U3_s5_ejercicios Para Actividad Virtual 4u6m50

MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS II CARRERAS PARA GENTE QUE TRABAJA

SEMANA 5

VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN 1. Determine los puntos críticos de las funciones: a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 12𝑥 + 10 b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 4 c. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 27𝑥 2. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: a. a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 12𝑥 − 5 b. b. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 c. 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 6𝑥 + 4 3. Analice los intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. a. b. c.

𝑥3

𝑥2

𝑓(𝑥) = 3 − 2 − 6𝑥 + 3 𝑓(𝑥) = −3𝑥 5 + 5𝑥 3 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 10

4. La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es: p 

80  q , 4

0  q  80

donde q es el número de unidades y p el precio por unidad, en dólares. ¿Para qué valor de q se tendrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo?

q2  3q  400 , donde C es 4 el costo total de producir q unidades. Si C está en dólares, ¿Para qué nivel de producción será el costo promedio un mínimo? ¿Cuál es este mínimo?

5. La función de costo total de un fabricante está dada por: C 

6. Un artículo en una revista de sociología afirma que, si ahora se iniciase un programa específico de servicios de salud, entonces al cabo de t años, “n” miles de personas adultas t3 recibiría beneficios directos, donde: n   6t 2  32t ; 0  t  12. 3 ¿Para qué valor de t es máximo el número de beneficiarios?

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7. La

función

de

demanda para el producto de un monopolista es de 3300 , donde q   70 ; 110  . Si el precio está en dólares por unidad, P ( q )   q  150  q

determine: a) El nivel de producción que maximiza el ingreso. b) El ingreso máximo. c)

El precio para ese ingreso.

8. La función de demanda para el producto de un monopolista es: p  1600  20 q , si el monopolista quiere que el nivel de producción se encuentre en 50  q  75 , donde “ q ” es el número de unidades producidas. Determine: a.

El nivel de producción que maximiza el ingreso.

b.

El ingreso máximo.

c.

El precio para ese ingreso.

9. La ecuación de costo promedio de un comerciante que vende pantalones está dada por: 3400 , donde C está en dólares y q es el número de unidades C  0, 6 q  60  q producidas. Determine: a.

El nivel de producción que minimiza el costo.

b.

El costo mínimo.

10. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es p  72  0, 04q , y la función de costo es C  500  30q . Si el costo está expresado en dólares, halle: a. b. c.

El nivel de producción que maximiza la utilidad. El precio que maximiza la utilidad. La utilidad máxima

11. El costo total de la producción de q unidades de cierto producto se describe mediante la función: 𝐶 = 100000 + 1500𝑞 + 0.2𝑞 2 donde C es el costo total expresado en dólares. Determine cuántas unidades q deberían fabricarse a fin de minimizar el costo promedio por unidad. 12.Un vendedor de enciclopedias recibe, como sueldo mensual, una cantidad fija de $500 más una comisión que depende del número de enciclopedias (x) que venda según la expresión: 𝐶(𝑥) = 100𝑥 − 0.25𝑥 3 ; 𝐶(𝑥): 𝑐𝑜𝑚𝑖𝑠𝑖ó𝑛. El vendedor debe correr con sus gastos, y tiene fijos de $100 mensual más otros variables, que estima en $7 por cada enciclopedia que vende. Se pide: a) Obtener la función que recoge el sueldo mensual del vendedor. b) Determinar la función de gastos. 2

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c) Obtener la función de beneficio (sueldos menos gastos) del vendedor. d) ¿Cuántas enciclopedias debe vender para obtener el máximo beneficio mensual?. Calcula dicho beneficio. 13.Los costos de fabricación 𝐶(𝑥) en dólares de cierta variedad de galletas dependen de la cantidad elaborada (𝑥 𝑒𝑛 𝑘𝑔) de acuerdo con la siguiente expresión: 𝐶(𝑥) = 10 + 1.7𝑥 El fabricante estima que el precio de venta (𝑒𝑛 $) de cada kilogramo de galleta viene dado por: 25𝑥 2 𝑃(𝑥) = 200 − 100 a) Suponiendo que vende todo lo que fabrica, obtener la función que recoge todas sus ganancias. b) ¿Qué cantidad de galletas le interesa producir para maximizar las ganancias?

14.Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en euros, viene dada en función de la cantidad invertida, x en euros, por medio de la expresión: 𝑅(𝑥) = −0.001𝑥 2 + 0.4𝑥 + 3.5 Deducir que cantidad de dinero convendrá invertir en dicho plan. ¿Qué rentabilidad se obtuvo en el caso anterior?

15.Una compañía de autobuses interprovincial ha comprobado que el número de viajeros (N) diarios depende del precio del boleto de pasaje (p) según la expresión: 𝑁(𝑝) = 300 − 6𝑝 Dar la expresión que nos proporciona los ingresos diarios (I) de esa compañía en función del precio del billete. ¿Qué ingreso diario se obtiene si el precio del billete es 15 euros? ¿Cuál es el precio del billete que hace máximo los ingresos diarios? ¿Cuáles son esos ingresos máximos? 16.Un comercio abre sus puertas a las nueve de la mañana, sin ningún cliente, y las cierra cuando se han marchado todos. La función que representa el número de clientes, dependiendo del número de horas que lleva abierto, es: 𝐶(ℎ) = −ℎ2 + 8ℎ El gasto por cliente decrece a medida que van pasando horas desde la apertura y sigue la función: 𝑔(ℎ) = 300 − 25ℎ a) ¿En qué hora se produce la mayor afluencia de clientes? b) ¿Cuánto gasta el último cliente? c) ¿Cuando hay mayor recaudación, en la cuarta o en la quinta hora? 17.Mediante ciertos estudios estadísticos, la empresa INKA S.A., determinó que la utilidad que obtiene sobre los ceniceros de cobre que fabrica en función del predio unitario de este artículo se efectúa según la ecuación siguiente: 𝑈(𝑝) = −1800𝑝2 + 100800𝑝 − 648000 Determinar: a) El precio que optimiza la utilidad. 3

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b) La utilidad máxima que se puede obtener. c) Los precios para los cuales la utilidad es nula d) La utilidad que se obtendrá si el artículo se vende a $30 por unidad. 18.Una empresa mayorista comercializadora de gas doméstico desea determinar cuál es el número óptimo de balones de gas que debe vender por mes para maximizar sus utilidades. El Gerente de comercialización determinó una fórmula que relaciona las utilidades con el número de balones de gas. Esta es: 3𝑥 2 𝑈(𝑥) = − + 9600𝑥 − 14400000 2 Determinar: a) La cantidad de balones que deben ser vendidos para maximizar las utilidades. b) Las cantidades mínima y máxima de balones de gas que se requiere vender para evitar pérdidas. c) La utilidad máxima que se puede realizar. 19.Suponer que la utilidad “p” diaria (en dólares) al fabricar “x” artículos se modela por: 𝑝(𝑥) = −0.01𝑥 2 + 5𝑥 − 400, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 300 Determine el número “x” de artículos que da lugar a la utilidad máxima. 20.Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, 𝑅(𝑥)𝑒𝑛 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠, viene dada en función de la cantidad que se invierta, 𝑥 𝑒𝑛 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠, por medio de la expresión siguiente: 𝑅(𝑥) = −0.001𝑥 2 + 0.5𝑥 + 2.5 a) ¿Qué cantidad de dinero le conviene invertir a un cliente en dicho plan? b) ¿Qué rentabilidad obtendría en ese momento?

21.Mediante análisis de regresión, la compañía “MERCADERES S.A.”, determinó que la ecuación de sus ingresos en función del número de artículos vendidos será: 1 2 𝐼(𝑥) = − 𝑥 + 245𝑥 420 Y que la ecuación de sus costos totales era: 𝐶(𝑥) = 42𝑥 + 3240000 Se pide: a) Determinar la cantidad óptima que se debe producir y vender, para maximizar la utilidad. b) Definir los valores de “x” para los cuales la utilidad es nula. 22.Dadas las funciones de ingreso y de coste total de una empresa: 11 235 28 para 2  x  5 I ( x)   x 2  x 54 108 27 3 C ( x)  x  1 para 2  x  5 4 siendo x la producción de la empresa en miles de unidades, determínese la producción para obtener el máximo beneficio.

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23.La demanda del producto de una compañía varía según el precio que le fije al producto. La compañía ha descubierto que el ingreso total anual R (expresado en miles de dólares) es una función del precio p (en dólares). En concreto, 𝑅 = 𝑓(𝑝) = −50𝑝2 + 500𝑝 a) Determine el precio que debería cobrarse con objeto de maximizar el ingreso total. b) ¿Cuál es el valor máximo del ingreso total anual?

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