Mecanica Orbital 2y6g1x

Mecánica orbital

Satélites

Leyes de Kepler 1. Los planetas se mueven en un plano, las órbitas descritas son elipses con el Sol en uno de los focos (1602). 2. El vector del sol al planeta barre áreas iguales en tiempos iguales (la ley de áreas, 1605). 3. La relación del cuadrado del periodo (P) de la revolución de un planeta alrededor del sol y el cubo del eje semi-mayor de la elipse es la misma para todos los planetas (1618).

1ra ley de Kepler • Llevando la primera ley de Kepler a los satélites, se toma como foco el centro de la tierra , considerando que el satélite tiene una masa mucho menor a la de la tierra. a = semi-eje mayor b = semi-eje menor c = distancia entre el centro de la elipse y el punto focal c = a*e e= 1−

𝑏 2 𝑎

= 𝑒𝑥𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

0≤e<1 (e en el caso de un circulo es 0) R = radio de la tierra r, 𝜃

2da ley de Kepler • La segunda ley dice que el área barrida por el vector de radio en unidad de tiempo es constante, lo cual explica por que un satélite es mas lento en el apogeo de su orbita y tiene mayor aceleración en el perigeo.

3ra ley de Kepler 𝑃2 = 𝑘 ∗ 𝑎3 Donde: P = periodo de rotación a = semi-eje mayor k = constante de proporcionalidad En el caso de un satélite alrededor de la tierra;

𝑘 = 4𝜋

2

𝐺𝑀𝑇

Solución de Newton • Newton extendió el trabajo de Kepler y en 1667 desarrollo la ley universal de la gravitación y reveló el significado físico de las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. • La ley de la gravitación universal dice que: “Dos cuerpos de masas 𝑚1 y 𝑚2 se atraen entre ellos con una fuerza que es proporcional a sus masas e inversa al cuadrado de la distancia entre ellas (r)”.

Solución de ecuaciones de Newton • Considerando dos cuerpos, donde el de mayor masa se toma como punto fijo y el de menor masa gira alrededor de el anterior, se tiene una fuerza que resulta:

• 𝐹=

𝐺𝑚1 𝑚2 − 𝑢𝑟 2 𝑟

• La expresión puede describir la fuerza de la tierra actuando sobre un satélite.

• Tomando la magnitud: 𝐺𝑚1 𝑚2 𝐹= 𝑟2 Donde: 𝐺 = constante universal de gravitación. = 6.672 ∗ 10 Sí

𝑚1 = masa de la tierra. = 5.974 ∗ 1024 Kg

Entonces el producto G* 𝑚1 , tiene un valor: 𝜇 = 𝐺 ∗ 𝑚1 = 3.986 ∗

3 14 𝑚 10 𝑠2

−3

𝑚3 𝐾𝑔𝑠 2

Comprobación de la segunda ley de Kepler por Newton • Considere un planeta de masa 𝑀𝑃 que se mueve en torno al Sol en una órbita elíptica. La fuerza gravitacional que actúa sobre el planeta siempre es a lo largo del radio vector, dirigido hacia el Sol. El torque que actúa sobre el planeta debido a esta fuerza es cero puesto que 𝐹 es paralelo a 𝑟.

𝜏 = 𝑟×𝐹 =𝑟×𝐹 𝑟 𝑟 =0

Recordemos que el torque es igual a la tasa de cambio en el tiempo del momento angular 𝑑𝐿 𝜏= 𝑑𝑡 Por lo tanto, debido a que 𝜏 = 0, el momento angular 𝐿 del planeta es una constante del movimiento:

L = 𝑟 × 𝑝 = 𝑀𝑃 𝑟 × 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 • Ya que L es una constante del movimiento, el movimiento del planeta en cualquier instante está restringido al plano formado por 𝑟 y 𝑣. Este importante resultado significa que: Tanto el momento angular como la energía total del sistema son constantes del movimiento.

Podemos relacionar este resultado con la siguiente consideración geométrica. El radio vector 𝑟 barre un área 𝑑𝐴 en un tiempo 𝑑𝑡. Esta área es igual a la mitad del área 𝑟 × 𝑑 𝑟 del paralelogramo formado por los vectores 𝑟 y 𝑑𝑟. Puesto que el desplazamiento del planeta en un tiempo 𝑑𝑡 es 𝑑𝑟 = 𝑣𝑑𝑡, obtenemos:

1 1 𝐿 𝑑𝐴 = 𝑟 × 𝑑 𝑟 = 𝑟 × 𝑣𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 2 2 2𝑀𝑃 𝑑𝐴 𝐿 = = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑡 2𝑀𝑃 Donde L y 𝑀𝑃 son constantes del movimiento, concluyendo que el vector del radio del sol al planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales.

Comprobación de la tercera ley de Kepler por Newton • La tercera ley de Kepler puede predecirse a partir de la ley de gravitación universal. • Considere un planeta de masa 𝑀𝑃 que se mueve alrededor del Sol de masa 𝑀𝑆 en una órbita circular. Puesto que la fuerza gravitacional ejercida sobre el planeta por el Sol es igual a la fuerza central necesaria para mantener al planeta moviéndose en un círculo:

𝐺𝑀𝑆 𝑀𝑃 𝑀𝑃 𝑣 2 = 2 𝑟 𝑟 • Sin embargo, la velocidad orbital del planeta es simplemente 2πr/T donde T es su periodo; por lo tanto, la expresión anterior se convierte en: 𝐺𝑀𝑆 𝑀𝑃 2𝜋𝑟/𝑇 2 = 2 𝑟 𝑟 2 4𝜋 𝑇2 = 𝑟 3 = 𝐾𝑆 𝑟 3 𝐺𝑀𝑆

• La ecuación anterior es la tercera ley de Kepler y es válida también para órbitas elípticas si sustituimos r por la longitud del semieje mayor (a). • Además que la constante de proporción 𝐾𝑆 es independiente de la masa del planeta.