Informe - Circulo De Mohr 471fa

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE INGENIERIA DE MINAS “CIRCULO DE MOHR” INTEGRANTES: VALDIVIEZO ROSAS, Willan Adrián ROJAS MARCOS, Jhonatan HILARIO ARTEAGA Jefferson Joel MOSTACERO MAURICIO, Jessica NEGREIROS GARCIA, Andrés CORTEZ GUARNIZ, Jorge PEREDA SOLORZANO, Brayan

TRUJILLO -2015

RESISTENCIA DE MATERIALES | CIRCULO DE MOHR

RESISTENCIA DE MATERIALES | CIRCULO DE MOHR

CIRCULO DE MOHR 1. BREBE RESEÑA. Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza. Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones. 2.

CÍRCULO DE MOHR PARA DETERMINAR UN ESFUERZO.

El uso del círculo de Mohr permite entender mejor el caso general de esfuerzo en un punto; Se puede demostrar que las ecuaciones de los esfuerzos normal y cortante en un punto situado en cualquier dirección pueden combinarse y ordenarse en la forma de la ecuación de un círculo. El círculo permite un cálculo rápido y exacto de:

    

Los esfuerzos principales máximo y mínimo. El esfuerzo cortante maximo. Los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante maximo. El esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo cortante máximo que actúa en él elemento sometido al esfuerzo cortante máximo. La condición de esfuerzo a cualquier orientación angular del elemento sometido a esfuerzo.

Se puede utilizar el procedimiento descrito a continuación para dibujar el círculo de Mohr. En la figuras siguiente se ilustra un ejemplo a medida que se van describiendo los pasos. Los pasos se muestran en la figura con el elemento sometido a esfuerzo inicial requerido para el paso 1 incluido. Para este ejemplo utilizamos el elemento sometido a esfuerzo inicial generalizado con 𝜎𝑥 de tensión (positivo), 𝜎𝑦 de compresión (negativo) y 𝜏𝑥𝑦 actuando en sentido contrario al de las manecillas del reloj. La apariencia del círculo será diferente en los problemas que implican esfuerzos que actúan en direcciones diferentes.

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Figura 1: Pasos del 1 al 7 del procedimiento de construcción del círculo de Mohr.

En este ejemplo no se utilizan datos numéricos y los resultados se dan en forma de símbolos para demostrar la naturaleza de las cantidades que integran el círculo de Mohr completo. Más adelante en este capítulo se presentan varios problemas con valores numéricos reales.

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Figura 2: Círculo de Mohr terminado.

Figura 3: Forma general de los resultados finales del análisis con el circulo de Mohr.

RESISTENCIA DE MATERIALES | CIRCULO DE MOHR El círculo de Mohr se traza en un sistema de ejes perpendiculares con el esfuerzo cortante, 𝜏, marcado verticalmente y los esfuerzos normales, 𝜎, horizontalmente, como se muestra en la figura 1. En este libro se utiliza la siguiente convención. Convenciones de signos:    

3.

Los esfuerzos normales positivos (de tensión) actúan hacia la derecha. Los esfuerzos normales negativos (de compresión) actúan hacia la izquierda. Los esfuerzos cortantes que tienden a girar el elemento sometido a esfuerzo en sentido de las manecillas del reloj se marcan hacia arriba en el eje 𝜏. Los esfuerzos cortantes que tienden a girar el elemento sometido a esfuerzo en sentido contrario al de las manecillas del reloj se marcan hacia abajo.

PROCEDIMIENTO PARA TRAZAR EL CÍRCULO DE MOHR 1. Identifique la condición de esfuerzo en el punto de interés y represéntelo como el elemento sometido a esfuerzo inicial como se muestra en la figura 1. 2. La combinación de 𝜎𝑥 y 𝜏𝑥𝑦 se marca como punto 1 en el plano 𝜎 − 𝜏. 3. La combinación de 𝜎𝑦 y 𝜏𝑦𝑥 se marca entonces como punto 2. Observe que 𝜏𝑥𝑦 y 𝜏𝑦𝑥 siempre actúan en direcciones opuestas. Por consiguiente, un punto se marcará arriba del eje 𝜎 y el otro debajo. 4. Trace una línea recta entre los dos puntos. 5. Esta línea corta el eje en el centro del círculo de Mohr, el cual también es el valor del esfuerzo normal promedio aplicado al elemento sometido a esfuerzo inicial. El centro se localiza con los datos utilizados para marcar los puntos o se calcula con la ecuación mencionada aquí:

𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚=1(𝜎 2

𝑥 + 𝜎𝑦 )

Por comodidad, designe el centro como O. 6. Identifique la línea que parte del punto O y pasa por el punto 1 (𝜎𝑥 ,𝜏𝑥𝑦 ) como eje x. Esta línea corresponde al eje x original y es esencial para correlacionar los datos del círculo de Mohr con las direcciones originales x y y. 7. Los puntos O, 𝜎𝑥 y el punto 1 forman un triángulo rectángulo importante porque la distancia del punto O al punto 1, la hipotenusa del triángulo, es igual al radio del círculo, R. Si llamamos a y b a los otros dos lados, se pueden hacer los cálculos siguientes. 1

𝑎 = 2 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) 𝑏 = 𝜏𝑥𝑦 1

𝑅 = √𝑎2 + 𝑏 2 = √(2 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ))2 + 𝜏𝑥𝑦 2 La longitud del radio del círculo de Mohr es igual a la magnitud del esfuerzo cortante máximo.

RESISTENCIA DE MATERIALES | CIRCULO DE MOHR Los pasos 8–11 se muestran en la figura 2. 8. Trace el círculo completo con el centro en O y el radio R. 9. Trace el diámetro vertical del círculo. Las coordenadas del punto situado en la parte superior del círculo son (𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 , 𝜎𝑚𝑎𝑥 ) donde el esfuerzo cortante actúa en sentido de las manecillas del reloj. El punto situado en la parte inferior del círculo representa (𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 , 𝜎𝑚𝑎𝑥 ) donde el esfuerzo cortante actúa en sentido contrario a las manecillas del reloj. 10. Identifique los puntos en el eje s en los extremos del diámetro horizontal como 𝜎1 a la derecha (el esfuerzo principal máximo) y 𝜎2 a la izquierda (el esfuerzo principal mínimo). Observe que el esfuerzo cortante es cero en estos puntos. 11. Determine los valores de 𝜎1 y 𝜎2 con: 𝜎1 = O + 𝑅 𝜎2 = O − 𝑅 Donde “O” representa la coordenada del centro del círculo, 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 , y R es su radio. Los pasos siguientes determinan los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máximo. Un concepto importante a recordar es que los ángulos obtenidos con el círculo de Mohr son el doble de los ángulos verdaderos. 12. La orientación de elemento sometido a esfuerzo principal se determina calculando el ángulo que forma el eje x con el eje “𝜎1 ”, designado 2∅ en la figura 2. Con los datos que contiene el círculo se puede ver que: 𝑏

2∅ = 𝑡𝑎𝑛𝑔−1 (𝑎) Los problemas que provocan los signos del ángulo resultante se evitan considerando la dirección del eje x al eje 𝜎1 en el círculo, en el sentido de las manecillas del reloj en este ejemplo. Entonces el elemento sometido a esfuerzo principal se hace girar en la misma dirección a partir del eje x en una cantidad para localizar la cara en la cual actúa el esfuerzo principal máximo, 𝜎1 . 13. Trace el elemento sometido a esfuerzo principal en su orientación apropiada determinada con el paso 12, con los dos esfuerzos principales 𝜎1 y 𝜎2 mostrados [vea la figura 3 (a) y (b)]. 14. La orientación del elemento sometido a esfuerzo cortante máximo se determina con el ángulo del eje x al eje 𝜎𝑚𝑎𝑥 , designado 2∅′ en la figura 2. En este ejemplo. 2∅′ = 90 − 2∅ Con trigonometría se puede demostrar que esto equivale a determinar la tangente inversa de a/b, el recíproco del argumento utilizado para determinar 2. Por tanto, es una evaluación efectiva para determinar el ángulo de orientación del elemento en el cual actúa el esfuerzo cortante máximo. De nueva cuenta los problemas con signos para el ángulo resultante se evitan considerando la dirección del eje x al eje 𝜏𝑚𝑎𝑥 en el círculo, en el sentido de las manecillas del reloj en este ejemplo. Entonces el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo se hace girar en la misma dirección a partir del eje x en una cantidad ∅′ para localizar la cara en la cual actúa el esfuerzo cortante máximo.

RESISTENCIA DE MATERIALES | CIRCULO DE MOHR 15. Trace el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo en su orientación apropiada, determinada con el paso 14, con los esfuerzos cortantes y el esfuerzo normal promedio en las cuatro caras [vea la figura 3 (c)]. En general, la figura 3 es el resultado deseado de un análisis con el círculo de Mohr. Se muestra el elemento sometido a esfuerzo inicial que establece los ejes x y y, el elemento sometido a esfuerzo principal con su rotación apropiada con respecto al eje x, y el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo también se traza con su orientación apropiada con respecto al eje x.

4.

APLICACIONES DEL CÍRCULO DE MOHR.

Diseño de ejes sujetos a esfuerzos de flexión y cortante combinados. Cálculo de esfuerzos tridimensionales. Tensión triaxial. Tensiones tangenciales máximas. Presión de fluidos. Profundidad. Cohesión. Sistema magmático. Geotecnia.

5.

CIRCUNFERENCIA BIDIMENSIONAL.

DE

MOHR

PARA

ESFUERZOS

PARA

CASO

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

(𝝈𝒙 , −𝝉) Medida 2: (𝝈𝒚 , 𝝉) Medida 1:

Figura 4: Circunferencia de Mohr para un estado de tensión bidimensional.

RESISTENCIA DE MATERIALES | CIRCULO DE MOHR Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal (𝝈) y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial (𝝉) para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera: 

Centro del círculo de Mohr

𝑪 = (𝝈𝒎𝒆𝒅 , 𝟎) = ( 

𝝈𝒙 +𝝈𝒚 𝟐

,𝟎

Radio de la circunferencia de Mohr:

𝒓 = √(

𝝈𝒙 −𝝈𝒚 𝟐 ) 𝟐

+ 𝝉𝟐𝒙𝒚

Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝝈𝒎𝒆𝒅 + 𝒓

𝝈𝒎𝒊𝒏 = 𝝈𝒎𝒆𝒅 − 𝒓

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

𝝈𝒙 𝑻𝒙,𝒚 = [ 𝝉 6.

CIRCUNFERENCIA TRIDIMENSIONAL.

DE

MOHR

PARA

𝝉 𝝈𝒚 ] ESFUERZOS

PARA

CASO

El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.

𝑻𝒙,𝒚,𝒛

𝝈𝒙 = [𝝉𝒚𝒛 𝝉𝒙𝒛

𝝉𝒙𝒚 𝝈𝒚 𝝉𝒚𝒛

𝝉𝒙𝒛 𝝉𝒚𝒛 ] 𝝈𝒛

En el caso general, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (σ,τ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares (σ,τ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.

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7.

CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA

Para sólidos planos y casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:



Centro de la circunferencia:

𝑪 = (𝑰𝒎𝒆𝒅 , 𝟎) = ( 

𝟐

, 𝟎)

Radio de la circunferencia: 𝑰𝒙 +𝑰𝒚 𝟐 ) 𝟐

𝒓 = √(

8.

𝑰𝒙 +𝑰𝒚

+ 𝑰𝟐𝒙𝒚

EJEMPLO:

El problema se demuestra este procedimiento con datos específicos de los esfuerzos que actúan en el elemento sometido a esfuerzos iniciales. Se determinó que un punto de un miembro de carga se encuentra sometido a la siguiente condición de esfuerzo: 𝝈𝒙 = 𝟒𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂 𝝈𝒚 = −𝟑𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂 𝝈𝒙𝒚 = 𝟐𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂(𝑺𝑴𝑹) Realice lo siguiente: (a) Trace el elemento sometido a esfuerzo inicial. (b) Trace el círculo de Mohr completo con los puntos críticos marcados. (c) Trace el elemento sometido a esfuerzo principal. (d) Trace el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo.

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Solución:

Se utilizará el Procedimiento de 15 pasos para trazar el círculo de Mohr para resolver el problema. Los resultados numéricos de los pasos 1–12 se resumen a continuación y se muestran en la figura:

Figura 5: Circulo de Mohr completo del problema

Paso 1. El elemento sometido a esfuerzo inicial se muestra en la parte superior izquierda de la figura 5. Paso 2. El punto 1 se marca en 𝝈𝒙 = 𝟒𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂 y 𝝉𝒙𝒚 = 𝟐𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂 en el cuadrante 1. Paso 3. El punto 2 se marca en 𝝈𝒚 = −𝟑𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂 cuadrante 3. Paso 4. Se traza la línea del punto 1 al punto 2.

y 𝝉𝒚𝒙 = −𝟐𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂 en el

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Paso 5. La línea del paso 4 cruza el eje 𝝈 por el punto correspondiente al esfuerzo normal promedio aplicado, llamado punto O en la figura 5, calculado con: 𝝈𝒑𝒓𝒐𝒎=𝟏(𝝈 𝟐

𝟏

𝒙 + 𝝈𝒚 )

= 𝟐 [𝟒𝟎𝟎 + (−𝟑𝟎𝟎)] = 𝟓𝟎𝑴𝒑𝒂

Paso 6. El punto O es el centro del círculo. La línea del punto O que pasa por el punto 1 se designa como eje x para que corresponda al eje x en el elemento sometido a esfuerzo inicial. Paso 7. Los valores de a, b y R se determinan con el triángulo formado por las líneas que van del punto O al punto 1 a 𝝈𝒙 = 𝟒𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂 y de regreso al punto O. El lado inferior del triángulo es: 𝟏

𝟏

𝒂 = 𝟐 (𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 ) = 𝟐 [𝟒𝟎𝟎 − (−𝟑𝟎𝟎)] = 𝟑𝟓𝟎𝑴𝒑𝒂 El lado vertical del triángulo, b, es: 𝒃 = 𝝉𝒙𝒚 = 𝟐𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂 El radio del círculo, R, se calcula con: 𝑹 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = √𝟑𝟓𝟎𝟐 + 𝟐 𝟎𝟎𝟐 = 𝟒𝟎𝟑𝑴𝒑𝒂 Paso 8. Este es el trazo del círculo con el punto O como centro en𝝈𝒑𝒓𝒐𝒎 = 𝟓𝟎𝑴𝒑𝒂 y radio 𝑹 = 𝟒𝟎𝟑𝑴𝒑𝒂 Paso 9. El diámetro vertical del círculo se traza a través del punto O. La intersección de esta línea con el círculo en la parte superior señala el valor de 𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝟒𝟎𝟑𝑴𝒑𝒂, el mismo valor de R. Paso 10. El esfuerzo principal máximo, 𝝈1 , se encuentra en el extremo derecho del diámetro horizontal del círculo y el esfuerzo principal mínimo, 𝝈2 , en el extremo izquierdo. Paso 11. Los valores de 𝝈1 y 𝝈2 son: 𝝈𝟏 = 𝑶 + 𝑹 = 𝟓𝟎 + 𝟒𝟎𝟑 = 𝟒𝟓𝟑𝑴𝒑𝒂 𝝈𝟐 = 𝑶 − 𝑹 = 𝟓𝟎 − 𝟒𝟎𝟑 = −𝟑𝟓𝟑𝑴𝒑𝒂 Paso 12. El ángulo 𝟐∅ se muestra en el círculo como el ángulo del eje x al eje 𝝈𝟏 , una rotación en el sentido de las manecillas del reloj. El valor se calcula con: 𝒃

𝟐𝟎𝟎

𝟐∅ = 𝒕𝒂𝒏𝒈−𝟏 (𝒂) = 𝒕𝒂𝒏𝒈−𝟏 (𝟑𝟓𝟎) = 𝟐𝟗. 𝟕𝟒

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Observe que 𝟐∅ es una rotación en sentido de las manecillas del reloj desde el eje x a 𝝈𝟏 en el círculo. ∅=

𝟐𝟗.𝟕𝟒 𝟐

= 𝟏𝟒. 𝟖𝟕

Paso 13. Con los resultados de los pasos 11 y 12, se traza el elemento sometido a esfuerzo principal, como se muestra en la figura antes vista. El elemento aparece con un giro de 14.87° en el sentido de las manecillas del reloj a partir del eje x original hacia la cara en la cual actúa el esfuerzo de tensión 𝝈𝟏 = 𝟒𝟓𝟑𝑴𝒑𝒂. El esfuerzo de compresión 𝝈𝟐 = −𝟑𝟓𝟑𝑴𝒑𝒂 actúa en las caras perpendiculares a las caras 𝝈𝟏 Paso 14. El ángulo 𝟐∅′ se muestra en la figura 5 trazado a partir del eje x en sentido contrario a las manecillas del reloj hacia el diámetro vertical que localiza en 𝝉𝒎𝒂𝒙 la parte superior del círculo. Su valor se determina en cualquiera de dos maneras: Primero, utilizando la ecuación respectiva, observe que el numerador es el valor de a y que el denominador es el valor de b obtenidos con la construcción del círculo. Entonces 𝒃

𝟑𝟓𝟎

𝟐∅′ = 𝒕𝒂𝒏𝒈−𝟏 (𝒂) = 𝒕𝒂𝒏𝒈−𝟏 (𝟐𝟎𝟎) = 𝟔𝟎, 𝟐𝟔𝑺𝑪𝑴𝑹 O, con la geometría del círculo, podemos calcular:

𝟐∅′ = 𝟗𝟎 − 𝟐∅ = 𝟗𝟎 − 𝟐𝟗. 𝟕𝟒 = 𝟔𝟎, 𝟐𝟔𝑺𝑪𝑴𝑹 Por tanto el ángulo ∅′ es la mitad de 2∅′ ∅′ =

𝟔𝟎,𝟐𝟔 𝟐

= 𝟑𝟎, 𝟏𝟑

Paso 15. El elemento sometido a esfuerzo cortante máximo se traza en la figura 6(c), con un giro de 30.13° en sentido contrario a las manecillas del reloj a partir del eje x original hacia la cara en la cual actúa el 𝜏𝑚𝑎𝑥 positivo. El esfuerzo cortante máximo de 403 Mpa se muestra en las cuatro caras con vectores que forman los dos pares opuestos característicos de los esfuerzos cortantes que actúan en un elemento sometido a esfuerzo. También se muestra el esfuerzo de tensión 𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝟓𝟎𝑴𝒑𝒂 que actúa en las cuatro caras del elemento.

𝝈𝒙 = 𝟒𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂 𝝈𝒚 = −𝟑𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂 𝝉𝒙𝒚 = 𝟐𝟎𝟎𝑴𝒑𝒂(𝑺𝑴𝑹). 𝝈𝟏 = 𝟒𝟓𝟑𝑴𝒑𝒂

𝝈𝟐 = −𝟑𝟓𝟑𝑴𝒑𝒂

∅ = 𝟏𝟒. 𝟖𝟕

hacia

el eje x.

𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝟒𝟓𝟑𝑴𝒑𝒂

𝝈𝒑𝒓𝒐 = 𝟓𝟎𝑴𝒑𝒂

eje x se encuentra en el primer cuadrante.

∅ = 𝟑𝟎. 𝟏𝟑𝑺𝑪𝑴𝑹 hacia el eje x; el

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9.

BIBLIOGRAFIA. Mott, Robert l. Resistencia de materiales, Quinta edición, PEARSON EDUCACIÓN,México, 2009.