uno de los elementos mecánicos que se presentan en el tramo:

TRAMO B-C DOMINIO ⇔ 0 < x < 2

Normal

M

B

N

C X

Q 2

N ⇒

x

Cortante Q ⇒ Momento M ⇒

x = 0 0 ⇒ Para  x = 2 x = 0 3 ⇒ Para  x = 2

⇒

Q=0 t

⇒

Q=0 t

⇒ Q=3 t ⇒ Q=3 t

x = 0 ⇒ 3 ⋅ x ⇒ Para  x = 2 ⇒

M =0 t⋅m M =6 t⋅m

3t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 114 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Análisis del tramo CD: El diagrama de cuerpo libre para el tramo CD es: Función de los elementos mecánicos: Si el diagrama de cuerpo libre integra un sistema de fuerzas paralelo en el plano incluyendo pares, las funciones de la fuerza cortante y del momento flexionante se determinan aplicando las condiciones de equilibrio sustituyendo en las funciones respectivas, los parámetros de la distancia X:

TRAMO C-D DOMINIO ⇔ 2 < x < 4 Normal

N ⇒

Cortante Q ⇒

Q=0 t x = 2 ⇒ 0 ⇒ Para  Q=0 t x = 4 ⇒ x = 2 ⇒ Q = − 3 t − 3 ⇒ Para  x = 4 ⇒ Q = − 3 t x = 2 ⇒ − 3 ⋅ x + 12 ⇒ Para  x = 4 ⇒

Momento M ⇒

6t

M = 6 t ⋅m M = 0 t ⋅m

M

B

N

C X

x

Q (x-2)

3t

Análisis del tramo DE: Nuevamente tomaremos como referencia el diagrama de la estructura equilibrada, para que a partir de ésta, se defina un diagrama de cuerpo libre del tramo; esto es:

Funciones de los elementos mecánicos: Considerando que el diagrama de cuerpo libre que se obtuvo esta integrado por un sistema de fuerzas paralelo en el plano que incluye pares, las funciones de los elementos mecánicos, se obtienen al aplicar las condiciones de equilibrio. Con base en lo anterior y tomando como referencia los parámetros de la distancia X, la magnitud de los elementos mecánicos se determinan al sustituir respectivamente en las funciones la distancia X:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 115 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

TRAMO D-E

DOMINIO ⇔ 0 < x < 4 Normal

x = 0 ⇒ 0 ⇒ Para  x = 4 ⇒ x = 0 ⇒ 3 ⇒ Para  x = 4 ⇒

N ⇒

Cortante Q ⇒

Q=0 t Q=0 t Q=3 t Q=3 t

x = 0 ⇒ 0 ⇒ Para  x = 4 ⇒

Momento M ⇒

2

6 t

M =0 t ⋅m M =0 t ⋅m

2

B

D C X

4

X

M

Q N 3 t

Paso 3) DIAGRAMA DE ESFUERZOS INTERNOS: Para el efecto, se toma como referencia los valores anotados en los análisis de cada tramo. Para tal realizaremos estos diagramas en el pórtico por separado.

Diagrama de variación de la fuerza normal:

D

B

(-)

(-)

3t ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

3t

4

C

E

Pag - 116 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Diagrama de variación de la fuerza cortante: B

2

C

D

2

3 t (+ ) (-) 3 t

4

4 E

A

Diagrama de variación del momento flexionante: B

2

C

2

D

6 t.m (+ ) 0 t .m

0 t .m

4

4

A

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

E

Pag - 117 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #7 Tomando como referencia el marco que se muestra en la siguiente figura; determinar la variación de los elementos mecánicos que se presentan en la estructura: 3 2t D

1

C

3

4

1 t/m

B

A

E

Procedimiento de análisis: Aplicaremos el análisis relacional para determinar los elementos mecánicos.

Primero: Se construye un diagrama de cuerpo libre de la estructura, para identificar las cargas activas y las cargas reactivas, de tal forma que nos permita identificar el sistema de fuerzas en su conjunto; el número de ecuaciones de equilibrio que se le asocie; el número de incógnitas que contenga el sistema en general; las condiciones de isostaticidad para verificar si la estructura se puede analizar como isostática; esto es: 2t C

1

D

3

1 t/m

B

A VA

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

HB

E VB

Pag - 118 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Segundo: Cálculo de reacciones; se obtienen aplicando sobre el diagrama de cuerpo libre las condiciones de equilibrio:

∑H = 0⇒ H +2+3⇒ H =5 t ∑ M = 0 ⇒ 1.5(3) + 2(4) − 3(V ) = 0 ⇒ V = 4.17 ∑ M = 0 ⇒ 1.5(3) + 2(4) − 3(V ) ⇒ V = 4.17 t E

E

A

E

E

A

E

t

A

Tercero: Con el valor de las reacciones, se define la estructura equilibrada tal como se muestra en la siguiente figura:

3 2t D

1

C

3

4

1 t/m

B

A

5

E

4.17 4.17

Cuarto: Aplicando el análisis relacional, y tomando como referencia la estructura equilibrada, se determinarán los diagramas de variación de la fuerza normal, fuerza cortante y momento flexionante: DOMINIO ⇔ 0 < x < 3

x

TRAMO A-B

Normal

N ⇒

B

x = 0 ⇒ 4.17 ⇒ Para  x = 3 ⇒

Q = 4.17 t Q = 4.17 t

1 t/m

3

 x=0 ⇒ Q=0 t Cortante Q ⇒ − 1 ⋅ x ⇒ Para  x = 3 ⇒ Q = − 3 t x

Momento M ⇒

M =0 t ⋅m  x=0 ⇒ x ⋅ x ⇒ Para  M = − 4 .5 t ⋅ m 2 x = 3 ⇒

A 4.17

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 119 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Análisis del tramo BC: Para el efecto, tomaremos como referencia la estructura equilibrada:

x

El diagrama de cuerpo libre para el tramo BC se muestra a continuación: TRAMO B-C DOMINIO ⇔ 3 < x < 4 2t C

1

Normal

N ⇒

B

Cortante Q ⇒ 1 t/m

3

x

Momento M ⇒

x = 3 4.17 ⇒ Para  x = 4 x = 3 − 3 ⇒ Para  x = 4

⇒

Q = 4.17 t

⇒

Q = 4.17 t

⇒ Q=−3 t ⇒ Q = −3 t

x = 3 ⇒ 3 ⋅ ( x − 1.5) ⇒ Para  x = 4 ⇒

M = − 4 .5 t ⋅ m M = − 7 .5 t ⋅ m

A 4.17

Análisis del tramo CD: El diagrama de cuerpo libre para el tramo CD es: TRAMO C-D DOMINIO ⇔ 0 < x < 3 Normal

N ⇒

Cortante Q ⇒ Momento M ⇒

Q=−5 t x = 0 ⇒ − 5 ⇒ Para  Q=−5 t x = 3 ⇒  x = 0 ⇒ Q = − 4.17 t − 4.17 ⇒ Para   x = 3 ⇒ Q = − 4.17 t x = 0 ⇒ − 4.17 ⋅ x − 2.5(3) ⇒ Para  x =3 ⇒

M = − 7 .5 t ⋅ m M = − 20 t ⋅ m

3 2t x

D

x

1

C

1 t/m

3

B

A 4.17

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 120 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Análisis del tramo DE: TRAMO D-E

DOMINIO ⇔ 0 < x < 4 Normal

x = 0 ⇒ 0 ⇒ Para  x = 4 ⇒ x = 0 ⇒ 3 ⇒ Para  x = 4 ⇒

N ⇒

Cortante Q ⇒

Q=0 t Q=0 t Q=3 t Q=3 t

x = 0 ⇒ 0 ⇒ Para  x = 4 ⇒

Momento M ⇒

M =0 t ⋅m M =0 t ⋅m

3 2t C

1

D

1 t/m

B

3

x

x

A 4.17

E

DIAGRAMA DE ESFUERZOS INTERNOS: Para el efecto, se toma como referencia los valores anotados en los análisis de cada tramo. Para tal realizaremos estos diagramas en el pórtico por separado. Ver las siguientes figuras.

Diagrama de variación de la fuerza normal: 0t (-)

4.17 t

C

5t

4.17 t

D

B

(+)

(+)

A

0t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

E

0t

Pag - 121 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Diagrama de variación de la fuerza cortante: 0t (-)

4.17 t

C B (-)

5t

D

3t (+)

A

E

0t

0t

Diagrama de variación del momento flexionante: C

D

0 t.m 7.5 t.m

(-) 20 t.m

C

7.5 t.m

B (-)

D

20 t.m

4.5 t.m

(-)

A 0 t.m

E 0 t.m

Según el procedimiento ya mencionado, es conveniente escoger un punto intermedio de concentración del estudio. En este punto se realizara el control respectivo, ósea la verificación de todos los elementos estructurales (Normal, Cortante, Momento).

Ejercicio #8 Tomando como referencia el marco que se muestra en la siguiente figura; determinar la variación de los elementos mecánicos que se presentan en la estructura:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 122 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

B

3 α A

4

G = 3 – 3 = 0 ; Estructura ISOSTATICA Paso 1) Cálculo de reacciones de apoyo.

R

RV

RH

α

B 4t

α A

0 4t

R = 2*4 => R= 8 t

∑H =0⇒ H =0 ∑ M = 0 ⇒ (2)(8) − 4(V ) = 0 ⇒ V ∑ M = 0 ⇒ −4(V ) − 8(2) = 0 ⇒ V ∑V = 0 ⇒ 0.8 + 0.4 − 1.2 = 0 B

A

B

CONTROL

B

A

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

B

=4 t

A

= 0.8 t

Pag - 123 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Para realizar el análisis de la barra, distribuiremos la carga distribuida en dos direcciones, en la dirección de la barra y perpendicular a ella, para así determinar los esfuerzos internos. Barra L ⇒ L = 32 + 4 2 ⇒ L = 5 m 3 ⇒ α = 36.86º 4 RV = 8 ⋅ cos α = 6.4 t ; R H = 8 ⋅ senα = 4.8 t R 4 .8 RH = 5 * q H ⇒ q H = H = ⇒ q H = 0.96 t / m 5 5 R 6 .4 RV = 5 * qV ⇒ qV = V = ⇒ qV = 1.28 t / m 5 5 Paso 2) Obtención de las ecuaciones de esfuerzos internos. tan α =

B RV

4t RH

1.28 t/m

0.96 t/m 36.86° A 4t

Descomponemos también las reacciones de apoyo en dirección de la viga.

N = 4 * 0.6 = 2.4 t Q = 4 * 0.8 = 3.2 t

36.86°

FQ

FN

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 124 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

TRAMO A-B Normal

N ⇒

Cortante Q ⇒

DOMINIO ⇔ 0 < x < 5 x = 0 − 2.4 + 0.96 ⋅ x ⇒ Para  x = 5  x=0 3.2 − 1.28 ⋅ x ⇒ Para  x = 5

Momento M ⇒

3 .2 ⋅ x −

1.28 2 ⋅x 2

⇒

N = − 2 .4 t

⇒

N = + 2 .4 t

⇒ Q = 3 .2 t ⇒ Q = − 3 .2 t

x = 0 ⇒ ⇒ Para  x = 5 ⇒

M = 0 t ⋅m M = 0 t ⋅m

Entonces el DIAGRAMA DE ESFUERZOS INTERNOS para el tramo A a B será: B RV RH

1.28 t/m

0.96 t/m

2 .4

t

N

(+)

A 4t

Q

(-)

(-) 2 .4

t

t

M

t 3 .2

3 .2

.m 4t

(+)

(+)

Presentamos a continuación un resumen de los valores extremos existentes en la barra. N ⇒

Max = 2.4 t Min = −2.4 t

; Q ⇒

Max = 3.2 t Min = −3.2 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

;

M ⇒

Max = 4 t _ m Min = 0 t _ m Pag - 125 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio # 9 Se pide analizar la estructura. 0.5 t/m

E

0,5

F

1t

3

3

1.5 t/m 1.5 t

1

C

4

D

B

A

6

G = 4 – 3 - 1 = 0 ; Estructura ISOSTATICA Paso 1) Cálculo de reacciones de apoyo. 0.5 t/m

β

1t

R=1.5 t

RV R=9.12 t

RH

1.5 t C

1.5 t/m

α

D

HB VA ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

VB Pag - 126 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

tan α =

 senα = 0.16 1 ⇒ 6 cos α = 0.99

tan β =

0 .5 ⇒α = β 3

∑ H = 0 ⇒ 1 + 1.5 − 9.12(0.16) + H = 0 ⇒ H = − 1.04 t ∑ M = 0 ⇒ 1.5(5) + 1(8) + 1.5(1.5) − 9.12(0.16)(4.5) + 9.12(0.99)(3) − 6 ⋅ V = 0 ⇒ V ∑ M = 0 ⇒ −9.12(0.16)(4.5) − 9.12(0.99)(3) − 1.5(4.5) + 1(8) + 1.5(5) + 6V = 0 ⇒ V CONTROL ∑V = 0 ⇒ 6.38 − 1.5 − 9.12 * 0.99 + 4.15 = 0 B

B

A

B

B

B

A

A

= 6.38 t = 4.15 t

Paso 2) Obtención de las ecuaciones de esfuerzos internos 0.5 t/m

x β

1t

y

R=1.5 t

x RV R=9.12 t

RH

1.5 t C

y

1.5 t/m

α

x

y

y

x

x

D

HB VA

VB

Se realiza un control final en el nudo C para verificación.

TRAMO A-C DOMINIO ⇔ 0 < x < 2.5 Normal

N = -4.15 t

Cortante Q = 0 t Momento M = 0 t_m ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 127 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil 1 .5 t C

4 .1 5 t

N

Q

M

(-)

4 t

4 .1 5 t

TRAMO B-D DOMINIO ⇔ 0 < x < 4 Normal

N ⇒ − 6.38 t

Cortante Q ⇒ 1.04 t Momento M ⇒

 x=0 ⇒ 1.04 ⋅ x ⇒ Para  x = 4 ⇒ 1.04 t

M = 0 t⋅m M = 4.16 t ⋅ m

4.16 t.m

6.38 t 6.38 t

N

1.04 t

Q 4.16 t.m

M

1.04 t 4.16 t.m

(+) (+)

(-)

1.04 t 6.38 t 6.38 t

TRAMO D-C DOMINIO ⇔ 0 < x < 6.08

Normal

N ⇒

Cortante Q ⇒ Momento M ⇒

N = − 2.05 t  x=0 ⇒ − 2.05 ⇒ Para  N = − 2.05 t  x = 6.08 ⇒  x = 0 ⇒ Q = − 6.15 t − 6.15 + 1.5 ⋅ x ⇒ Para   x = 6.08 ⇒ Q = 2.97 t − 4.16 + 6.15 ⋅ x − 1.5 ⋅

x2 2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

M = − 4.16 t ⋅ m  x=0 ⇒ ⇒ Para  M = 5.25 t ⋅ m  x = 6.08 ⇒ Pag - 128 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

1.5 t

2.05 t

C

4.16 t.m 2.97 t

5.25 t.m

4.16 t

N

1.04 t 6.38 t

1.04 t 6.38 t

(-) 2.97 t

Q

4.16 t.m

2.05 t

4.16 t.m

2.05 t

(+)

(-) 4,33

8.45 t.m

5.25 t.m

6.15 t

(+)

M

(-) 4.16 t.m

DOMINIO ⇔ 0 < x < 3

TRAMO F-E Normal

N ⇒

Cortante Q ⇒ Momento M ⇒

N =0 t  x=0 ⇒ − 0.5 ⋅ x( senβ ) ⇒ Para  N = − 0.24 t x = 3 ⇒  x=0 ⇒ Q=0 t 0.5 ⋅ x ⇒ Para   x = 3 ⇒ Q = 1.48 t M = 0 t ⋅m  x=0 ⇒ x2 − 0 .5 ⋅ ⇒ Para  M = − 2.25 t ⋅ m 2 x = 3 ⇒ 0 .5 t/m F

1 t E N

(-)

0 .2 4 t 1 .4 8 t

(+ ) Q

M

(-)

2 .2 5 t.m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 129 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

TRAMO E-C DOMINIO ⇔ 0 < x < 3 Normal

N ⇒ −1.5 t

Cortante Q ⇒ 1 t Momento M ⇒

x = 0 ⇒ − 2.25 − 1 ⋅ x ⇒ Para  x = 3 ⇒

M = − 2.25 t ⋅ m M = − 5.25 t ⋅ m

2.25 t.m

1t

1t 1.5 t

2.25 t.m 1.5 t 1.5 t 1t

N

1t

M

Q

2.25 t.m

2.25 t.m

(-)

(+)

(-)

1t

5.25 t.m

1.5 t

5.25 t.m

1.5 t

1.5 t C

Paso 3) Verificación en el nudo de control, nudo C: 1.5 t 1t

5.25 t.m

5.25 t.m

1.5 t C

2.5 t 2.65 t

4.15 t ∑ H = 0 ; ∑V = 0 ; ∑ M = 0 LA ESTRUCTURA ESTA EN EQUILIBRIO. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 130 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio # 10 Se pide analizar la estructura. 1t

F

1

2 t.m

E

D

1

C

1.5 t/m

G

1t

4

0.5 t/m

A

B

3

2

3

2

G = 4 - 3 – 1 = 0 ; Estructura ISOSTATICA Paso 1) Cálculo de reacciones de apoyo. 1t

F

2 t.m E

C 1.5 t 2t

D

G

1t 6t

2.5 t

HA

HB

VA

VB

∑ H = 0 ⇒ H + H − 1.5 − 6 − 1 − 1 = 0 ⇒ H = − H − 9.5 t ∑ M = 0 ⇒ −1.(5) − 1(3) + 2 − 6(2) − 10 ⋅ V = 0 ⇒ V = − 1.8 t ∑ M = 0 ⇒ 10(V ) − 2.5(8) − 1(5) − 1(3) − 6(2) + 2 = 0 ⇒ V = 3.8 A

B

A

A

B

B

∑M

B

B

A

IZQ C

A

= 0 ⇒ 3 ⋅ V A − 4 ⋅ H A = 0 ⇒ H A = 2 . 85

t

t

⇒ H B = 6.65 t CONTROL ∑ V = 0 ⇒ 3.8 − 2 − 1.8 = 0

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 131 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

y

Paso 2) Obtención de las ecuaciones de esfuerzos internos x

1t

y

y

x

2 t.m

x

1.5 t/m

x

1t

x

0.5 t/m

x

y

y

y

2.85 t

A

6.65 t

B 1.8 t

3.8 t

Como ya hemos mencionado realizaremos un análisis por secciones, realizando un control final en un nudo, (nudo C) para verificación.

TRAMO A-C Se realizaran 2 secciones. DOMINIO ⇔ 0 < x < 5 Normal

N ⇒

Cortante Q ⇒

x = 0 − 4.75 + 0.5 ⋅ x ⇒ Para  x = 5 x = 0 ⇒ Q = 0 0 ⇒ Para  x = 5 ⇒ Q = 0

⇒

N = − 4.75 t

⇒

N = − 2.25 t

t t

M = 0 t⋅m x = 0 ⇒ 0 ⇒ Para  M = 0 t ⋅m x = 5 ⇒ Entonces el DIAGRAMA DE ESFUERZOS INTERNOS para el tramo A a C será:

Momento M ⇒

C 1.35 t

2.2

5t

1.8 t

0 t.m

0t

0.5 t/m

N 2.25 t

Q

2.85 t

(-)

x

M

3.8 t 4.7

5t

3.8 t

0t

2.85 t A

2.85 t

4.75 t

3.8 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 132 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

TRAMO B-D Se realizaran 2 secciones. P = 6 senα = 6(0.8) = 4.8 t P1 = 6 cos α = 6(0.6) = 3.6 t 4 .8 = 0.96 t / m 5 3 .6 q1 = = 0.72 t / m 5 q=

2 t.m D

9.2 t.m

1.8 t

0.65 t

9.2 t.m

0.65 t 3t 1 .8

9.2 t.m

1.5 t/m

1.8 t P

6t 0.5

6t 0.96 t/m

P1

1.83 t N Q

0.72 t/m

2.25 t

6.65 t (+)

9.2 t.m

1.8 t

(+)

x

4t 4.2

9.36 t.m 4.42

(+)

3t 5.4

M

1.8 t 6.65 t

5.43 t

B

(-)

6.65 t 1.8 t

4.24 t

DOMINIO ⇔ 0 < x < 5 Normal

N ⇒

x = 0 ⇒ 5.43 − 0.72 ⋅ x ⇒ Para  x = 5 ⇒

N = 5.43 t N = 1.83 t

Cortante Q ⇒

 x = 0 ⇒ Q = − 4.24 t − 4.24 + 0.96 ⋅ x ⇒ Para   x = 5 ⇒ Q = 0.56 t

Momento M ⇒

4.24 − 0.96

x2 2

 x=0 ⇒ ⇒ Para  x = 5 ⇒

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

M = 0 t ⋅m M = 9 .2 t ⋅ m

Pag - 133 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

TRAMO D-E Se realizaran 2 secciones. 3.6 t.m

3.6 t.m

7.2 t.m

7.2 t.m

E 1.8 t 0.65 t

0.65 t

0.65 t

0.65 t 1.8 t

1.8 t

D 1.8 t

2 t.m 9.2 t.m

1.8 t

0.65 t

0.65 t (+) N

1.8 t (+) Q

7.2 t.m 3.6 t.m

(+)

M

DOMINIO ⇔ 0 < x < 2 Normal

N ⇒ − 0.65 t

Cortante Q ⇒ 1.8 t Momento M ⇒

x = 0 ⇒ − 1.8 + 7.2 ⇒ Para  x = 2 ⇒

M = 7 .2 t ⋅ m M = 3 .6 t ⋅ m

TRAMO F-E Se realizaran 2 secciones. F

1t

N

Q

M

1t

x

(-) (+)

1 t.m 1 t.m

1t

E

DOMINIO ⇔ 0 < x < 1 Normal

N ⇒

x = 0 ⇒ 0 ⇒ Para  x =1 ⇒

N =0 t N =0 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 134 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

x = 0 ⇒ − 1 ⇒ Para  x =1 ⇒ x = 0 ⇒ Momento M ⇒ 1x ⇒ Para   x =1 ⇒ TRAMO G-E Se realizaran 2 secciones. Cortante Q ⇒

Q = −1 t Q = −1 t M = 0 t⋅m M =1 t ⋅m

E

1t

1 t.m

1 t.m (+) (-) x

G

1t

N

Q

1t

M

DOMINIO ⇔ 0 < x < 1 Normal

x = 0 0 ⇒ Para  x =1 x = 0 1 ⇒ Para  x =1

N ⇒

Cortante Q ⇒

⇒

N =0 t

⇒

N =0 t

⇒ Q =1 t ⇒ Q =1 t

x = 0 ⇒ 1x ⇒ Para   x =1 ⇒ TRAMO E-C Se realizaran 2 secciones.

Momento M ⇒

M = 0 t⋅m M =1 t ⋅m

1 t.m

1.8 t

C

3.6 t.m

3.6 t.m

1.35 t

1.35 t

1t

1.8 t 0.65 t

1.8 t 1 t.m

N

3.6 t.m

E

1t

(-)

1.35 t 1.8 t (+) Q

3.6 t.m

(+) M

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 135 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

DOMINIO ⇔ 0 < x < 2 Normal N ⇒ Cortante Q ⇒ Momento M ⇒

− 1.35 t 1.8 t x = 0 ⇒ − 1.8 ⋅ x + 3.6 ⇒ Para   x=2 ⇒

M = 3 .6 t ⋅ m M = 0 t⋅m

Paso 3) Verificación en el nudo de control, nudo C:

0 t.m

1.35 t

C

1.8 t

1.35 t 0 t.m

1.8 t ∑ H = 0 ; ∑V = 0 ; ∑ M = 0

El NUDO SE ENCUENTRA EN EQUILIBRIO Luego del análisis realizado, podemos afirmar que la ESTRUCTURA ESTA EN

EQUILIBRIO. Para tener una concepción grafica de la aplicación pórticos en la vida estructural ver anexos del capitulo 3

3.9 ANÁLISIS DE ARCOS 3.9.1 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS En éste apartado aplicaremos el procedimiento de análisis para trazar los diagramas de variación correspondiente, contemplando para ello los procedimientos de análisis ya mencionados en los anteriores apartados; la deducción de las funciones de los elementos mecánicos se realizara bajo el cumplimiento de los siguientes pasos:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 136 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

PRIMERO.- A partir de la estructura planteada, se construye un diagrama de cuerpo libre para identificar:

El sistema de fuerzas.- Dado que se analizan estructuras planas, el sistema de fuerzas en su conjunto podrá ser un sistema de fuerzas paralelo o un sistema de fuerzas generales en el plano.

Las condiciones de isostaticidad.- Identificado el número de las incógnitas y el número de las ecuaciones de equilibrio estático que contiene el sistema en su conjunto, se tendrán elementos de análisis para abordar estructuras cuando las condiciones de isostaticidad sean iguales; esto es: I = E.

El tipo de estructura.- Con el resultado anterior, estaremos en condiciones para abordar el análisis de una estructura que se define como Isostática.

SEGUNDO.- Aplicando las condiciones de equilibrio sobre el diagrama de cuerpo libre, se determinan las reacciones para encontrar el equilibrio externo.

TERCERO.- Analizando la estructura de izquierda a derecha o viceversa según sea el caso se identifican los tramos que presenten cambios de forma en la carga externa, para que, sobre cada uno de ellos, se construya un diagrama de cuerpo libre indicando la acción de las cargas externas (que actúan sobre la porción que se analice) las que se habrán de equilibrar con un resultante interno, identificando en éste, las componentes que definen a los elementos mecánicos que actúan en el tramo respectivo.

CUARTO.- Aplicando las condiciones del equilibrio estático se deducen las funciones de los elementos mecánicos que se presentan en cada tramo, y al sustituir en éstas los parámetros de variación de la distancia angular “ϕ”, previa descomposición de los elementos de la carga externa obteniendo las magnitudes respectivas.

QUINTO.- Con el resultado del punto anterior se procederá a trazar el diagrama de variación para cada elemento mecánico considerando:

Línea base de la fuerza normal, fuerza cortante o momento flexionante: A partir de un marco de referencia, mismo que será de forma del arco en análisis (circular o parabólico) por el cual se traza la línea base, sobre la que se indicarán los parámetros de variación de la distancia angular “ϕ”; que se relacionarán sobre la línea base, en el que se localizarán

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 137 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

las magnitudes de los elementos mecánicos respectivos (normal, cortante o momento flexionante).

Trazo de la variación de los elementos mecánicos.- Con los puntos encontrados del resultado anterior, se une punto a punto obteniéndose la variación de esfuerzos que estará definida por las funciones de los elementos mecánicos hallados según la variación de la distancia angular correspondiente al arco.

Ejercicio # 11 Determinar y graficar los elementos internos del siguiente arco. 1 t/m

2t

C

A

B

G = 4 - 3 – 1 = 0 ; Estructura ISOSTATICA Paso 1) Cálculo de reacciones de apoyo.

1,5

R=3 t 2t

C

HA

HB VA

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

VB Pag - 138 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

∑ H = 0 ⇒ H + H − 2 = 0 ⇒ H = −H + 2 t ∑ M = 0 ⇒ 3(1.5) − 2(3) − 6 ⋅ V = 0 ⇒ V = − 0.25 t ∑ M = 0 ⇒ 6(V ) − 3(4.5) − 2(3) = 0 ⇒ V = 3.25 t A

B

A

A

B

B

∑M

B

B

A

DER C

A

= 0 ⇒ − 8 − 0 . 25 ) 3 − 3 ⋅ H B = 0 ⇒ H B = 0 . 25

t

⇒ H A = 1.75 t CONTROL ∑ V = 0 ⇒ 3.25 − 3 − 0.25 = 0

Paso 2) Obtención de las ecuaciones de esfuerzos internos 1 t/m 2t

C

0.25 t

1.75 t

0.25 t

3.25 t

En los arcos circulares es preferible utilizar ángulos para definir las secciones.

TRAMO A-C Sabemos que: d = 3 − 3 ⋅ cos ϕ d1 = 3 ⋅ cos ϕ d 2 = 3 ⋅ senϕ R = 1 ⋅ (3 − 3 ⋅ cos ϕ ) Sabemos también que de la descomposición de fuerzas resulta: F1 = 3.25 ⋅ senϕ F2 = 3.25 ⋅ cos ϕ F3 = 1.75 ⋅ senϕ F4 = 1.75 ⋅ cos ϕ F5 = (3 − 3 cos ϕ ) ⋅ cos ϕ F6 = (3 − 3 cos ϕ ) ⋅ senϕ ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 139 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil R 1 t/m M

N Q

ϕ

1.75 t 3.25 t

d

d1

F2 F1

3.25 t

F4 1.75 t

F3 F5 F6 3−3cosϕ

DOMINIO ⇔ 0 < ϕ < 90º Normal ⇔

∑F

N

= 0 ⇒ N + F2 + F3 − F5 = 0

∴ N = −0.25 cos ϕ − 1.75senϕ − 3 cos 2 ϕ Cortante ⇔

∑F

Q

= 0 ⇒ Q − F1 + F4 + F6 = 0

∴ Q = 0.25senϕ − 1.75 cos ϕ + 3senϕ cos ϕ Momento ⇔

∑M

S

= 0 ⇒ M − 3.25 ⋅ d + 1.75 ⋅ d 2 + R ⋅

∴ M = 3.25(3 − 3 cos ϕ ) − 1.75(3senϕ ) −

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

d =0 2

(3 − 3 cos ϕ ) 2 2 Pag - 140 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

En la siguiente tabla mostramos la variación de valores que existen a lo largo del tramo A-C (se recomienda una variación cada 15º) Normal “N”

Cortante “Q”

Momento “M”

[t]

[t]

[t_m]

0º

-3.25

-1.75

0

15º

-3.49

-0.88

-1.03

30º

-3.34

-0.09

-1.40

45º

-2.91

0.44

-1.24

60º

-2.39

0.64

-0.80

75º

-1.95

0.54

-0.32

90º

-1.75

0.25

0

TRAMO B-D DOMINIO ⇔ 0 < ϕ 1 < 90º N

M

Q

ϕ1

0.25 t 0.25 t

F1 F2 0.25 t

F3 0.25 t

F4

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 141 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Sabemos que: F1 = 0.25 ⋅ cos ϕ1 F2 = 0.25 ⋅ senϕ1 F3 = 0.25 ⋅ senϕ1 F4 = 0.25 ⋅ cos ϕ1

∑F

Normal ⇔

N

= 0 ⇒ N − F1 − F3 = 0

∴ N = 0.25 cos ϕ1 + 0.25senϕ1

∑F

Cortante ⇔

Q

= 0 ⇒ Q − F2 + F4 = 0

∴ Q = 0.25senϕ1 − 0.25 cos ϕ1

∑M

Momento ⇔

S

= 0 ⇒ M + 0.25(3 − 3 ⋅ cos ϕ1 ) − 0.25(3 ⋅ senϕ1 ) = 0

∴ M = −0.25(3 − 3 ⋅ cos ϕ1 ) + 0.25(3senϕ1 ) En la siguiente tabla mostramos la variación de valores que existen a lo largo del tramo B-C (se recomienda una variación cada 15º)

Normal “N”

Cortante “Q”

Momento “M”

[t]

[t]

[t_m]

0º

0.25

0.25

0

15º

0.31

0.18

0.17

30º

0.34

0.09

0.27

45º

0.35

0

0.31

60º

0.35

-0.09

0.27

75º

0.35

-0.18

0.17

90º

0.25

-0.25

0

Paso 3) DIAGRAMAS DE ESFUERZOS

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 142 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

ESFUERZO NORMAL 90°

75°

75° 60°

60° 0.25 t

0.31 t

45°

45°

0.35 t

0.35 t

30°

30°

) (+

1.75 t 1.967 t

0.34 t

(-)

15°

2.39 t

15°

2.91 t 0.31 t 3.34 t 3.49 t

0°

0°

0.25 t

3.25 t

ESFUERZO CORTANTE 90°

75° 60°

60°

0.54 t

0.64 t

45°

75°

0.25 t

(+)

45°

(-) 0.25 t

0.44 t

0.18 t 0.09 t

30°

30°

0t

0.09 t

0.09 t

15°

15° 0.18 t

(-)

0.88 t

0°

0°

0.25 t

1.75 t

DIAGRAMA DE MOMENTOS 90°

75°

75° 60°

60° 0 t.m

45°

0.17 t.m

45°

0.27 t.m 0.32 t.m

( -)

30°

0.31 t.m

30°

0.80 t.m 0.27 t.m

(-)

15°

1.24 t.m 1.40 t.m

15° 0.17 t.m

1.03 t.m

0°

0 t.m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

0 t.m

0°

Pag - 143 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Nota.- En la variación de los diagramas de esfuerzos internos (Normal, Cortante y Momento) cabe mencionar que no son rectas las que se van dibujando entre los puntos de variación, son curvas que se las observaría mejor si es que el ángulo de variación a lo largo del arco fuera mas reducido, por ejemplo cada 1º.

Ejercicio # 12 Determinar y graficar los elementos internos del siguiente arco.

ϕ

q = 1 t/m

dR dR 2

dR 1

radio = 2 m d=2

2 = 2

2 m

B

ϕ A

2t

d

45°

45°

Paso 1) Cálculo de reacciones de apoyo. Previamente se determinara el valor de la resultante correspondiente a la carga distribuida q = 1 t/m

dR = q ⋅ ds = q ⋅ rdϕ 90

dR1 = dR cos ϕ ⇒ R1 = ∫ cos ϕdϕ 0

R1 = qr 90

dR2 = dRsenϕ ⇒ R2 = ∫ senϕdϕ 0

R2 = qr Por tanto:

R = R1 + R 2 2

2

Entonces:

R = 2qr = 2.828 t ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 144 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Realicemos un DCL para trabajar con mayor facilidad

2.828 t

2t

VB

HA

VA ∑H = 0⇒ H −2 = 0⇒ H = 2 t ∑ M = 0 ⇒ 2.828(2) − 2 2 − (2 + 2 )V A

A

A

∑M

B

B

= 0 ⇒ VB = 0.828 t

= 0 ⇒ (2 + 2 )VA − 2 2 − 2.828 2 = 0 ⇒ VA = 2.00 t CONTROL

∑ V = 0 ⇒ 2.00 − 2.828 + 0.828 = 0

Paso 2) Obtención de las ecuaciones de esfuerzos internos

2.828 t

2t

VB

HA

VA ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 145 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

DOMINIO ⇔ 0 < ϕ < 45º M

N Q

d1

ϕ

2t 2t

d

F1 2t

F2 F3

F4 2t

Sabemos que: d = 2 − 2 ⋅ cos ϕ d1 = 2 ⋅ senϕ Sabemos también que de la descomposición de fuerzas resulta: F1 = 2 ⋅ cos ϕ F2 = 2 ⋅ senϕ F3 = 2 ⋅ cos ϕ F4 = 2 ⋅ senϕ

DOMINIO ⇔ 0 < ϕ < 45º Normal ⇔

∑F

N

= 0 ⇒ N + F2 + F3 = 0

∴ N = −2senϕ − 2 cos ϕ Cortante ⇔

∑F

Q

= 0 ⇒ Q + F1 − F4 = 0

∴ Q = −2 cos ϕ + 2senϕ

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 146 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

∑M

Momento ⇔

S

= 0 ⇒ M + 2d1 − 2d = 0

∴ M = −4senϕ + 2(2 − 2 cos ϕ ) En la siguiente tabla mostramos la variación de valores que existen a lo largo del tramo analizado de 0º a 45º (se recomienda una variación cada 15º)

Normal “N”

Cortante “Q”

Momento “M”

[t]

[t]

[t_m]

0º

-2

-2

0

15º

-2.45

-1.41

-0.9

30º

-2.73

-0.73

-1.46

45º

-2.83

0

-1.66

DOMINIO ⇔ 45 < ϕ 1 < 135º R

M N Q

B α

A

2t

ϕ

2t

F1

2t

F2 F4 F3 2t

F6 γ

F5 R

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 147 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Sabemos que:

α = ϕ − 45º Además; F1 = 2 ⋅ cos ϕ

F3 = 2 ⋅ senϕ

F2 = 2 ⋅ senϕ

F4 = 2 ⋅ cos ϕ

Para la descomposición de la fuerza resultante será.

γ = 90 − α / 2 F5 = R ⋅ senγ F6 = R ⋅ cos γ Pero R es: α

R1 = qr ∫ cosα dα = qrsenα 0

α

R2 = qr ∫ senα dα = qr (1 − cos α ) 0

2 1

2

R = R + R2 Tenemos: Normal ⇔

∑F

N

= 0 ⇒ N + F2 + F4 + F6 = 0

∴ N = −(2senϕ + 2 cos ϕ + R cos γ ) Cortante ⇔

∑F

Q

= 0 ⇒ Q + F1 − F3 + F5 = 0

∴ Q = −2 cos ϕ + 2senϕ − Rsenγ

Momento ⇔

∑M

α

S

= 0 ⇒ M + 2rsenϕ − 2(r − r cos ϕ ) + R (rsen ) = 0 2

En la siguiente tabla mostramos la variación de valores que existen a lo largo del tramo analizado de 45º a 135º (se recomienda una variación cada 15º)

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 148 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Normal “N”

Cortante “Q”

Momento “M”

[t]

[t]

[t_m]

45º

-2.83

0

-1.66

60º

-2.80

0.21

-1.60

75º

-2.72

0.41

-1.43

90º

-2.59

0.59

-1.17

105º

-2.41

0.72

-0.83

120º

-2.21

0.80

-0.43

135º

-2

0.83

0

Paso 3) DIAGRAMAS DE ESFUERZOS ESFUERZO NORMAL 90°

75°

105°

60°

120°

45°

135°

(-)

30°

2.72 t

2.59 t 2.41 t 2.21 t 2t

2.80 t

15°

2.83 t 2.73 t 2.45 t

0°

2t

ESFUERZO CORTANTE 75° 60°

0.59 t 0.41 t

45° 30° 15°

0°

90°

0.21 t

105° 0.72 t

120°

(+)

0.80 t

135° 0.83 t

0t

0.73 t

(-)

1.41 t

2t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 149 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

DIAGRAMA DE MOMENTOS

90°

75°

105°

60°

120° 135°

45° 30°

0.43 t.m

(-)

0.83 t.m

0 t.m

1.17t.m 1.43 t.m

15°

1.60 t.m 1.66 t.m 1.46 t.m 0.90 t.m

0°

0 t.m

Para tener una concepción grafica de la aplicación arcos en la vida estructural ver anexos del capitulo 3

3.10 TEORIA GENERAL DE ARCOS PARABOLICOS. Para tener una visión mas clara sobre el análisis de arcos parabólicos y otros tipos de arcos es preferible desarrollar una teoría general, para poder facilitar el trabajo y trabajar de manera mas metódica. Y yo

Mz

M

xo

N ϕ

Nx ϕ

Q

Qy

X

La anterior grafica nos muestra una porción de una cierta viga seleccionada en la parte derecha, además N, Q, y M son los esfuerzos correspondientes al sistema local xo - yo , y Nx, Qy y Mz ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 150 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

son los correspondientes al sistema general x – y. Entonces realizando la rotación correspondiente tenemos. N x = N cos ϕ + Qsenϕ Q y = − Nsenϕ + Q cos ϕ Mz = M O bien puede ser expresada en forma matricial.

 N  cos ϕ  Q  =  senϕ     M   0

− senϕ

0  N x  0  Q y  1   M z 

cos ϕ 0

Además, si realizamos el análisis de un pequeño segmento diferencial, tenemos: ds dy

ϕ

ds ϕ dx

dx

dy

Entonces: 2

2

ds = d x + d y

;

senϕ = tan ϕ =

dy ds

;

cos ϕ =

dx ds

dy =ω dx

Luego: senϕ =

ω 1+ ω2

;

cosϕ =

1 1+ ω 2

Los valores obtenidos para senϕ y cosϕ deben ser sustituidos en la disposición matricial.

Para tener una mejor comprensión del calculo de arcos y la aplicación de la teoría general de las mismas, planteamos a continuación una serie de ejemplos resueltos.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 151 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio # 13 Determinar y graficar los elementos internos del siguiente arco parabólico. P

(4,7) 1t

0.5 t/m f(x)

A (0,0)

Paso 1) Cálculo de reacciones de apoyo. 1t

R=3.5 t 7m

3,5m

M

HA VA

4m

∑ H = 0 ⇒ H + 3.5 = 0 ⇒ H = − 3.5 t ∑ M = 0 ⇒ M + 3.5(3.5) + 1(4) = 0 ⇒ M = − 16.25 t ⋅ m ∑ M = 0 ⇒ 4V − (−3.5)7 + (−16.25) − 3.5(3.5) = 0 ⇒ V = 1 CONTROL ∑V = 0 ⇒ 1 − 1 = 0 A

A

A

A

P

A

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

A

A

t

Pag - 152 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Paso 2) Obtención de las ecuaciones de esfuerzos internos P

(4,7) 1t

0.5 t/m f(x)

3.5 t 1t

16.25 t.m

Previamente, determinamos las condiciones geométricas de f(x), entonces y = ax 2 + bx + c

;

Para O(0, 0) ⇒ c = 0

Por lo tanto, y = ax 2 + bx ⇒ y ' = 2ax + b

; cuando x = 4 ⇒ y ' = 0

Por lo tanto 8a + b = 0 Para P (4,7), tenemos 16a + 4b = 7 Por lo tanto, y=−

7 2 7 x + x 16 2

Entonces, 7 7 y' = ω = − x + 8 2 ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 153 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Por lo tanto, 7 7 x+ 8 2 senϕ = = 2 2 1+ ω 7  7 1+ − x +  2  8 −

ω

cos ϕ =

1 1+ ω

2

=

1 7  7 1+ − x +  2  8

2

Mz

0.5 t/m

Nx Qy

R=0.5y y

3.5 t 16.25 t.m

x

1t

Recordemos que la convención de signos en sentido positivo es: M

M IZQ

DER

(+)

N Q

N Q

Entonces: N x = 3 .5 − 0 .5 y Qy = 1 M z = − 0 .5

y2 + 3.5 y + x − 16.25 2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 154 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

De la disposición matricial se tiene:

N = N x cos ϕ − Qy senϕ Q = N x senϕ + Qy cos ϕ M = Mz Para el dominio 0 ≤ x ≤ 4 , tenemos:

Normal ⇔

N=

7 2 7 x − x 32 8 7  7 1+  − x +  2  8

2

 7 2 7  7 7   3.5 + 32 x − 4 x  − 8 x + 2  + 1   

Cortante ⇔

Q=

Momento ⇔

0 .5  7 2 7   7 2 7  M =−  − x + x  + 3.5 − x + x  + x − 16.25 2  16 2  2   16

7  7 1+  − x +  2  8

2

2

En la siguiente tabla mostramos la variación de valores que existen a lo largo del tramo analizado.

Distancia

Normal “N”

Cortante “Q”

Momento “M”

“m”

[t]

[t]

[t_m]

0

0

3.64

-16.25

0.67

-0.16

2.62

-8.95

1.33

-0.31

1.83

-5.10

2

-0.39

1.13

-2.77

2.67

-0.51

0.95

-1.48

3.33

-0.42

0.91

-0.68

4

0

1

0

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 155 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Paso 3) DIAGRAMAS DE ESFUERZOS ESFUERZO NORMAL 0 t

0 .4 2 t

(-) 0 .5 1 t 0 .3 9 t

0 .3 1 t

0 .1 6 t

0 t

0m

0 .6 7 m

1 .3 3 m

2 .0 m

2 .6 7 m

3 .3 3 m

4m

ESFUERZO CORTANTE 1t 0.91 t 0.95 t

0t

1.13 t

1.83 t

2.62 t

(+)

3.64 t

0t

0m

0.67m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

1.33m

2.0m

2.67m

3.33m

4m

Pag - 156 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

DIAGRAMA DE MOMENTOS 0.68 t.m 1.48 t.m

2.77 t.m

5.10 t.m

8.95 t.m

(-) 0 t.m

0m

16.25 t.m

0.67m

1.33m

2.0m

2.67m

3.33m

4m

Nota.- En la variación de los diagramas de esfuerzos internos (Normal, Cortante y Momento) cabe mencionar que no son rectas las que se van dibujando entre los puntos de variación, son curvas que se las observaría mejor si es que la distancia de variación a lo largo del arco fuera mas reducido, por ejemplo cada 0.1m.

Ejercicio # 14 Determinar y graficar los elementos internos del siguiente arco eliptico.

Y

1 t/m C(3,2)

X A(0,0)

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

B(6,0)

Pag - 157 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Paso 1) Cálculo de reacciones de apoyo. 1.5 m

R=3 t C(3,2)

HA

HB

VA

VB

∑H =0⇒ H + H =0 ∑ M = 0 ⇒ 3(1.5) − 6V = 0 ⇒ V = 0.75 t ∑ M = 0 ⇒ 6V − 3(4.5) = 0 ⇒ V = 2.25 t ∑ M = 0 ⇒ −3(0.75) − 2 H = 0 ⇒ H = − 1.125 A

B

A

B

B

B

A

A

DER C

B

B

t

por tanto:

H A = 1.125 t CONTROL

∑V = 0 ⇒ 2.25 − 3 + 0.75 = 0

Paso 2) Obtención de las ecuaciones de esfuerzos internos

1 t/m

Y 1.125 t

X 2.25 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

1.125 t 0.75 t

Pag - 158 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Determinamos las condiciones geométricas de la curva elíptica. ( x − 3) 2 y 4 2 + =1⇒ y = − x2 + 6x elipse ⇔ 9 4 3 Por lo tanto, y' = ω =

− 2x + 6 3 − x2 + 6x

Mz Nx Qy

1.125 t

X 2.25 t

Recordemos que la convención de signos en sentido positivo es: M

M DER

IZQ

(+)

N

N

Q

Q

Entonces:

N x = −1.125 t Q y = 2.25 − x M z = −1.125 y −

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

x2 + 2.25 x 2 Pag - 159 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Nuevamente de la disposición matricial se tiene:

N = N x cos ϕ − Q y senϕ Q = N x senϕ + Q y cos ϕ M = Mz Para el dominio 0 ≤ x ≤ 3 , tenemos: Normal ⇔

N=

Cortante ⇔

− 3.375 − x 2 + 6 x − (2.25 − x)(−2 x + 6)

Q=

(3

)

− x 2 + 6 x + (− 2 x + 6 ) 2

2

(

− 1.125(− 2 x + 6 ) + (2.25 − x ) 3 − x 2 + 6 x

(3

)

)

− x 2 + 6 x + (− 2 x + 6 ) 2

2

2 2  x M = −1.125 − x 2 + 6x  − + 2.25 x 3  2

Momento ⇔

En la siguiente tabla mostramos la variación de valores que existen a lo largo del tramo analizado.

Distancia

Normal “N”

Cortante “Q”

Momento “M”

“m”

[t]

[t]

[t_m]

0

-2.25

-1.125

0

1

-1.6

0.5

0.07

2

-1.15

0

0.38

3

-1.125

-0.75

0

Para el análisis del segundo tramo, tenemos:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 160 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

1 t/m

Mz Nx Qy

1.125 t

X 2.25 t

Entonces: N x = −1.125 t Q y = −0.75 t

M z = −1.125 y − 3( x − 1.5 + 2.25 x )

Para el dominio 3 ≤ x ≤ 6 , tenemos: Normal ⇔

N=

− 3.375 − x 2 + 6 x − 0.75(− 2 x + 6 )

(3

) + (− 2 x + 6) − 1.125(− 2 x + 6 ) + (2.25)( − x + 6 x ) Q= (3 − x + 6 x ) + (− 2 x + 6) − x 2 + 6x

2

2

2

Cortante ⇔

2

2

2

2  M = −1.125 − x 2 + 6 x  − 3( x − 1.5) + 2.25 x 3 

Momento ⇔

En la siguiente tabla mostramos la variación de valores que existen a lo largo del tramo analizado.

Distancia

Normal “N”

Cortante “Q”

Momento “M”

“m”

[t]

[t]

[t_m]

3

-1.125

-0.75

0

4

-1.27

-0.48

0.62

5

-1.35

0

0.93

6

-0.75

-1.125

0

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 161 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Paso 3) DIAGRAMAS DE ESFUERZOS ESFUERZO NORMAL

(-) 1.125 t

1.15 t

1.27 t 1.35 t

1.60 t

2.25 t

0t

1m

0.75 t

3m

2m

4m

5m

0t

6m

ESFUERZO CORTANTE

0t

0.5 t

(+)

(-) 0.75 t

0t 0.48 t

(+)

(-) 1.125 t

0t

1m

1.125 t

2m

3m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

4m

5m

6m

Pag - 162 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

DIAGRAMA DE MOMENTOS 0.38 t.m

(+)

0 t.m

0.07 t.m

(-)

0.62 t.m

0.93 t.m

0 t.m

1m

2m

3m

4m

5m

6m

Nota.- En la variación de los diagramas de esfuerzos internos (Normal, Cortante y Momento) cabe mencionar que no son rectas las que se van dibujando entre los puntos de variación, son curvas que se las observaría mejor si es que la distancia de variación a lo largo del arco fuera mas reducido, por ejemplo cada 0.1m.

3.11

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS MIXTAS. Se refiere a la combinación de todas las estructuras ya analizadas, donde el procedimiento de

calculo de cada uno de los tramos, ya sean estos rectos o arcos deberán ser analizados de manera independiente como ya se ha visto hasta ahora. Para concluir el análisis de estructuras, planteamos a continuación la solución de ejemplos resueltos de estructuras mixtas.

Ejercicio # 15 Determinar y graficar los elementos internos de la siguiente estructura mixta.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 163 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

q=1.5 t/m

1t

1

q =0.5 t/m 1

A

D

C

E 2t

2,5 1,5

B 1,5

3

3

Paso 1) Cálculo de reacciones de apoyo. Previamente se determinara el valor de la resultante correspondiente a la carga distribuida de q = 1.5 t/m, que actúa perpendicularmente al arco.

R dRV

dR

dR H

ϕ ds

dϕ

ϕ R = R H + RV 2

2

Entonces: dR = qds = qrdϕ

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 164 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Por lo tanto: dRH = dR cos ϕ

dRV = dRsenϕ

dRH = qr cos ϕdϕ

dRV = qrsenϕdϕ

π

π

RH = ∫ qr cos ϕ dϕ = 0

RV = ∫ qrsenϕ dϕ = 2qr

0

0

Entonces:

R = 2(1.5)(1.5) = 4.5 t

Debido a la simetría de la carga distribuida afirmamos que la resultante de la carga distribuida perpendicular al arco pasa por el eje “y”.

A continuación determinamos la resultante de la carga distribuida que actúa a lo largo del tramo E – C.

R1

q =0.5 t/m 1

C

E 3 R1 = q1 L = 0.5(3) = 1.5 t

La línea de acción de R1 es coincidente con la recta que pasa por el tamo E – C. Mostramos el detalle de las articulaciones:

E D

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 165 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ahora veamos la estructura en D.C.L.

R=4.5t

1t

HA

R 1=1.5t

A

D

C

E

VA

VC 2t

HB

B

VB Aplicando las ecuaciones de equilibrio tenemos:

∑ H = 0 ⇒ H + H + 2 + 1.5 − 1 = 0 ∑ M = 0 ⇒ 4.5(1.5) − 2(1) − 2.5H − 3V 1(1) − 7.5V = 0 ∑ M = 0 ⇒ 3V + 2.5H − 4.5(1.5) + 1.5(2.5) + 2(1.5) − 1(3.5) − 4.5V A

B

A

B

B

A

B

C

A

C

=0

Aplicando las 2 ecuaciones especiales que generan las articulaciones, resolvemos el sistema, pero previamente

∑M ∑M

DER E

= 0 ⇒ −1(1) − 3VC = 0 ⇒ VC = − 0.33 t

ABAJO D

= 0 ⇒ −2(1) − 2.5H B = 0 ⇒ H B = − 0.8 t

por lo tanto:

H A = − 1.7 t

V A = 2.083 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

VB = 2.75 t

Pag - 166 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

R=4.5t

1t

1.7 t

R 1=1.5t

A

D

E

C 0.33 t

2.083 t 2t

B

0.8 t

2.75 t

CONTROL

∑V = 0 ⇒ 2.083 − 4.5 + 2.75 − 0.33 = 0

Paso 2) Obtención de las ecuaciones de ESFUERZOS INTERNOS TRAMO A – D DOMINIO ⇔ 0 < x < π M N Q

F1

A

F2

1.7 t 2.083 t

F4 F3 F5 γ F6 R

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 167 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Sabemos que: R = qr 2 − 2 cos ϕ R = 3.18 1 − cos ϕ

γ =ϕ/2 Sabemos también que de la descomposición de fuerzas resulta: F1 = 2.083 ⋅ cos ϕ F2 = 2.083 ⋅ senϕ F3 = 1.7 ⋅ senϕ F4 = 1.7 ⋅ cos ϕ F5 = R ⋅ senϕ / 2 F6 = R ⋅ cos ϕ / 2 Luego, para el dominio de 0 < x < π, del arco del tamo A – D será:

∑F

Normal ⇔

N

= 0 ⇒ N + F1 − F3 + F5 = 0

∴ N = −2.083 cos ϕ + 1.7 senϕ − 3.18 1 − cos ϕ ⋅ sen

∑F

Cortante ⇔

Q

∑M

2

= 0 ⇒ Q − F2 − F4 + F6 = 0

∴ Q = 2.083senϕ + 1.7 cos ϕ − 3.18 1 − cos ϕ ⋅ cos Momento ⇔

ϕ

S

= 0 ⇒ M + Rrsen

ϕ 2

∴ M = −4.77 1 − cos ϕ ⋅ sen

ϕ 2

− 2.083(r − r cos ϕ ) − 1.7(rsenϕ ) = 0

ϕ 2

+ 3.125(1 − cos ϕ ) + 2.55senϕ

En la siguiente tabla mostramos la variación de esfuerzos que existen a lo largo del tramo A – D.

Distancia

Normal “N”

Cortante “Q”

Momento “M”

“m”

[t]

[t]

[t_m]

0º

-2.08

1.7

0

15º

-1.65

1.6

0.65

30º

-1.26

1.39

1.24

45º

-0.93

1.08

1.73

60º

-0.64

0.71

2.08

75º

-0.56

0.28

2.28

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 168 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil 90º

-0.55

-0.17

2.3

105º

-0.65

-0.60

2.15

120º

-0.86

-0.99

1.84

135º

-1.16

-1.32

1.38

150º

-1.54

-1.56

0.81

165º

-1.97

-1.68

0.17

180º

-2.41

-1.701

-0.49

DIAGRAMAS DE ESFUERZOS

ESFUERZO NORMAL

90°

75°

105° 120°

60° 45°

135° 0.56 t

0.55 t

0.65 t

0.64 t

30°

0.86 t

0.93 t

15°

(-)

150° 1.16 t

1.26 t

1.54 t

1.65 t

165°

(-)

1.97 t

0°

180°

2.41 t

ESFUERZO CORTANTE 90°

75°

105° 120°

60° 45°

0.28 t 0.71 t

135°

0.17 t

1.08 t

30°

0.60 t

150°

0.99 t

1.39 t 1.32 t

15°

(+) 1.56 t

(-)

1.6 t

165°

1.68 t

0°

1.7 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

1.701 t

180°

Pag - 169 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

DIAGRAMA DE MOMENTOS

90°

75° 60°

2.3 t.m

2.28 t.m

105° 120°

2.15 t.m

(+)

2.08 t.m

45°

1.84 t.m

135°

1.73 t.m 1.38 t.m

30°

150°

1.24 t.m

0.81 t.m

165°

15° 0.65 t.m

0°

0.17 t.m

180°

0.49 t.m

0 t.m

Para el análisis de barras recordemos que la convención de signos en sentido positivo es: M

M DER

IZQ

(+)

N

N

Q

Q

TRAMO B-D DOMINIO ⇔ 0 < x < 1.5 Normal N ⇒ − 2.75 t Cortante Q ⇒ 0.8 t  x=0 ⇒ 0.8 x ⇒ Para   x = 1 .5 ⇒ DOMINIO ⇔ 1.5 < x < 2.5

M = 0 t ⋅m

Momento M ⇒

M = 1 .2 t ⋅ m

Normal N ⇒ − 2.75 t Cortante Q ⇒ 0.8 − 2 = −1.2 t Momento M ⇒

 x = 1 .5 ⇒ 0.8 x − 2( x − 1.5) ⇒ Para   x = 2 .5 ⇒ 2.75 t 1.2 t

N

Q

M = 1 .2 t ⋅ m M = 0 t⋅m M

1.2 t

0.8 t

2t

1.2 t.m

(-) (-)

(+)

(+)

0.8 t 2.75 t

2.75 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 170 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

TRAMO D-E

DOMINIO ⇔ 0 < x < 1.5 2.414 t 1.7 t

0.496 t.m

0.496 t.m

D

0.5 t 0.33 t

0.496 t.m 0.5 t

0.5 t 0.33 t

0.33 t 0.5 t

1.2 t 2.75 t

(+)

0.33 t

N

(+)

Q M

(-) 0.496t.m

Normal

N ⇒

Cortante Q ⇒ Momento M ⇒

N = 0 .5 t  x=0 ⇒ 0.5 ⇒ Para  N = 0 .5 t  x = 1 .5 ⇒  x = 0 ⇒ Q = 0.33 t 0.33 ⇒ Para   x = 1.5 ⇒ Q = 0.33 t M = − 0.496 t ⋅ m x = 0 ⇒ − 0.496 + 0.33 x ⇒ Para  M = 0 t ⋅m  x = 1 .5 ⇒

TRAMO F-C DOMINIO ⇔ 0 < x < 1 F

1t

N

Q

M

1t

x

(-) (+)

1 t.m 1 t.m

1t

C

Normal

N ⇒

Cortante Q ⇒

N =0 t x = 0 ⇒ 0 ⇒ Para  N =0 t x =1 ⇒ x=0 ⇒ Q=0 t − 1 ⇒ Para  x = 1 ⇒ Q = − 1 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 171 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Momento M ⇒

TRAMO C-E

x = 0 ⇒ 1x ⇒ Para   x =1 ⇒

M = 0 t ⋅m M =1 t ⋅m

DOMINIO ⇔ 0 < x < 3 q =0.5 t/m 1

1 t.m

0.5 t E

1t

0.33 t

0.33 t

0.5 t (+)

N

(-) 1t 0.33 t

(+) Q

1 t.m

(+) M

x = 0 − 1 + 0.5 x ⇒ Para  x = 3 x = 0 ⇒ Cortante Q ⇒ 0.33 ⇒ Para  x = 3 ⇒ x = 0 Momento M ⇒ 1 − 0.33 x ⇒ Para  x = 3 Paso 3) Verificación en el nudo de control, nudo E: Normal

N ⇒

0.5 t 0.33 t

⇒

N = −1 t

⇒

N = 0 .5 t

Q = 0.33 t Q = 0.33 t ⇒

M =1 t ⋅ m

⇒

M =0 t⋅m

0.5 t E

0.33 t

∑ H = 0 ; ∑V = 0 ; ∑ M = 0 El NUDO SE ENCUENTRA EN EQUILIBRIO Luego del análisis realizado, podemos afirmar que la ESTRUCTURA ESTA EN

EQUILIBRIO. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 172 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

3.12 EJERCICIOS PROPUESTOS. Se pide determinar las ecuaciones y diagramas de esfuerzos para los siguientes ejercicios.

Problema #1

q=1 t/m M H V

3 V = 1 t ; M = 0.75 t.m

Respuesta: Diagrama de momentos

M (-)

0.75 t.m Problema #2 Resolver el siguiente ejercicio por el método relacional y por el método funcional.

0.5 t/m 2 t.m

A

VA Respuesta:

B

VB

2

2

VA = 0.25 t

;

2

VB = 0.75 t

Diagrama de momentos:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 173 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

0.06 t.m 0.5 t.m

(-)

1

2 t.m

2 t.m

Problema #3 1.5 t/m 2 t.m

E

D

C

3,5 2t F

G

3,5

HA

A

B

VA

VB 3

H A = 1.75 t

Respuesta:

;

2

VA = 2.29 t

VB = 3.29 t

1.75 t

2.29 t

(+)

(+)

(+)

M

8.17 t.m

Q

A–C N

Diagrama tramo

1

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 174 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Problema #4 1t

E

2

2t

0.5 t.m

E

D

F

G

1,5

4 2,5

1 t/m

A

B

3

Respuesta:

H A = 2 .2 t

;

VA = 2.23 t

H B = 0 .3 t

;

VB = 0.77 t

A–D

(-)

M (+)

2.38 t.m

(-)

N

Q 0.31 t

D

1.92 t.m

Diagrama tramo

3

X

1 t/m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

2.19 t

2.23

-2.23 t

2.19

(+)

X

Pag - 175 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Problema #5

0.8 t/m

1

B

C 2t

D

VB 3

A

HA

3

2

1

VA H A = 3 .2 t

Respuesta: Diagrama tramo

;

V A = 3.52 t

VB = 1.52 t C–D

C

B

D N

(-) 3.2 t (-)

1.52 t (-)

Q M

4.56 t.m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 176 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Problema #6 R=2.5 m 1 t/m

C

0.5 t

R 30° A

B

HB

HA

VB

VA Respuesta: Diagrama N tramo

H A = 0.658 t

;

V A = 2.342 t

H B = 0.658 t

;

VB = 0.658 t

A–C

90°

75° 60° 45° 0.63 t

30°

0.66 t

0.87 t

1.25 t

15°

(-)

1.63 t 2.07 t 2.35 t

0°

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

2.34 t

Pag - 177 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Problema #7 0.5 t/m 2.0 t.m 1.25 t.m 2.25 t.m

B(3,5)

(+)

2.0 t.m

VB 1.25 t.m

Arco Parabolico

A(0,0) 0 t.m

0m

VA

0.5m

1.0m

1.5m

2.0m

2.5m

3m

V A = 3 t ; VB = 3 t

Respuesta: Diagrama M tramo

A–B

Problema #8 0.090 t.m

C(2,3)

0.082 t.m

(+)

0.03 t.m

A(0,0)

HA

HB

B(4,0) 0 t.m

VA

VB

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

0m

0.5m

1.0m

1.5m

2.0m

Pag - 178 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Respuesta:

H A = 0.22 t

;

VA = 0.67 t

H B = 0.22 t

;

VB = 0.33 t

Se grafica el diagrama “M” tramo A – C

Problema #9 R=2.5 m 0.2 t

0.3 t/m

0.4 t.m C

A

D 1,5

2

VA

0.3 t 1,5

HB

B

VB

4

V A = 0.66 t

Respuesta:

H B = 0 .3 t

; VB = 0.14 t

;

Q (+) 0.3 t

0.45 t.m

(-)

(-) (+) 0.14 t

M

A–C N

Diagrama N tramo

3

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 179 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

3.13 EVALUACION DIAGNOSTICO DEL CAPITULO. Para realizar una evaluación diagnostico referente al presente capitulo, se propone al estudiante responder las siguientes preguntas.

Cuales son los elementos de los esfuerzos internos? Cual es la definición de esfuerzo Normal? Como se divide el análisis de estructuras? Cuales son los métodos para el análisis de vigas? Cual es la diferencia entre el análisis por el método relacional y el método funcional? En el análisis de pórticos que método de análisis es mas aconsejable y por que? En que consiste la verificación de esfuerzos internos en pórticos y hasta cuando es aceptable una variación en los resultados?

Explique la teoría general de arcos parabólicos? Para concluir este diagnostico se pide determinar las reacciones de apoyo y graficar los diagramas de esfuerzos de las siguientes figuras.

Prob # 1 0.8 t.m C 2 A

D

B 2

E 4

0.5 t.m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

4

Pag - 180 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Prob #2

B

0.6 t

4

2

0.8 t A

0.5 t/m C D

3 6

2

Prob #3

0.5 t/m 0.8 t A B C

3 1 6

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

2

Pag - 181 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

CAPITULO 4 ARMADURAS (CERCHAS)

4.1 OBJETIVO GENERAL. El estudiante puede conceptualizar la función de una armadura, los tipos de armaduras y su aplicación. Exhibe destrezas para realizar el cálculo de esfuerzos internos y externos en la armadura.

4.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS. Al terminar este capitulo el estudiante podrá:

Identificar armaduras isostáticas e hiperestaticas. Adquirir habilidades para aplicar diversos métodos para determinar los esfuerzos internos y externos en los .

Puede recordar un tipo de armadura para cada caso.

4.3 ARMADURAS. Una cercha puede definirse como una estructura compuesta de un número de elementos o barras unidos en sus extremos por medio de pasadores sin fricción para formar un armazón rígido. Las fuerzas externas y reacciones se supone que están en el mismo plano de la estructura y

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 182 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

actúan solamente sobre los pasadores. Además, se supone que cada uno coincide con la línea que une los centros de los nudos de sus extremos y que el peso de cada barra es despreciable en comparación con las fuerzas externas que actúan sobre la cercha. De las condiciones anteriores se dice que cada barra de una cercha es un elemento sometido a dos fuerzas y sujeto solamente a fuerzas axiales directas (tracción o compresión). El análisis completo de una cercha consiste en la determinación de las fuerzas axiales internas de todas sus barras. Las hipótesis que idealizan el análisis de las armaduras son:

Son estructuras triangulares. Las cargas actúan en los nudos. Los nudos son articulaciones. Las barras están sometidas únicamente a esfuerzos normales de tracción o compresión. 4.4 GRADO DE ISOSTATICIDAD. En las armaduras se distinguen dos grados de isostaticidad:

4.4.1 Grado Externo. El concepto de análisis es similar al de la viga, pórticos y Arcos. Grado Interno. Se dividen en dos partes Armaduras Planas y Armaduras Espaciales

4.4.2

que determinan el grado interno. Para comprender mejor se ve en las graficas 4.1 (a) y (b)

Figura 4.1(a)

Figura 4.1(b)

b barras = 2 nnudos – 3

b = 3 nnudos - 6

En el plano

En el Espacio

Donde: b : es el número de barras n : el numero de nudos. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 183 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Se mostrara el grado de isostaticidad con algunos ejemplos:

Ejercicio #1 Dada la armadura determinar el grado de isostaticidad interno GI

Solución.Sabemos que: n es el numero de nudos n = 6 b es el numero de barras b = 9 El grado de isostaticidad es: GI = b – 2n + r = 9 – 2(6) + 3 = 0 GI = 0 entonces es ISOSTATICO

Ejercicio #2 Dada la armadura decidir su grado de isostaticidad interno GI

Solución.Sabemos que: n es el numero de nudos n = 7 b es el numero de barras b = 11

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 184 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

El grado de isotaticidad es: GI = b – 2n + r = 11 – 2(7) + 3 = 0 GI = 0 entonces es ISOSTATICO

Ejercicio #3 Dada la armadura decidir su grado de isostaticidad interno GI

Solución.Sabemos que: n es el numero de nudos n = 4 b es el numero de barras b = 6 El grado de isotaticidad es: GI = b – 2n + r = 6 – 2(4) + 3 = 1

GI = 1 entonces es ESTATICAMENTE INDETERMINADO Ejercicio #4 Dada la armadura, decidir su grado de isostaticidad interno GI.

Solución.ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 185 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Sabemos que:

n es el numero de nudos n = 9 b es el numero de barras b = 13 El grado de isotaticidad es: GI = b – 2n + r = 13 – 2(9) + 3 = -2 GI = -2 entonces es ESTRUCTURA NO ADECUADA PARA RESISTIR CARGAS

Cuando el grado de isostaticidad es = 0 estamos hablando de una estructura ESTATICA, en caso de que el grado de isostaticidad fuese ≥ 1 entonces hablamos de una estructura ESTATICAMENTE INDETERMINADA, y si fuese menor que cero entonces seria una estructura NO ADECUADA PARA RESISTIR CARGAS. Tal como se muestra en la siguiente tabla: Tabla 4.1 condiciones de isostaticidad

Condiciones de

Tipo de estructura

isostaticidad: G<0

Estructura inestable, no adecuada para resistir cargas

G=0

Estáticamente determinada

G>0

Estáticamente indeterminada

4.5 DETERMINACION DE ESFUERZOS. La determinación de esfuerzos se reduce a utilizar el signo (+) para la tracción y (-) para la compresión al que esta sometida una barra determinada, tal como se muestra en la siguiente figura.

Figura 4.2 (a)

Figura 4.2 (b)

Para determinar los esfuerzos en las armaduras existen varios métodos entre los cuales mencionaremos los siguientes:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 186 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

4.5.1 METODO DE LOS NUDOS.Si una armadura esta en equilibrio, entonces cada uno de sus nudos debe también estar en equilibrio. Por tanto, el método de los nudos consiste en satisfacer las condiciones de equilibrio ∑Fx= 0 y ∑Fy=0 para las fuerzas ejercidas sobre el pasador en cada nudo de las armadura. El procedimiento siguiente proporciona un método para analizar una armadura mediante el método de los nudos. Determine primero las reacciones en los soportes considerando el equilibrio de la armadura entera. Luego dibuje el diagrama de cuerpo libre de un nudo que tenga por lo menos una fuerza conocida y cuando más dos fuerzas incógnitas. (Si este nudo esta en uno de los soportes, será necesario conocer las reacciones externas en el soporte). Use el método descrito antes para establecer el sentido de una fuerza desconocida. Los ejes X y Y deben orientarse de manera que las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre puedan descomponerse fácilmente en sus componentes X y Y; luego aplique las dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas ∑ Fx = 0 y ∑ FY = 0. Debe notarse también que si uno de los ejes esta orientado a lo largo de una de las fuerzas desconocidas, la otra fuerza desconocida puede determinarse sumando fuerzas a lo largo del otro eje, despeje las dos fuerzas desconocidas y verifique sus sentidos correctos. Continué analizando cada uno de los otros nudos, eligiendo nuevamente uno que tenga cuando mas dos incógnitas y por lo menos una fuerza conocida. Dese cuenta que una vez encontrada una fuerza en un miembro por el análisis del nudo en uno de sus extremos, el resultado puede usarse para analizar las fuerzas que actúan en el nudo en el otro extremo. Debe observarse desde luego una estricta adherencia al principio de la acción y de la reacción. Recuerde que un miembro en compresión (empuja) el nudo y que un miembro en tensión (jala) el nudo. Los pasos que se emplean son:

Determinación estática Calculo de reacciones de apoyo Esfuerzos en las barras Apliquemos este procedimiento para los siguientes ejercicios:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 187 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #5 Analizar la armadura plana tipo HOWE.

Solución.PASO 1) DETERMINACION ESTATICA. Grado externo

GE = 3 – 3 – 0 = 0

Grado interno

GI = b – 2n + r = 13 – 2(8) + 3 = 0 GI = 0 3.5

h

4

2

=> h = 1.75

PASO 2) CÁLCULO DE REACCIONES DE APOYO CONVENCION ∑ M = 0 ⇒ HA + 0.3 = 0 HA = - 0.3 t ∑ MA = 0 ⇒ 0.5 * (4) + 0.3 *(1.75) – 8VB = 0

M

V

(+)

⇒ VB = 0.32 t ∑ MB = 0 ⇒ 8VA – 0.5 * (4) + 0.3 * (1.75) = 0 ⇒ VA = 0.18 t

PASO 3) ESFUERZOS EN LAS BARRAS

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 188 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

CONVENCION

Para aplicar este método debe escogerse nudos en los cuales a lo sumo concurren 2 barras incógnitas.

NUDO 1 (SUPUESTO) tan θ

3.5 4

θ

NUDO 1 (REAL)

41, 19

Sen θ = 0.66 ;

Cos θ = 0.75

∑ H = 0 ⇒ -0.3 + b1 + b8 (0.75) = 0 ∑ V = 0 ⇒ 0.18 + b8(0.66) = 0 ⇒ b8 = - 0.27 t ⇒ b1 = 0.50 t

NUDO 2 (SUPUESTO)

NUDO 2 (REAL)

∑ H = 0 ⇒ -0-5 + b2 = 0 ⇒ b2 = 0.5 t ∑ V = 0 ⇒ b9 = 0

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 189 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

NUDO 8 (SUPUESTO)

NUDO 8 (REAL)

∑ H = 0 ⇒ 0.27cosφ + b7 cosφ + b10cosφ = 0 ⇒ 0.27*0.75 + b7*0.75 + b10*0.75 = 0 ∑ V = 0 ⇒ 0.27senφ + b7senφ + b10senφ = 0 ⇒ 0.27*0.66 + b7*0.66 + b10*0.66 = 0 ⇒ b7 = -0.27 t ⇒ b10 = 0 t

NUDO 7 (SUPUESTO)

NUDO 7 (REAL)

∑ H = 0 ⇒ 0.27cosφ + b6cosφ = 0 ⇒ 0.27*cos 0.75 + b6* cos 0.75 = 0 ⇒ b6 = -0.27 t ∑ V = 0 ⇒ 0.27senφ - 0.5 – b11 – (-b6) senφ = 0 ⇒ 0.27*sen 0.66-0.5- b11 -0.27*sen 0.66 = 0 ⇒ b11 = -0.14 t ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 190 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

NUDO 5 (SUPUESTO)

NUDO 5 (REAL)

∑ V = 0 ⇒ 0.32 + b5 (0.66) ⇒ b5 = - 0.48 t ∑ H = 0 ⇒ -b4 – b5 (0.75) = 0 ⇒ b4 = 0.36 t

NUDO 4 (SUPUESTO)

NUDO 4 (REAL)

b13 Por simple observación decimos que

b3

0.36 t

0.36 t

NUDO 6 (SUPUESTO)

0.36 t

NUDO 6 (REAL)

∑ H = 0 ⇒ -b12*0.75 - b6*0.75 + 0.3 – 0.48*0.75 = 0 ∑ V = 0 ⇒ -b12(0.66) + b6(0.66) + 0.48(0.66) = 0 ⇒ b12 = 0.19 t ⇒ b6 = -0.28 t ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 191 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

RESUMEN DE ESFUERZOS

4.5.2 METODO DE LAS SECCIONES. El método de las secciones consiste en pasar una sección imaginaria por la armadura, cortándola así en dos partes. Si la armadura entera esta en equilibrio, entonces cada una de las dos partes debe también estar en equilibrio, en consecuencia pueden aplicarse las tres ecuaciones de equilibrio a cualquiera de esas partes para determinar las fuerzas en los en la sección del corte, Cuando se usa el método de las secciones para determinar la fuerza en un miembro particular, debe tomarse una decisión sobre como cortar o seleccionar la armadura. Como solo pueden aplicarse tres ecuaciones independientes de equilibrio (∑FX = 0, ∑FY = 0, ∑MO = 0). A la parte aislada de la armadura, trate de escoger una sección que en general, pase por no más de tres cuyas fuerzas sean desconocidas. Este tipo de armadura se utiliza con frecuencia en la construcción de puentes, para ferrocarriles y para camiones. Algunas veces se lo utiliza también para cubrir ambientes de Fábricas, universidades y cuartos. Los pasos que se emplean son:

Determinación estática Calculo de reacciones de apoyo Esfuerzos en las barras

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 192 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #6 Determinar los esfuerzos en las barras b10 y b21

Solución.PASO 1) DETERMINACION ESTATICA GI ⇒ b = 2n – 3 ⇔ 25 = 2 (14) – 3 = 25 GI = 3 – 3 – 0 = 0

PASO 2) CÁLCULO DE REACIONES DE APOYO ∑ H = 0 ⇒ 0.4 +HB = 0 ⇒ HB = - 0.4 t ∑ MA = 0 ⇒ 0.4 (3) + 0.5 (5) + 0.2 (12.5) – 15 VB = 0 ⇒ VB = 0.41 t ∑ MB = 0 ⇒ 15 VA + 0.4 (3) – 0.5 (10) – 0.2 (2.5) = 0 ⇒ VA = 0.29 t Control ∑ V = 0 ⇒ 0.29 – 0.5 – 0.2 + 0.41 t = 0

PASO 3) ESFUERZOS EN LAS BARRAS

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 193 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

El método consiste en seleccionar (cortar) la percha. La sección a lo sumo debe cortar 3 barras desconocidas. Se separa la percha cortada y se analiza la parte que convenga (Izquierda y Derecha).

∑ M4 = 0 ⇒ 0.29 (7.5) + 0.4 (3) – 0.5 (2.5) + b10 (3) = 0 b10 = 0.70 t compresión

∑ M5 = 0 ⇒ -0.41 (5) + 0.2 (2.5) = b21x (3) + 0.7 (3) = 0

b21 x = 0.18 t tangθ = 3 = 1.2 2.5 sen θ = 0.77 ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 194 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

cos θ = 0.64 ⇒ Cos θ = b21 x ⇒ b21 = 0.28 b21 = 0.28 t

= 0.28 t

TRACCION

4.5.3 ARMADURAS EN EL ESPACIO METODO GENERAL. Cuando varias barras se unen entre si por sus extremos para formar una configuración en tres dimensiones, la estructura obtenida se llama armadura en el espacial. La armadura rígida bidimensional mas elemental consiste de tres barras unidas por sus extremos, que forman un triangulo, y que agregando a la conformación básica dos barras acopladas a un nuevo nudo, era posible obtener una estructura rígida mayor que definimos como armadura simple. Análogamente, la armadura espacial más sencilla consiste de seis barras unidas por sus extremos, que forman las aristas de un tetraedro ABCD de la figura (a). Agregando tres barras a la conformación básica, tales como AE, BE y CE, acoplándolas a los nudos distintos ya existentes y uniéndolas en un nuevo nudo, podemos obtener una estructura rígida mayor, la cual definimos como armadura simple. * Observando que el tetraedro básico tiene seis barras y cuatro nudos y que, cada vez que se agreguen tres barras, se aumenta en uno el número de nudos, concluimos que en una armadura simple espacial el número total de barras es b = 3n -6, siendo n el número total de nudos. Si la armadura espacial debe presentar construcción total y si las reacciones en sus apoyos son estáticamente determinadas, los apoyos deberían ser una combinación de esferas, rodillos y rótula que proporcionen seis reacciones desconocidas. Las reacciones desconocidas pueden encontrarse fácilmente resolviendo las seis ecuaciones que expresan que la armadura tridimensional está en equilibrio. Aunque las barras de una armadura espacial están realmente unidas entre sí mediante conexiones soldadas o remachadas, se considera que cada nudo está constituido por una rótula. De esta manera, no se aplicará ningún par a las barras de la armadura y cada barra podrá tratarse como barra sometida a dos fuerzas. Las condiciones de equilibrio para cada nudo se expresarán por las tres ecuaciones Fx = 0, Fy= 0, y Fz = 0. En el caso de una armadura espacial simple que contengan n nudos, al escribir las ecuaciones de equilibrio para cada nudo se tendrán 3n ecuaciones. Puesto que b = 3n – 6, estas ecuaciones son suficientes para determinar todas las fuerzas desconocidas (fuerzas en n barras y sus reacciones en los apoyos). Sin embargo, para evitar la

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 195 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

resolución de muchas ecuaciones simultáneas, los nudos deberán seleccionarse cuidadosamente para descartar aquellos que contengan más de tres fuerzas desconocidas.

Figura 4.3 (a)

Figura 4.3 (b)

F = Coeficiente de tensión L Cos α =

FX

LX =

F

L

F ⇒ FX =

* LX = C * LX L

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 196 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Cos β =

Cos γ =

FY

LY =

F ⇒

FY =

* LY = C * LY

F

L

L

FZ

LZ

F

= F

⇒ FZ =

L

* LZ = C * LZ L

El método que describiremos a continuación puede ser utilizado en el análisis de armaduras planas y espaciales como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejercicio #7 Consideremos un nudo en el espacio al que concurren tres barras y una fuerza P ⇔[-3, 2, 1]. Determinar sus esfuerzos correspondientes.

Solución.LX = -1 -2 = -3 b1 ⇒ LY = 0 -3 = -3 LZ = 2 -1 = 1

Lb1 =

LX = -2 -2 = -4 b2 ⇒ LY = 1 -3 = -2 LZ = 2 – 1 = 1

Lb2 = (-4)2 + (-2)2 + 1 ⇒ Lb2 = 4.58 m

LX = 2 -2 = -0 b3 ⇒ LY = -2 -3 = -5 LZ = -1 -1 = -2

Lb3 =

-32 + (-3)2 + 12 ⇒ Lb1 = 4.36 m

0 + 52 + (-2) ⇒ Lb3 0 5.39 m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 197 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

∑ F1 = 0 Fxb1 + Fxb2 + Fxb3 + Px = 0 Fyb1 + Fyb2 + Fyb3 + Py = 0 Fzb1 + Fzb2 + Fzb3 + Pz = 0 Fxb1 = C1 * Lxb1 = -3 C1 Fyb3 = C3 * Lyb3 = -5 C3 Fzb2 = C2 * Lzb2 = -1 C2 Entonces

-3 C1 + (-4) C2 + (0) C3 + (-3) = 0 -3 C1 + (-2) C2 + (-5) C3 + ( 2 ) = 0 1 C1 + (1) C2 + (- 2) C3 + (1) = 0

Luengo tenemos: C1 = 1,35 Entonces:

C2 = -1,76

C3 = 0,29

Fb1 = 1.35 * 4.36 = 5.89 t TRACCION Fb2 = -1.76 * 4.58 = 8.06 t COMPRESION Fb3 = 0.29 * 5.39 1.56 TRACCION

4.6 UTILIZACION DE ARMADURAS. Una armadura es una construcción reticulada conformada generalmente por triángulos formados por elementos rectos y que se utiliza para soportar cargas. Las armaduras pueden ser planas o espaciales. Ejemplos típicos de armaduras son: puentes, cerchas, torres de transmisión, cúpulas de estadios, etc. A continuación se presentan algunos ejemplos de armaduras típicas

4.6.1

Tipos de armaduras o Cerchas.

Existen los diferentes tipos de armaduras.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 198 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Mismas que mayormente son utilizadas en la construcción de techos, puentes, y cubiertas.

4.6.2

ARMADURAS PARA TECHOS.

Las armaduras existentes para la construcción de techos mayormente son analizadas en el plano, pero también existen armaduras realizadas en el espacio, como vemos a continuación:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 199 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Observemos una cercha de pendolón en el plano, mayormente usada en la construcción de techo en viviendas.

Figura 4.4 Cercha tipo pendolón en el plano

Las cerchas pueden usarse para cubrir y soportar cargas distribuidas sobre una superficie. Usando el tetraedro, extensión espacial del triángulo y combinándolos se obtienen las denominadas estructuras espaciales o entramados espaciales articulados, usados para soportar techos de grandes luces, como los que se presentan en bodegas, centrales de transporte, auditorios y estaciones de servicio. Los se construyen con elementos tubulares, de sección circular o cuadrada de acero estructural, (ver detalle de uniones en la figura).

Figura 4.5 Cercha espacial en la terminal de transportes de Medellín

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 200 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Figura 4.6 Esquema de una estructura tipo tensigrity o espacial

4.6.3 ARMADURAS PARA PUENTES. La cercha es una de las formas estructurales más ampliamente usada en la construcción de puentes de luces pequeñas y medianas, pero diseñados para luces intermedias hasta los 50 m de luz simple.

Figura 4.7 Puente de cerchas vehicular, tablero inferior

Ahora que el acero estructural está de moda, vale la pena mencionar una de sus mayores ventajas: su construcción en el taller, en piezas pequeñas y la facilidad de traslado al sitio para su armado; esto le permite competir con los puentes de concreto preesforzado, en sitios inhóspitos de la geografía nacional, o cuando el factor tiempo de construcción es una variable fundamental para la obra. Normalmente la disposición de los puentes de cercha es como se muestra en la figura 4.7 Se colocan dos cerchas paralelas que se arriostran entre sí; la transmisión de las cargas de los vehículos

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 201 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

se hace en dos tipos: de tablero inferior (la forma más común) y de tablero superior, según el gálibo sobre el cauce lo permita.

Figura 4.8 estabilización lateral de las cerchas de tablero inferior

Existen también puentes elevados peatonales, donde se realiza la combinación de materiales como acero, madera y hormigón, ver figura 4.9.

Figura 4.9 Viga Vierendel de acero usada en puente peatonal

Para facilitar el estudio de las armaduras se hacen las siguientes suposiciones:

Las uniones de los se hacen por medio de pasadores lisos. En la práctica las uniones se hacen por medio de láminas llamadas cartelas, que pueden estar atornilladas, remachadas o soldadas con los elementos de la estructura.

Las fuerzas que va a soportar se ejercen sobre las uniones. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 202 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

El peso de los elementos es despreciable en comparación con las cargas aplicadas. Como consecuencia de las consideraciones anteriores, los elementos de la armadura son cuerpos sometidos a dos fuerzas; esto quiere decir que cada elemento solo puede estar sometido a tensión o a compresión.

4.7 PROBLEMAS RESUELTOS. Ejercicio #8 Armadura tipo PRATT. Se desea determinar el esfuerzo axial en cada una de las barras. (METODO DE LOS NUDOS)

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 203 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Solución.PASO 1) DETERMINACION ESTATICA GI = b – 2 n + r GI = 21 – 2 (12) + 3 = 0 ISOSTATICO

PASO 2) CÁLCULO DE REACCIONES DE APOYO CONVENCION ∑ H = 0 ⇒ HA – 0.6 = 0 ⇒ HA = 0.6 t ∑ MA = 0 ⇒ 0.4 (4) + 0.5 (6) – 0.6 (3) = 0 ⇒ VB = 0.23 t ∑ MB = 0 ⇒ 12 VA – 0.4(8) – 0.5(6) – 0.6(3) = ⇒ VA = 0.67 t

M

V

(+)

CONTROL ∑ V = 0 ⇒ 0.67 – 0.4 – 0.5 + 0.23 = 0

PASO 3) ESFUERZOS EN LAS BARRAS CONVENCION

Cuando se desconoce sentido de esfuerzos asumir Tracción.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 204 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

NUDO 1 (SUPUESTO)

NUDO 1 (REAL)

Tag θ = 3/2 3 Sen θ = = 0.83 3.61 Cos θ =

2

= 0.55

3.61 ∑H=0

0.6 + b1 + 0.55 b12 = 0

∑ V = 0 ∴ 0.67 + 0.83 b12 = 0 ⇒ b12 = -0.81 t ⇒ b1 = -0.15 t Como se puede observar en cada nudo se dispone solamente de 2 ecuaciones ( ∑H = 0 y ∑V=0) ∴Cuando se escoge un nudo debe cuidarse que a ese nudo concurran a lo sumo 2 barras desconocidas.

NUDO 2 (SUPUESTO)

NUDO 2 (REAL)

⇒ 0.15 + b2 = 0 ⇒ b2 = -0.15 t ∑ V = 0 ⇒ b13 = 0

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 205 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

NUDO 12 (SUPUESTO)

NUDO 12 (REAL)

2 Sen ϖ =

= 0.55; Cos ϖ = 0.83 3.61 ∑ H = 0 ⇒ 0.81 (0.83) + b11 + 0.55 b14 = 0 ∑ V = 0 ⇒ 0.81 (0.83) – b14 (0.83) = 0 ⇒ b14 = 0.81 t ⇒ b11 = -0.891 t

NUDO 11 (SUPUESTO)

NUDO 11 (REAL)

∑ H = 0 ⇒ 0.891 + b10 = 0 ⇒ b10 = -0.81 t ∑ V = 0 ⇒ b15 + 0.4 = 0 ⇒ b15 = -0.4 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 206 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

NUDO 7 (SUPUESTO)

NUDO 7 (REAL)

Sen θ = 0.83; Cos θ = 0.55 ∑ H = 0 ⇒ b6 + b7 (0.55) = 0 ∑ V = 0 ⇒ 0.23 + b7 (0.83) = 0 ⇒ b7 = -0.28 t ⇒ b6 = 0.154 t

Ejercicio #9 Analizar la armadura tipo PRATT. (Método de los Nudos)

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 207 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Solución.PASO 1) DETERMINACION ESTATICA GI = b – 2n + 3 = 0 GI = 17 – 2(10) + 3 = 0

ISOSTATICA

PASO 2) CÁLCULO DE REACCIONES DE APOYO ∑ H = 0 ⇒ HA – 0.5 = 0 ∑ MA = 0 ⇒ 0.8 (4) – 0.5 (2.5) – 8 VB = 0 ⇒ VB = 0.24 t ∑ MB = 0 ⇒ 8 VA – 0.8 (4) – 0.5 (2.5) = 0 ⇒ VA = 0.56 t Ecuación de control: ∑ V = 0 ⇒ 0.56 – 0.8 + 0.24 = 0

PASO 3) ESFUERZOS EN LAS BARRAS NUDO 1 (SUPUESTO)

NUDO 1 (REAL)

b10

b10 = 0.56 t

0.5 t

0.5 t b1

b1 = 0.50 t

0.56 t

0.56 t ∑ H = 0 ⇒ b1 + 0.5 = 0 ⇒ b1 = -0.5 t ∑ V = 0 ⇒ b10 + 0.56 = 0 ⇒ b10 = -0.56 t

NUDO 10 (SUPUESTO)

NUDO 10 (REAL)

b9 )α

b9 = 0.45 t

b11 0.56

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

b11 = 0.72 t 0.56 t

Pag - 208 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

2.5 Tag α =

⇒ Cos α = 0.62 H 2

Sen α = 0.78 V ∑ V = 0 ⇒ 0.56 – b11 (0.78) = 0 ⇒ b11 = 0.72 t ∑ H = 0 ⇒ b9 + b11 (0.62) = 0 b9 + 0.72 (0.62) = 0 ⇒ b9 = - 0.45 t

NUDO 2 (SUPUESTO)

NUDO 2 (REAL)

0.72 0.72 t

b12

b12 = 0.56 t

 0.5 t

2

b2

0.5

0.05 t

∑ V = 0 ⇒ b12 + 0.72 (0.78) = 0 ⇒ b12 = -0.56 t ∑ H = 0 ⇒ 0.5 + b2 – 0.72 (0.62) = 0 ⇒ b12 = -0.05 t

NUDO 9 (SUPUESTO)

NUDO 9 (REAL)

9 )

b8

0.45 t

0.89 t 0.45 t

b13

0.72 t

0.56 t

0.56 t ∑ V = 0 ⇒ 0.56 – b13 (0.78) = 0 ⇒ b13 ∑ H = 0 ⇒ 0.45 + b8 + 0.72 (0.62) = 0 ⇒ b8 = - 0.89

NUDO 8 (SUPUESTO)

NUDO 8 (REAL)

0.8 t

0.8 t

b7 0.89

8

b14

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

0.89 t = b7 0.89 t

0.8 = b14

Pag - 209 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

∑ H = 0 ⇒ 0.89 + b7 = 0 ⇒ b7 = -0.89 t ∑ V = 0 ⇒ 0.8 + b14 = 0 ⇒ b14 = -0.8 t

NUDO 5 (SUPUESTO)

NUDO 5 (REAL)

b5

b5 = 0.24 t 5

5

b4

0 t = b4 0.24 t

0.24 t ∑ H = 0 ⇒ -b4 = 0 t ⇒ b4 = 0 t ∑ V = 0 ⇒ 0.24 + b5 = 0 ⇒ b5 = -0.24 t

Ejemplo #10 Analizar la armadura plana tipo PRATT de amplia utilización en la construcción de puentes.

Solucion.PASO 1) DETERMINACION ESTATICA GI = b – 2n + 3 = 0 GI = 17 – 2(20) + 3 = 0

ISOSTATICA

PASO 2) CÁLCULO DE REACCIONES DE APOYO ∑ H = 0 ⇒ HA – 0.5 = 0 ⇒ HA = 0.5 t ∑ MA = 0 ⇒ 2 (2) + 1 (4) – 0.5 (1) – 8 VB = 0 ⇒ VB = 0.94 t ∑ MB = 0 ⇒ 8 VA – 3 (8) – 2 (6) – 1 (4) – 0.5 (1) = 0 ⇒ VA = 5.06 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 210 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ecuación de control: ∑ V = 0 ⇒ 5.06 – 3 – 2 – 1 + 0.94 = 0 ⇒ V

PASO 3) ESFUERZOS EN LAS BARRAS NUDO 1 (SUPUESTO)

NUDO 1 (REAL)

El signo “-”en b1 y b10 significa que “no salen” del nudo, mas bien “llegan”, es decir son fuerzas de COMPRESION. ∑ H = 0 ⇒ b1 + 0.5 = 0 ⇒ b1 = -0.5 t ∑ V = 0 ⇒ b10 + 5.06 = 0 ⇒ b10 = -5.06 t Ahora: No se puede estudiar el nudo 2, por que a el concurren las barras b1, b2, b11, b12 y solamente se puede conocer el valor de b1 = 0.5 t. Por tanto quedan tres incógnitas que no pueden ser determinadas con las dos ecuaciones ∑ H = 0 y ∑ V = 0.

NUDO 10 (SUPUESTO) 3t

NUDO 10 (REAL) 3t Sen ∞ = 0.89 Cos ∞ = 0.45

b9

b9 = 4.07 t

O

O 63.43

o

b11

b11 = 4.58 t

∞ b10 = 5.06 t

5.06 t

∑ H = 0 ⇒ b9 + 4.58 (0.89) = 0 ⇒ b9 = - 4.07 t ∑ V = 0 ⇒ 5.06 – 3 – b11 (0.45) = 0 ⇒ b11 = 4.58 t ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 211 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

NUDO 2 (SUPUESTO) 4.58 t 26.54

NUDO 2 (REAL)

b12

4.58 t

b12 = 0.06 t

o

β O

O

0.5 t

0.5 t

b2

b2 = 3.58 t

2 t (carga)

2t Sen β = 0.45 Cos β = 0.89

∑ H = 0 ⇒ 0.5 – 4.58 (0.89) + b2 = 0 ⇒ b2 = 3.58 t ∑ V = 0 ⇒ -2 + 4.58 (0.45) + b12 = 0 ⇒ b12 = - 0.06 t

NUDO 9 (SUPUESTO)

4.07 t

NUDO 9 (REAL)

b8

b8 = 4.19 t

O

O b13

b13 = 0.136 t

0.06 t

0.06 t

∑ H = 0 ⇒ 4.09 + b8 + 0.135 (0.89) = 0 ⇒ b8 = - 4.19 t ∑ V = 0 ⇒ 0.06 – b13 (0.45) = 0 ⇒ b13 = 0.136 t

NUDO 8 (SUPUESTO)

NUDO 8 (REAL)

1t

1t

O

O

4.19 t

b7

4.19 t

b14 ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

b7 = 4.19 t

b14 = 1 t Pag - 212 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

∑ H = 0 ⇒ 4.19 + b7 = 0 ⇒ b7 = - 4.19 t ∑ V = 0 ⇒ -1 - b14 = 0 ⇒ b14 = - 1 t

NUDO 3 (SUPUESTO)

NUDO 3 (REAL)

1t

1t

0.136 t

0.136 t b15 = 2.09 t

b15 O

O

3.58 t

3.58 t

b3

b3 = 1.85 t

∑ H = 0 ⇒ - 3.58 + 0.136 (0.89) + 2.09 (0.89) + b3 = 0 ⇒ b3 = 1.85 t ∑ V = 0 ⇒ 0.136 (0.45) – 1 + b15 (0.45) = 0 ⇒ b15 = 2.09 t

NUDO 7 (SUPUESTO) 4.19 t

NUDO 7 (REAL) 4.19 t

b6 O

b6 = 2.33 t O

2.09 t

2.09 t b16

b16 = 0.94 t

∑ H = 0 ⇒ 4.19 – 2.09 (0.89) + b6 = 0 ⇒ b6 = - 2.33 t ∑ V = 0 ⇒ -2.09 (0.45) - b16 = 0 ⇒ b16 = - 0.94 t

NUDO 4 (SUPUESTO)

NUDO 4 (REAL)

0.94 t

0.94 t b17

1.58 t

b17 = 2.09 t 1.58 t

O

O b4

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

b4 = 0 t

Pag - 213 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

∑ H = 0 ⇒ - 1.85 + 2.09 (0.89) + b4 = 0 ⇒ b4 = 0 t ∑ V = 0 ⇒ – 0.94 + b17 (0.45) = 0 ⇒ b17 = 2.09 t

NUDO 5 (SUPUESTO)

NUDO 5 (REAL)

b5

b5 = 0.94 t

0t

0t O

O

0.94 t

0.94

∑ V = 0 ⇒ 0.94 + b5 = 0 ⇒ b5 = - 0.94 t

Ejercicio #11 Se pide determinar el esfuerzo en la barra10 (Método de las Secciones)

Solución.PASO 1) DETERMINACION ESTATICA ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 214 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

G=3–3=0 GI = 21 – 2(12) + 3 = 0

ISOSTATICO

PASO 2) CÁLCULO DE REACCIONES DE APOYO ∑ H = 0 ⇒ HA – 0.2 = 0 ⇒ HA = 0.2 t ∑ MA = 0 ⇒ 0.4 (4) + 0.3 (6) – (0.2) 1.33 – 12 VB = 0 ∴VB = 0.26 t ∑ MB = 0 ⇒ 12 VA – 0.4 (8) – 0.3 (69 – 0.2 (1.33) = 0 ∴VA = 0.44 t CONTROL: ∑ V = 0 ⇒ 0.44 – 0.4 – 0.3 + 0.26 = 0

PASO 3) ESFUERZOS EN LAS BARRAS El método de las secciones consiste en introducir a la armadura ciertos cortes en lugares convenientes estudiemos el corte S1 que secciona las barras b10 y b3.

BARRA 10: (S1 a la derecha)

1.33 Tag θ =

;

Sen θ = 0.55

; Cos θ = 0.83

2 ∑ M 4 = 0 ⇒ -(0.26) (6) – 0.2 (1.33) – b10x (4) = 0 ∴b10x = - 0.45 t Cos θ =

b10x

- 0.45

⇒ b10 = ⇒ b10 = - 0.55 t b10 0.83 ⇒ b10 = 0.55 t COMPRESION

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 215 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

BARRA 3: (S1 a la izquierda)

Tag θ =

d1 _ 4 d1 = 2.66 m

∑ M 4 = 0 ⇒ 0.44 (4) – (0.2) 2.66 – b3 (2.66) = 0 ⇒ b3 = 0.46 t

TRACCION

Ejercicio #12 Si se desea determinar una barra inclinada, después del corte se descompone y se toma momentos tal que se elimine una componente (Método de las secciones)

Solución.PASO 1) DETERMINACION ESTATICA ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 216 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

GI = b – 2n + 3 = 0 GI = 15 – 2(9) + 3 = 0 ISOSTATICA

PASO 2) CÁLCULO DE LAS REACCIONES ∑ H = 0 ⇒ HA + HB – 80 = 0 ∑ MB = 0 ⇒ 5 HA + 60 (3) + 9 (50) = 0 ⇒ HA = -126 k ∑ MC = 0 ⇒ -50 (3) – 9 (60) + 12 VA + 5 HA = 0 ⇒ VA = 110 k ⇒ HB = 206 k CONTROL: ∑ V = 0 ⇒ 110 – 60 -50 = 0

PASO 3) ESFUERZOS EN LAS BARRAS NUDO 5 (SUPUESTO)

NUDO 5 (REAL)

b5 = 0 k

b5 θ 

80 k

80 k

b4

b4 5

12

Sen θ =

= 0.38 ; Cos θ = 13 13 ∑ H = 0 ⇒ b4 + 0.92 b5 + 80 = 0

= 0.92

∑ V = 0 ⇒ 0.38 b5 = 0 ⇒ b5 = 0 k ⇒ b4 = - 80 k COMPRESION Determinar b6:

Sen ϖ =

12 = 0.92 ; Cos = 0.38 13 X = 6 ⇒ X = 2.5 (hipotenusa) 5 12 ⇒ d = 2.5 * Sen ϖ = 2.31 m

∑ M 3 = 0 ⇒ -126 (5) + 110 (6) – 60(3) + b6 (2.31) = 0 ∴ ⇒ b6 = 64 94 k TRACCION

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 217 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #13 Armadura plana tipo Howe de amplia utilización en la construcción de techos (SE MOSTRARAN DISTINTOS CORTES).

Solución.PASO 1) DETERMINACION ESTATICA GI = b – 2n + 3 = 0 GI = 13 – 2(8) + 3 = 0 ISOSTATICA

PASO 2) CÁLCULO DE LAS REACCIONES ∑ H = 0 ⇒ HA - 0.5 = 0 ∑ MA = 0 ⇒ 1 (2) – 0.5 (2) + 0.8 (6) – 8 VB = 0 ⇒ VB = 0.725 t ∑ MB = 0 ⇒ 8 VB -1 (6) – 0.5 (2) – 0.8 (2) = 0 ⇒ VA = 1.075 t CONTROL: ∑ V = 0 ⇒ 1.075 – 1 – 0.8 + 0.725 = 0 ⇒ V

PASO 3) ESFUERZOS EN LAS BARRAS a) corte S – S que secciona a las barras b8 y b1 en la parte derecha ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 218 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

ARMADURA EN EQUILIBRIO

Es posible considerar únicamente la parte situada a la derecha del corte S - S ∑ M8 = 0 ⇒ b1 (1) – 0.5 (1) + 0.8 (4) – 0.725 (6) = 0 ⇒ b1 = 1.65 t

TRACCION

∑ M2 = 0 ⇒ - bx8 (1) – 0.5 (2) + 0.8 (4) – 0.725 (6) = 0 ⇒ bx8 = - 2.15 t ⇒ cos ∞ =

bx8 b8

- 2.15 ⇒ b8 =

= bx8 = - 2.41 0.892

Por lo tanto: b8 = 2.41 t COMPRESION

b) corte S1 - S1 que secciona a las barras b6 b12 b3 en la parte izquierda

ARMADURA EN EQUILIBRIO ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 219 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

∑ M3 = 0 Por lo tanto: - bx6 (2) – 0.5 (2) – 1 (2) + 1.075 (4) = 0 ⇒ bx6 = - 1.3 t ⇒ cos ∞ =

bx6

- 1.3 ⇒ b6 =

b6

= - 1.457 t 0.892

Por lo tanto: b6 = 1.457 t COMPRESION Considerando la parte de la armadura situada a la derecha del corte S1 – S1. ∑ M6 = 0 ⇒ b3 (1) – 0.725 (2) = 0 ⇒ b3 = 1.45 t TRACCION Consideremos de nuevo la parte situada a la izquierda del corte S1 – S1 ⇒

∑ M7 = 0 ⇒ -0.5 (2) + 1.075 (2) – b3 (2) – bx12 (2) = 0

Pero: cos ∞ =

bx12 b12

- 0.8 ⇒ b12 =

= - 0.897 t 0.892

Por lo tanto: b12 = 0.897 t COMPRESION

c) corte S2 – S2 que secciona las barras b8, b9, b2, entonces

ARMADURA EN EQUILIBRIO ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 220 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

∑ M1 = 0 ∴1(2) – b9 (2) = 0 ⇒ b9 = 1 t TRACCION

d) corte S3 – S3 que secciona a las barras b7, b10 y b2

ARMADURA EN EQUILIBRIO

∑ M8 = 0 ⇒ - b2 (1) + 1.075 (2) – 0.5 (1) = 0 ⇒ b2 = 1.65 t TRACCION ∑ M3 = 0 ⇒ - bx7 (2) – 0.5 (2) + 0.8 (2) – 0.725 (4) = 0 ⇒ bx7 = - 1.15 t cos ∞ =

bx7

- 1.15 ⇒ b7 =

b7

= - 1.289 t 0.892

Por lo tanto: b7 = 1.289 COMPRESION ∑ M2 = 0 ⇒ - bx10 (1) + 1.15 (1) + 1.075 (2) – 0.5 (1) = 0 ⇒ bx10 = - 0.5 t

cos ∞ =

bx10 b10

- 0.5 ⇒ b10 =

= - 0.56 t 0.892

⇒b10 = 0.56 COMPRESION

e) corte S4 – S4 que secciona a las barras b4 y b5

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 221 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

ARMADURA EN EQUILIBRIO

∑ M6 = 0 ⇒ - b4 (1) + 0.5 (1) + 1.075 (6) = 0 ⇒ b4 = 1.45 t TRACCION ∑ M4 = 0 ⇒ - bx5 (1) – 0.5 (2) + 1.075 (6) – 1 (4) = 0 ⇒ bx5 = - 1.45 t

cos ∞ =

bx5

- 1.45 ⇒ b5 =

b5

= - 1.625 t 0.892

⇒

b5 = 1.625 t COMPRESION

f) corte S5 – S5 que secciona a las barras b7, b11, b13 y b4

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 222 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

ARMADURA EN EQUILIBRIO

∑ M6 = 0 ⇒ - b11 (2) + 0.5 (1) + 1.15 (1) + 0.575 (2) + 1.45 (1) – 0.725 = 0 ⇒ b11 = 1.45 t TRACCION ∑ M7 = 0 ⇒ 0.8 (2) + b13 (2) – 0.4 (2) – 0.8 (1) + 1.45 (2) – 0.725 (4) = 0 ⇒ b13 = 0 t A continuación vemos un resumen de los esfuerzos en la barras. 0.5 t b= 1.4 57 t

t 89 1.2 = b

6

7

0.8 t

b =1.8 t 11

1t 2.4 b= 8

b

b =1.0 t 9

10

=0. 56 t

b

12

t 897 =0.

b= 1.6 25 t 5

b =0 t 13

0.5 t b =1.65 t

b =1.65 t

1

2

b =1.45 t 3

b =1.45 t 4

1t 1.075 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

0.725 t

Pag - 223 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

El ejemplo muestra las siguientes ventajas en el análisis por el método de secciones:

El valor del esfuerzo de una determinada barra no depende en general de otros valores de esfuerzos previamente calculados, es decir un error inicial no afecta posteriormente.

Es posible determinar el esfuerzo de una barra sin necesidad de resolver toda la armadura. Sin embargo, de estas ventajas es preferible utilizar simultáneamente el método de los nudos y de las secciones.

Ejercicio #14 Se pide determinar los esfuerzos en cada una de las barras (Método General)

Solución.Lxb1 = (-2 – 0) = -2; Lyb1 = (-3 – 2) = -5; Lzb1 = (0 + 1) = 1 Lb1 = √ (-2)2 + (-5)2 + 11 = √ 30 = 5.48 LXb2 = 2; LYb2 = 0; LZb2 = 4; Lb2 = √ 20 = 4.47 LXb3 = -1; LYb3 = -2; LZb3 = -2; Lb3 = √ 9 = 3 Ahora: ∑ FX = FXb1 + FXb2 + FXb3 + PX = 0 ∑ FY = 0 ∑ FZ = 0

⇒ C1 (-2) + C2 (2) + C3 (-1) + (-1) = 0 ⇒ C1 (-5) + C2 (0) + C3 (-2) + 2 = 0 ⇒ C1 (1) + C2 (4) + C3 (-2) + 3 = 0

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 224 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

- 2 C1 + 2 C2 - C3 = -1 - 5 C1 - 2 C3 = -2 C1 + 4 C2 – 2 C3 = -3 -2 (1) + (3) 5 C1 = -5 C1 = -1

(1) (2) (3)

⇒ -5 (-1) – 2 C3 = -2 ⇒ -1 + 4 C2 – 2 (3.5) = -3 C3 = 7 = 3.5 C2 = 5 = 1.25 2 4 ⇒ F1 = C1 * Lb1 F1 = (-1) (5.48) = -5.48 = 5.48 COMPRESION F2 = (1.25) (4.47) = 5.59 TRACCION F3 = (3.5) (3) = 10.5 TRACCION

Ejercicio #15 Se pide determinar los esfuerzos en cada una de las barras.

LX = 2 – 0 = 2 b1 ⇒ LY = 0 - (-2) = 2 LZ = 1 - (-3) = 4

LX = -3 – 0 = -3 ; b2 ⇒ LY = 1 + 2 = 3 LZ = 2 + 3 = 5

LX = 3 -0 = 3 ; b3 ⇒ LY = -2 – (-2) = 0 LZ = 4 – (-3) = 7

Lb1 = √ (2)2 + (2)2 + (4)2 ⇒ Lb1 = 4.89 m Lb2 = √ (-3)2 + (3)2 + 52 ⇒ Lb2 = 6.56 m Lb3 =√ (3)2 + (7)2 ⇒ Lb3 = 7.61 m ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 225 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

En cada uno nudo es posible aplicar 3 ecuaciones: (1) ∑ FX = 0 ⇒ Fb1x + Fb2y + Fb3z + Px = 0 (2) ∑ FY = 0 ⇒ Fb1y + Fb2y + Fb3y + Py = 0 (3) ∑ FZ = 0 ⇒ Fb1z + Fb2z + Fb3z + Pz = 0 Además ⇒ Fb1x = C1 * Lx Fb3y = C2 * Ly ⇒ 2 C1 + (-3) C2 + 3 C3 + 1 = 0 2 C1 + 3 C2 + 0 + 2 = 0 4 C1 + 5 C2 + 7 C3 + (-1) = 0 2 C1 – 3 C2 + 3 C3 = - 1 2 C1 + 3 C2 =-2 4 C1 + 3 C3 = -3

(4)

= 10 -10 C1 – 15 C2 12 C1 + 15 C2 + 21 C3 = 3 2 C1 + 21 C3 = 13

(X) (Y) (Z)

4 C1 + 3 C3 = -3 - 4 C1 – 42 C3 = - 26 (5)

C1 = - 1.31

- 39 C3 = -29 C3 = 0.74

; C2 = 0.205

⇒ Fb1 = (-1.31) (4.89) ⇒ Fb1 = 6.405 t ⇒ Fb2 = (0.205) (6.56) ⇒ Fb2 = 1.34 t ⇒ Fb3 = (0.74) (7.61) ⇒ Fb3 = 5.63 t

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

COMPRESION TRACCION TRACCION

Pag - 226 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #16 Determinar los esfuerzos en cada una de las barras.

Solucion.LX = -1 – 2 = -3 b1 ⇒ LY = 0 – 3 = -3 ; LZ = 2 – 1 = 1

LX = -2 -2 = - 4 b2 ⇒ LY = 1 – 3 = -2 ; LZ = 2 – 1 = 1

LX = 2 – 2 = 0 b3 = ⇒ LY = -2 -3 = -5 LZ = -1 -1 = -2

Lb1 = √ (-3)2 + (-3)2 + 12 = 4.36 m Lb2 = √ (-4)2 + (-2)2 + 12 = 4.58 m Lb3 = √ (-5)2 + (-2)2 = 5.39 m (1) ∑ FX = 0 ⇒ Fb1x + Fb2y + Fb3z + Px = 0 (2) ∑ FY = 0 ⇒ Fb1y + Fb2y + Fb3y + Py = 0 (3) ∑ FZ = 0 ⇒ Fb1z + Fb2z + Fb3z + Pz = 0 Ademas ⇒ Fb1X = C1 * Lb1X = - 3 C1 Fb3Y = C3 * Lb3Y = - 5 C3 Fb2Z = C2 * Lb2Z = 1 C2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 227 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

- 3 C1 + (-4) C2 + 0 C3 + (-3) = 0 - 3 C1 + (-2) C2 + (-5) C3 + 2 = 0 1 C1 +

1 C2 + (-2) C3 + 1 = 0

∴ C1 = 1.35 C2 = - 1.76 C3 = 0.29 ⇒ Fb1 = C1 * Lb1 = 1.35 * 4.36 = 5.82 t TRACCION ⇒ Fb2 = C2 * Lb2 = (-1.76) * 4.58 = - 8.06 t

COMPRESION

⇒ Fb3 = C2 * Lb3 = 0.29 * 5.39 = 1.56 t TRACCION

4.8 PROBLEMAS PROPUESTOS. Problema #1 Se pide determinar el valor del esfuerzo en las barras.

Respuesta: b1 = 0.095 t b2 = 3.120 t b3 = 0.279 t b4 = 2.553 t

Comp. Tracc. Tracc. Comp.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 228 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Problema #2 Se pide determinar el valor del esfuerzo en las barras.

Respuesta:

b1 = 6.684 t Tracc. b2 = 7.186 t Comp.

Problema #3 Se pide determinar el valor del esfuerzo en las barras.

Respuesta:

b1 = 6.111 t Tracc b2 = 6.630 t Comp.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 229 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Problema #4 Se pide determinar el valor del esfuerzo en la barra.

Respuesta: b1 = 0.167 t Comp.

Problema #5 Se pide determinar el valor del esfuerzo en las barras.

Respuesta: b1 = 0 t b2 = 2 t Comp. b3 = 2 t Comp. b4 = 2.066 t Tracc.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 230 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Problema #6 Se pide determinar el valor del esfuerzo en las barras.

Respuesta: R1 = 1 t R2 = 1.333 t R3 = 0 t R4 = 2 t R5 = 4 t R6 = 6.333 t

T b1 = 1.665 t Comp. T b2 = T b3 = 0 T b4 = 0 T b5 = 4.47 t Comp. T b6 = 6.333 t Tracc

.

Problema #7 Se pide determinar el valor del esfuerzo en las barras.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 231 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil Respuesta: b1 = 2.235 t Comp. b2 = 2.50 t Comp. b3 = 2.06 t Comp.

4.9 EVALUACION DIAGNOSTICO DEL CAPITULO. Para realizar una evaluación diagnostico referente al presente capitulo, se propone al estudiante responder las siguientes preguntas.

Que es una armadura? Como se determina el grado isostatico en cerchas? Cuales son los métodos de análisis de las armaduras? Cual es la diferencia entre el método de nudos y el método de secciones? Donde se utilizan las armaduras? Que tipo de armaduras se conoce?

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 232 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

CAPITULO 5 LINEAS DE INFLUENCIA 5.1 OBJETIVO GENERAL. Al final de este capitulo el estudiante habrá desarrollado destrezas y conocimientos para encontrar los valores de M y Q máximos. Cuando una carga móvil se desplaza a lo largo de una viga

5.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS. Al final del capitulo el estudiante podrá:

Dibujar las líneas de influencia Conocer como un tren móvil se desplaza a lo largo de una viga y su efecto Construir la envolvente de Q y M Reconocer las secciones críticas de Q y M. 5.3 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. Consideraremos una viga simplemente apoyada, sometida a la acción de una carga P = 1 t.

Figura 5.1

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 233 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Figura 5.2

En la figura 5.1 la carga P = 1 t se encuentra en la mitad del claro de la viga y a esa posición corresponde los valores VA = VB = 0.5 t en la figura 5.2 la carga P = 1 t no se encuentra en la mitad del claro y a esa nueva posición de la carga corresponde otros valores de VA = 0.25 t y VB = 0.75 t. En esta sencilla observación nos muestra que el valor de las reacciones de apoyo VA y VB, cuando se mantiene constante la intensidad de la carga, depende de la posición que ocupa la carga sobre la viga. Cuando se acepta la posibilidad de que una carga cambie de posición sobre una estructura, entonces esta carga se denomina CARGA MOVIL. Los trenes que actúan sobre un puente de ferrocarril, los camiones que actúan sobre puentes carreteros y las tropas militares en marcha compacta que actúan sobre los puentes, son entre otros, ejemplos de cargas móviles. Ahora bien: para el ejemplo inicial, interesa conocer dos aspectos:

5.3.1 PRIMERO: Que función define la variación del valor de las reacciones cuando la carga cambia de posición.

5.3.2 SEGUNDO: Que posición debe ocupar la carga para que las reacciones tomen valores extremos o un determinado valor? Estos dos cuestionamientos pueden ser absueltos mediante el estudio de las LINEAS DE INFLUENCIA.

5.4 LINEAS DE INFLUENCIA. Antes de introducir una definición de línea de influencia, consideraremos el siguiente análisis:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 234 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

P=1t x A

B oooo

VA = 1 – (x / L)

0≤x≤l

VB = x / L VA

VB L

En la figura 5.3 se ve que La función VA(x) = 1-(x / L);

1t

representa la variación de los Línea de influencia de VA (+)

valores de VA cuando la carga móvil P = 1 t actúa sobre la viga así: para x = 0 VA = 1 t

Línea de influencia de VB

x=l

VA = 0 t

yB

Figura 5.3

YA ⇔ Valor de la reacción VA cuando P = 1 t se encuentra a x (m) del apoyo A. YB ⇔ Valor de la reacción VB cuando P = 1 t se encuentra a (1-x) (m) del Apoyo.

Ejercicio #1 En el ejercicio que se muestra a continuación se puede observar que el valor de la reacción vertical en A depende de la posición que ocupa la carga P sobre la viga. Se trata entonces de determinar una ecuación que indique la variación del valor de la vertical que cuando la carga P que transite (se mueva) sobre la viga AB.

Solución:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 235 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Se observa que el valor de la vertical de A depende de la posición que ocupa la carga de una tonelada sobre la viga, entonces debe ser posible encontrar una función que represente al valor de la reacción para distintas posiciones de la carga. P = 1t

P = 1t

2m

6m

A oooooo

B

A oooooo

B

8m

8m

∑ MB = 0 ⇒ 8 VA – 1 (6) = 0

∑ MB = 0 ⇒ 8 VA – 1 (2) = 0

⇒ VA = 0.75 t

⇒ VA = 0.25 t

P = 1t x A oooooo

B

VA = 1-x/L

VB = x/L L

1 Línea de influencia

(+)

VA

y1

1 Línea de influencia VB

y2

(+)

∑ MB = 0 ⇒ VA * L – P (L – x) = 0 L–x x VA = =1L L ∑ M A = 0 ⇒ P x – VB L = 0 x VB = L 0<x

Figura 5.4 ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 236 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

ENTONCES: La línea de influencia en la figura 5.4, cuya ordenada representa el valor de un determinado esfuerzo (en el caso del ejercicio #1 reacción de apoyo) en una sección especifica (puntos A o B) fija, cuando la carga móvil unitaria transita por la estructura. En los capítulos anteriores desarrollamos procedimientos para analizar las fuerzas en estructurales debido a cargas muertas o fijas. Se mostró que los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante representan los métodos más descriptivos para exhibir la variación de esas cargas en un miembro. Sin embargo, si una estructura esta sometida a una carga viva móvil, la variación de la fuerza cortante y del momento flexionante en el miembro se describe mejor usando la línea de influencia. Una línea de influencia representa la variación de la reacción, de la fuerza cortante, del momento flexionante o de la deflexión en un punto especifico de un miembro cuando una fuerza concentrada se mueve sobre el miembro. Una vez construida esta línea, puede verse claramente donde debe colocarse una carga viva sobre la estructura para que genere la máxima influencia en el punto especificado. Además, la magnitud de la reacción, fuerza cortante, momento o deflexión asociados en el punto puede entonces calcularse a partir de las ordenadas del diagrama de la línea de influencia. Por estas razones, las líneas de influencia juegan una parte importante en el diseño de puentes, trabes carriles de grúas industriales, bandas transportadoras y otras estructuras donde las cargas se mueven a lo largo de su claro.

5.5 PROCEDIMIENTO DE ANALISIS DE LAS LINEAS DE INFLUENCIA. Coloque una carga unitaria en varias posiciones x a lo largo del miembro y en cada posición use la estática para determinar el valor de la función (reacción, fuerza cortante o momento) en el punto especificado. Por ejemplo, si va a construirse la línea de influencia para una reacción de fuerza vertical en un punto sobe la viga, considere la reacción como positiva en el punto cuando actué hacia arriba sobre aquella. Si va a dibujarse la línea de influencia de la fuerza cortante o el momento como positivo en el punto si actúa en el sentido convencional usado para dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 237 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

5.6 LINEA DE INFLUENCIA DE ESFUERZO CORTANTE. Se desea determinar la L.I. de cortante en la sección S - S P=1t

x

S

A

B

CASO 1)

0<X

CASO 2)

a < X < (a+b)

CASO 3)

(a+b) < X < (a+b+c)

CASO 1)

0<X

CASO 2)

a < X < (a+b)

CASO 3)

(a+b) < X < (a+b+c)

S x VA = 1- a+b

a

x VB = a+b

b

c

l P=1t

x

S

A

B S

x VA = 1- a+b

a

x VB = a+b

b

c

l P=1t

x

S

A

B S

x -1 VA = a+b

a

x VB = a+b

b

c

l DIAGRAMAS DE CORTE. para los casos considerados

VA

QS = - x

(+)

a+b

(-)

VA

(+)

x QS = 1- a+b

(-)

x -1 QS = - ( a+b )

VA

(+)

(-) b a+b

(+)

linea de influencia perdida

(-)

(-)

c a+b

a a+b

Figura 5.5

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 238 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

La línea de influencia se ha dibujado tomando en cuenta los tres valores de QS, cada uno en su respectivo Dominio.

Ejercicio #2 Determinar la posición cortante del tren.

Solución: Para dar aplicación numérica sea a = 4m, b = 6m, c = 4m y un tren de cargas en la posición que se muestra:

Entonces, para la posición del tren cortante en la sección S – S será: QS = P1 (y1) + P2 (y2) + P3 (y3) Donde: y1 1

=

0.6 3

⇒ y1 = 0.2 y2 = 0 y3 = - 0.4

Por lo tanto: QS = 1 (0.2) + 2 (0) + 2.5 (-0.4) = - 0.8 t

Ejercicio #3 El camión que se observa, transita por la viga de puente AB, se pide: a) con ambas cargas del tren posicionar al mismo sobre la viga de tal manera que el esfuerzo cortante en la sección S sea 0 (si se puede) b) Bajo las mismas condiciones posicionar el tren de tal manera que el esfuerzo cortante en la sección S sea el mas pequeño de los positivos. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 239 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Solución: P=1t

P=1t

P=1t

P=1t

2m

2m

P0 = 3t

P1 = 3t

S B

A

O 4m

2m

O

4m

a=4m L=8m

yo

0.5

yo

(+)

y1

(-)

yo

b=4m

yo

yo

a

4 =

0.5

L

b = 0.5;

8

= 0.5 L

QS = P0 y0 + P1 y1

0.625 (+)

a) ⇒ P0 = 1m a Izquierda de S

(-)

0.375

b)

2

Línea de influencia de la cortante en A 0.5 ↑ (+)

QS = 3 (0.25) + 3 (0)

0.5

0.5

y0 =

4

1 ⇒ y0 = 0.25

Q+S MIN = 0.75 t ⇒ P1 un infinitésimo a la Izquierda del apoyo B

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Cuando a = 0 b=1

Pag - 240 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

5.7 LINEA DE INFLUENCIA DE MOMENTO FLECTOR. Se desea determinar la L.I. de momentos en la sección S – S P=1t

x

S

A

CASO 1)

B

0<X

S VA =1+ a-x a+b

VB = a-x b+c

a

b

c

d

DIAGRAMA para CASO 1) 0<X

(-)

MS = 1- c (a-x) b+c

P=1t

x

CASO 2) A

a < X < a+b

B

VA = 1+ a-x b+c

VB = x-a b+c

a

b

c

d

MS = c*VA*(x-a) a+b+c-x

(+) DIAGRAMA para CASO 2) a < X < a+b P=1t

x

A

CASO 3)

B

VA =1- a-x b+c

(a+b) < X < (a+b+c)

VB = x-a b+c

a

b

c

d

MS = b*VA

(+) DIAGRAMA para CASO 3) (a+b) < X < (a+b+c) P=1t

x

CASO 4)

A

B

VA = x*(a+b+c)

VB = x-a b+c

b+c

a

(a+b+c) < X < (a+b+c+d)

b

MS = -b*VA

c

d

(-)

DIAGRAMA para CASO 4) (a+b+c) < X < (a+b+c+d)

Figura 5.6

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 241 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #4 Determinar la posición del tren

Solución: Con los 4 valores de MS en sus respectivos dominios, dibujamos la LI deseada bc b+c

L.I

(+) (-)

(-) bd b+c

ac b+c

Suponiendo a = 1m, b = 2m, c = 3m, d = 2m y el tren que se muestra

1.2

P1 O

P2 O 1m

P3 O ; P1 = P2 = P3 = 2t 1m

(+)

(-)

(-)

0.6 0.8 Podemos preguntarnos, ¿donde situar el tren de tal manera que el momento en la sección S sea la mayor positivo? Sin importar donde se situé el tren, el momento en la sección fija S será MS = P1 (y1) + P2 (y2) + P3 (y3) Como P1 = P2 = P3, entonces el mayor valor de MS dependerá de que y1, y2, y3 sean las mayores ordenadas positivas.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 242 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Existen dos posibilidades: P1 O 1m

P2 O

P3 O 1m

1.2

(+) y2

y1 (-)

y3

(-)

0.6 0.8 P1 un infinitesimal a la derecha de la sección S. 1.2

y2 y1 = 1.2;

⇒ y2 = 0.8;

= 2

3

y3

1.2 ⇒ y3 = 0.4

= 1

3

Por lo tanto MS = 2 (1.2) + 2 (0.8) + 2 (0.4) = 4.8 t.m P2 sobre la sección S P1 O

P2 O

1m

P3 O 1m

1.2

y2 y1

(+) y3

(-) (-) 0.6 0.8 y1

1.2 ⇒ y1 = 0.6, y2 = 1.2

= 1

2

y3

1.2 ⇒ y3 = 0.8

= 2

3

Por lo tanto MS = 2 (0.6) + 2 (1.2) + 2 (0.8) = 5.2 t.m Como 5.2 t.m rel="nofollow"> 4.8 t.m, entonces esta última posición del tren es la buscada. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 243 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Aun cuando ha sido necesario estudiar dos posibilidades, es notoria la importancia de la información que proporciona la LI. Sin dicha información, el procedimiento de situar el tren de tal manera que MS sea el mayor positivo, hubiese sido extremadamente tedioso, cuando no imposible.

Ejercicio #5 El tren de cargas transita por la viga AB exigiendo que las 3 cargas se encuentren sobre la viga, estudia los extremos (máx. – min) valores del momento en la sección S, además estudia la posición más desfavorable de la sección S.

Solución: P1

P2

P3

P1=1t P2=3t P3=2t S A

B

O 7.5 m

O

O

2.5 m

10 m

2m

2m

P2 P1

P3

1.88

Linea de Influencia de M s y1

y2

a = 7.5 m, b = 2.5 m a*b

y3

L = 10m ⇒

= 1.88 L

P3 P2

MS = P1y1 + P2 y2 + P3 y3

P1

y2

y1 = y1 =1.38

= y1

y2 y3

7.5

5.5

1.88

y3 = y3 = 0.38

= 5

2.5

0.5

P osicion desfavorable

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 244 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

MS = 1(1.38) + 3(1.88) + 2(0.38) = 7.78 t.m y3

y1 =

7.5

= y1 = 0.88 3.5

a) P3

justo sobre la sección es mas

grande

1.88

y2 =

7.5

b) Momento mínimo cuando P1 un = y2 = 1.38

infinitésimo a la derecha de a

5.5 MS = 1(1.38) + 3(1.38) + 2(1.88) = 8.78 t.m

5.8 LINEA DE INFLUENCIA DE CARGA RECTANGULAR. Este tipo de carga, se presenta por ejemplo, cuando tropas militares transitan en forma compacta sobre un puente.

La carga distribuida mostrada, puede suponerse equivalente a la siguiente:

q dx

q dx Donde q dx es ahora una Carga móvil concentrada

1

2

3

4

5

dx

dx

a dx

dx

dx

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 245 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

El valor de VA será: VA = q dx * y1 + q dx * y2 + q dx * y3 + q dx * y4 + q dx * y5 Si la partición no es únicamente en cinco intervalos, entonces

a

VA

a

⌠ ⌠  q dx ⋅ y q ⋅  y dx ⌡o ⌡0

Por lo tanto

VA = q * área situada bajo la carga distribuida Lo establecido para la VA es valido también para esfuerzos de corte y momentos.

Ejercicio #6 Determinar la LI de esfuerzos de corte en la sección S, considerando la carga móvil distribuida.

Solución:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 246 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 247 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Construida como esta la Línea de influencia de esfuerzos de corte en la sección S debida a P = 1 t, entonces podemos superponer a ella la carga distribuida q = 1 t/m en cualquier posición.

O también:

Por lo tanto: QS = 1 (0) = 0 t

Ejercicio #6 El tren de carga que se observa transita por la viga AB. Se pide: Posicionar (situar) el tren de tal manera que la reacción en B sea la mas grande posible. Se pide además situar el tren de tal manera que la reacción VA mida 0.8 t * VA = P * y1

y VB = P * y2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 248 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

tren de cargas móvil 1t 1t

Solución: 1t ⇒ P

1t O

P

O

P

O

O

A

2.5 m

O

O

B

10 m VB = Py1 + Py2 1

y1 =

10

= y1 = 0.75 7.5

1 Línea de influencia de VB ↑

y1

x

y2

y1

y2

1t 1t O 2.5 O VA = Py1 + Py2 ⇒ 0.8 t 1 y1 10 - x = ⇒ y1 = 10 (10 – x) 10

1 Línea de influencia de VA

1

↑

y1

y2

y2

= 10

⇒ 10 -(x + 2.5) 10 –(x + 2.5)

y2 = 10 [10 – (x + 2.5)]

(10 – x) 0.8 = P

⇒ X = 4.75 m

+P 10

10

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 249 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #7 Situar el tren de tal manera que la VB mida P1 = 2 t; P2 = P3 = 3 t

Solución: P1

P2

P3

P1

P2

P3

x O

O

O

O

A

2.5 m

O

2.5 m

O

B OOOOOO

10 m VB = Py1 + Py2 + Py3 ⇒ 5 t 1

y3 =

1

10

10 - x

1

y2

10 - x ⇒ y3 = 10

Línea de influencia de VB ↑

y1

y2

y3

= 10 1

⇒ y2 = 10-(x + 2.5) y1

= 10 3 [10 – (x + 2.5)]

2 (-10 – x) ⇒ 5=

+ 10

10-(x+2.5) 10 10-(x-5) ⇒ y1 =

10-(x – 5)

10

3 [10 – (x + 5] +

10

10

⇒ X = 1.56 m

Ejercicio #8 El tren de cargas (camión de cargas) transita por la viga de puente AB, se Pide: a) Situar el tren de tal manera que la reacción en A sea la más grande posible. b) Situar el tren de tal manera que la reacción en B mida 1.5 t (si fuese posible).

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 250 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Solución: P1 P1 O

P2

P2 O

1O

L.I. de VA O

A

P1 = 2 t P2 = 0.5 t

y1

O

↑

y2

y1

y2

2.5 m

O

B OOOOOO

L = 10 m

VA = P1 y1 + P2 y2 1

y2

y1 = 1;

=

⇒ y2 = 0.75 ⇒ VA = 2 (1) + 0.5 (0.75) = 2.6 t

10 7.5 a) La carga P1 ubicada exactamente encima del apoyo A, en tal caso la vertical de A es la mas grande y mide 2.6 t. b)

P2 P1

VB = P1 y1 + P2 y2 = 1.5 O

x

O

L.I. de VB

1 10 =

y1 x

1

y2

x ⇒ y1 = 10

1

↑

A

y1

y2

B oooo

= 10

x + 2.5

x+2.5 ⇒ y2 = 10

10 m

x ⇒ 1.5 = 2

x + 2.5 + 0.5

10

10

⇒ 1.5 = 2 x + 0.5 x + 5/4 ⇒ 15 – 5/4 = 2.5 x = 4.64 ⇒ x = 4.64 m Resp.- La carga P1 situada a 4.64 m del apoyo A

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 251 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #9 Un tren de cargas (camión de cargas) transita por la viga de un Puente AB. a) Se trata de situar el tren de tal manera que la reacción vertical B sea la más grande b) y después de tal manera que esa reacción sea cero. c) Que posición debe ocupar el tren para que la vertical de A mida 3.8 t

Solución: P1

P2

O

O

P1 O

P2 O

A

P1=2t O

P2=3t O

B

OOOO

L = 20 VB = 2 y1 + 3 y2 ; y2 = 1 1 = y1 ⇒ y1 = 15 = 0.75 20 15 20 ∴VB = 2 (0.75) + 3 (1) = VB = 4.5 t VA = P1 y1 + P2 y2 = 2 y1 + 3 y2 = 3.8 1 = y1 ⇒ y1 = 20 20 - x

20 – x 20

⇒ y2 = 15 – x 1 = y2 20 20 – (x + 5) 20

*

Resp a) La carga P2 justo sobre los apoyos B para esa posición. La vertical de VB = es la mas grande y vale 4.5 t. Resp b) La vertical en B VB = 0 cuando P2 se encuentre exactamente sobre el apoyo A Resp c) del * 2

( 20 – x ) + 3 (15 – x ) = 3.8 20

20

2 ( 20 – x ) + 3 ( 15 – x ) = 3.8 * 20

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 252 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

6 x = 85 – 3.8 *20 85 – 3.8 * 20 = 1.8 ⇒ x = 1.8 m

x= 6

Ejercicio #10 Un tren de cargas esta constituido por tres cargas móviles P1, P2, P el tren transita por la viga AB. a) Si el tren sobre la viga, de tal manera que el esfuerzo cortante en la sección S sea el más grande de los positivos. b) Situar el tren de tal manera que el esfuerzo cortante en la sección S sea cero. c) Ubicar la sección S de tal forma que en ella se genera el esfuerzo de corte menor de los negativos.

Solución: P1=1t P2=2t P3=1t P1

P2 O

O

P3 O

S

O

A

O

O

B

OOOO 5m

5m 10 m

a = 5, b = 5, L = 10

0.5

a L = 0.5,

L.I QS

= 0.5

QS = P1 y1 + P2 y2 + P3 y3

(+) (-)

a) La carga P1 situada un infinitésimo a la derecha de S y el máximo cortante positivo en S en 1t

0.5

(-) y1

b L

y2

QS = 1 y1 + 2 y2 1 y3 1= y3

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

y1 = 0.5, y3 = 0

Pag - 253 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

0.5

y2 =

5

⇒ y2 = 0.25

2.5 QS = 0.5 + 0.5 +0 = 1 t

b) La carga P2 justo sobre la sección S P1=1

P2=2

P3=1

c)

P3 justo sobre B y S sobre B

OOOOOO

QS = - 0.5 (1) – 0.75 -1 = 2.25t 1t + 1= 2t

1

y2 =

(+)

10

7.5

1

5

(-)

⇒ y1 = 0.5

= 10

⇒ y2 = 0.75

5

GRAFICA Q Un puente sufre más al inicio y al final del puente.

Ejercicio #11 a) Posicionar el tren 1 sobre la viga (con todas las cargas actuando) de manera que el esfuerzo cortante en la sección S sea 0 (si se puede). b) posicione el tren 2 de tal manera que el esfuerzo de corte en la sección S sea el más grande de los positivos.

Solución:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 254 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil P1

P2

P1=2t O

S A

3m

q = 0.4 t/m

4m tren 2

tren 1

7m

3m

P2=2t O 3m

4m

0.3

Linea de Influencia de cortantes Qs

0.7 A

(+) (-)

a

3 =

L-a

= 0.3 13 - 3

b

(+)

= 0.3

4m

L-a

0.3

c = 0.7 L-a

a) P1 : 1.5 m a la izquierda del apoyo fijo b) QS = q * A 0.7

y ⇒ y = 0.3

= 7

3

A = (0.7 + 0.3) * 4/2 = 2 ⇒ QS = 0.4 * 2 = 0.8 t

El extremo izquierda de la carga distribuida un infinitésimo a la derecha de la sección

Ejercicio #12 El tren de 2 ejes que se observa transita por la viga A-B-C. a) posicionar (situar) el tren de tal manera que el esfuerzo cortante en la sección S sea el mas grande de los positivos (y cuanto vale). b) Situar el tren de tal manera que el esfuerzo cortante en la sección S sea 0.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 255 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Solución:

P1 O

P2 O

P1=2t

A

S

B

C

O

P2=2t 3m O

OOOO 5m

3m O P1

2m

a = 5, b = 3, c = 2

O P2

a = 0.63 a+b

0.37

b

(+)

= 0.37 y1 (-)

(-)

y2

a+b 0.25

L.I QS

0.63

c

= 0.25 P1 3 m O

P2 O

a+b

x

QS = P1 y1 + P2 y2 QS = 2 (0.37) + 2 (0) = 0.74t

(+) y2 (-)

(-) y1

b)

0.63

y1 =

5

La carga P1 un infinitésimo a la derecha de la sección.

⇒ y1 = 0.13 x

x

0.37

y2 =

3

⇒ y2 = 0.12 [8 – (x + 3)]

8 – (x + 3)

QS = 2 (-0.13x) + 2 [0.12 (8 – (x + 3)] = 0 X =2.4 m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 256 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #13 Situar el tren de cargas de tal manera que el momento en la sección S mida 6.5 t.m (si fuese posible) Necesariamente las 2 cargas del tren deberán actuar sobre la viga.

Solución: P1 = 2t O P2 = 0.6t O

S

ooooo 5m

2m

5m 10 m

P1

P2

P1

x

a*b

5*5 =

P2

= 2.5

L O

10

O y1

y2

y1

MS ⇔ P1y1 + P2y2

y2

x 4.54 m 4.54

2.5 p1 2m

p2

5

y1 = x

⇒ y1 = 0.5 x 5.86

p1

p2

2.5

y2 =

5

x+2

⇒ y2 = 0.5 x + 1 ∴MS = 2 (0.5) x + 0.6 (0.5 x +1) = 6.5 x + 0.3 x = 5.9 X = 4.54 m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 257 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #14 El tren de cargas transita por la viga AB exigen que las tres cargas se encuentren sobre la viga. Estudiar los extremos (max y min) valores del momento en la sección S, además estudiar la posición más desfavorable de la sección S.

Solución:

P1

P2

P3

O

O

O

P1=1t P2=3t p3=2t S O

O 2m

O 2m

OOOO 7.5 m

2.5 m P1

y1

LI de MS y1

y2

P2

P3

y2

y3

y3 P1

y1

P2

y2

P3

y3

a = 7.5 m, b = 2.5 m MS = P1 y1 + P2 Y2 + P3 y3 ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 258 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

a*b L = 10 m ⇒

= 1.88 L

y2 = 1.88 y2

y1

⇒ y1 = 1.38

= 7.5

7.5 - 2

1.88

y3

⇒ y3 = 0.38

= 2.5

2.5 - 2 MS = (1.38) * 1 + (1.88) * 3 + (0.38) * 2 MS = 7.78 t.m

y3

y1

7.5

y3

⇒ y1 = 0.88

=

y2

⇒ y2 = 1.38

=

7.5 – 4

7.5

7.5 - 2

MS = 1 * (0.88) + 3 * (1.38) + 2 * (1.88) MS = 8.78 t.m P3 = justo sobre la sección a) Momento mínimo cuando P1 un infinitésimo a la derecha de A La suma de los MS es 10. Encontrar los MS de tal manera que su producto sea máximo x+y=S⇒x=S–y S P (x, y) = 0

⇒y=

S–2y=0

10 =

2

=5 2

a=5 b=5 a*b

25 =

L

= 2.5 m 10

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 259 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejercicio #15 El tren de cargas constituido por P1, P2, P3 transita por la viga de puente AB: a) Situar el tren de tal manera que genere el máximo momento positivo en la sección S. b) Posicionar el tren de tal manera que genere el mínimo momento positivo en la sección S. c) determine la sección S para la cual se producirá el máximo momento positivo.

Solución:

P1

P2

P3

S

S

O

O 2m

O 2m

OOOOO 2m 8m

L.I de MS

1.5

0.5

LI

P1 = P2 = P3 = 3 t a = 2; b =6

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 260 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

a*b

2*6

= = 1.5 L 8 MS = P1 y1 + P2 y2 + P3 y3 a) P1 sobre la sección S ⇒ 1.5

y2 =

6

4

1.5

y3 =

6 ∴

⇒ y2 = 1

⇒ y3 = 0.5

2

MS = 3 (1.5 + 1 + 0.5) = 9 MS = 9 t.m

b) P1 un infinitésimo a la izquierda de B y P3 un infinitésimo a la derecha de A. c) x + y = L ⇒ y = L – x PRO ⇔ x * y ⇒ PRO = x (L – x) = x L – x2 L PRO = L – 2x = 0 ⇒ x =

L ; y=

2

a

2

b

La sección S debe situarse en el punto medio del tramo AB es decir 4 metros de cualquiera de los apoyos y P2 justamente sobre la sección S.

Ejercicio #16 Estudiar el comportamiento de la reacción VA cuando el tren que observa transitar por el travesaño CDE. No importa como se encuentre constituido el tren, debe dibujarse la línea de influencia para una sola carga móvil unitaria P0.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 261 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Solución: x P

P

x C

p2 O

p1 O

D

O

E

O

p=1t O

1m P1 = P2 0<x<6 ∑ MB = 6 VA – P (6 – x) = 0

5m

6-x ⇒ VA = A

B

6

OOOO 6m

6<x<8 2m ∑ MB = 0 ⇒ 6 VA + P (x-6) = 0

a) Max VA+ 1

x-6 ⇒ VA = -

y2 =

6

5

6

⇒ y2 =

5

6

∴ VA = P1 y1 + P2 y2 VA = 1 * 1 + 1 * 5/6 = 1.83 t VA = 1.83 t b) Min VA+ ⇒ P1 antes de 5.5 m c) Min VA- ⇒ P2 en E 0.33

y1

0.33

⇒ y1 = = 0.165 1 2 VA- = 1 * (-0.165) + 1 (-0.33) = - 0.495 =

2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 262 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

P1 O 1m

P2 O x

P1

1

O

y1

y2

1m

P2 O

(+) y1

y2 0.33

L.I de VA

OOOO

Ejercicio #17 El tren que se observa compuesto por 2 cargas concentradas P1 y P2 y por una carga distribuida que transita por una línea. Posicionar el tren de tal manera que el momento flector en la sección S sea de 40 t.m (Si existe).

Solución: P2 P1 O

O

P1 = 2t

P2 = 3t

O

O

S

q = 0.5 t/m A

B 5m

OOOO 10 m

30 m a = 20 L.I MS

b = 10

6.67

S y1

y2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

⇒

a*b L

= 20 * 10 = 6.67 30

Pag - 263 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

MS = P1 * y1 + P2 * y2 + q * S 6.67 20 =

y1 x

6.67

y2 = x+5

20

⇒ y1 = 0.33 x ⇒ y2 = 0.33 x + 1.65 S = ( y2 + y1 ) * 5/2 S = ((0.33 x + 1.65) + 0.33 x) * 5/2 S = 1.65 X + 4.13

MS = 2 (0.33 x) + 3 (0.33 x + 1.65) + 0.5 (1.65x + 4.13) = 40 MS = 0.66 x + 0.99 x + 4.95 + 0.83 x + 2.06 = 40 ∴ x = 13.33 m La carga P1 a 13.33 m del estribo (apoyo A) a+b=L⇒b=L–a P (a, b) = a * b P (a) = a * (L-a) = a * L – a2 L P (a) = L – 2a = 0 ⇒ a = 1

CRITICO 2

L P11 (a) = -2 ⇒ P11 (

) = - 2 < 0 ⇒ MAXIMO 2

L a=

L ; b=

2

2

Ejercicio #18 Posicionar el tren de cargas móviles en la viga de la grafica 1 de tal manera que el momento en la sección S sea el más grande de los negativos (en valor absoluto).

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 264 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Solución: x P = 1 t

P = 1 t

P = 1 t

P1 = 3t

P = 1 t

x x

P2 = 2t

x S A

B

1

a

2

V

A

3

b

M 1

4

V

c

S

= V

B

B

O

d

S

= V

M

S

= V

a=3m b=5m c=4m d=2m

B

* C

A

* b

(+ ) 2

a*c 3*4 b + c = 5 + 4 = 1.33

(+ ) 3

M

S

= V

A

O

* C

(-)

M

1.5 m

b*c 5*4 b + c = 5 + 4 = 2.22

* b

4

(-)

b*d 5*2 b + c = 5 + 4 = 1.11 La carga P1 3 m a la Izquierda del apoyo A

b *c b + c (+ )

a *c b + c

(-)

(-)

d *b b + c

MS = P1 y1 + P2 y2 1.33 3 =

y2 1.5 ⇒ y2 = 0.67

MS = 3 (-1.37) + 2 (-0.67) MS = - 5.33 ton_m 1) Dom ⇔ 0 < x < a

a-x ∑ MA = 0 ⇒ -P (a – x) – (b + c) VB = 0 ⇒ VB = -

(-) b+c

2) Dom ⇔ a < x < a + b

a-x ∑ MA = 0 ⇒ P (a – x) – (b + c) VB = 0 ⇒ VB = -

(+) b+c

3) Dom ⇔ a + b < x < a + b + c ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 265 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

(a + b + c) - x ∑ MB = 0 ⇒ (b + c) VA – P [(a + b + c) - x ] = 0 ⇒ VA =

(+) b+c

4) Dom ⇔ a + b + c < x < a + b + c + d = L

- x (a + b + c) ∑ MB = 0 ⇒ (b + c) VA + P [- x (a + b + c)] = 0 ⇒ VA = -

(-) b+c

P1 P1

P2

O

O

O

P2

S 2.22

1.5 m O L.I de MS

1.5

(+) y1

y1

y2

y2

(-)

(-) 1.11 1.33

5.9 PROBLEMAS PROPUESTOS. Problema #1 Determinar la posición del tren para que MS – S sea MAXIMO P1 = 1 t

P2 = 1 t

S O

O 1m

S 3m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

OOOO 3m

Pag - 266 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil Respuesta:

P1 sobre S – S; MS = 2.5 t.m

Problema #2 Determinar la línea de influencia de esfuerzos cortantes en la sección S – S, considerando P1 = 1 t S A

B

S 1m

OOOO

2m

2m

2m

Respuesta:

0.50 0.25 (+) (+)

A

B

(-)

(-) 0.50

Problema #3 Situar el tren de tal manera que MA sea máximo en valor absoluto P1= 2 t

P2 =1t P3 = 1 t

O MA

O 1m

O 1m

A

7m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 267 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil Respuesta:

P1 a 5 m de A; MA= 23 t.m

Problema #4 Situar el tren de tal manera que VA sea el mayor valor positivo y luego negativo P1 = 1 t

P2 = 2 t

O 1m O

C

D 1m B 2m

OOOO

A

1m

5m

2m

Respuesta: P1 sobre C; VA = + 2/2 t P2 sobre D; VB = - 3.0 t

Problema #5 Con los datos del ejercicio 5.4 situar la carga móvil q = 2 t/m

1

2 3m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 268 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

tal que VA sea el mayor valor positivo

Respuesta: Extremo 1 sobre C;

VA = 5.4 t

Problema #6 Determinar la LI de momentos en el apoyo B, considerando P = 1 t P x

A

B

OOOO 5m

1.5 m

Respuesta: A

B

(-)

1.5

Problema #7 Determinar la LI de HA, considerando P = 1 t que transita desde C hasta D.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 269 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

P1 = 1 t x O

C

D

3m

A

B

3m

3m

Respuesta: 0.5

(+) C

O

A

D

B

Problema #8 Situar la carga P = 1 t en el tramo C – D, tal que ME = 0

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 270 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

E 1 t.m

P=1t x

C

D

OOOO 3m

2m

Respuesta: La carga P = 1 t a 1 m de C

5.10 EVALUCION DIAGNOSTICO DEL CAPITULO. Para realizar una evaluación diagnostico referente al presente capitulo, se propone al estudiante responder las siguientes preguntas

Como plantearía una línea de influencia? Que es una línea de influencia? Como reconoce las secciones criticas de cortantes y momentos? Explique 3 casos para líneas de influencia de cortantes? Como se determina la línea de influencia del momento flector en la sección S? Dar un ejemplo de línea de influencia rectangular?

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 271 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

CAPÍTULO 6 CABLES 6.1 OBJETIVO GENERAL.

El objetivo fundamental de este capitulo es hacer que el estudiante conozca el concepto de cables, cuales son sus usos y cuales son las maneras de analizarlos y calcularlos.

6.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS. Al terminar este capítulo el estudiante podrá:

Realizar el cálculo de tensiones máximas y mínimas existentes en el análisis de cables. Reconocerá el uso del los distintos tipos de cables existentes sabrá a que tipo de estructuras son aplicables.

Determinara las longitudes de los cables. Recordara brevemente el cálculo numérico (integración, límites, derivación). Conocerá los elementos básicos en puentes de luces largas y los tipos de cables que se usan para estos.

6.3 INTRODUCCION. Las estructuras por su forma geométrica en el contexto de sus elementos que las integran se clasifican en rectas, curvas y de o; para su identificación se indicarán en algunas las cargas y apoyos únicamente para su identificación, ya que para su definición se exponen en las siguientes secciones de éste capítulo. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 272 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Los cables constituyen a menudo los elementos principales portadores de cargas en muchos tipos de estructuras; en este capitulo veremos algunos de los aspectos importantes relacionados con su análisis estructural. El capitulo comienza con un análisis general de los cables, seguido de un análisis de aquellos cables que son sometidos a una carga concentrada y a una carga uniformemente distribuida. Dentro del tipo de cables que existen analizaremos los que mostramos a continuación; los cables rectilíneos en cuyos puntos de inflexión soportan cargas concentradas, los cables parabólicos que soportan cargas repartidas y los cables que soportan su peso propio, mismos que se detallan en los siguientes gráficos:

a) Cables parabólicos que soportan cargas repartidas

Figura 6.1

b) Cables que soportan su peso propio.

Figura 6.2

c) Cables rectilíneos en cuyos puntos de inflexión soportan cargas concentradas.

Figura 6.3

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 273 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

6.4 ANÁLISIS DE LOS TIPOS DE CABLES. 6.4.1 CABLES SOMETIDOS A CARGAS UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS. Los cables proporcionan un medio muy eficaz para soportar el peso muerto de las trabes o cubiertas de puentes de claros o luces muy grandes, un puente colgante es un ejemplo típico en el que la cubierta esta suspendida del cable usando una serie de colgantes mas cercanos y uniformemente separados. Para analizar este problema determinaremos primero la forma de un cable sometido a una carga vertical ωο , distribuida horizontalmente en forma biforme como se muestra en la figura 6.4 (a) aquí los ejes x, y tienen su origen en el punto mas bajo del cable, de manera que la pendiente es cero en este punto. El diagrama de cuerpo libre de un pequeño segmento de cable, con longitud ∆s se muestra en la figura 4.2 (b). Como la fuerza de tensión en el cable cambia continuamente tanto en magnitud como en dirección a lo largo de la longitud del cable, el cambio se denota con ∆T en el diagrama de cuerpo libre, la carga distribuida se representa por su fuerza resultante R igual a ωο ∆x que actúa a una distancia de ∆x / 2 del punto O. Para fines de facilidad de cálculo asumimos la siguiente convención de signos:

V

(+)

M

H Realizamos el análisis en el siguiente cable y su diagrama de cuerpo libre. ο

(∆ x) ∆ x/2

y

ω

ο

Τ+∆Τ

ο

θ+∆θ

∆y

x

∆s

θ

Τ ∆x

Figura 6.4 (a)

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Figura 6.4 (b)

Pag - 274 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se obtiene:

∑F ∑F

X

= 0;

− T cosθ + (T + ∆T ) cos(θ + ∆θ ) = 0

Y

= 0;

− Tsenθ + ω o (∆x) + (T + ∆T ) sen(θ + ∆θ ) = 0

∑M

O

= 0;

ω o (∆x)(∆x / 2) − T cosθ∆y + Tsenθ∆x = 0

Dividiendo cada una de estas ecuaciones entre ∆x y tomando limites cuando ∆x → 0 , por consiguiente ∆y → 0 ; ∆ θ → 0 y ∆T → 0 , obtenemos. d (T cos θ ) =0 dx d (Tsenθ ) = ωO dx dy = tan θ dx

(1) (2) (3)

Integrando la ecuación (1), donde T = FH en x=0, tenemos: T cos θ = FH =

Ctte

(4)

Por lo tanto la componente horizontal de la fuerza en cualquier punto a lo largo del cable permanece constante. Integrando la ecuación (2), considerando que T senθ = 0 en x=0, se obtiene: Tsen θ = ω O x

(5)

Dividiendo la ecuación (5) entre la ecuación (4) se elimina T. usando luego la ecuación (3), podemos obtener la pendiente en cualquier punto a lo largo del cable, ósea.

dy ω O x = dx FH

tan θ =

(6)

Efectuando una segunda integración con y =0 en x =0, resulta

y=

ωO

x2

(7) 2 FH Esta ecuación es correspondiente a una parábola, la constante FH puede encontrarse usando la condición de frontera y =h en x = L. así entonces tendremos.

FH =

ω O L2 2h

(8)

Finalmente sustituyendo en la ecuación (7) tenemos:

y=

h 2 x L2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

(9) Pag - 275 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

De acuerdo con la ecuación (4), la tensión máxima en el cable ocurre cuando θ es máxima; esto es en x =L . Por tanto de las ecuaciones (4) y (5) tenemos.

TMAX = FH + (ω O L) 2 2

(10)

Usando la ecuación (8), podemos también expresar el TMAX en términos de ωo esto es.

TMAX = ω O L 1 + ( L / 2h) 2

(11)

Nótese que hemos despreciado el peso propio del cable, que es uniforme sobre la longitud del cable y no sobre su proyección horizontal. En realidad un cable sometido a su peso propio y libre de cualquier otra carga, tomara una forma de curva catenaria. Sin embargo, si la razón flecha a claro es pequeña, que es el caso en la mayoría de las aplicaciones estructurales, esta curva se aproxima bastante a una curva parabólica, como se determina aquí. En el análisis de los cables es importante también conocer la longitud total del mismo, para tal efecto se recurre a la siguiente expresión:

LS = ∫

l

0

 dy  1+    dx 

2

(12)

De los resultados de este análisis, se interfiere que si un cable mantiene una forma parabólica, la carga muerta de la cubierta de un puente colgante o de una trabe estará uniformemente distribuida sobre la longitud horizontal proyectada del cable. Por tanto si la trabe que se muestra en la siguiente figura esta soportada por una serie de colgantes cercanos y uniformemente separados, la carga en cada colgante debe ser la misma para garantizar que el cable tenga una forma parabólica. Además si suponemos que la trabe es rígida y que se mantiene la pendiente parabólica del cable, entonces cualquier carga móvil P debe ser igualmente compartida por cada colgante.

Usando esta hipótesis podemos efectuar el análisis estructural de la trabe o de cualquier otra estructura que este libremente suspendida por el cable así como se muestra en la fig 6.5(a), especialmente si la trabe esta simplemente soportada; así como soportada por el cable el análisis será estáticamente indeterminado de primer grado, sin embrago, si la trabe tiene un pasador interno en algún punto intermedio a lo largo de su longitud, esto dará una condición de momento nulo y puede entonces efectuarse un análisis estructural estáticamente determinado como se puede observar en la fig 6.5 (b). ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 276 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

apoyos de cables

colgantes

P

trabe libremente suspendida

Figura 6.5(a)

P

carga movil a lo largo de la trabe

Figura 6.5(b)

Como ya hemos mencionado el uso de cables son prioridad en la construcción de puentes extensos o de luces muy grandes, a continuación mostraremos algunos puentes donde se observan los diferentes tipos de cables.

Puente de San francisco, muestra cables con colgantes fijos a la trabe

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 277 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Puente de Normandia, muestra cables ajustados directamente a la trabe

Los siguientes ejemplos ilustraran numéricamente estos conceptos.

Ejemplo #1 En la siguiente figura el cable soporta una trabe que pesa 850 kg/m. determine la tensión en el cable en los puntos A, B y C. Así mismo ¿Cuál es la fuerza en cada uno de los colgantes?

A

A

40 m

40 m

C

C

20 m

20 m

B

B x

100 - x´

x´

100 m

Solución.- el origen de los ejes coordenados se fija en el punto B, que es el punto mas bajo del cable y en el que su pendiente es igual a cero; de la ecuación (7) sabemos que la ecuación parabólica del cable es:

y=

ωO 2 FH

x2 =

850kg / m 2 425 2 x = x 2 FH FH

Suponiendo que el punto C esta ubicado a una distancia x´ de B, tenemos:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 278 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

20 =

425 2 x´ FH

FH = 21.25 x´2

Reemplazamos también para el punto A y reemplazamos el valor de FH en la ecuación.

40 =

425 [−(100 − x´)]2 FH

40 =

425 [−(100 − x´)]2 2 21.25 x´

x´2 +200 x´−10000 = 0 x´= 41.42m

Entonces, de las ecuaciones ya enunciadas tenemos: FH = 21.25(41.42) 2 = 36459.2 kg dy 850 = x = 0.02331x dx 36459.2

En el punto A. x = −(100 − 41.42) = −58.58 m tan θ A =

dy dx

= 0.02331( −58.58) = −1.366 x = −58.58

θ A = −53.79o Usando la ecuación (4) tenemos

TA =

FH 36459.2 = = 61.7t cos θ A cos(−53.79 o )

En el punto B tenemos x=0. tan θ A =

TB =

dy dx

= 0 ; θB = 0 x =0

FH 36459.2 = = 36.5t cos θ B cos(0)

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 279 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

En el punto C tenemos. x = 41.42 m tan θ C =

dy dx

= 0.02331( 41.42) = 0.9657 x = 41.42

θ C = 44.0 o TC =

FH 36459.2 = = 50.7t cos θ C cos(44.0 o )

Como la trabe esta soportada por 11 colgantes, la fuerza en cada uno de ellos es Fh =

850kg / m(100m) = 7.76t 11

6.4.2 CABLES SOMETIDOS A SU PESO PROPIO Como ya se ha mencionado los cables proporcionan un medio muy eficaz para soportar el peso muerto de las trabes o cubiertas de puentes de claros o luces muy grandes, pero también como un gran dispositivo de unión entre estructuras alejadas o separadas, para analizar aquellos cables que están sometidos a su propio peso determinaremos la forma del cable a lo largo de su longitud ∆S. Como ya se ha mencionado, un cable que soporte solamente su peso propio tomara la forma de una curva catenaria, cuya ecuación corresponde a una parábola como se mostró anteriormente. A continuación consideramos el caso de un cable que soporta únicamente su peso propio, entonces la carga puede darse como una función de arco S. las ecuaciones deducidas anteriormente son validas si se analizan como ∆x = ∆s entonces:

Ejemplo #2 Analizar un cable que soporta únicamente su peso propio w(s) = 10 k/m (15;7.5) m

(-15;7.5)m

y

(0;0)

x

30 m ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 280 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

En este caso:

ds

dy

dx

T cos ϕ = H

Además, dy =

Tsenϕ = ∫ ω (s ) ds

(13)

dy 1 = ω ( s ) ds dx H ∫

(14)

(ds )2 + (dx )2 2

dy  ds  =   −1 dx  dx  De las ecuaciones (14) y (15) entonces

(15)

2

1  ds    − 1 = ∫ ω ( s ) ds H  dx 

Paso 1)

(16)

Ecuación de la curva que representa el cable dy 10 10 = S + C1 = S + C 2 dx H H

Cuando S = 0,

dy = 0 por lo tanto: dx

C2 = 0 Utilizando la ecuación (16) tenemos 2

10  ds    −1 = S H  dx  2

100 2  ds    −1 = 2 S H  dx  2

 ds  100 2   = 2 S +1 H  dx  ds 100 2 = S +1 dx H2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 281 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

De la ecuación diferencial a variables separables se tiene

x=

10 H∫

ds = dx 100 2 S +1 H2 2  ds 10    H   2 = ln S + S +   + C3 2 H  10    H      S2 +  10  

o bien x=

H  10 S  arcsenh  + C3 10  H 

Cuando s = 0 , x = 0 entonces C3 = 0 x=

H 10 x  10 S  10 S arcsenh = senh ⇒ 10 H H  H 

Por lo tanto S=

H  10 x  senh  10  H 

Hasta esta parte se ha determinado S en función de x, entonces. dy 10 S 10  H 10 x  10 x  = =  senh  = senh dx H H 10 H  H  Entonces y=

H  10 x  cosh   + C4 10  H 

x = 0 ; y = 0 ⇒ C4 = −

H 10

Por lo tanto

H  10 x  H cosh  − 10  H  10 x = 15 ; y = 7.5 y=

Por lo tanto 7 .5 =

 H  150    150    cosh   − 1 ⇒ 75 = H cosh  − 1 10   H    H   

De donde H=161 aproximadamente, por lo tanto: ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 282 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

y=

161   10   cosh x  − 1  10   161  

y finalmente

y = 16.1[cosh(0.062 x ) − 1] Paso 2)

Catenaria

Determinación de la tensión máxima T=

H cos ϕ

;

dy = tan ϕ = senh (0.062 x) dx

Por lo tanto

ϕ = arctan[senh(0.062 x )] Entonces para x=15 m

ϕ = arctan[senh(0.93)] Entonces cos ϕ = 0.683 De modo que la tensión es: T = 235.72 kgr.

Paso 3)

Determinación de la longitud del cable (S) 161  10  S = 2 senh x   161   10 S = 34.53 m

6.4.3 CABLES SOMETIDOS A CARGAS CONCENTRADAS Cuando un cable de peso despreciable soporta varias cargas concentradas, el cable adopta la forma de varios segmentos de línea recta, cada uno de los cuales esta sometido a una fuerza constante de tensión. Considere por ejemplo, el cable que se muestra en la siguiente figura:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 283 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

θ B yc

yD

D

C

l1

3 KN

3 KN

l2

l3

L

Aquí θ, representa el ángulo de la cuerda AB del cable y L es el claro del cable. Si las distancias L1, L2, y L3 y las cargas P1 y P2 se conocen, el problema es determinar las nueve incógnitas que conforman la tensión en cada uno de los tres segmentos, las cuatro componentes de reacción en A y B y las flechas de yC y yD en los dos nudos C y D. para la solución podemos escribir dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas en cada uno de los puntos A,B,C y D. esto da un total de ocho ecuaciones; para completar la solución es preciso saber algo sobre la geometría del cable para obtener la novena ecuación necesaria. Por ejemplo si se especifica la longitud L total del cable podemos usar el teorema de Pitágoras para relacionar cada una de las tres longitudes de los segmentos, escritos en términos de θ, yC, yD, L1, L2, y L3, con la longitud total L. desafortunadamente, este tipo de problema no puede resolverse fácilmente a mano, sin embargo otra posibilidad es especificar una de las flechas, digamos yC o yD, en vez de la longitud del cable. Haciéndolo así, las ecuaciones de equilibrio son entonces suficientes para obtener las fuerzas desconocidas y la flecha restante. Una vez obtenida la flecha en cada punto de carga, la longitud del cable puede determinarse por trigonometría. Al efectuar un análisis de equilibrio para un problema de este tipo, las fuerzas en el cable también pueden obtenerse escribiendo las ecuaciones de equilibrio para el cable entero o cualquier porción de el. Los siguientes ejemplos nos ilustraran numéricamente estos conceptos.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 284 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Ejemplo #3 Determine la tensión en cada segmento del cable mostrado a continuación ¿Qué valor tiene la dimensión h?

2 h

D B 3

2 C

KN

8 2

KN

2

1,5

Solución.- por inspección vemos que hay cuatro reacciones externas desconocidas, dos en cada apoyo y tres tensiones desconocidas en el cable. Esas 7 incógnitas, junto con la distancia h, pueden determinarse con las 8 ecuaciones de equilibrio disponibles,

∑F

X

= 0; ∑ FY = 0 ,

aplicables en los puntos A al D. Un procedimiento mas directo de solución estriba en considerar la pendiente dada del cable CD; en la siguiente figura se muestra un diagrama del cuerpo libre del cable entero y de ahí obtenemos la tensión en el segmento CD como se ve a continuación:

∑M

A

= 0 ⇒ TCD (3 / 5)(2m) + TCD (4 / 5)(5.5m) − 3t (2m) − 8t (4m) = 0 TCD = 6.79t

Podemos analizar ahora el equilibrio de los puntos C y B en secuencia, como vemos en el siguiente diagrama de cuerpo libre: VA

A

HA

ΤC D 5

4

2

3

D B

3

C KN

8 2

2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

KN

1,5

Pag - 285 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Punto C:

KN

y

Τbc 5

θ

3

C

bC

4

x KN

∑F ∑F

X

= 0 ⇒ 6.79t (3 / 5) − TBC cos θ BC = 0

Y

= 0 ⇒ 6.79t (4 / 5) − 8t + TBC senθ BC = 0 ⇒

TBC = 4.82t

θ BC = 32.3o Punto B: ba

θ

B 32.3°

ba

x

3 KN

∑F ∑F

X

= 0 ⇒ − TBA cosθ BA + 4.82t cos 32.3o = 0

Y

= 0 ⇒ TBA senθ BA − 4.82tsen32.3o − 3t = 0 ⇒

θ BA = 53.8o TBA = 6.90t

Entonces de la figura inicial podemos hallar el valor de h. h = (2m) tan 53.8o = 2.74m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 286 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

6.5 EJERCICIOS PROPUESTOS. Problema #1 Determinar las reacciones de apoyo y la fecha correspondiente a P1 y P2

A

Ha

B

y1

HB

0.5 m

y2

Va

1t 3

3

Respuesta:

1.5 t

2t 2

2

H A = 10.8t

;

VA = 1.8t

H B = 10.8t

;

VB = 0.722t

y1 = 0.5m

VB

y 2 = 0.722m

;

Problema #2 Determinar las reacciones en A; ecuación del cable y Tmax (b;4) m

A

Ha

B

(a;4) m

HB

y

Va

VB x 0.2 t/m

35 m

H A = 7.656 t Respuesta:

Ecuacion

;

V A = 3 .5 t

y = 0.013 x 2

Tmax = 8.413 t

Problema #3 Determinar las reacciones en B; la ecuación del cable, longitud del cable y Tmax, donde solo actúa el peso propio del cable w(s)=20 k/m

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 287 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

(-20;6)m

(20;6)m

y

HB VB

x

(0;0)

40 m

H B = 685.5 t Respuesta:

Ecuacion

;

VB = 420.25 t

;

LS = 804.06 k

y = 34.275 [cosh (0.029 x ) − 1]

Tmax = 8.413 t

Problema #4 Un cable pesa 5 k/m y esta sujeto en sus extremos a dos apoyos situados a 15 m por encima de la horizontal y separados entre si a 150 m. Determinar la longitud del cable y la tensión máxima.

y

x

(0;0)

150 m

Tmax = 1025 t ; LS = 153.92 k

Respuesta:

Problema #5 Determinar la ecuación de la curva del cable y Tmax

10 pie 5 pie

0.2 t/m 40 pie

Respuesta:

Ecuación y = 0.0182 x 2

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

;

Tmax = 1025 t

Pag - 288 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

6.6 EVALUCION DIAGNOSTICO DEL CAPITULO. Para realizar una evaluación diagnostico referente al presente capitulo, se propone al estudiante responder las siguientes preguntas

Que tipos de cables existen? Cual es la ecuación de un cable que soporta su peso propio? Que es una catenaria?

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 289 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

CAPITULO 7 TUTORIALES DE PROGRAMAS

7.1 OBJETIVO GENERAL. El estudiante aprenderá a utilizar programas estructurales que le permitan resolver diferentes tipos de estructuras, mismas que estarán al alcance de sus manos siempre y cuando los oriente en sus pasos de resolución.

7.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS. Al terminar este capitulo el estudiante será capaz de:

Resolver vigas isostáticas mediante el programa de análisis estructural vigaG para calculadora HP 48G, G+, GX, 49G.

Resolver cerchas por el método de nudos mediante el programa de análisis estructural CERCHAS para calculadora HP 48G, G+, GX, 49G. 7.3 INTRODUCCION A PROGRAMA VIGA-G. El programa estructural vigaG es un programa diseñado para el calculo de vigas isostáticas, mismas que nos proporcionan información segura y confiable acerca de lo ya visto en el capitulo. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 290 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Este programa esta disponible para las versiones de HEWLETT PACKARD 48G hasta la HP 49G+. Efectuaremos la verificación del análisis estructural de una viga Isostática con el siguiente ejemplo.(verificación del ejemplo #4 del capitulo 3)

Calculadora hp 49 G

Paso1) Inicio del programa a) Habrá la carpeta vigaG dentro de su calculadora HP y luego presione la tecla F2 para crear un nuevo análisis.

b) Luego empezamos a introducir los datos de la viga a analizar: 1 t

2 t/m

A

C

B

2

1

D

2

E

1

F

1

1

Paso2) Establecer la geometría a) Como primer dato, el programa nos pedirá que introduzcamos la longitud de la viga, en este caso 8 [m], también tenemos que introducir la rigidez del elemento, pero como estamos dando los primeros pasos en la introducción del análisis de las estructuras, no tomaremos en cuenta valores de elementos que afecten nuestro calculo, pero introduciremos 1, como elemento ideal para la no variación de los cálculos. Tal como se muestra a continuación:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 291 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

b) Empezamos a definir cuales serán las condiciones de equilibrio y los apoyos de la viga. Como vemos tenemos como condición inicial un apoyo fijo, y como condición final de la viga existe un apoyo móvil.

c) Como se puede observar para definir las condiciones iniciales y/o finales solo se necesita presionar el botón correspondiente a un apoyo, empotramiento o volado. d) Una vez establecida las condiciones iniciales y finales de viga, comenzamos a definir los apoyos y las articulaciones existentes entre los apoyos ya definidos.

Paso3) Cargado de datos a) En la ventana que ahora aparece existen las opciones de colocar apoyos intermedios y articulaciones, presionando las funciones F1 y F2 podemos establecer los apoyos que estarán a: 2 y 6; y las articulaciones a 3 y 5 m de la condición inicial de la viga ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 292 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

b) Una vez introducidos estos datos presionemos la tecla F6 para volver al menú principal. c) Estando en el menú principal, presionamos la tecla F2, que nos llevara a una ventana de opciones para seleccionar el tipo de carga que se desea, podemos aplicar cargas puntuales, cargas uniformemente distribuidas, cargas distribuidas no uniformes y momentos.

d) En nuestro caso debemos aplicar una carga uniformemente distribuida, presionamos la tecla F2. e) Aparecerá una nueva ventana, donde tenemos que introducir las condiciones de la carga distribuida, en esta nos señala que el sentido positivo de la misma será hacia (↓). Entonces definimos que el inicio de la carga distribuida tendrá un valor de 2 t/m, y empieza a una distancia de 3 m de la condición inicial de la viga, esta se mantendrá constante hasta una distancia de 5 m desde el inicio de la viga.

f) Luego de introducir los valores observaremos la viga tal cual como hemos cargado, si los datos están correctos entonces salimos de esa ventana con el botón F6, y volvemos al menú principal.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 293 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Paso4) Resultados del programa a) Una vez terminado de introducir los datos al programa, estando en el menú principal podemos ordenar a la calculadora analizar la viga, presionando F6 el programa empezara a analizar los datos, una vez concluidos te mostrara una ventana donde te diga: “Cálculos Terminados”.

b) Presionando el botón F6, podremos acceder a la ventana de respuestas en la calculadora.

c) Dentro de las respuestas que te ofrece este programa de análisis de vigas es; en la prime pestaña todos los componentes asociados a las respuestas del esfuerzos de corte “V”, momentos “M”, desplazamiento de los nudos “θ”, diagrama de deformación “Y”, las reacciones de apoyo. d) Empecemos verificando las reacciones en los apoyos presionando el botón F5:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 294 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

e) Comparando el nombre de cada apoyo y verificando con el ejercicio resuelto del capitulo 3, observamos que son iguales, en esta ventana se observan las reacciones y desplazamientos de cada apoyo(si te son necesarios). f) Volviendo a la ventana principal presionando la función F6 (dos veces), analicemos los resultados de los elementos de corte.

g) Observemos que en la ventana de salida de datos de los esfuerzos cortantes la opción PLOT es la que grafica la variación de esfuerzos corte a lo largo de toda la viga.

Si se quisiera saber los valores dentro de la grafica, solo desplazarse a la función (X,Y) o F2. h) Otra de la opciones dentro de la salida de cortantes es la de poder ver los valores máximos y mínimos a lo largo de la viga, solo presionar las funciones F3 y F4.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 295 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

i) Asi como realizamos el análisis de la viga por el método de secciones y obtuvimos las ecuaciones de N, Q, y M. este programa también puede mostrarnos las ecuaciones de cortantes y momentos a lo largo de la viga, solo presionar “EQUAT” y elegir el tramo del cual quisiera ver la ecuación necesaria para obtener la grafica y presionar “ENTER”.

Nota.- se tiene un margen de error de 0.01 j) Para ver los diagramas de momentos “M” volver al menú principal y presionar la tecla de M o F2, y luego ver las opciones que ya se han visto en el análisis de esfuerzos de corte.

Grafica de momentos k) A continuación mostramos la obtención de las ecuaciones para la obtención del diagrama de momentos.

Entonces realizando la comparación con el ejercicio planteado y resuelto en el capitulo 3 queda muy bien verificado.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 296 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

7.4 INTRODUCCION A PROGRAMA CERCHAS El programa estructural CERCHA es un programa diseñado para el cálculo de CERCHAS

ISOSTATICAS, misma que nos proporciona información segura y confiable acerca de lo ya visto en el capitulo. Este programa esta disponible para las versiones de HEWLETT PACKARD 48G hasta la HP 49G+. Con afán de que se pueda resolver de una manera rápida una cercha plana, sin necesidad de que se recurra a la computadora (estos es muy beneficioso cuando se realiza un trabajo de campo), es necesario que el ingeniero tenga herramientas como la calculadora HP, que nos provee una gran ayuda en el desarrollo de la profesión. Este programa permite resolver cualquier cercha sin importar el número de apoyos y elementos, hasta la capacidad de la calculadora, para la resolución se usa el método matricial de los desplazamientos. El procedimiento es el siguiente:

Calculadora hp 49 G

Calculadora hp 48 GX

Pasos a seguir para la utilización del programa a) Se selecciona una entrada de cargas. b) Se define un sistema de ejes coordenados para poder ubicar los nudos que a su vez deben estar enumerados

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 297 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

c) Cuando se pide el numero de nudos es independiente el numero de apoyos, es decir, en una barra hay 2 nudos y puedes tener 0, 1 o 2 apoyos.

d) Se entran las coordenadas de cada nudo en el orden al numero que se le asigno. e) Se especifica la cantidad de diferentes áreas de sección transversal en los elementos, quedando cada tipo de sección asignada a un numero (mismo que aparecerá en la pantalla).

f) Luego se pasa a dar las ubicaciones de las barras asignándole una dirección o un sentido a cada barra, y se escriba su nudo inicial a final de acuerdo al sentido y su correspondiente TIPO de sección (el numero asignado a las diferentes áreas).

g) Se especifican las restricciones en los apoyos de la siguiente manera: Numero del nudo en el cual esta el apoyo. Restricción en X (1 si hay o 0 si no hay). Restricción en Y (1 si hay o 0 si no hay). h) Se ingresa el modulo de elasticidad i) Se ingresa el peso unitario (0 si se desprecia el peso propio de la cercha o carga muerta). j) Si se escoge la opción 2 y se procede con el número de nudos cargados. k) Se entra el nudo en el que actúa cada fuerza, y cada fuerza se descompone en X y Y, dando positiva hacia arriba y a la derecha.

l) Si la memoria es suficiente para el tamaño de la cercha, esperamos que corra el programa. m) Para ver los resultados, donde aparecen los desplazamientos en los nudos, las reacciones y fuerzas internas de las barras (fuerzas según el sentido de las barras).

n) La opción 4 permite ver la matriz de rigidez en su respectivo orden (opciones separadas). o) Borrar los resultados permite purgar las variables y resultados que contiene la cercha. El programa permite variar las condiciones de las cargas para la misma cercha seleccionando (2) y además permite guardar los resultados después de salir. A continuación se desarrollara un ejemplo, explicando paso a paso la ejecución del programa.

Ejemplo Dad la siguiente armadura Howe se pide determinar las reacciones en los apoyos y las fuerzas en las barras (ejercicio # 13 del capitulo 4).

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 298 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Paso1) Establecer la geometría a) Habrá la carpeta Cercha dentro de su calculadora HP y luego presione la opción “Run” para crear un nuevo análisis.

b) Aparecerá la siguiente ventana en su HP.

c) Presionando el botón 1,aparecerá la opción “ENTRADA DE DATOS”.presionar ENTER.

d) Ahora se deben ingresar los datos según los valores pedidos, de acuerdo a la grafica entonces:

Luego presionar enter. ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 299 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Paso2) Cargado de datos a) Ahora introducimos los datos de las coordenadas de los nudos.

Luego de ingresar los datos de un nudo, presionar ENTER para ingresar los datos del siguiente nudo, como se ve a continuación:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 300 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

b) Una vez introducidos estos datos presionemos ENTER. Luego aquí la pregunta es cuantos tipos de secciones tiene, si se quiere se puede tener distintos tipo de secciones para las barras 8esto es mas conveniente cuando ya se hizo correr el programa una vez, y se diseño con esas fuerzas, entonces para verificar el diseño se utiliza esta opción), pero para el ejemplo solo consideramos una sección, luego presionamos ENTER.

c) Se pide ahora ingresar el área de cada “sección tipo”, como para el ejemplo es irrelevante, ingresamos la unidad (pero se puede tantear, pero cuando ya se diseño la cercha se deben poner las áreas para realizar la verificación); luego presionamos ENTER.

d) Se debe ingresar los nudos inicial y final de cada barra; el orden de los nudos sirve para interpretar la salida de las fuerzas internas, por eso se debe anotar esto para poder interpretar los resultados. El valor ST# es para indicar al programa que tipo de sección corresponde a ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 301 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

cada barra. (para el ejemplo como solo existe una sección entonces solo poner 1) y presionar ENTER para asignar a todas la barras, entonces:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 302 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

e) Ahora especifiquemos los nudos donde se encuentran los apoyos, e indicamos si estos son fijos o móviles, luego presionar ENTER después del ingreso de cada apoyo, entonces:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 303 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

f) Luego de presionar ENTER debemos ingresar el modulo de elasticidad, para el ejemplo tomemos E=100000 kg/cm2

g) Se debe ingresar el peso especifico del material, pero cuando se quiera que el programa compute ese peso propio, para el ejemplo no se requiere, entonces introducimos cero, presionamos ENTER.

Paso3) Entrada de cargas a) Una vez que los datos de la armadura han sido introducidos, volvemos al menú principal e ingresamos a la opción #2 ENTRADA DE CARGAS.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 304 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

b) Ahora se debe ingresar el número de nudos cargados, se observa claramente que son 3, luego de presionar ENTER se debe ingresar el número de nudo y la carga externa (en toneladas), recordando siempre que positivo es a la derecha y hacia arriba; luego ingresar cada carga. Presionar ENTER:

c) Luego presionar ENTER (ahora ya empieza a correr el programa, se debe esperar unos cuantos segundos), para ver los resultados presionar la opción 3, entonces: ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 305 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

d) Presionando la opción 1 par conocer las reacciones de apoyo tenemos:

e) Para poder ver los esfuerzos internos en cada una de las barras presionamos la opción 3 del menú: entonces:

f) Presionar ENTER, entonces aparecen las fuerzas internas en las barras, pero cabe aclarar la convención del programa para interpretar los resultados:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 306 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

En primer lugar el sentido positivo se toma de acuerdo del nudo final al nudo inicial (esto define el eje local longitudinal positivo), por ejemplo la barra 1 va desde en nudo 1 al nudo 2, entonces:

La convención para definir la tracción y la compresión es la siguiente:

Por ejemplo para la barra 2 se tiene:

Y de los resultados se tiene que el nudo 2 tiene un F=1.65 ton y el nudo 3 tiene un F=1.65 ton, lo que equivaldría a:

Como otro ejemplo para la barra 8 se tiene:

Y de los resultados se tiene que el nudo 8 tiene un F=2.4 ton y el nudo 1 tiene un F=-2.4 ton, lo que equivaldría a:

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 307 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

Observemos en la salida de datos del programa.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 308 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 309 -

Universidad Mayor de San Simón Facultad de Ciencias Y Tecnología Carrera de Ingeniería Civil

g) Luego si presionamos ENTER volvemos al menú principal:

h) Para salir presionar ENTER, y aparecerá la siguiente ventana:

i) Para guardar los datos, presionar la tecla F6 luego volvemos al menú principal y salimos definitivamente presionando la tecla (DROP), nuestros datos estarán cargados en la carpeta “SUB”.

ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”

Pag - 310 -