Ejercicios Probabilidad 3o2t6f

Ejercicios: Distribuciones Conjuntas-Distribuci´on de La media Muestral- Estimaci´on M´aximo-Veros´ımil

Parcial 3

Distribuciones Conjuntas 1. Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p conjunta dada por: f (x, y) =

3x 0 < y < x < 1 0 en otro caso

Encuentre: la distribuci´ on condicional de Y dado X = 21 . La E[X|Y = 12 ] La Cov[X, Y ] La Corr[X, Y ] (ρXY ) 2. Dada la funci´ on de densidad bivariada continua para X y Y f (x, y) = Encuentre la P X ≤

π 4

1 π π (cos x + cos y) ; 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ π 2 2



3. Sean X e Y variables aleatorias discretas con f.m.p conjunta dada por: p(x, y) =

k x y x, y = 1, 2, 3 0 en otro caso

Encuentre: La Cov[X, Y ]. El valor esperado de X. 4. Un supermercado tiene tres cajas registradoras (numeradas 1,2 y 3). Dos clientes llegan a las cajas en momentos diferentes cuando las cajas no atienden a otros clientes. Cada cliente escoge de manera aleatoria e independiente una caja. Sea X la variable aleatoria n´ umero de clientes que escogen la caja 1 y sea Y n´ umero de clientes que escogen la caja 2. ¿Cu´al es el n´ umero esperado de cientes que escogen la caja 2? 5. Sean X e Y variables aleatorias continuas con f.d.p conjunta dada por: f (x, y) =

4 x y 0 < x < 1, 0 < y < 1 0 en otro caso

¿Cu´al es la P (X + Y ≥ 1)? Distribuci´ on de la Media Muestral 1. Sean X, Y y Z variables aleatorias estad´ısticamente independientes distribuidas N (0, 1). Sea T = X + Y + Z. ¿Cu´ al es la probabilidad de que T sea mayor a 3? 2. Se tiene una m.a X1 , X2 , . . . , X1 0 distribuida normalmente con media µ = 10 y desviaci´ on ¯ est´andar σ = 3. ¿Cu´ al es el valor de K tal que P (X < k) = 0,95?

Teor´ıa de la Probabilidad y Colas

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Parcial 3

3. Para cierta prueba de aptitud se sabe con base en la experiencia que el n´ umero de aciertos promedio es 1000 con una desviaci´on est´andar de 100 personas seleccionadas al azar, ¿Cu´ al es la probabilidad de que el promedio de aciertos de estas personas sea mayor a 1020? 4. Un antrop´ ologo quiere estimar la estatura promedio de los hombres de cierta raza. Si se supone que la desviaci´ on est´ andar de la poblaci´on de esa raza es de 6.35 cent´ımetros y se seleccionan al azar 100 hombres, ¿Cu´ al es la probabilidad de que la diferencia en valor absoluto, entre la media de la muestra y la media verdadera de la poblaci´on no exceda 1.27 cent´ımetros? 5. El tiempo de ensamble de una pieza es una variable aleatoria distribuida normalmente con varianza de 16min2 . Si se toma una muestra aleatoria de 20 tiempos de ensamble, ¿Cu´al es la probabilidad de que el tiempo promedio obtenido en la muestra no difiera del promedio real en m´as de 1,2min? 6. El tiempo de ensamble de una pieza es una variable aleatoria distribuida normalmente con varianza de 16min2 . Si el jefe de producci´on desea que la diferencia en valor absoluto, entre la media muestral y la media poblacional sea menor a 1 minuto, con una probabilidad de 0.9, ¿Cu´al es el tama˜ no de la muestra de tiempos de ensamble que debe tomar? 7. Un contratista piensa comprar una gran cantidad de l´amparas de alta intensidad a cierto ´ fabricante. Este asegura que la duraci´on promedio de las l´amparas es de 1150 horas con una desviaci´ on est´ andar igual a 80 horas. El contratista decide comprar las l´amparas s´olo si una muestra aleatoria de 64 de ´estas da como resultado una vida promedio de por lo menos 1000 horas. ¿Cu´ al es la probabilidad de que el contratista adquiera las l´amparas? 8. En una helader´ıa, se venden ensaladas de frutas en tres diferentes tama˜ nos, peque˜ no, mediano y grande cuyos precios son $600, $1000 y $2500. De todas las ensaladas vendidas, el 30 % son de las peque˜ nas, el 20 % medianas y 50 % son grandes. Durante un d´ıa dado se reporta la venta de 180 ensaladas de frutas. ¿Cu´al es la probabilidad de que a partir de ellas las ventas totales hayan excedido los $320000? 9. Una poblaci´ on normal tiene media 50 y varianza de 25. ¿Cu´al es el m´ınimo tama˜ no de muestra que se debe tomar de esta poblaci´on para que el error est´andar (desviaci´on est´andar) del promedio sea inferior a 1.5? Estimaci´ on de M´ axima Verosimilitud 1. Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblaci´on con distribuci´on de probabilidad dada por: f (x) = λe−λ(x−θ) , x ≥ θ, con λ, θ > 0. Si θ es conocido, ¿Cu´al es el estimador de m´axima verosimilitud para λ? 2. Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muesta aleatoria de una poblaci´on con distribuci´on de probabilidad dada por: f (x) = (α + 1)xα , 0 < x < 1, con α > 0. Sea θ = P (Xi < 12 ) ¿Cu´al es el estimador m´aximo veros´ımil para θ?

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Parcial 3

3. Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muesta aleatoria de una poblaci´on con distribuci´on de probabilidad dada por: x −x f (x) = 2 e β , x > 0, β con β > 0. ¿Cu´ al es el estimador de m´axima verosimilitud para β? 4. Sea X1 = 2, X3 = 3, X3 = 7, X4 = 6 una muestra aleatoria de una distribuci´on Poisson con par´ametro λ desconocido. Sea β = P (X = 0). ¿Cu´al es el EMV para β? 5. Sea X una v.a que representa la proporci´on de tiempo que un estudiante requiere para presenar cierta prueba de una hora. La funci´on de densidad de probabilidad de esta variable es: f (x) = (θ + 1)xθ , 0 < x < 1, Una m.a de 10 estudiantes que presentaron dicha prueba arroj´o los siguientes resultados: 0.92, 0.72, 0.90, 0.65, 0.86, 0.47, 0.73, 0.97, 0.52, 0.10. ¿Cu´al es el EMV para θ? 6. Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muesta aleatoria de una poblaci´on con distribuci´on de probabilidad exponencial, dada por: f (x) =−λx , x ≥ 0 Encuentre el estimador de m´ axima verosimilitud de λ. Estimadores 1. Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una distribuci´on con media µ desconocida y varianza σ 2 conocida. Considere los siguientes estimadores: µ ˆ1 =

X1 + 2X2 + 3Xn 6

µ ˆ2 =

4X1 + X2 − 2Xn 3

µ ˆ3 =

X1 + Xn 2

¿Cu´al es un mejor estimador para µ? 2. Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblaci´on con distribuci´on de probabilidad dada por: 2x , 0 < x < θ, θ2 con θ > 0. ¿Cu´ al de los siguientes es un estimador insesgado para θ? f (x) =

X1 + 2X2 + 3Xn θˆ1 = 6

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Parcial 3

X1 + X2 + Xn θˆ2 = 3 X1 + X2 + Xn θˆ3 = 2 3. Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de una poblaci´on con distribuci´on de probabilidad dada por: f (x) = con θ > 0. Sea θˆ =

X1 +X2 +Xn , 3

2x , 0 < x < θ, θ2

¿Cu´al es la varianza y el sesgo de este estimador?

4. Suponga que θˆ1 y θˆ2 son estimadores insesgados del par´ametro θ. Se sabe que V (θˆ1 ) = 10 y V (θˆ2 ) = 4. ¿Cu´ al estimador es un “mejor” estimador para θ y en qu´e sentido lo es? 5. Suponga que θˆ1 y θˆ2 son estimadores del par´ametro θ. Se sabe que E[θˆ1 ] = θ, E[θˆ2 ] = V (θˆ1 ) = 10, V (θˆ2 ) = 4. ¿Qu´e estimador es “mejor”? ¿En qu´e sentido lo es?

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θ 2,