Modul Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar 2e3a5z

MODUL

OLEH BURHANUDIN, S.Pd NIP. 1981 0305 2010 011 009

DINAS PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAHRAGA KOTA MATARAM SMA NEGERI 1 MATARAM JL. PENDIDIKAN NO. 21 TELP/Fax. (0370) 633625 MATARAM

MODUL FISIKA TORSI DAN KESEIMBANGAN

SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

1

Glossary ISTILAH Keseimbangan Statik

Partikel Benda tegar

Momen (momen gaya)

KETERANGAN Suatu keadaan di mana benda tidak bergerak baik rotasi maupun translasi. Benda yang ukurannya dapat diabaikan, sehingga dapat digambarkan sebagai suatu titik materi. Benda yang tidak berubah bentuknya bila dikenai gaya luar. Suatu besaran yang menyatakan kecenderungan suatu gaya untuk merotasi suatu benda terhadap porosnya.

Lengan momen

Panjang garis yang ditarik dari titik poros rotasi sampai memotong tegak lurus garis kerja gaya.

Kopel

Dua buah gaya sama besar, berlawanan arah, dan memiliki garis kerja yang sejajar, tetapi tidak berimpit, serta dapat menyebabkan benda berotasi dan tidak bertranslasi.

Momen kopel Titik berat


Momen yang dihasilkan oleh kopel. Titik yang terhadapnya gaya-gaya berat bekerja pada semua partikel benda itu sehingga menghasilkan momen resultan nol.

SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

2

PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini akan dipelajari tentang momen gaya, momen kopel, koordinat titik

tangkap gaya resultan, momen inersia, momentum anguler sebagai dasar untuk mempelajari tentang dinamika rotasi dan translasi. Pokok bahasan yang utama adalah berkaitan dengan

keseimbangan benda tegar. Pembahasannya diawali dengan keseimbangan partikel, yaitu benda tegar dipandang sebagai titik partikel. Kemudian dilanjutkan dengan bahasan titik berat

benda tegar. Setiap materi dijelaskan dengan teori singkat dan disertai contoh soal. Sebelum mempelajari materi keseimbangan benda tegar anda harus menguasai materi dinamika translasi dan rotasi.

B. Prasyarat Agar dapat mempelajari modul ini anda harus telah menguasai materi dinamika

translasi dan rotasi. Anda dituntut juga untuk menguasai hukum-hukum Newton tentang gerak, dapat menggambarkan gaya-gaya reaksi antara dua benda yang berinteraksi. C. Petunjuk

Penggunaan Modul

Pelajari daftar isi modul serta skema kedudukan modul dengan cermat dan teliti, karena

dalam skema modul akan tampak kedudukan modul yang sedang Anda pelajari ini di antara modulmodul yang lain.

Kerjakan pertanyaan dan soal dalam cek kemampuan sebelum mempelajari modul ini. Jika Anda mengalami kesulitan, pelajari materi dan contoh soal.

Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang penguasaan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kerjakan evaluasi atau tugas di akhir materi sebagai sarana latihan, apabila perlu dapat anda konsultasikan pada guru.

Kerjakan tes formatif dengan baik, benar dan jujur sesuai dengan kemampuan anda, setelah mempelajari modul ini.

Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka.

Bacalah referrensi lain yang berhubungan dengan materi modul agar Anda mendapatkan pengetahuan tambahan.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

3

D.

Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini, diharapkan anda dapat: Menjelaskan pengertian momen gaya.

Menjelaskan pengertian momentum sudut.

Menjelaskan kaitan momentum sudut dengan momen gaya.

Mengaplikasikan hukum kekekalan momentum sudut pada system yang berotasi. Mengaplikasikan hukum II Newton untuk gerak translasi dan rotasi benda tegar. Menjelaskan pengertian momen inersia.

Menghitung momen gaya dari gaya-gaya yang bekerja pada suatu benda tegar.

Menyatakan syarat yang diperlukan agar keseimbangan statis sistem partikel dapat terjadi. Menggunakan syarat keseimbangan statis sistem partikel untuk menyelesaikan soal-soal.

Menyatakan syarat yang diperlukan agar keseimbangan statis sistem benda tegar dapat terjadi

Menggunakan syarat keseimbangan statis sistem benda tegar untuk menyelesaikan soalsoal

Menghitung gaya reaksi pada batang yang ditumpu.

Menyatakan persamaan untuk menentukan koordinat pusat berat suatu benda. Menentukan koordinat pusat berat suatu benda.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

4

Kompetensi Kompetensi

Program Study Mata Pelajaran

: KESEIMBANGAN BENDA TEGAR : IPA

: FISIKA

Durasi Pembelajaran : SUB KOPETENSI

1.

Menjelaskan gerak

translasi, rotasi

dan

keseimbang an

tegar.

benda

jam @ 45 menit

KRITERIA UNJUK KERJA

Peristiwa translasi rotasi tegar

dan

benda

dijelaskan

LINGKUP BELAJAR

MATERI POKOK PEMBELAJARAN SIKAP

Materi

kompetensi ini

membahas tentang:

menggunakan

-Momen gaya

Newton.

keseimbanga

hukum

-Syarat

Berbagai gerak n. benda

tegar

digunakan konsep

momentum

PENGETAHUAN

Teliti

KETERAMPILAN

Pengertian

dalam

Menghitung

momen gaya

momen

menghitunG Momentum

pada

momen

anguler

benda tegar

rotasi benda

gaya

tegar

gaya

benda

pada Translasi dan Menghitung

Telitidalam

tegar

menghitung Titik

pusat

gaya reaksi

massa

yang

n bendategar

gaya

pada

reaksi

batang

yang ditumpu

padabatang Keseimbanga ditumpu

anguler.

Koordinat titik berat

benda

suatu

ditentukan secara

matematik.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

5

F. Cek

Kemampuan

Kerjakanlah soal-soal berikut ini, jika anda dapat mengerjakan sebagian atau semua soal

berikut ini, maka anda dapat meminta langsung kepada instruktur atau guru untuk mengerjakan soal-soal evaluasi untuk materi yang telah anda kuasai pada BAB ini

1. Jelaskan yang dimaksud dengan keseimbangan statik dan keseimbangan dinamik! Berikan syarat cukup untuk dua kesetimbangan tersebut.

2. Apa yang membedakan antara usaha dan momen gaya, di mana kedua besaran tersebut didefinisikan sebagai hasil kali gaya dan jarak?

3. Jika momen resultan terhadap suatu titik sama dengan nol, apakah momen resultan juga akan nol untuk titik lainnya? Beri penjelasan anda.

4. Dalam pernyataan momen gaya

= r x F , apakah r sama dengan lengan momen

jawaban anda dan berikan definisi tentang lengan momen.

Jelaskan

5. Apakah suatu benda dapat memiliki lebih dari satu momen inersia? Selain dari bentuk dan massa benda, informasi apa saja yang harus diberikan untuk menentukan momen inersia?

6. Sebuah piring diletakkan di atas meja putar horisontal yang dipasang pada poros vertikal tanpa gesekan. Piring mula-mula diletakkan pada bagian pinggir meja. Apa yang terjadi pada putaran meja jika piring digeser mendekati poros?

7. Apakah sebuah benda tegar dapat berada dalam keseimbangan translasi dan rotasi, tetapi tidak dalam keseimbangan statik? Berikan penjelasan anda dan contohnya.

8. Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaya dari gaya F1 = 100 N dan gaya F2 = 200 N terhadap poros di titik A dan titik C, jika AD = L, AB = L/2, dan AC = 3L/4.

9. Tentukan letak titik tangkap resultan gaya-gaya pada sistem dalam gambar di bawah ini. MODUL FISIKA TORSI DAN KESEIMBANGAN

SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

6

10. Seutas tali dililitkan mengelilingi sebuah silinder pejal bermassa M dan jari-jari R yang bebas

berputar mengitari sumbunya. Tali ditarik dengan gaya F. Jika silinder mula-mula diam, tentukan:

a) Percepatan sudut dan kecepatan sudut silinder pada saat t, nyatakan dalam variabel M, R, F, dan t.

b) Percepatan sudut dan kecepatan sudut silinder pada saat t = 3 s, jika M = 4 kg, R = 8 cm, dan F = 10 N.

11. Momen inersia sistem katrol pada gambar di

samping adalah I = 2 kg m2, sedangkan jari-jari

luar R1= 40 cm dan jari-jari dalam R2= 20 cm.

Massa beban m1 = 4 kg dan m2 = 2 kg. Jika percepatan gravitasi g = 10 m/s2, tentukan: (a)

percepatan sudut system katrol, (b) gaya tegang tali T1 dan T2.

12. Sebuah bangun berupa luasan memiliki bentuk dan ukuran seperti tampak pada gambar. Tentukan koordinat titik beratnya.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

7

Kegiatan Belajar 1. Kegiatan Belajar a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat: Menjelaskan pengertian momen gaya.

Menjelaskan pengertian momentum sudut.

Menjelaskan kaitan momentum sudut dengan momen gaya.

Mengaplikasikan hukum kekekalan momentum sudut pada sistem yang berotasi.

Mengaplikasikan hukum II Newton untuk gerak translasi dan rotasi benda tegar.

Menjelaskan pengertian momen inersia.

Menghitung momen gaya dari gaya-gaya yang bekerja pada suatu benda tegar.

Menyatakan syarat yang diperlukan agar keseimbangan statis sistem partikel dapat terjadi. Menggunakan syarat keseimbangan statis sistem partikel untuk menyelesaikan soal-soal.

Menyatakan syarat yang diperlukan agar keseimbangan statis sistem benda tegar dapat terjadi.

Menggunakan syarat keseimbangan statis sistem benda tegar untuk menyelesaikan soalsoal.

Menghitung gaya reaksi pada batang yang ditumpu.

Menyatakan persamaan untuk menentukan koordinat pusat berat suatu benda.

b. Uraian Materi a. Momen gaya Benda tegar didefinisikan sebagai benda yang tidak berubah bentuknya bila diberi gaya luar.

Momen gaya (dilambangkan ߬) didefinisikan sebagai kecenderungan suatu gaya untuk memutar suatu benda terhadap suatu sumbu.

Besar momen gaya yang ditimbulkan oleh gaya F diberikan oleh persamaan.߬ = d F dengan d adalah lengan momen dari gaya F, yaitu panjang garis yang ditarik dari titik poros rotasi sampai memotong tegak lurus garis kerja gaya. Perhatikan gambar berikut:


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

8

Bayangkan sebuah batang berengsel diputar pada poros di titik O dengan gaya F yang

membentuk sudut θ terhadap arah horisontal batang. Lengan momen d = r sinθ , sehingga

momen gaya menjadi:

= ( r sinθ ) F atau = r (F sinθ )

Dari persamaan ini dapat dinyatakan bahwa komponen gaya F yang cenderung

menyebabkan rotasi hanyalah F sinθ , yaitu komponen tegak lurus terhadap r. Komponen

horisontal F cos θ yang melewati titik poros O tidak menyebabkan gerak rotasi (mengapa?).

Jika terdapat dua atau lebih gaya yang bekerja pada batang (benda tegar), maka harus

diperhatikan kecenderungan arah memutar benda dari setiap gaya. Untuk menghitung momen gaya total akiat kedua atau lebih gaya perlu didefinisikan tanda dari momen gaya.

Sebagai perjanjian, tanda momen gaya dapat ditetapkan sebagai berikut: Momen gaya bertanda positif (+), jika gaya cenderung memutar benda searah putaran jarum jam.

Momen gaya

bertanda negatif (-), jika gaya cenderung memutar benda berlawanan

arah putaran jarum jam. Perhatikan gambar berikut:

Momen gaya total terhadap poros O dari gambar di atas adalah:

τ Total = τ 1 + τ 2 + ..... = F1 .r1 + F 2 .r2 + .... MODUL FISIKA TORSI DAN KESEIMBANGAN

SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

9

Satuan momen gaya adalah satuan panjang (m) dikalikan satuan gaya (N), yaitu m N.

Dari persamaan di atas dinyatakan bahwa besar momen gaya

τ

τ

dinyatakan sebagai:

= r (F sinθ ) , persamaan ini merupakan hasil kali silang (cross product) antara vektor

posisi titik kerja (r) dengan vektor gaya (F), ditulis:

τ

=r .F .

Contoh 1: Dari

gambar

di

samping,

tentukan

momen total terhadap poros O. Jarak OA

4m dan OB 8 m, gaya F1 = 10 N, dan F2 = 6 N.

Jawab:

Untuk gaya F1

r1 = OB = 8 m sin 37o = 0,6

Besar momen gaya τ1 = - F1. r1 sin37o = 8(10)(0,6) = - 48 Nm

Arah momen gaya searah perputaran jarum jam. Untuk gaya F2

r2 = OA = 4 m sin30o = 0,5

Besar momen gaya τ2 = F2. R2 sin30o = 4 (6)(0,5) = 12 Nm Arah momen gaya berlawanan arah perputaran jarum jam.

Momen gaya total adalah τTotal = - τ1 + τ2 = - 48 + 12 = -36 N.m Arah momen gaya total adalah searah perputaran jarum jam.

b. Momen Kopel Kopel adalah dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. Kopel yang

bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan momen kopel yang mengakibatkan benda berotasi.

Jika pada sebuah benda bekerja beberapa kopel, maka resultan momen kopelnya adalah jumlah aljabar dari masing-masing momen kopelnya, yaitu : M = M1 + M2 + M3 + ……………+Mn

Momen kopel (dilambangkan M) adalah perkalian antara gaya dengan jarak antara kedua gaya tersebut, dituliskan dalam perssamaan:


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

10

Gambar (a) menunjukkan sebuah kopel bekerja pada suatu benda. Untuk gambar (b menunjukkan bahwa kopel bertanda positif jika putarannya searah dengan perputaran jarum jam, tetapi jika perputaran kopel berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka kopel bertanda negatif seperti gambar (c). Contoh 2:

Batang PQ panjangnya 4m. Pada batang tersebut bekerja empat buah gaya F1 = F3 = 5N, dan F2 = F4 = 8N, seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan besar dan arah momen kopel pada batang PQ tersebut. Jawab:

Gaya F1 dan F3 yang berjarak d = 3m membentuk kopel yang arahnya searah perputaran jarum jam (+) dan besarnya: M1 = F .d = 5 . 3 = 15 N.m

Gaya F2 dan F4 yang berjarak d = 3m membentuk kopel yang arahnya berlawanan arah perputaran jarum jam (-) dan besarnya: M2 = F .d = 8 . 3 = - 24 N.m

Resultan momen kopel adalah: M = M1 + M2 = 15 - 24 = -9 N.m Tanda negatif (-),

menunjukkan bahwa momen kopel resultan arahnya berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.

c. Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan Jika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaya tersebut dapat diuraikan atas komponenkomponennya pada sumbu-X dan sumbu-Y. Misalkan,

komponen-komponen gaya pada sumbu-X adalah :Fx1 , Fx2 , Fx3 ,…….. Fxn yang jaraknya

masing-masing

terhadap

sumbu-X

adalah

:y1,

y2,

y3

,……..,yn

Sedangkan

komponenkomponen gaya pada sumbu-Y adal Fy1 , Fy2 , Fy3 ,…….. Fyn , yang jaraknya

masing-masing terhadap sumbu-Y adalah:x1, x2, x3 ,……..,xn Semua komponen gaya pada MODUL FISIKA TORSI DAN KESEIMBANGAN

SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

11

sumbu-X dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan Rx yang jaraknya yR dari sumbu-X,

demikian juga semua komponen gaya pada sumbu-Y dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan Ry yang jaraknya xR dari sumbu-Y.

Momen gaya resultan terhadap sumbu-X berlaku hubungan:

∑ R x = F x 1 + F x 2 + F x 3 + ......... + F xn

R x .Y R = F1 x . y 1 + F 2 x . y 2 + F 3 x . y 3 + ........ + F nx . y n

Momen gaya resultan terhadap sumbu-y berlaku hubungan:

∑ R y = F y 1 + F y 2 + F y 3 + ......... + F yn

R y .Y R = F1 y . x 1 + F 2 y . x 2 + F 3 y . x 3 + ........ + F ny . x n

Jadi koordinat titik tangkap gaya resultan adalah (xR, yR).

Perjanjian tanda untuk menggunakan persamaan koordinat titik tangkap gaya resultan adalah:

Fx bertanda +, jika arahnya ke kanan. Fy bertanda +, jika arahnya ke atas.

x bertanda +, jika arahnya ke kanan dari titik acuan.

Y bertanda +, jika arahnya ke atas dari titik acuan. Contoh 3:

Dari gambar di samping,

tentukan besar, arah, dan letak titik tangkap

resultan dari empat gaya. Jawab:

Semua gaya sejajar sumbu-Y, gaya ke atas positif dan ke bawah negatif, resultan gaya adalah: Ry = F1 + F2 + F3 + F4

= -3 + 5 + 7 – 2 = 7 N (arah ke atas)

Letak titik tangkap gaya resultan adalah:

X

X

R

=

F1 . X 1 + F 2 . X 2 + F 3 . X 3 + F 4 . X RX

R

=

− 3 . − 3 + 5 . − 1 + 7 . 2 + − 2 . 3 13 = = 1, 9 m 7 7


4

SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

12

d. Momen Inersia

Massa dalam gerak linier adalah ukuran kelembaman suatu benda, yaitu kecenderungan

untuk tidak mengalami perubahan gerak. Untuk gerak rotasi, kecenderungan untuk tidak mengalami perubahan gerak, selain ditentukan oleh massa, juga dipengaruhi oleh distribusi massa terhadap sumbu putar yang disebut momen inersia.

Momen inersia dari sebuah partikel bermassa m terhadap poros yang terletak sejauh r dari

massa partikel didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel tersebut terhadap kuadrat jarak dari titik poros, ditulis:

I=mr2

Jika terdapat banyak partikel masing-masing m1, m2, m3, …., dan mempunyai jarak r1, r2,

r3, …, terhadap poros, maka momen inersia total adalah penjumlahan momen inersia setiap partikel, yaitu:

Momen inersia benda tegar.

I = Σmi.r2 = m1.r12 + m2.r22 + m3.r32 + ….

Untuk benda tegar yang memiliki massa berbagai partikel (titik materi), momen inersia diperoleh dengan cara menjumlahkannya momen inersia setiap partikel.

Untuk benda tegar yang memiliki massa yang terdistribusi kontinu, momen inersia diperoleh dengan cara mengintegralkan momen inersia dari elemen massa dm yang berjarak r dari poros, yaitu:

I = ∫ r2 dm

Hasil perhitungan momen inersia dari berbagai bentuk benda tegar dapat dilihat pada gambar berikut:


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

13


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

14

Jika momen inersia benda terhadap pusat massa (Io) diketahui, maka momen inersia benda terhadap sebarang sumbu yang sejajar dengan sumbu pusat massa dapat ditentukan dengan persamaan:

I = Io m d 2

dengan d adalah jarak sumbu sejajar (yang baru) terhadap sumbu pusat massa, dan m adalah massa benda total. Contoh 4:

Empat buah benda disusun pada rangka

pada sumbu koordinat XY seperti tampak

pada gambar di samping. M1=M3=1kg,

M2=3kg, dan M4 = 2 kg. Tentukan momen

inersia sistem jika sumbu putarnya adalah

(a) sumbu Y, (b) sumbu yang tegak lurus bidang XY melalui titik O. Jawab:

(a) Jika sumbu-Y sebagai sumbu putar (poros), maka dari data soal dapat disimpulkan bahwa r1 = r3 = r4 = 0, dan r2 = 3 m, sehingga: I = m1.r12 + m2.r22 + m3.r32 + m4.r42

I = 1.0 + 3.32 + 3.0 + 2 .0 = 27 kgm2

(b) Jika sumbu putar tegak lurus bidang XY dan melalui titik O, maka diperoleh data-data: r1 = 2m, r3 = 0, r4 = 3m, dan r2 = 3 m, sehingga: I = m1.r12 + m2.r22 + m3.r32 + m4.r42

I = 1.22 + 3.32 + 3.0 + 2 .32 = 49 kgm2

Kaitan momen gaya dengan percepatan sudut. Perhatikan gaya tangensial F bekerja pada

sebuah partikel bermassa m, sehingga bergerak melingkar dengan jari-jari r dan menimbulkan percepatan tangensial aT, seperti tampak pada gambar di bawah ini. Hukum II Newton dapat ditulis: F = m aT Karena percepatan

tangensial

aT

=

r.α

,

maka

F = m rα , sehingga momen gaya dapat ditulis: F.r = m.r2 .α dengan I = m r

2

, yaitu momen

inersia partikel m terhadap poros berjarak r.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

15

Contoh 5:

Sebuah batu gerinda berbentuk silinder pejal berjari-jari 12 cm dan bermassa 1 kg diputar

dengan kelajuan 100 rad/s. Batu gerinda digunakan untuk mengasah pisau pahat. Pada

saat motor dipadamkan pisau ditekankan ke batu gerinda dan setelah 10 detik batu gerinda berhenti berputar. Tentukan gaya tangensial yang bekerja pada batu gerinda tersebut. Jawab:

Jari-jari r = 12 cm = 0,12 m Massa m = 1 kg

Kecepatan sudut awal ? o = 100 rad/s

Saat pisau ditekankan terjadi gaya gesek F sebagai gaya tangensial dan menghasilkan momen gaya τ yang memberikan perlambatan sudut α sampai batu gerinda berhenti ω= 0 selama t = 10 s.

Perlambatan sudut dihitung dengan persamaan:

ωt − ω0 0 − 100 = = 10 rad / s 2 t 10

α =

(tanda -, menunjukkan perlambatan).

Momen inersia batu gerinda berbentuk silinder pejal adalah:

I =

1 1 .m .r 2 = . 1 .( 0 ,12 ) 2 = 7 , 2 . 10 − 3 Kgm 2 2

2

Momen gaya: τ = I.α = 7,2.10-3.10 = -72x10-3 Nm

(tanda -, menunjukkan arah ? berlawanan dengan arah putaran batu gerinda).

Gaya gesek merupakan gaya tangensial yang dihasilkan oleh τ pada jarak r dari poros, sehingga:

τ − 72 . 10 − 3 τ = F .r , F = = = 0 ,6 N r 0 ,12

Jadi gaya tangensial yang bekerja pada batu gerinda adalah F = 0,6 N dengan arah berlawanan dengan arah gerak gerinda.

Contoh 6:

Sebuah silinder pejal bermassa 4 kg dan jari-jari 10 cm berada di atas bidang mendatar kasar. Silinder

ditarik dengan gaya mendatar F = 60 N pada sumbunya,

sehingga

bergerak

menggelinding.

Tentukan: (a) percepatan linier, (b) percepatan anguler (sudut), dan (c) gaya gesek. MODUL FISIKA TORSI DAN KESEIMBANGAN

SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

16

Jawab:

Massa m = 4 kg

Jari-jari r = 10 cm = 0,1 m Gaya F = 60 N Silinder

pejal

menggelinding,

sehingga

digunakan prinsip-prinsip gerak translasi dan

rotasi bersama-sama.

Momen gaya total: τ = f.r sehingga I.α = f.r

I= ½ mr2 dan α =a/r jadi : ½ mr2.a/r = f.r

f = ½ m.a

Persamaan gerak translasi: ΣF = m.a jadi F – f = m.a

F – ½ .ma = m.a jadi F = m.a + ½ .m.a

60 = 3/2.4 a …..a = 40 m/s2 Percepatan sudut: α = a/r = 40/0,1 =400 rad/s2 Gaya gesek f = ½.m.a = ½.4.40 = 80 N Contoh 7:

Seutas tali dililitkan pada sebuah katrol berbentuk

silinder pejal bermassa M = 2 kg dan jari-jari R = 20 cm. Pada ujung-ujung tali diberi beban yang

massanya masing-masing m1 = 4 kg dan m2 = 3 kg. Jika massa tali diabaikan, tentukan:

(a) percepatan linier masing-masing benda (b) percepatan anguler katrol

(c) gaya tegang tali pada m1 dan m2. Jawab:

massa katrol M = 2 kg

massa beban m1 = 4 kg massa beban m2 = 3 kg

jari-jari kstrol R = 20 cm = 0,2 m

Kita gambarkan diagram gaya untuk benda m1, m2, dan katrol seperti gambar di

bawah ini. Gambar (a) untuk m1, gambar (b) untuk m2, dan gambar (c) untuk katrol. Karena massa m1 ? m2, maka m1 akan bergerak linier ke bawah


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

17

Karena massa m1 > m2, maka m1 akan bergerak linier ke bawah dan m2 ke atas, serta

katrol berotasi ke kiri, (mengapa ?). Kita gunakan hukum II Newton untuk gerak translasi

m1 dan m2, serta gerak rotasi untuk katrol. Ingat !: arah gaya atau momen gaya positif (+), bila searah dengan arah gerak benda.

Gerak translasi m1 dan m2 sesuai denngan gambar (a) dan (b) adalah: Untuk m1:

F = m1 . a1………… m1g – T1 = m1 . a1 Untuk m2:

F = m2 . a2………… T2 - m2g = m2 . a2

……………………. ( # ) ……………………. ( ## )

Karena sistem m1 dan m2 bergerak bersama dalam waktu sama menempuh jarak sama pula (tali tak berubah panjangnya), maka berlaku: a1 = a2 = a, sehingga diperoleh m1g – T1 = m1 . a

dan T2 - m2g = m2 . a Jumlahkan persamaan *)

dengan persamaan **), diperoleh: T2 + T1 = (m2 - m1.) a + (m2 + m1.) g

(a) Jadi percepatan linier benda m1, m2, dan katrol M adalah sama, yaitu 1,25 m/s2 (b) Percepatan anguler katrol dihitung dengan α = a/r =1,25/0,2 = 6,25 rad/s2

(c) Gaya tegang tali: T1 = 35 N dan T2 = 33,75 N e. Momentum Anguler

Jika pada gerak linier kita mengenal momentum linier (p), maka pada gerak rotasi kita mengenal momentum sudut (L). Dalam gerak rotasi momen inersia (I) merupakan analogi

dari massa (m) dan kecepatan sudut (? ) merupakan analogi dari kecepatan linier (v), maka momentum sudut dapat ditulis dalam persamaan: L=I.ω

Seperti momentum linier, momentum sudut juga merupakan besaran vektor. Arah

momentum sudut L dari suatu benda yang berputar diberikan oleh aturan tangan kanan, yaitu: putar keempat jari yang dirapatkan sesuai dengan arah gerak rotasi, maka arah tunjuk


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

18

jempol menyatakan arah vektor momentum sudut. Jika lengan momen terhadap poros adalah r dan kecepatan linier v diberikan, maka momen inersia I = m r 2 dan kecepatan sudut ω = v / r dapat dihitung, sehingga momentum sudut dapat dihitung dengan persamaan: L = I . ω = m r 2.v/r jadi L = m.r.v

Hubungan momentum sudut dengan momen gaya. Gaya F merupakan kecepatan perubahan momentum, sehingga dapat ditulis:

F =

dP d (m .v ) d (m . w .r ) = = karenav dt dt dt

= w .r

dan jika kedua ruas dikalikan r diperoleh:

(

)

d m .ω .r 2 d (ω . I ) dL F .r = = ..... τ = dt dt dt Jadi momen gaya (τ) adalah turunan dari fungsi momentum sudut terhadap waktu.

Hukum kekekalan momentum sudut.

Jika tidak ada resultan momen gaya luar yang bekerja pada sistem (Στ= 0 ), maka

momentum sudut sistem adalah kekal (tetap besarnya), sehingga: tetap (kekal). Karena L = I ω , maka hukum kekekalan

dL =0 dt

momentum sudut dapat ditulis:

L1 = L2 =…… L = konstan

I1. ω1 = Ι2. ω2

Contoh 8: Seorang pesenam es berputar dengan kedua tangannya merapat ke tubuhnya dengan

kelajuan 2 rad/s. Untuk menghambat kelajuannya pesenam merentangkan kedua tangannya. Jika momen inersia saat tangannya terentang adalah 5 kg m2 dan saat merapat adalah 2,5 kg m2, maka tentukan kelajuan pesenam saat tangannya terentang. Jawab:

Keadaan pertama saat kedua tangan merapat. ω1 = 2 rad/s, dan I1 = 2,5 kg m2

Keadaan kedua saat kedua tangan terentang. ω2 = ?, dan I2 = 5 kg m2

Hukum kekekalan momentum sudut berlaku: I1. ω1 = Ι2. ω2

...... 2,5 .2 = 5. ω2

ω2 = 1 rad/s


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

19

f. Keseimbangan Partikel

Partikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan, sehingga dapat digambarkan

sebagai suatu titik materi. Jika gaya yang bekerja pada titik materi tersebut (partikel) tak seimbang, maka benda hanya bergerak translasi dan tak mengalami gerak rotasi.

Syarat keseimbangan statik untuk benda yang dianggap sebagai partikel adalah resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut sama dengan nol dan benda dalam keadaan

diam. Σ F = 0 Jika benda dalam keadaan bergerak dan Σ F = 0, maka benda dikatakan

seimbang dinamik.

Jika partikel terletak pada bidang XY dan gaya-gaya yang bekerja diuraikan pada sumbu X dan Y, maka syarat keseimbangan statiknya adalah: dengan

ΣFx = 0 dan ΣFy = 0

ΣFx = resultan gaya pada komponen sumbu X

ΣFy = resultan gaya pada komponen sumbu Y

Contoh 9: Sistem pada gambar di samping

dalam keadaan seimbang statik.

Jika beban W1 beratnya 300 N, tentukan W2, T1, T2, dan T3.

Jawab:

• Keseimbangan partikel dalam soal ini berkaitan dengan titik perpotongan gaya-gaya.

Titik perpotongan gaya dalam soal adalah pada titik A dan B. Data yang diketahui

adalah W1 = 300 N yang berkaitan dengan titik A, maka kita tinjau dahulu keseimbangan partikel di titik A.

• Gambar gaya-gaya dan uraian gaya pada titik A sebagai pusat sumbu koordinat. Komponen gaya T1:

Tx1 = T1 cos 600 = ½ T1 dan Ty1 = T1 sin 600 = ½ MODUL FISIKA TORSI DAN KESEIMBANGAN

T1

………………………………. ( 1 ) SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

20

Syarat keseimbangan:

ΣFx = 0 jadi T2 - Tx1 = 0 T2 = Tx1 ………………………………….. ( 2) Dan ΣFy = 0 jadi Ty1 – W = 0

Ty1 = W….. Ty1 = 300 N …………… ( 3 ) Sisipkan persamaan 1) ke persamaan 3), diperoleh: ½

T1 = 300 T1 = 200

N …………. ( 4 )

Sisipkan persamaan 4) ke persamaan 2), diperoleh: T2 = 200

. ½ =100

N

• Gambar gaya-gaya dan uraian gaya pada titik B sebagai pusat sumbu koordinat: Komponen gaya T3:

Tx3 = T3 cos 300 = ½

T3 dan

Ty3 = T3 sin 300 = ½ T3 Syarat keseimbangan:

ΣFx = 0 dimana Tx3 – T2 = 0 jadi Tx3 = T2 ½

T3 =100

jadi T3 =200 N

Dan ΣFy = 0 jadi Ty3 – W2 = 0 Ty3 = W2….. ½.200 = W2 jadi besar W2 = 100 N g. Keseimbangan Benda Tegar

Benda tegar berbeda dengan partikel, selain mengalami gerak translasi benda tegar juga mengalami gerak rotasi. Oleh karena itu benda tegar dalam keadaan seimbang

harus memenuhi dua syarat, yaitu syarat keseimbangan translasi dan syarat keseimbangan rotasi.

Syarat keseimbangan translasi.

ΣF = 0 dalam bidang XY, syarat keseimbangannya adalah: ΣFx = 0 dan ΣFy = 0

Syarat keseimbangan rotasi.

Στ= 0

Ada dua macam keseimbangan, yaitu keseimbangan statik dan keseimbangan dinamik. Benda dalam keadaan seimbang statik, jika benda diam dan seimbang. MODUL FISIKA TORSI DAN KESEIMBANGAN

SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

21

Benda dalam keadaan seimbang dinamik, jika benda bergerak dengan percepatan linier a = 0, dan percepatan sudut α = 0. Jadi benda dalam keadaan bergerak lurus

beraturan atau bergerak melingkar beraturan.

Langkah-langkah untuk menyelesaikan soal-soal keseimbangan statik benda tegar. Gambar sketsa soal berdasarkan data-data yang diberikan pada soal.

Tentukan benda tegar yang akan ditinjau. Gambar gaya-gaya yang hanya bekerja pada benda tegar tersebut dan berikan nama (lambang) setiap gaya.

Tentukan sumbu-X dan sumbu-Y sebagai sumbu koordinat, kemudian uraikan gayagaya menurut arah sumbu-X dan sumbu-Y.

Gunakan syarat keseimbangan translasi benda tegar, yaitu

ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 Pilihlah suatu titik sembarang sebagai poros sedemikian sehingga memudahkan untuk

menghitung gaya-gaya yang ditanyakan dalam soal. Sebagai poros pilihlah titik di mana pada titik tersebut tidak bekerja gaya yang ditanyakan, tetapi pada titik tersebut paling banyak bekerja gaya yang tak diketahui, sehingga momen gayanya sama dengan nol.

Gunakan syarat keseimbangan rotasi benda tegar, yaitu : Στ= 0

Contoh 10:

Sebuah jembatan homogen beratnya 8000 N dan panjangnya 10 m ditopang oleh dua penumpu A dan B pada kedua ujungnya, tampak seperti gambar di bawah . Sebuag bus

beratnya 4000 N mogok di atas jembatan pada jarak 2 m dari penumpu A. Jika sistem dalam keadaan seimbang statik, tentukan: (a) Gaya reaksi pada penumpu A dan B

(b) Besar dan letak gaya resultan yang bekerja pada jembatan dari titik A.

Jawab:

Gambar sketsa dan gaya yang bekerja pada jembatan.

Letak titik tangkap gaya berat jembatan ada di tengahtengah jembatan (sama dengan 5 m dari titik A).

Letak titik tangkap gaya berat bus adalah 2 m dari titik A . MODUL FISIKA TORSI DAN KESEIMBANGAN

SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

22

Gaya reaksi penumpu arahnya ke atas (sebagai gaya normal).

Syarat seimbang translasi. Karena hanya ada gaya vertical (searah sumbu Y), maka hanya ada satu syarat, yaitu: ΣFy = 0

ΝΑ + ΝB – Wj – Wb = 0

ΝΑ + ΝB – 4000 – 8000 = 0 jadi ΝΑ + ΝB = 12.000 N

(1)

Syarat seimbang rotasi dengan titik A sebagai poros. Στ= 0 ; - Wb.2 – Wj.5 + NB. 10 = 0

-4000.2 – 8000.5 + 10 NB = 0 maka -8000 – 40.000 = 10 NB NB =4800 N

(2)

Sisipkan persamaan 1 ) ke persamaan 2 ), sehingga: NA + 4800 = 12.000 jadi NA = 7200 N a) Jadi gaya reaksi di titik A (gaya normal di titik A) adalah 7200 N dan di titik B adalah 4800 N.

b) Gaya resultan: FR = Wj + Wb = 4000 + 8000 = 12000 N Letak gaya resultan dihitung dengan persamaan: (ingat dalam soal ini hanya ada dua gaya berat, yaitu Wb dan Wj).

FR. XR = Wj.5 + Wb.2 maka 12000 XR =40000 + 8000

1200. XR= 8000. 5+ 4000.2

jadi XR = 4 m

Jadi letak titik tangkap gaya resultan dari sistem di atas adala 4 m dari titik A.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

23

Contoh 11:

Batang PQ homogen beratnya 200 N panjang 5 m ditumpu pada titik A berjarak 2 m dari P dan di titik B berjarak 1 M dari Q. Pada jarak 0,5 m dari titik Q diberikan beban yang

beratnya W. Tentukan berat beban W maksimum sebelum batang PQ tepat terangkat dari penumpu di titik A.

Jawab:

Karena PQ = 5m, PA = 2m dan BQ = 1m, maka jarak BA = 2m

Letak titik berat ada di tengah-tengah, maka jarak titik berat dari titik B adalah 1,5m

Letak titik berat beban W adalah 0,5m dari titik B.

Batang PQ tepat akan terangkat di titik A, maka NA = 0 (mengapa ?)

Untuk menentukan berat beban W cukup kita gunakan syarat keseimbangan rotasi dengan poros di titik B, sehingga gaya NB tak memberikan momen terhadap titik B,

karena garis kerjanya melalui B. Στ= 0 ;

WPQ.1,5 – W. 0,5 + NA.0 = 0 200.1,5 – W.0.5 = 0 maka 300 – W. 0,5 = 0

W = 600 N

(Jadi berat beban maksimum adalah 600 N) MODUL FISIKA TORSI DAN KESEIMBANGAN

SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

24

Contoh 12: Batang

homogen

AB

beratnya

20N

panjang 1 m dalam keadaan seimbang,

seperti gambar di samping. Di titik A berengsel dan di titik B batang diikat dengan tali yang massanya diabaikan serta diberi beban 10 N.

Tentukan: (a) besar gaya tegang tali, (b) besar dan arah gaya reaksi pada engsel di titik A. Jawab

Komponen gaya tegang tali, Ty = T sin 300 = ½ T dan Tx = T cos 300 = ½

T

Berat batang AB, WAB = 20 N yang letak titik tangkapnya di tengahtengah, dan berat beban W = 10 N.

Syarat seimbang translasi: ΣFx = 0 dimana NAx – Tx = 0 ……. NAx = ½

T …………………. ( 1 )

ΣFy = 0 dimana NAy+ Ty – WAB – W = 0 NAy + ½ T– 20 – 10 = 0…………….. NAy = 30 – ½ T …………… ( 2 )

Syarat seimbang rotasi: Karena NAx dan NAy belum diketahui nilainya, maka untuk

menentukan nilai gaya tegang tali T digunakan titik A sebagai poros, sehingga NAx, NAy dan Tx tak menyebabkan momen gaya, karena garis kerja ketiga gaya tersebut melalui

titik A.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

25

Στ = 0 dimana WAB . 0,5 + W. 1 - Ty .1 = 0 20 . 0,5 + 10. 1 – ½.T.1 = 0 10 + 10- ½ T.1 = 0

jadi T = 40 N …………………………………. ( 3 )

Sisipkan persamaan 3) ke persamaan 2) dan 1), diperoleh: NAx = ½

40 = 20

N

NAy = 30 – ½ 40 = 10 N (tanda +, menunjukkan arah gaya normal NAy sesuai dengan gambar yang disketsa).

Nilai NA dihitung dengan teori vektor, yaitu resultan dua

buah vektor yang saling tegak lurus.

N

A

=

N

2 Ax

+ N

2 Ay

=

3 ) 2 + 10 2 = 10 13 N

( 20

Arah vektor gaya normal (θ ) dihitung dengan persamaan:

tg θ =

N Ay N Ax

=

10 θ = arctg 20 3

3 6

Jadi gaya tegang tali, T = 40 N, gaya reaksi engsel N reaksi engsel adalah arctg

A

= 10 √13 N , dan arah gaya

3 6

Contoh 13:

Sebuah tangga AB homogeny beratnya 100 N bersandar

pada

tembok

yang

licin

dan

bertumpu pada lantai kasar. Tangga AB

membentuk sudut 45o terhadap lantai. Jika tangga AB

tepat

akan

tergelincir,

maka

tentukan (a) gaya reaksi lantai dan tembok, (b) gaya gesek tangga terhadap lantai, dan

(c) koefisien gesek antara lantai dengan tangga.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

26

Jawab:

Gaya berat W = 100 N titik kerjanya

pada jarak ½ AB

Gaya normal pada tembok NB. Gaya normal pada lantai NA.

Gaya gesek lantai terhadap tangga

f, sedangkan antara dinding dan tangga tak ada gesekan.

Keseimbangan translasi: ΣFx = 0 dimana NB – f = 0 NB = f NB = NA.µ ………………………………….. ( 1 ) ΣFy = 0 dimana NA - W = 0 NA = W

… …………………………. ( 2 )

Sisipkan persamaan 2) ke persamaan 1), diperoleh:

NB = W . µ ………….......…… ( 3 )

Keseimbangan rotasi. Kita pilih titik A sebagai poros karena NA dan f belum diketahui nilainya, sehingga NA dan f tak menimbulkan momen gaya pada tangga AB. Στ = 0 dimana

W.( AC! )+ NB ( AB! ) = 0 W (1/2 AB cosθ) – NB AB Sin θ = 0

sisipkan persamaan 3)

1/2AB Cos 450.W = W. µ AB sin 450 µ=½

…………………………………. ( 4 )

Dari persamaan 2), bahwa NA = W

NA = 100 N

Dari persamaan 1), bahwa NB = NA.µ

NB = 100.1/2 = 50 N


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

27

h. Titik Berat

Titik berat atau pusat berat benda sebagai titik yang terhadapnya gaya-gaya berat bekerja pada semua partikel benda itu sehingga akan menghasilkan momen gaya resultan nol. Titik berat merupakan titik di mana gaya berat bekerja secara efektif.

Menentukan koordinat titik berat. Suatu benda tegar kita bagi atas banyak bagian

dengan berat tiap bagian adalah W1, W2, W3, …, Wn. Tiap bagian dapat dianggap

sebagai partikel dengan koordinat titik tangkap gaya beratnya adalah (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), …, (xn,yn). Sehingga koordinat titik berat benda tegar dapat dituliskan sebagai (xo,yo) dengan:

Xo = Yo =

X 1 .W 1 + X 2 .W 2 + X 3 .W 3 + ..... , dan W 1 + W 2 + W 3 + ....

Y1 .W 1 + Y 2 .W 2 + Y 3 .W 3 + ..... , W 1 + W 2 + W 3 + ....

Hubungan berat dengan massa benda adalah sebagai berikut: W = m g, sehingga W1 = m1 g, W2 = m2 g, W3 = m3 g, ….., Wn = mn g, jika percepatan gravitasi g dianggap

konstan (sama). Kita dapat menentukan titik pusat massa yang berimpit dengan titik berat, yaitu:

Xo = Yo =


X 1 .m 1 + X 2 .m 2 + X 3 .m 3 + ..... , dan m 1 + m 2 + m 3 + .... Y1 .m 1 + Y 2 .m 2 + Y 3 .m 3 + ..... m 1 + m 2 + m 3 + .... SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

28

Jika benda tegar berdimensi tiga, maka massa benda (m) dapat dinyatakan sebagai

hasil kali massa jenis (ρ) dengan volume (V), yaitu m = ρ V. Untuk benda-benda homogen akan memiliki massa jenis yang sama tiap-tiap bagian penyusunnya, sehingga ρ 1 = ρ 2 = ρ 3 = … = ρ . Jadi koordinat titik berat benda homogeny dapat ditulis:

Xo = Yo =

X 1 .V 1 + X 2 .V 2 + X 3 .V 3 + ..... , dan V 1 + V 2 + V 3 + ....

Y1 .V 1 + Y 2 .V 2 + Y 3 .V 3 + ..... V 1 + V 2 + V 3 + ....

Letak titik berat benda pejal homogen berdimensi tiga yang bentuknya teratur dapat

dilihat pada gambar berikut:


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

29

Jika tebal benda dapat diabaikan, maka benda dapat dianggap berbentuk luasan (dua dimensi), sehingga besaran volume untuk tiga dimensi sebanding dengan besaran luas

untuk dua dimensi. Letak koordinat benda tegar homogen berbentuk luasan memenuhi persamaan:

Xo = Yo =

X 1 . A1 + X 2 . A 2 + X 3 . A 3 + ..... , dan A1 + A 2 + A 3 + ....

Y1 . A1 + Y 2 . A 2 + Y 3 . A 3 + ..... A1 + A 2 + A 3 + ....

Letak titik berat bidang homogen dapat dilihat pada gambar berikut:

Jika benda berbentuk garis (memenjang), maka massa benda atau berat benda dapat

dianggap diwakili oleh panjangnya (L). Koordinat titik beratnya dapat ditentukan dengan persamaan berikut:

Xo = Yo =

X 1 . L1 + X 2 . L 2 + X 3 . L 3 + ..... , dan L1 + L 2 + L 3 + .... Y1 . L1 + Y 2 . L 2 + Y 3 . L 3 + ..... L1 + L 2 + L 3 + ....

Gambar berikut menunjukkan letak titik berat benda homogeny berbentuk garis, yaitu busur setengah lingkaran. Yo = 2R/P


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

30

Contoh 14:

Sebuah silinder pejal homogen tingginya 2R, bagian bawahnya berongga dengan bentuk setengah bola. tentukan letak titik beratnya.

Jawab:

Tentukan sumbu koordinat sebagai acuan pada gambar (jika dalam soal belum ditentukan).

Bangun gambar kita bagi menjadi dua bagian, yaitu silinder dengan titik berat Z1 dan pengurangan setengah bola pada alas dengan titik berat Z2.

Volume dan ordinat dari bangun tersebut adalah sebagai berikut:

# silinder: volume V1 = 2π R3 , ordinat y1 = R

1

# setengah bola: volume V2 = 2/3 π R3, ordinat y2 = 3/8 R (volume bertanda negatif, karena pengurangan volume setengah bola, sedangkan ordinat bertanda positif, karena letaknya pada sumbu Y positif).

# Koordinat susunan benda tegar tersebut adalah:

Yo =

21 R Y1 .V 1 + Y 2 .V 2 R . 2 π . R 3 + 3 / 8 . R . 2 / 3π R 3 = = V1 + V 2 + V 3 2 π . R 3 + 2 / 3π R 3 16

X0 = 0, karena sumbu Y merupakan sumbu simetri benda tersebut.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

31

Contoh 15:

Tentukan koordinat titik berat bangun luasan seperti pada gambar di bawah ini.

Jawab :

Bangun bidang di atas dibagi dalam dua bagian, yaitu segiempat bawah dan segitiga di atas dengan titik berat masing-masing Z1(x1,y1) dan Z2(x2,y2).

Luas, absis, dan ordinat masing-masing bangun adalah: Segiempat: A1 = 6(4) = 24, x1 = 3, dan y1 = 2.

Segitiga: A2 = (1/2)6(3)=9, x2=(1/3)6=2, dan y2=4+(1/3)3=5. Koordinat susunan benda tegar bentuk bidang tersebut:

Xo = Yo =

X 1 . A1 + X 2 . A 2 3 . 24 + 2 . 9 90 = = = 2 , 73 dan A1 + A 2 24 + 9 33

Y1 . A1 + Y 2 . A 2 2 . 24 + 5 . 9 93 = = = 2 ,82 A1 + A 2 24 + 9 33

Jadi koordinat titik berat bangun luasan tersebut adalah Zo(xo,yo), yaitu Zo(2,73 ; 2,82). MODUL FISIKA TORSI DAN KESEIMBANGAN

SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

32

Contoh 16:

Tentukan koordinat titik berat susunan empat buah kawat berbentuk bangun seperti gambar di samping.

Jawab :

Dari gambar di samping, panjang

kawat, letak absis dan ordinat titik beratnya adalah:

# kawat pertama: L1 = 4, x1 = 2, dan y1 = 4.

# kawat kedua: L2 = 4, x2 = 2, dan y2 = 2.

# kawat ketiga: L3 = 4, x3 = 4, dan y3 = 4.

# kawat keempat: L4 = 2, x4 = 4, dan y4 = 2.

koordinat susunan benda tegar bentuk garis (kawat) tersebut:

Xo =

2 .4 + 2 .4 + 4 .4 + 4 .2 40 X 1 . L1 + X 2 . L 2 + X 3 . L 3 + X 4 . L 4 = = L1 + L 2 + L 3 + L 4 4+4+4+2 14

X 0 = 2 ,86

Yo =

Y1 . L 1 + Y 2 . L 2 + Y 3 . L 3 + Y 4 . L 4 4 .4 + 2 .4 + 4 .4 + 2 .2 44 = = L1 + L 2 + L 3 + L 4 4+4+4+2 14

Y o = 3 ,14 MODUL FISIKA TORSI DAN KESEIMBANGAN

SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

33

i. Macam-macam Keseimbangan Macam-macam keseimbangan suatu benda dapat diperkirakan dengan memperhatikan

kedudukan titik beratnya ketika gangguan kecil terjadi. Kedudukan titik berat benda dapat naik, turun, dan tetap dari kedudukan semula bila gangguan kecil dihilangkan.

Keseimbangan statik benda tegar dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis, yaitu keseimbangan stabil, keseimbangan labil, dan keseimbangan netral.

Keseimbangan stabil (mantap), yaitu keseimbangan yang dialami benda tegar, jika gangguan kecil atau gaya diberikan pada benda tersebut kemudian dihilangkan, maka

benda akan kembali ke kedudukan seimbangnya semula. Ciri keseimbangan stabil adalah jika diberikan gaya atau gangguan, maka titik beratnya naik.

Keseimbangan labil (goyah), yaitu keseimbangan yang dialami benda tegar, jika

gangguan kecil atau gaya diberikan pada benda tersebut kemudian dihilangkan, maka

benda tidak kembali ke kedudukan seimbangnya semula, bahkan meninggalkan gangguan itu. Ciri keseimbangan labil adalah jika diberikan gaya atau gangguan, maka titik beratnya turun

Keseimbangan netral (indiferen), yaitu keseimbangan yang dialami benda tegar, jika gangguan kecil atau gaya diberikan pada benda, maka benda akan bergerak, tetapi jika

gaya dihilangkan, maka benda akan kembali diam pada kedudukan seimbangnya yang berbeda. Ciri keseimbangan netral adalah jika diberikan gaya atau gangguan, maka titik beratnya tetap (tidak naik maupun turun).

Contoh ketiga macam keseimbangan tersebut seperti tampak pada gambar xx di bawah ini.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

34

c. Rangkuman

Kecenderungan suatu gaya untuk memutar atau merotasi suatu benda terhadap suatu poros

diukur oleh suatu besaran yang disebut momen gaya (dilambangkan τ). Besar momen gaya diberikan oleh persamaan:

τ = d .F

dengan d adalah lengan momen, yaitu panjang garis yang ditarik dari titik poros rotasi sampai memotong tegak lurus garis kerja gaya. Momen gaya bertanda positif jika arah rotasi

searah dengan perputaran jarum jam. Sedangkan jika arah rotasi berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka momen gaya bertanda negatif.

Dua gaya sama besar dan berlawanan arah serta mempunyai garis kerja yang berbeda membentuk sebuah kopel. Momen yang dihasilkan oleh sebuah kopel sama dengan hasil kali

salah satu gaya dengan jarak tegak lurus antara garis kerja kedua gaya. Tanda momen kopel positif jika searah perputaran jarum jam dan negatif jika berlawanan arah perputaran jarum jam.

Bila dua atau lebih gaya sejajar bekerja pada sebuah benda, maka gaya-gaya tersebut dapat

diganti oleh satu gaya tunggal ekivalen yang sama dengan jumlah gaya-gaya itu dan bekerja pada sebuah titik yang disebut titik tangkap gaya resultan. Dalam sistem koordinat kartesius, absis dan ordinat titik tangkap gaya resultan diberikan oleh persamaan:

∑ R x = F x 1 + F x 2 + F x 3 + ......... + F xn

R x .Y R = F1 x . y 1 + F 2 x . y 2 + F 3 x . y 3 + ........ + F nx . y n ∑ R y = F y 1 + F y 2 + F y 3 + ......... + F yn

R y .Y R = F1 y . x 1 + F 2 y . x 2 + F 3 y . x 3 + ........ + F ny . x n

Momen inersia dari sebuah partikel bermassa m terhadap poros yang terletak sejauh r dari

massa partikel didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel tersebut terhadap kuadrat jarak dari titik poros, ditulis: I = m r

2

Untuk banyak partikel dituliskan: I =Σ m r2

Momentum sudut sistem partikel (benda tegar) dengan kecepatan sudut ω diberikan oleh:

L = ω. I . Jika lengan momen terhadap poros (r), dan kecepatan linier (v), maka momentum

sudut dituliskan: L = m r v . Untuk sistem terisolasi di mana resultan momen gaya luar pada

benda adalah nol, maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Momen gaya untuk gerak rotasi adalah laju perubahan momentum anguler, yaitu

τ = MODUL FISIKA TORSI DAN KESEIMBANGAN

dL dt SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

35

Syarat keseimbangan statik sistem partikel adalah resultan gaya yang bekerja pada partikel

adalah nol dan benda (partikel) dalam keadaan diam. ΣF = 0, dalam bidang: Σ Fx = 0 dan ΣFy = 0

Suatu benda tegar berada dalam keseimbangan statik, jika benda mula-mula diam dan memenuhi syarat: keseimbangan translasi Σ F = 0, dan keseimbangan rotasi Στ= 0. Titik berat atau pusat berat suatu benda adalah titik yang terhadapnya gaya-gaya berat

bekerja pada semua partikel benda itu yang menghasilkan momen resultan nol. Koordinat pusat berat (xo,yo) dihitung dengan persamaan:

Xo = Yo =

X 1 .W 1 + X 2 .W 2 + X 3 .W 3 + ..... , dan W 1 + W 2 + W 3 + .... Y1 .W 1 + Y 2 .W 2 + Y 3 .W 3 + ..... W 1 + W 2 + W 3 + ....

Untuk percepatan gravitasi tetap, berat W dapat diganti dengan massa m, benda homogen

berbentuk volum pejal berat W dapat diganti dengan massa V, luasan W diganti A, garis W diganti L.

Ada tiga jenis keseimbangan sebuah benda, yaitu: stabil, labil dan netral.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

36

d. Tugas Pertanyaan Konsep: 1. Jelaskan yang dimaksud dengan keseimbangan statik dan keseimbangan dinamik! Berikan syarat cukup untuk dua kesetimbangan tersebut.

2. Berikan penjelasan dan syarat di mana benda dapat dianggap sebagai partikel dan di mana benda dianggap sebagai benda tegar.

3. Apa yang membedakan antara usaha dan momen gaya, di mana kedua besaran tersebut didefinisikan sebagai hasil kali gaya dan jarak?

4. Jika momen resultan terhadap suatu titik sama dengan nol, apakah momen resultan juga akan nol untuk titik lainnya? Beri penjelasan anda.

5. Dalam pernyataan momen gaya τ = r . F , apakah r sama dengan lengam momen? Jelaskan jawaban anda dan berikan definisi tentang lengan momen.

6. Apakah suatu benda dapat memiliki lebih dari satu momen inersia? Selain dari bentuk dan massa benda, informasi apa saja yang harus diberikan untuk menentukan momen inersia?

7. Sebuah bola menggelinding dari keadaan diam menuruni sebuah bidang miring, gaya apakah yang menghasilkan momen yang menyebabkan percepatan sudut terhadap poros

melalui pusat massa? dan gaya apakah yang dihasilkan momen yang menyebabkan percepatan sudut terhadap poros melalui titik kontak dengan permukaan bidang?

8. Sebuah piring diletakkan di atas meja putar horisontal yang dipasang pada poros vertikal

tanpa gesekan. Piring mula-mula diletakkan pada bagian pinggir meja. Apa yang terjadi

pada putaran meja jika piring digeser mendekati poros?

9. Apakah sebuah benda tegar dapat berada dalam keseimbangan translasi dan rotasi, tetapi tidak dalam keseimbangan statik? Berikan penjelasan anda dan contohnya.

10. Sebuah tangga bersandar miring pada sebuah dinding. Manakah yang lebih aman dinaiki,

tangga yang bersandar pada dinding yang kasar dan bertumpu pada lantai yang licin atau tangga yang bersandar pada dinding yang licin dan bertumpu pada lantai yang kasar? Berikan penjelasan anda.

Pertanyaan Soal:

1. Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaya dari gaya F1 = 100 N dan gaya F2 = 200 N terhadap poros di titik A dan titik C, jika AD = L, AB =L/2, dan

AC = 3L/4.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

37

2. Tentukan letak titik tangkap resultan gaya-gaya pada sistem dalam gambar di bawah ini.

3. Seutas tali dililitkan mengelilingi sebuah silinder pejal bermassa M dan jari-jari R yang bebas berputar mengitari sumbunya. Tali ditarik dengan gaya F. Jika silinder mula-mula diam, tentukan:

(a) Percepatan sudut dan kecepatan sudut silinder pada saat t, nyatakan dalam variabel M, R, F, dan t.

(b) Percepatan sudut dan kecepatan sudut silinder pada saat t = 3 s, jika M = 4 kg, R = 8 cm, dan F = 10 N.

4.Momen inersia sistem katrol pada gambar di samping adalah I = 2 kg m2,

sedangkan jari-jari luar R1 = 40 cm dan jari-jari dalam R2 = 20 cm. Massa beban

m1 = 4 kg dan m2 = 2 kg. Jika

percepatan

tentukan:

gravitasi

g =

10 m/s2,

(a) percepatan sudut sistem katrol, (b) gaya tegang tali T1 dan T2.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

38

5. Perhatikan gambar di bawah ! Jika berat beban 200 N, tentukan gaya tegang tali T1 dan T2, dan T3.

6. Sistem dalam gambar di bawah ini berada dalam keadaan seimbang. Jika berat balok W1 = 400 N dan koefisien gesek static antara balok W1 dengan dengan meja adalah 0,4. Tentukan berat balok W2, dan gaya tegang tali T1 dan T2, dan T 3.

7. Batang PQ beratnya 400 N dan panjangnya 4 m. Jarak tumpuan PA adalah 3m dan di titik A

batang dapat berputar. Seseorang beratnya 600 N berjalan dari titik menuju Q. Berapa

jarak maksimum dari titik P agar batang tetap seimbang (ujung batang P hampir terangkat).

8. Batang AB beratnya 200 N dan engsel ditempatkan di titik A dan di titik C diikat ke tembok

dengan seutas tali yang massa dapat diabaikan. Di titik B diberikan beban yang beratnya 100N. Jarak AC = (3/4) AB. Jika sistem dalam keadaan seimbang tentukan: (a) tegangan tali, (b) besar gaya engsel.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

39

9. Susunan benda pejal homogeny yang terdiri dari silinder berongga dan setengah bola

terletak di atas lantai seperti tampak pada gambar. Tentukan jarak titik berat susunan benda tersebut dari lantai.



SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

40

e. Tes Formatif 1. Jika θ = 37o (sin θ = 0,6) dan sistem dalam gambar di bawah ini dalam keadaan seimbang, tentukan perbandingan berat W1 dengan W2.

2. Seseorang naik tangga homogen panjangnya 5 m yang disandarkan pada dinding vertikal yang licin. Berat tangga 300 N dan berat orang 700 N. Ujung bawah tangga berjarak 3 m

dari dinding. Bila orang tersebut dapat naik sejauh 3 m sesaat sebelum tangga itu tergelincir, maka tentukan koefisien gesekan antara lantai dan tangga.

3. Sebuah batang homogen AB panjang 4 m letak titik beratnya di tengah-tengah. Pada ujung A ditahan oleh penumpu dan pada ujung B diikat dengan tali dan diberikan beban yang

massanya 8 kg, seperti tampak pada gambar di bawah. Jika sistem dalam keadaan seimbang, tentukan massa batang AB.

4. Sebuah bola sepak massanya M, berjejari R, dan momen inersiaI = 2/3 M R menggelinding

menuruni suatu bidang miring dari ketinggian h. Jika percepatan gravitasi g, maka tentukan kelajuan bola sepak saat sampai di dasar bidang miring.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

41

5. Sebuah silinder yang beratnya W diletakkan

berimpit dengan dinding yang kasar dan di atas lantai yang kasar pula. Koefisien gesekan antara silinder dengan seluruh

permukaan adalah sama, yaitu µ= 0,3 .Bila gaya F=3W diberikan, maka tentukan nilai d agar silinder tersebut seimbang. A B

6. Tentukan letak titik berat benda berupa bidang diukur dari alasnya.

7. Sebuah bidang homogeny tampak seperti pada gambar di bawah . Tentukan letak titik beratnya terhadap sisi alasnya.

8. Sebuah silinder pejal berjari-jari R dan bermassa M dijadikan katrol untuk menimba air dari dalam sumur. Batang yang dijadikan poros licin sempurna. Seutas tali yang massanya dapat diabaikan digulung pada silinder, dan sebuah ember bermassa m diikatkan pada ujung tali. Tentukan percepatan ember saat jatuh ke dalam sumur dalam variabel M, m, dan percepatan gravitasi (g).

9. Sebuah bola pejal yang mempunyai massa 600 gram dan jari-jari 10 cm diputar pada

sumbunya yang melalui pusat bola tersebut dengan kecepatan sudut 400 rpm. Tentukan momentum sudut bola tersebut.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

42

f. Kunci Jawaban Tes Formatif 1. W1/W2 = 4/3

2. Koefisien gesek antara lantai dengan tangga µ = 0,4275. 3. Massa batang AB, m = 16 kg. 4. Kelajuan bola saat sampai di dasar, v = √6/5.gh 5. d = 0,4 R. 6. yo = 4R/π 7. y = 36,67 cm 8. Percepatan ember, a = m.g/m+1/2 M 9. Momentum sudut, L = 3,2x10-2 kg m2/s.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

43

g. Lembar Kerja TITIK BERAT BIDANG DATAR Tujuan :

Menentukan letak titik berat sebuah bidang datar

Alat-alat:

1. kertas karton 2. benang

3. bandul pemberat

4. Pensil

5. Penggaris

6. Paku

Langkah-langkah Kerja:

1. Siapkan sebuah karton yang bentuknya tak teratur, sebuah benang dengan pemberatnya dan tiang untuk menggantung tali (seperti gambar a).

2. Buatlah sebuah lubang, kemudian gantung benang dan pemberatnya tegak lurus melalui lubang tersebut (seperti gambar b). Tandai dengan garis pada karton sepanjang kedudukan benang tersebut.

3. Buatlah lubang kedua, kemudian gantung kembali benang dan pemberatnya tegak lurus

melalui lubang kedua tersebut (seperti gambar c). Tandai dengan garis pada karton sepanjang kedudukan benang tersebut.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

44

4. Kedua garis yang anda buat pada langkah ke-2 dan ke-3 akan berpotongan pada suatu titik. Titik potong inilah yang merupakan letak titik berat karton tersebut.

5. Ujilah ketepatan titik berat yang anda temukan pada langkah ke-4, dengan meletakkan titik

berat tersebut pada ujung sebuah paku. Jika karton dapat seimbang dalam kedudukan horisontal (tidak jatuh), maka anda telah menemukan letak titik berat karton dengan tepat.

6. Ulangi langkah ke-1 sampai ke-5 dengan bentuk karton yang lain. 7. Apa yang dapat anda simpulkan dengan kegiatan ini?


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

45

EVALUASI A. Tes Tertulis Kerjakan semua soal di bawah ini ! 1. Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaya dari gaya F1 = 100 N dan gaya F2 = 200 N terhadap poros di titik A dan titik C, jika AD = L, AB = L/2, dan

AC = 3L/4, (L dalam meter).

2.Momen inersia sistem katrol pada gambar di samping adalah I = 2 kg m2,

sedangkan jari-jari luar R1 = 40 cm dan jari-jari dalam R2 = 20 cm. Massa beban

m1 = 4 kg dan m2 = 2 kg. Jika

percepatan

tentukan:

gravitasi

g =

10 m/s2,

(a) percepatan sudut sistem katrol, (b) gaya tegang tali T1 dan T2.

3. Batang PQ beratnya 400 N dan panjangnya 4 m. Jarak tumpuan PA adalah 3m dan di titik A

batang dapat berputar. Seseorang beratnya 600 N berjalan dari titik menuju Q. Berapa

jarak maksimum dari titik P agar batang tetap seimbang (ujung batang P hampir terangkat).


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

46

4. Perhatikan gambar di bawah ! Jika berat beban 200 N, tentukan gaya tegang tali T1 dan T2, dan T3.

5. Sistem dalam gambar di bawah ini berada dalam keadaan seimbang. Jika berat balok W1 = 400 N dan koefisien gesek static antara balok W1 dengan dengan meja adalah 0,4. Tentukan berat balok W2, dan gaya tegang tali T1 dan T2, dan T 3.

6. Batang AB beratnya 200 N dan engsel ditempatkan di titik A dan di titik C diikat ke tembok

dengan seutas tali yang massa dapat diabaikan. Di titik B diberikan beban yang beratnya 100N. Jarak AC = (3/4) AB. Jika sistem dalam keadaan seimbang tentukan: (a) tegangan tali, (b) besar gaya engsel.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

47

7. Susunan benda pejal homogeny yang terdiri dari silinder berongga dan setengah bola

terletak di atas lantai seperti tampak pada gambar. Tentukan jarak titik berat susunan benda tersebut dari lantai.



SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

48

B. Tes Praktek

Bahan : batang kayu panjang 50 cm, kaca

Alat : busur derajat.

Langkah Kerja : 1. Letakkan kaca di atas meja secara vertikal. 2. Sandarkan batang kayu pada kaca di atas meja. 3. Geser alas batang kayu di atas meja ke arah menjauhi kaca, sehingga batang kayu tepat akan tergelincir. 4. Ukur sudut antara permukaan mendatar (meja) dengan batang kayu. 5. Karena dinding kaca licin, maka batang kayu dengan dinding tidak ada gesekan, sehingga gesekan hanya terjadi antara batang kayu dengan meja. Tentukan koefisien gesekan antara batang kayu dengan meja.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

49

Nama Peserta No. Induk Program Keahlian Nama Jenis Pekerjaan

LEMBAR PENILAIAN TES PESERTA

: : : :

PEDOMAN PENILAIAN No.

Aspek Penilaian

1

2

I

II

III

IV

V

VI

Perencanaan 1.1.Persiapan alat dan bahan 1.2.Analisis model susunan Sub total

Model Susunan 2.1.Penyiapan model susunan 2.2.Penentuan data instruksi pd model Sub total

Skor Maks

3

5 3 2 5

Kualitas Produk Kerja 4.1.Hasil perhitungan data 4.2.Hasil grafik dari data perhitungan 4.3.Hasil analis 4.4.Hasil menyimpulkan

5 10 10 10

Sikap/Etos Kerja 5.1.Tanggung jawab 5.2.Ketelitian 5.3.Inisiatif 5.4.Kemandirian

Sub total

Laporan 6.1.Sistematika penyusunan laporan 6.2.Kelengkapan bukti fisik Sub total

Total


5

3

10 8 10 7

Sub total

4

Catatan

2

Proses (Sistematika & Cara kerja) 3.1.Prosedur pengambilan data 3.2.Cara mengukur variabel bebas 3.3.Cara menyusun tabel pengamatan 3.4.Cara melakukan perhitungan data Sub total

Skor Perolehan

35

35 3 2 3 2

35 6 4

10

100

SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

50

KRITERIA PENILAIAN No 1 I

II

Aspek penilaian 2

Perencanaan 1.1.Persiapan alat dan bahan 1.2.Analisis model susunan

Model Susunan 2.1.Penyiapan model susunan 2.2.Penentuan data instruksi pada model

Kritiria Penilaian

Skor

Alat dan bahan disiapkan sesuai kebutuhan

2

3

Merencanakan menyusun model Model disiapkan sesuai dengan ketentuan Model susunan dilengkapi dengan instruksi penyusunan

III Proses (Sistematika & Cara kerja) 3.1.Prosedur pengambilan data Mengukur berat benda di udara dan 3.2.Cara mengukur variabel Bebas didalam zat cair Tinggi zat cair dalam pipa kapiler, sudut kontak zat cair dengan dinding pipa kapiler Kecepatan terminal benda dalam zat cair Massa jenis benda dan zat cair Melengkapi data pengamatan dan pengukuran dalam table Langkah menghitung konstanta gaya pegas 3.3.Cara menyusun tabel pengamatan 3.4.Cara melakukan perhitungan data IV Kualitas Produk Kerja Perhitungan dilakukan dengan 4.1.Hasil perhitungan data cermat sesuai prosedur 4.2.Hasil grafik dari data Pemuatan skala dalam grafik perhitungan dilakukan dengan benar 4.3.Hasil analis Analisis perhitungan langsung dengan metode grafik sesuai/saling mendukung 4.4.Hasil menyimpulkan 4.5. Ketepatan waktu


4

3 3 2

10 8

10 7

5 5 5

Kesimpulan sesuai dengan konsep teori

10

Pekerjaan diselesaikan tepatwaktu

10

SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

51

No V

Aspek penilaian

Sikap/Etos Kerja 5.1.Tanggung jawab 5.2.Ketelitian 5.3.Inisiatif

VI

5.4.Kemadirian

Laporan 6.1.Sistematika penyusunan Laporan 6.2.Kelengkapan bukti fisik


Kritiria Penilaian Membereskan kembali alat dan bahan setelah digunakan

Skor 3

Tidak banyak melakukan kesalahan

2

Memiliki inisiatif bekerja yang baik

3

Bekerja tidak banyak diperintah

2

Laporan disusun sesuai dengan sistematika yang telah ditentukan

6

Melampirkan bukti fisik

SMAN 1 MATARAM

4

(BURHANUDIN,S.Pd)

52

DAFTAR PUSTAKA Halliday dan Resnick, 1991. Fisika jilid 1 (Terjemahan) Jakarta: Penerbit Erlangga. Bob Foster, 1997. Fisika SMU. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Gibbs, K, 1990. Advanced Physics. New York: Cambridge University Press. Martin Kanginan, 2000. Fisika SMU. Jakarta: Penerbit Erlangga. Tim Dosen Fisika ITS, 2002. Fisika I. Surabaya: Penerbit ITS.

Sutresna, N, 2001. Kimia SMU. Jakarta: Grafindo media pratama.


SMAN 1 MATARAM

(BURHANUDIN,S.Pd)

53

Modul Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar 2e3a5z

Overview 1s532p

More details 6h715l

Related Documents 2w1qw

Modul Rotasi Dan Keseimbangan Benda Tegar 2e3a5z

Modul Kesetimbangan Benda Tegar Dan Dinamika Rotasi dh6u

Keseimbangan Benda Tegar 192q61

Bab 6 ( Dinamika Rotasi Keseimbangan Benda Tegar ) y4l3s

Rumus Keseimbangan Benda Tegar 1nw3g

Keseimbangan Benda Tegar 192q61