Tensor De Faraday 1m4m4f

INTEGRANTES: •

José Ramón Cornelio Torres

•

Kenyi Mayta Cangahuala

•

Renzo Torres Navarro

•

Hernan Manuel Cordero Pampa

Tensor de Faraday



El tensor de Faraday o también conocido como tensor de campo electromagnético nos va a representar las componentes ubicadas espacialmente que intervienen en el campo electromagnético.



El tensor de Faraday es un tensor covariante y antisimétrico



Veremos que la diagonal del tensor esta compuesta por elementos nulos

Demostración Partimos de la generalidad que la relación geométrica entre el tensor y el cuadripotencial es: 𝑭 = 𝒅𝑨 De donde:

𝑨∝

∅ = ,𝑨 𝒄

𝑐𝑜𝑛 ∅ 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑦 𝐴 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 vector magnético

Por lo que nos queda la siguiente expresión utilizando un sistema coordenado de Lorentz: 𝑭𝝁𝒗 = 𝝏𝝁 𝑨𝒗 − 𝝏𝒗 𝑨𝝁 Ahora para empezar a dar los valores para cada termino del tensor recordaremos que por electrodinámica: 𝝏𝑨 𝑬 = −𝜵∅ − , 𝝏𝒕

𝑩= 𝜵 ×𝑨

Por lo tanto los componentes de nuestro tensor serán:

𝑭𝟎𝟏 = 𝝏𝟎 𝑨𝟏 − 𝝏𝟏 𝑨𝟎 =

𝟏 𝝏𝑨𝒙 𝒄 𝝏𝒕

− −

𝝏 ∅Τ𝒄 𝝏𝒙

De la misma forma podemos obtener: 𝑭𝟎𝟐

𝑬𝒚 =− , 𝒄

𝑭𝟎𝟑

𝑬𝒛 =− 𝒄

=−

𝑬𝒙 𝒄

Para los índices espacial-espacial, tenemos que:

𝑭𝟏𝟐

=

𝝏𝟏 𝑨𝟐

−

𝝏𝟐 𝑨𝟏

𝝏𝑨𝒚 𝝏𝑨𝒛 =− + = −𝑩𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒚

Y de igual forma obtenemos que: 𝑭𝟏𝟑 = 𝑩𝒚 ,

𝑭𝟐𝟑 = −𝑩𝒙

Y para la diagonal vemos que: 𝑭𝝁𝝁 = 𝝏𝝁 𝑨𝝁 − 𝝏𝝁 𝑨𝝁 = 𝟎

Por último notamos de la expresión: 𝑭𝝁𝒗 = 𝝏𝝁 𝑨𝒗 − 𝝏𝒗 𝑨𝝁 = − 𝝏𝒗 𝑨𝝁 − 𝝏𝝁 𝑨𝒗 = −𝑭𝒗𝝁 𝑭𝝁𝒗 = −𝑭𝒗𝝁

Ahora habiendo obtenido todos los elementos, nuestro tensor obtendrá la siguiente forma:

Ejercicio de Aplicación Un alambre recto a lo largo del eje Z lleva una densidad de carga λ . Desplazando se a la dirección +Z a la velocidad V. Construir el tensor de campo en el punto (𝑥, 0,0,0).

Resolución 

Del tensor de Faraday



Sabemos que de la ley de Gauss a una distancia X del alambre es:

λ 𝐸= 𝑟Ƹ 2𝜋𝑒𝑜𝑟 

De la ley de Ampere el campo Magnético es :

𝑢𝑜λ𝑣 ෡ 𝐵= ∅ 2𝜋𝑟

Por lo tanto para el punto (𝑋, 0,0,0) tenemos :

λ 2𝜋𝑒𝑜𝑋



𝐸𝑥 =



𝐸𝑦 = 𝐸𝑧 = 0 𝑢𝑜λ𝑣 2𝜋𝑋



𝐵𝑦 =



𝐵𝑧 = 𝐵𝑥 = 0

Finalmente el tensor de campo en el punto será: