Tmb-cm6-fcts-hyperboliques.pdf 5n1f34

Universit´e Claude Bernard Lyon 1 Ann´ee 2009-2010 Printemps 2010

PCSI L1 S1 - UE TMB Responsable : Alessandra Frabetti http ://math.univ-lyon1.fr/∼frabetti/TMB/

FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES 1. D´ efinitions : ex + e−x , D = R, I = [+1, +∞[. chx = 2 x −x e −e shx = , D = R, I = R. 2 shx ex − e−x thx = , D = R, I =] − 1, +1[. = x chx e + e−x chx ex + e−x coth x = , D = R∗ , I =] − ∞, −1[∪] + 1, +∞[. = x shx e − e−x 2. Valeurs particuli` eres : cos(0) = 1,

sin(0) = 0,

cot(0) = ±∞

tan(0) = 0,

3. Identit´ e hyperbolique : ch2 x − sh2 x = 1. 4. Expression de shx et thx en fonction de chx et de chx et coth x en fonction de shx : shx

= ±

p

ch2 x − 1

r thx

= ±

5. Relation avec l’exponentiel : 6. Formule de puissance :

1−

p sh2 x + 1 r 1 ± 1+ sin2 x

chx =

1 cos2 x

cot x =

chx + shx = ex

et

chx − shx = e−x .

(chx + shx)n = ch(nx) + sh(nx)

pour tout n ∈ N.

7. Formules d’addition : ch(x + y)

=

chxchy + shyshx

ch(x − y)

=

chxchy − shyshx

sh(x + y)

=

shxchy + shychx

sh(x − y)

=

shxchy − shychx

th(x + y)

=

thx + thy 1 + thxthy

th(x − y)

=

thx − thy 1 − thxthy

8. Formules de duplication : ch(2x) = ch2 x + sh2 x

sh(2x) = 2shxchx

th(2x) =

2thx 1 + th2 x

9. Formules de lin´ earisation : ch2 x =

ch(2x) + 1 2

sh2 x =

ch(2x) − 1 2

th2 x =

ch(2x) − 1 ch(2x) + 1

10. Formules de factorisation : chx − chy

=

shx + shy

=

x+y x−y 2sh sh 2 2 x+y x−y 2sh ch 2 2

11. Formules relatives aux variables oppos´ es : ch(−x) = chx

sh(−x) = −shx

th(−x) = −thx

1

coth(−x) = − coth x.