Tarea 2 Programacion Lineal 6f2j3x

4. La compañía X puede producir su principal artículo en dos departamentos diferentes. Cada departamento puede enviar lo producido al centro de control de calidad final 1 o al centro de control de calidad final 2, desde los cuales se remite a cualquiera de las cuatro líneas del empaque y envío de que dispone la empresa. El departamento 1 tiene capacidad para producir 80 unidades por hora y el departamento 2 para producir máximo 60 unidades por hora. Según las demandas esperadas, se ha programado que las líneas de empaque atiendan al menos las siguientes cantidades por hora: 30, 20, 40, 40 respectivamente. La siguiente tabla muestra los tiempos promedio (minutos) que se gasta en los diferentes movimientos de cada unidad del producto

El centro 1 de control de calidad, se demora 4 minutos para revisar un artículo y el centro 2 de control de calidad se demora 6 minutos. ¿Cómo debe organizarse el flujo de las unidades entre los departamentos productivos y las líneas de empaque y envío, pasando por algunos de los centros de control de calidad, de tal forma que se obtenga un mínimo tiempo total de producción? d) Dibujar la red respectiva. e) Resolver utilizando Solver de Excel, o Winqsb (para problemas de transbordo usar Redes). f) Plantear el problema como un problema de Programación lineal. NOTA: PARA PROBLEMAS DONDE NO HAY ENVIO ES DECIR NO HAY COMUNICACIÓN ENTRE EL ORIGEN Y DESTINO (O TRANSBORDO), CONSIDERAR EN LA FUNCION OBJETIVO UN COSTO DE 1000 PARA LA VARIABLE ASOCIADA, YA QUE SE QUIERE MINIMIZAR EL COSTO TOTAL. El modelo de Programación Lineal será: Minimizar: Costo Total = 10X13 + 9X14 + 12X23 + 11X24 + 24X35 + 1000X36 + 22X37 + 1000X38 + 19X45 + 23X46 + 20X47 + 23X48 Sujeta a: Capacidad de producción de cada departamento

X13 + X14 ≤ 80

Departamento P1

X23 + x24 ≤ 60

Departamento P2

Capacidad de Transbordo en cada centro X13 + X23 = X35 + X37 X14 + X24 = X45 + X46 + X47 + X48

Centro Calidad A Centro Calidad B

Demanda mínima en cada línea X35 + X45 ≥30 X46 ≥20 X37 + X47 ≥40 X48 ≥40 Con Xij ≥ 0 para todo ij.

5. Una empresa dedicada a la fabricación de componentes de ordenador tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600 piezas, respectivamente. Los costes de transporte, en soles por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta.

Determinar la cantidad de componentes que se debe enviar de cada fábrica a cada una de las tiendas. Utilizar el método de la Esquina Noroeste para la solución inicial y el método del Salto de Piedra para hallar la solución óptima.

En este tipo de problemas se exige que toda la producción sea distribuida a los centros de ventas en las cantidades que precisa cada uno; por tanto, no pueden generarse stocks del producto ni en las fábricas ni en los centros de ventas. En consecuencia, los 800 artículos producidos en la fábrica I deben distribuirse en las cantidades x, y, z a A, B y C, de manera que x + y + z = 800. Pero, además, si desde I se envían x unidades a A, el resto, hasta las 1000 necesarias en A, deben ser enviadas desde la fábrica II; esto es, 1000 - x unidades serán enviadas desde II a A. Del mismo modo, si desde I a B se envían y, el resto necesario, 700 - y, deben enviarse desde II. Y lo mismo para C, que recibirá z desde I y 600 - z desde II. En la siguiente tabla de distribución se resume lo dicho: Envíos

a la tienda A (1000)

a la tienda B (700)

a la tienda C (600)

Desde la fábrica I ( 800)

x

y

800 - x - y

Desde la fábrica II (1500)

1000 - x

700 - y

x + y - 200

La última columna la hemos obtenido de la siguiente forma: Como x + y + z = 800 , se tiene que z = 800 - x - y, de donde, 600 - z = 600 - (800 - x - y) = x + y 200. Ahora bien, todas las cantidades anteriores deben ser mayores o iguales que cero. Por tanto, se obtienen las siguientes desigualdades: x

0 ; 1000 - x

0;y

0; 700 - y

0 ; 800 - x - y

0 ; x + y - 200

0

Simplificando las desigualdades anteriores, se obtienen las siguientes inecuaciones: 1000

x

0 ; 700

y

0 ; 800

x+y

0

Recordemos que nuestro objetivo es abaratar al máximo los costes de transporte. Estos costes se hallan multiplicando las cantidades enviadas a desde cada fábrica a cada tienda por los respectivos costes de transporte unitario. Se obtiene: Z = f(x,y) = 3x + 2(1000 - x) + 7y + 2(700 - y) + (800 - x - y) + 6(x + y - 200) = 6x + 10y + 3000 En definitiva, el programa lineal a resolver es : Minimizar: sujeto a:

La región factible se da en la imagen del margen.

Z = 6x + 10y + 3000 1000 x 0 700 y 0 800 x+y 0

Sus vértices son A(200,0) ; B(800,0) ; C(100,700) ; D(0,700) y E(0,200). El coste, el valor de Z en cada uno de esos puntos, es:



en A, 4200



en B, 7800



en C, 10600



en D, 10000



en E, 5000

El mínimo se da en A , cuando x = 200 e y = 0. Luego, las cantidades a distribuir son: Envíos

a la tienda A (1000)

a la tienda B (700)

a la tienda C (600)

Desde la fábrica I ( 800)

200

0

600

Desde la fábrica II (1500)

800

700

0