File 3t4e

GEOMETRI ANALITIK RUANG Dr. Susanto, MPd

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER TAHUN 2012

KATA PENGANTAR

Puji syukur dipanjatkan kehadirat Alloh SWT atas segala rahmat, taufiq, dan hidayah-Nya yang telah dilimpahkan, sehingga terselesaikannya buku pegangan kuliah untuk mata kuliah Geometri Analitik Ruang. Mata Kuliah ini memuat materi tentang garis lurus, persamaan bola, luasan putaran, dan luasan berderajad dua. Selanjutnya penulis menyadari bahwa buku ini masih belum sempurna; untuk itu dimohon tanggapan baik berupa kritik dan saran kepada pembaca demi kebaikan buku pegangan kuliah ini. Akhirnya mudah-mudahan buku ini bermanfaat bagi pembaca.

Penulis

ii

DAFTAR ISI Hal. HALAMAN JUDUL ………………………………………………………………………………………..

i

KATA PENGANTAR ……………………………………………………………………………………….

ii

DAFTAR ISI …………………………………………………………………………………………………..

iii

BAB I

TITIK DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA ……………………….

1

Titik dalam Ruang Dimensi Tiga ……………………………………………………

1

Jarak Dua Titik ……………………………………………………………………………..

3

Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga ……………………………………………….

5

Hasil Kali Silang Dua Vektor ………………………………………………………….

9

GARIS LURUS ………………………………………………………………………………..

12

Letak Garis Lurus Terhadap Bidang Datar ……………………………………

14

Jarak Dua Garis Bersilangan ………………………………………………………..

19

PERSAMAAN BOLA ..........……………………………………………………………..

21

Bidang Singgung Pada Bola ………………………………………………………….

24

LUASAN PUTARAN ...……………………………………………………………………..

27

Suatu Ellips di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X ……………

27

Suatu Parabola di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X……….

29

Suatu Hiperbola di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X........

30

Suatu Garis Lurus di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X……

32

Suatu Lingkaran di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X.......

34

Luasan Putaran Dengan Sumbu Putar Garis Sembarang ………………

35

LUASAN BERDERAJAT DUA …………………………………………………………..

39

DAFTAR KEPUSTAKAAN ……………………………………………………………………………….

56

BAB II

BAB III

BAB IV

BAB IV

iii

BAB I TITIK DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA 1.1 Titik Dalam Ruang Dimensi Tiga Ada beberapa cara menentukan letak suatu titik dalam ruang dimensi tiga. Cara-cara tersebut didasarkan pada penetapan patokan mula yang digunakan. Dalam tulisan ini dalam menentukan letak suatu titik menggunakan sistem koordinat kartesius siku-siku. Patokan mula yang diambil dalam koordinat kartesius dimensi tiga adalah tiga garis lurus yang saling tegak lurus yang dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Meskipun letak garis-garis yang saling tegak lurus ini dapat diambil sesuka hati kita, namun diambil kesepakatan sebagai berikut: sumbu y diambil mendatar, arah ke kanan merupakan arah positif dan ke kiri merupakan arah negatif. Sumbu y dan sumbu z terletak pada kertas kita; sedangkan sumbu x tegak lurus pada kertas dan melalui titik potong sumbu y dan sumbu z. Sumbu x yang menuju kita sebagai arah positif dan arah lawannya sebagai arah negatif. Pengaturan sistem seperti ini dinamakan sistem tangan kanan. Hal ini karena jika empat jari tangan kanan dikepalkan sehingga melengkung dari sumbu x positif ke arah sumbu y positif dan ibu jari akan mengarah ke sumbu z positif. Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang xy, bidang xz, dan bidang yz. Ketiga bidang ini membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan-oktan I, II, III, IV, ..., VIII. Oktan-oktan I, II, III, dan IV di atas bidang xy, dan lainnya di bawah bidang xy. Oktan-oktan V, VI, VII, dan VIII berturut-turut tepat di bawah oktan-oktan I, II, III, dan IV. Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik itu ke bidang-bidang koordinat yz, xz, dan xy, serta dilihat apakah arah positif atau negatif. Oleh karena itu suatu titik tertentu oleh pasangan (tripel) tiga bilangan, misalnya titik P(x, y, z). Pasangan pertama, yaitu x disebut koordinat x tau absis. Pasangan kedua, yaitu y disebut koordinat y atau ordinat, dan pasangan ketiga disebut koordinat z atau

1

aplikat. Titik-titik P(2, 3, 4) dan Q(4, -2, 3) berturut-turut terletak dalam oktan I dan II. Titik O(0, 0, 0) disebut titik asal. Setiap pada sumbu x, ordinat dan aplikatnya nol, sedang suatu titik yang terletak pada bidang xy, aplikatnya nol. Selanjutnya untuk menggambar sebuah titik, kita tidak perlu menggambar balok, tetapi cukup dengan tiga ruas garis yang menyatakan panjang absis, ordinat, dan aplikatnya. Sebagai contoh perhatikan koordinat T(3, 5, 4) sebagai berikut. Z T(3,5,4)

Y

X

Gambar 1.1

Setiap titik yang aplikatnya positif terletak di atas bidang xy dan jika aplikatnya negatif terletak di bawah bidang xy. Demikian juga untuk bidang-bidang yang lain (xz dan yz). Contoh 1.1.

Titik A(1, -2,-4) terletak di oktan VI Titik B(3, 4, -2) terletak di oktan V Titik C(-2, -3, -5) terletak di oktan VII Titik D(-4, -1, 6) terletak di oktan III

2

1.2 Jarak Dua Titik Perhatikan gambar 1.2 dibawah ini. Akan ditentukan jarak titik asal O ke titik P( x1 , y1 , z1 ). OA  x1 , AB  y1 , dan BP  z1 . Z

P( x1 , y1 , z1 )

Y X Gambar 1.2

Perhatikan OAB yang siku-siku di A, maka 2

2

2

2

OB  OA  AB  x1  y1

2

Selanjutnya pada OBP yang siku-siku di B berlaku bahwa 2

2

OP  OB  BP 2

2

2

2

OP  x1  y1  z1 2

2

2

OP  x1  y1  z1

2

Jarak titik O ke titik P( x1 , y1 , z1 ).

Selanjutnya akan ditentukan rumus jarak dua titik sebarang, misalnya titiktitik P( x1 , y1 , z1 ) dan Q( x 2 , y 2 , z 2 ). Perhatkan gambar 1.3 di bawah ini. Z Q(x2, y2, z2)

P(x1, y1, z1)

3

D

Y

A B

C

X Gambar 1.3

AB  x 2  x1 BC  y 2  y1 DQ  z 2  z1

Segitiga ABC siku-siku di B, maka 2

2

AC  AB  BC 2

2

2

AC  x 2  x1  y 2  y1

2

PD  AC

Segitiga PDQ siku-siku di D, maka 2

2

PQ  PD  DQ 2

2

2

2

PQ  x 2  x1  y 2  y1  z 2  z1 PQ 

2

2

x 2  x1  y 2  y1  z 2  z1

2

2

Rumus diatas adalah rumus jarak antara P( x1 , y1 , z1 ) dan Q( x 2 , y 2 , z 2 ). Contoh 1.2. Jawab:

Tentukan jarak antara titik-titik P(1, -2, 3) dan Q(5, 5, 7) PQ 

2

2

x 2  x1  y 2  y1  z 2  z1

PQ  (5  1) 2  (5  2) 2  (7  3) 2

PQ  16  49  16 PQ  9

4

2

1.3 Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga Dalam ruang dimensi tiga suatu titik dinyatakan dengan tiga komponen, yaitu absis, ordinat, dan aplikat. Misalnya titik D( x1 , y1 , z1 ); vektor posisi terhadap titik O dari D ini adalah d  x1 , y1 , z1 = x1 i  y1 j  z1 k . Vektor-vektor basis i, j , k berturut-turut adalah vektor-vektor satuan yang searah dengan sumbu-sumbu x positif, y positif, dan z positif. Selanjutnya semua definisi dan teorema vektor pada bidang sama dengan definisi dan teorema vektor dalam ruang. Dalam bahasan ini hanya diberikan contoh-contoh untuk vektor dalam ruang. Contoh 1.3.

Jika a  3,2,4 dan b  2,1,5 , maka (1) 2a+ 3b

= 2 3,2,4

= 3 2,1,5

= 0,7,7 (2) 5a – 2b

= 19,8,30

Untuk rumus perbandingan berlaku bahwa jika a  x1 , y1 , z1

adalah vektor

posisi titik A, dan b  x 2 , y 2 , z 2 adalah vektor posisi titik B, serta titik C terletak pada ruas garis AB sedemikian hingga AC : CB  m : n , maka vektor posisi titik C adalah c

na  mb mn

Apabila vektor posisi titik C adalah c  xc , y c , z c , maka diperoleh hubungan

xc , y c , z c  xc , y c , z c 

xc , y c , z c 

n x1 , y1 , z1  m x 2 , y 2 , z 2 mn 1 nx1  mx 2 , ny1  my 2 , nz1  mz 2 mn

nx1  mx 2 ny1  my 2 nz1  mz 2 , , mn mn mn

5

Jadi xc 

Contoh 1.4.

nx1  mx 2 ; mn

yc 

ny1  my 2 ; mn

zc 

nz1  mz 2 mn

Segitiga OAB dengan O titik asal, A(4, -2, 1) dan B(6, -3, -11). Titik D terletak pada sisi AB sedemikian hingga

AD : DB  3 : 2 .

Tentukan koordinat titik D.

Jawab:

Misalkan D ( x D , y D , z D ) , maka xD 

2.4  3.6 1 5 3 2 5

yD 

2.(2)  3.(3) 3  2 3 2 5

zD 

2.1  3.(11) 1  6 3 2 5

3 1  1 Jadi D 5 ,2 ,6  . 5 5  5 Apabila a  a1 , a 2 , a 3 , maka panjang vektor a yang ditulis dengan a adalah 2

2

a  a1  a 2  a 3

2

Jika a  a1 , a 2 , a 3 adalah vektor posisi titik A dan b  b1 , b2 , b3 adalah vektor posisi titik B, maka

AB

ba  b1 , b2 , b3 - a1 , a 2 , a3

 b1  a1 , b2  a 2 , b3  a3

AB

 (b1  a1 ) 2  (b2  a 2 ) 2  (b3  a3 ) 2

Jika u  u1 , u 2 , u 3  dan v   v1 , v 2 , v 3  maka perkalian titiknya didefinisikan sama dengan pada vektor di bidang, yaitu: u  v  u v cos  dengan 0    

6

Dan dengan mengingat i  1, 0, 0 , j   0, 1, 0 , dan k   0, 0, 1 , maka mudah dimengerti bahwa:

i  j  j  k  i  k  0, dan i i  j  j  k k 1 Sehingga dapat diturunkan sebagai berikut:

u  v  u1 , u 2 , u 3  .  v1 , v 2 , v3  u  v  u1v1  u 2 v 2  u 3 v3 dan hasil kali dua vektor ini berupa skalar. Selanjutnya jika dua vektor saling tegak lurus, maka hasil kali titiknya sama dengan nol; sebaliknya jika hasil kali titik dari dua vektor yang bukan vektor nol sama dengan nol, maka dua vektor tersebut saling tegak lurus. Hal ini dapat ditulis sebagai berikut:

u  v  0  u  v atau u  0 atau v  0 Contoh 1.5.

Diketahui

vektor-vektor

a  3, - 2, 1 , b  1, - 3, 5 , dan c   2, 1, - 4 .

Tunjukkan

bahwa

ketiga vektor ini dapat merupakan sisi-sisi suatu segitiga siku-siku. Jawab:

Untuk menunjukkan bahwa ketiga vektor membentuk suatu segitiga, ada dua pertimbangan, yaitu: (1) jumlah ketiga vektor sama dengan vektor nol; atau (2) salah satu vektornya sama dengan jumlah dua vektor lainnya. Mengingat bahwa a  b  c . Maka ketiga vektor membentuk segitiga. Selanjutnya ditunjukkan bahwasegitiga tersebut adalah segitiga siku-siku. Karena a  c = 3.2 + (-2).1 + 1.(-4) = 0, maka a  c , sehingga segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku. Untuk menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh dua vektor

u  u1 , u 2 , u 3  dan v   v1 , v 2 , v 3  yaitu:

cos  

uv uv

7

atau

u 1v1  u 2 v 2  u 3 v3

cos  

2

2

u1  u 2  u 3

2

2

2

v1  v 2  v3

2

 adalah sudut yang dibentuk oleh u dan v

Contoh 1.6.

Diketahui u   2, 3, - 1 dan v   -1, 2, 2 . Nyatakan u sebagai jumlah suatu vektor yang sejajar v dan vektor yang tegak lurus pada v .

Jawab:

Gambar 1.4 berikut ini memberikan ilustrasi dari ketentuanketentuan dalam soal dengan mengambil a // v dan b  v .

a adalah proyeksi u pada v , maka a u

v v

u 1 2 a   2, 3, - 1   -1, 2, 2  3 3

b

2 v 2 a =  -1, 2, 2 3 v 9

a

2 4 4 , , 9 9 9

b  u  a   2, 3, - 1 -

b

a

v

Gambar 1.4

2 4 4 , , 9 9 9

20 23 - 13 , , 9 9 9

Untuk memeriksa kebenaran perhitungan ini, tunjukkan bahwa a tegak lurus b , yaitu a  b  0 .

8

1.4 Hasil Kali Silang Dua Vektor Perhatikan gambar 1.5 berikut ini. ab

b

O

 a Gambar 1.5

Diketahui a  a1 i  a 2 j  a 3 k dan b  b1 i  b2 j  b3 k serta  adalah sudut yang dibentuk oleh a dan b dengan 0     . Hasil kali silang dari a dan b ditulis a

 b dibaca ” a silang b ” didefinisikan sebagai berikut: a  b = a b sin  u dengan u adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan a dan b dan mengikuti aturan pada sistem tangan kanan. Memperhatikan definisi tersebut, karena u adalah vektor satuan, maka

a  b = a b sin  Karena arah u ditentukan dengan aturan pada sistem aturan tangan kanan, maka dapat disimpulkan bahwa:

b  a = b a sin  . (u ) = - a b sin  . u = -( a  b ) Sehingga diperoleh hubungan bahwa:

b  a = -( a  b ) (sifat anti komutatif) Dari definisi di atas jika a dan b sejajar, yaitu  = 0, maka

9

a  b = a b sin  u a  b =0 Maka dapat disimpulkan bahwa dua vektor yang tidak nol adalah sejajar jika dan hanya jika hasil kali silangnya sama dengan nol. Hasil kali silang vektor-vektor bersifat distributif terhadap penjumlahan vektor, yaitu: a  (b  c)  (a  b)  (a  c)

(a  b)  c)  (a  c)  (b  c) (buktikan sebagai latihan) Selanjutnya akan diperoleh hasilkali silang untuk vektor-vektor satuan i, j, dan k , dengan menerapkan definisi hasil kali silang di atas sebagai berikut.

i  j = i j sin

 .k 2

i  j = k Dengan cara yang sama diperoleh,

jk  i k i  j

j  i  k

ii  0

k  j  i

j j  0

ik   j

kk  0

Sekarang akan dicari hasil kali silang dari a  a1 i  a 2 j  a 3 k dan b  b1 i  b2 j  b3 k

a  b = (a1 i  a 2 j  a3 k )  (b1 i  b2 j  b3 k ) = (a1 i  a 2 j  a3 k )  b1 i  (a1 i  a 2 j  a3 k )  b2 j  (a1 i  a 2 j  a3 k )  b3 k = 0  a 2 b1 k  a3 b1 j  a1b2 k  0  a3b2 i  a1b3 j  a 2 b3 i  0 = i (a 2 b3  a3b2 )  j (a1b3  a3 b1 )  k (a1b2  a 2 b1 ) a2

a3

b2

b3

i

j

k

a  b = a1 b1

a2

a3

b2

b3

a  b=i

j

a1

a3

b1

b3

k

a1

a2

b1

b2

10

Dengan mengingat kembali cara menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor-kofaktor baris pertama. Selanjutnya dengan mengingat sifat determinan bahwa apabila dua baris suatu determinan ditukarkan maka determinan yang lainnya negatif dari nilai determinan semula.

i

j

k

i

j

b  a = b1 a1

b2

b3 = - a1

a2

a 3 = -( a  b ) (bukti sifat anti komutatif)

a2

a3

b2

b3

Contoh 1.7.

Diketahui a  1, - 2, - 1 , b  2, 4, 1

b1

k

Hitunglah a  b; a  b  a ; b  a  b. i

Jawab:

j

k

 2 1 1 1 1 2 a  b = 1  2 1 = i -j + k 4 1 2 1 2 4 2 4 1 = 2i  j  0k  2i  j

a  b  a = ( 2i  j )  ( i  2 j  k )  0 b  a  b  (2i  4 j  k )  (2i  j )  0

11

BAB II PERSAMAAN GARIS LURUS

Pada gambar dibawah ini l adalah garis yang melalui titik Po(xo, yo, zo) dan sejajar dengan vektor v  ai  b j  c k . Untuk menentukan persamaan garis l, diambil sebarang titik P(x, y, z) pada garis l, maka Po P // v dan Po P  t v dengan t bilangan real. Jika vektor-vektor posisi titik Po dan P terhadap O adalah r o   xo , yo , zo ) dan r  x, y , z maka Po P  r  r o dan karena Po P  t v, maka

r  r o  tv r  r o  tv Z

P

P0 r r0 v Y

X Karena r adalah vektor posisi sebarang titik P pada garis l dan memenuhi persamaan terakhir, maka setiap titik P pada garis l akan memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain, persamaan garis l yang melalui Po(xo, yo, zo) dan sejajar vektor v = adalah r  r o  t v Selanjutnya persamaan ini disebut persamaan vektor garis l

Atau

12

x, y, z  xo , yo , zo  t a, b, c x, y, z 

x  xo  ta;

xo  ta, yo  tb, zo  tc

y  yo  tb; z  zo  tc

Selanjutnya persamaan ini disebut persamaan parametrik (kanonik) dari garis l. Apabila parameter t dari persamaan parametrik ini dihilangkan, maka diperoleh x  xo y  yo z  zo   . Selanjutnya disebut persamaan simetrik garis l dengan a b c

bilangan arah a, b, c dan melalui titik (xo, yo, zo). Persamaan parametrik tersebut terdiri dari dua persamaan yaitu x  xo y  yo  a b

dan

y  yo z  z o  b c

Contoh Tentukan persamaan simetrik dari garis potong bidang-bidang 2x – y – 5z = -14 dan 4x + 5y + 4z = 28.

Jawab Dari dua persamaan bidang tersebut jika dihilangkan x, diperoleh y + 2z = 8. Jika dihilangkan y, maka diperoleh x =

3 z – 3. Selanjutnya dari dua persamaan ini 2

dapat disusun persamaan simetriknya, yaitu

y 8 x3  z, z 3 2 2 x 3 y 8   z atau 3 2 2 x 3 y 8 z   . 3 4 2

13

Selanjutnya dapat dicari persamaan garis melalui dua titik. Misalkan titik A(x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2). Vektor-vektor posisi titik-titik A dan B masing-masing adalah a = <x1, y1, z1> dan b = <x2, y2, z2) dengan garis yang melalui A dan B. Dengan mengambil sebarang titik R(x, y, z) pada garis tersebut yang vektor posisinya adalah r = <x, y, z>. Maka persamaan vektor garis AB adalah r = a + t(b – a) dengan t bilangan real. <x, y, z> = <x1, y1, z1> + t<x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1> x = x1 + t(x2 – x1), y = y1 + t(y2 – y1), z = z1 + t(z2 – z1). Selanjutnya persamaan ini disebut persamaan para metrik garis AB. Dengan menghilangkan parameter t dari persamaan parametrik tersebut akan diperoleh persamaan simetrik dari garis AB sebagai berikut

x  x1 y  y1 z  z1   x2  x1 y2  y1 z2  z1

Contoh Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(3, 2, 1) dan B(5, -1, -2)

Jawab Persamaan garis lurus yang melalui A dan B adalah x3 y2 z 1   5  3 1 2  2 1 x  3 y  2 z 1   2 3 3

Letak Garis Lurus Terhadap Bidang datar Ada tiga kemungkinan yang terjadi, letak suatu garis terhadap suatu bidang datar, yaitu garis memotong bidang, garis sejajar bidang, dan garis terletak pada bidang. Perhatikan sebuah garis l =

x  x1 y  y1 z  z1   a b c

Dan sebuah bidang  = Ax + By + Cz + D = 0

14

Misalkan garis l dan bidang  tersebut berpotongan, maka koordinat titik potongnya dicari dengan menyelesaikan x, y, dan z dari tiga persamaan tersebut. Salah satu cara menyelesaikannya dengan memisalkan bahwa x  x1 y  y1 z  z1   =t a b c

x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct disubstitusikan pada persamaan bidang, maka diperoleh A(x1 + at) + B(y1 + bt) + C(z1 + ct) + D = 0 (Aa + Bb + Cc)t + Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 Apabila Aa + Bb + Cc  0, maka akan diperoleh nilai t, sehingga koordinat titik potong garis dan bidang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai t kedalam persamaan garis yang memuat t. Jika Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 dan Aa + Bb + Cc  0 maka titik potong garis dan bidang adalah (x1, y1, z1). Jika Aa + Bb + Cc = 0 dan Ax1 + By1 + Cz1 + D  0, maka garis dan bidang akan sejajar. Jika Aa + Bb + Cc = 0 dan Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0, maka garis terletak pada bidang Apakah syarat yang harus dipenuhi agar garis l tegaklurus pada bidang  ? Garis l tegaklurus bidang , apabila vektor arah garis l sejajar dengan vektor normal bidang . Vektor arah garis l adalah m = dan vektor normal bidang  adalah

n = . Maka garis l tegak lurus bidang ,

apabila m = kn dengan k suatu bilangan real.

Contoh Carilah persamaan bidang yang memuat garis x = 1 + 2t, y = -1 + 3t, z = 4 + t dan titik (1, -1, 5).

15

Jawab Ambil dua titik pada garis dengan cara memberi harga t, misal t = 0 dan t = 1 akan diperoleh titik-titik (1, -1, 4) dan (3, 2, 5). Selanjutnya persamaan bidang yang dicari adalah persamaan bidang yang melalui titik-titik (1, -1, 5), (1, -1, 4), dan (3, 2, 5) yaitu x y z 1 1 5 1 1 4 3 2 5

1 1 0 1 1

3x – 2y – 5 = 0 Penyelesaian cara lain yaitu dengan menggunakan vektor arah garis, yaitu m = <2, 3, 1> dan sebuah titik (1, -1, 4) pada garis, serta titik (1, -1, 5) yang diketahui. Dua titik ini menentukan vektor u = <0, 0, 1>. Vektor normal bidang yang dicari adalah i

j k

m x u = 2 3 1  3i  2 j 0 0 1 Maka persamaan bidang yang dicari adalah 3(x – 1) – 2(y + 1) = 0 3x – 2y – 5 = 0

Letak dua garis lurus dalam ruang dimensi tiga. Dua buah garis lurus dalam ruang mungkin akan berpotongan, sejajar, berimpit, atau bersilangan. Misalkan diketahui dua garis berikut ini

x  x1 y  y1 z  z1 x  x2 y  y2 z  z2   dan   a1 b1 c1 a2 b2 c2 sudut antara dua garis tersebut sama dengan sudut yang dibentuk oleh vektorvektor arahnya yaitu m1 = dan m2 = . Jika  adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis tersebut, maka

16

a1a2  b1b2  c1c2

Cos  =

2

2

a1  b1  c1

2

2

2

a2  b2  c2

2

Dua garis akan sejajar apabila vektor-vektor arahnya sejajar, yaitu m1 = tm2 dengan t suatu bilangan real. Sehingga bentuknya menjadi = t , atau

a1 b1 c1   . a2 b2 c2 Dua garis saling tegak lurus apabila vektor-vektor arahnya saling tegak lurus, yaitu m1.m2 = 0 . = 0 a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 Dua garis akan berpotongan apabila ada penyelesaian untuk x, y, dan z dari empat persamaan bidang yang menyatakan dua persamaan garis tersebut.

Contoh Tunjukkan bahwa garis-garis x 1 y  2 z  4   4 3 2

dan

x  2 y 1 z  2   1 1 6

berpotongan, dan carilah persamaan bidang yang memuat dua garis tersebut.

Jawab Dimisalkan bahwa: x 1 y  2 z  4   t 4 3 2

dan

Atau x = 1 – 4t y = 2 + 3t X=2–k y=1+k

x  2 y 1 z  2   k 1 1 6

z = -2 + 6k z = -2 + 6k

Maka diperoleh persamaan:

Dari

1 – 4t = 2 – k,

2 + 3t = 1 + k, dan

k = 4t + 1,

k = 3t + 1 diperoleh t = 0 dan k = 1 yang memenuhi

persamaan 4 – 2t = -2 + 6k.

17

4 – 2t = -2 + 6k

Jadi titik potongnya adalah (1, 2, 4). Untuk mencari persamaan bidang yang memuat dua garis tersebut ditentukan vektor normalnya dulu, yaitu dengan perkalian silang dari vektorvektor arah garis, yaitu m1   4,3,2

dan m 2   1,1,6

i

j

k

Vektor normal bidangnya adalah n  m1 x m 2   4 3  2 1 1 6 n  20i  26 j  k

Jadi persamaan bidang yang dicari adalah persamaan bidang yang melalui titik (1, 2, 4) dan tegak lurus n yaitu: 20(x – 1) + 26(y – 2) – (z – 4) = 0 20x + 26y – z = 68. Telah diketahui bahwa garis dengan persamaan

x  x1 y  y1 z  z1   , a b c

mempunyai bilangan-bilangan arah a, b, dan c atau mempunyai vektor arah m = . Selanjutnya akan ditentukan bilangan-bilangan arah dari garis tersebut ke dalam persamaan simetrik (kanonik), misalnya melenyapkan x, kemudian melenyapkan y dari dua persamaan bidang tersebut. Dengan melenyapkan x didapat (A2B1 – A1B2)y + (a2C1 – A1C2)z + (a2D1 – A1D2) = 0 Dengan melenyapkan y diperoleh (A1B2 – A2B1)x + (B2C1 – B1C2)z + (B2D1 – B1D2) = 0 Dari dua persamaan tersebut diperoleh

B1D2  B2 D1 A D  A2 D1 y 1 2 z A1B2  A2 B1 A2 B1  A1B2   B1C2  B2C1 A2C1  A1C2 A1B2  A2 B1

x

Terlihat bahwa bilangan-bilangan arah (vektor arah) dari garis tersebut adalah m =

18

Atau dalam bentuk determinan menjadi

B1 B2 A A2 ,  1 , C1 C2 C1 C2

m

A1 B1

A2 B2

Jarak Dua Garis Bersilangan Misalkan diketahui dua garis g1 dan g2, jarak garis g1 dan g2 ditentukan dengan cara sebagai berikut. Dibuat bidang  melalui garis g2 dan sejajar g1. Pilih suatu titik P pada garis g1. Maka jarak garis g1 dan g2 sama dengan jarak titik P ke bidang .

Contoh Berapakah jarak garis g1 : 7x – 4z – 38 = 0, 7y – 5z + 37 = 0 dan garis g2 : 7x + 8z – 16 = 0, 7y – 3z = 15

Jawab Persamaan bidang yang melalui garis g1 adalah anggota berkas bidang (7x + 4z – 38) + t(7y – 5z + 37) = 0. Atau 7x + 7ty + (4 – 5t)z – 38 + 37t = 0. Vektor normal bidang ini adalah n = <7, 7t, 4-5t>. Sedangkan vektor arah garis g2 adalah m

0

8

7 3

,

7

8

0 3

,

7 0 0 7

 56, 21,49  .

Bidang yang melalui g1 sejajar g2, maka harus dipenuhi

m  n, yaitu m.n  0 <-56, 21, 49> . <7, 7t, 4-5t> = 0 -8 + 3t + 4 – 5t = 0 t = -2 Jadi bidang yang melalui g1 dan sejajar g2 adalah 7x – 14y + 14z – 112 = 0 yang disederhanakan menjadi x – 2y + 2z – 16 = 0. Pilih titik P(0, 3, 2) pada garis g2, maka jarak P ke bidang x – 2y + 2z – 16 = 0 adalah

19

d=

0  2.3  2.2  16 6 1 4  4

Jadi jarak garis-garis g1 dan g2 adalah 6.

Soal-soal 1. Carilah persamaan parameter dan persamaan simetrik garis lurus yang melalui titik-titik (1, -2, 3) dan (4, 5, 6). 2. Carilah persamaan simetrik garis potong bidang-bidang x + y – z = 1 dan 3x – 3y + 7z = 9, serta tentukan vektor arahnya. 3. Carilah persamaan simetrik garis yang melalui titik (4, 0, 6) dan tegak lurus pada bidang x – 5y + 2z = 10. 4. Carilah persamaan garis yang melalui titik (-5, 7, -2) dan tegak lurus pada vektor-vektor <2, 1, -3> dan <5, 4, -1>. 5. Carilah persamaan garis yang melalui titik (5, -3, 4) dan memotong tegak lurus sb x. 6. Carilah persamaan garis yang melalui titik (2, -4, 5) yang sejajar dengan bidang 3x + y – 2z = 5 dan tegak lurus pada garis g:

x  8 y  5 z 1   2 3 1

7. Carilah persamaan bidang yang memuat garis-garis g1 : x = -2 + 2t, y = 1 + 4t, z = 2 – t dan g2 : x = 2 – 2t, y = 3 – 4t, z = 1 + t 8. Carilah persamaan bidang yang memuat garis g1 : x = 3t, y = 1 + t, z = 2t dan sejajar dengan garis g2 : 2x – y + z = 0, y + z + 1 = 0.

20

BAB III PERSAMAAN BOLA

Bola dengan pusat titik O (titik asal) dan berjari-jari r, persamaannya diperoleh dengan cara mengambil sebarang titik P(x, y, z) pada bola. Sehingga

OP  r  ( x, y, z ).

Z P(x,y) r

O

Y

X

Pada gambar diatas

OP  r 

x 2  y 2  z 2 jari-jarinya r = r

r2 = x2 + y2 + z2. Karena P(x, y, z) sebarang titik pada bola, maka setiap titik (x, y, z) pada bola berlaku

x2 + y2 + z2 = r2. Ini berarti persamaan bola dengan pusat O dan berjari-

jari r adalah: x2 + y2 + z2 = r2. Selanjutnya akan dicari persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat M(a, b, c). Ambil

sebarang

titik

P(x,

y,

z)

PM  r  ( x  a, y  b, z  c ).

21

pada

bola,

maka

vektor

2

2

 r  r.r  ( x  a, y  b, z  c). ( x  a, y  b, z  c).

PM

r2 = (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2.

Z

P(x,y,z)

•M

O

Y

X

Karena P(x, y, z) sebarang titik pada bola yamg memenuhi persamaan tersebut diatas, maka setiap titik (x, y, z) pada bola memenuhi persamaan tersebut. Hal ini berarti persamaan bola dengan jari-jari r dan titik pusat (a, b, c) adalah: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2. Contoh Carilah persamaan bola yang berpusat di titik (1, 3, 2) dan melalui titik (2, 5, 0). Jawab Jari-jari bola adalah jarak dua titik tersebut, yaitu

r  (2  1) 2  (5  3)2  (2) 2  1  4  4  3. Persamaan bola yang dicari adalah persamaan bola dengan jari-jari 3 dan berpusat di titik (1, 3, 2), yaitu: (x – 1)2 + (y – 3)2 + (z – 2)2 = 9 Jika dijabarkan menjadi x2 + y2 + z2 – 2x – 6y – 4z + 5 = 0.

22

Rumus persamaan bola yaitu (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 dapat ditulis sebagai berikut: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + a2 + b2 + c2 – r2 = 0 Jika –2a = A, -2b = B, -2c = C, dan a2 + b2 + c2 – r2 = D, maka persamaan bola tersebut dapat ditulis sebagai berikut x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 Nampak disini bahwa persamaan bola adalah suatu persamaan kuadrat dalam x, y, dan z dengan ciri-ciri: (a) tidak memuat suku-suku xy, xz, atau yz, dan (b) koefisien-koefisien x2, y2, dan z2 selalu sama. Selanjutnya akan ditentukan titik pusat dan jari-jari dari bola dengan persamaan x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0. Persamaan ini bisa diubah dengan melengkapi kuadrat dari x, y, dan z sebagai berikut: (x2 + Ax +

(x 

1 2 1 1 1 1 1 A )  ( y 2  By  B 2 )  ( z 2  Cz  C 2 )  A2  B 2  C 2  D. 4 4 4 4 4 4

1 2 1 1 1 1 1 A)  ( y  B) 2  ( z  C ) 2  A2  B 2  C 2  D. 2 2 2 4 4 4

Dari persamaan ini dapat dengan mudah ditentukan titik pusat dan jari-jari bola, yaitu: 1 1 1 M ( A, B,  C ) sebagai titik pusatnya, dan 2 2 2 1 2 1 2 1 2 r A  B  C  D adalah jari  jarinya 4 4 4

Contoh Tentukan pusat dan jari-jari bola, jika diketahui persamaan bola tersebut adalah sebagai berikut: x2 + y2 + z2 – 10x – 8y – 12z + 68 = 0. Jawab Dengan proses melengkapkan kuadrat, persamaan bola diubah menjadi:

23

(x2 – 10x + 25) + (y2 – 8y + 16) + (z2 – 12z + 36) = 25 + 16 + 36 – 68 (x – 5)2 + (y – 4)2 + (z – 6)2 = 9 Ini berarti bola berpusat di titik (5, 4, 6) dengan jari-jari 3. Soal diatas dapat juga diselesaikan dengan menggunakan rumus, sehingga diperoleh: 1 1 1 1 1 1 Titik pusat bola M ( A, B, C ) = M ( (10), (8), (12)) = (5, 4, 6) 2 2 2 2 2 2

Jari-jari bola adalah r 

r=

1 2 1 2 1 2 A  B  C D 4 4 4

1 1 1 (10) 2  (8) 2  (12) 2  68 4 4 4

r  25  16  36  68 r  9 3

Bidang Singgung Pada Bola Misalkan bola dengan persamaan (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2; dan suatu titik T(x1, y1, z1) pada bola. Akan dicari persamaan bidang singgung pada bola di titik T(x1, y1, z1). Bidang singgung di titik T dan jari-jari bola melalui T saling tegak lurus, ambil sebarang titik V(x, y, z) pada bidang singgung, maka

TV  x  x1 , y  y1 , z  z1 pada bidang singgung Pusat bola adalah P(a, b, c), maka

PT  ( x1  a, y1  b, z1  c) Karena TV  PT maka PT .TV  0

24

PT .( PT  PV )  0 PT .PT  PT .PV  0 r2 - <x1 – a, y1 – b, z1 – c> . <x – a, y – b, z – c> = 0 (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) + (z1 – c)(z – c) = r2. Ini adalah persamaan bidang singgung bola dengan persamaan (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2; di titik T(x1, y1, z1) pada bola. Contoh Tentukan persamaan bidang singgung pada bola (x – 3)2 + (y – 1)2 + (z – 2)2 = 9 di titik (1, 3, 3). Jawab Titik (1, 3, 3) terletak pada bola, sebab koordinat-koordinatnya memenuhi pada persamaan bola. Maka persamaan bidang singgung pada bola di titik (1, 3, 3) adalah: (1 – 3)(x – 3) + (3 – 1)(y – 1) + (3 – 2)(z – 2) = 9. -2x + 2y + z – 7 = 0. Soal-soal 1. Tuliskan persamaan bola yang pusatnya di titik (-6, 2, -3) dan jari-jarinya 2. 2. Carilah persamaan bola yang berpusat di titik (2, 4, 5) dan menyinggung bidang xy. 3. Carilah persamaan bola

jika

diameternya

adalah ruas garis

yang

menghubungkan titik (-2, 3, 7) dan (4, -1, 5). 4. Tentukanlah pusat dan jari-jari bola dengan persamaan : 4x2 + 4y2 + 4z2 – 4x + 8y + 16z – 13 = 0. 5. Carilah persamaan bola-bola yang bersinggungan yang titik-titik pusatnya berturut-turut (-3, 1, 2) dan (5, -3, 6) dan jari-jarinya sama.

25

6. Carilah persamaan bola dalam kuadran pertama yang jari-jarinya 6 dan menyinggung bidang-bidang koordinat. 7. Carilah persamaan bola dengan pusat (1, 1, 4) dan menyinggung bidang x + y = 12. 8. Tentukan persamaan bola yang melalui titik-titik (3, 1, -3), (-2, 4, 1), dan (-5, 0, 0) yang titik pusatnya terletak pada bidang 2x + y – z + 3 = 0. 9. Tentukan persamaan bola yang berjari-jari 3 dan menyinggung bidang x + 2y + 3z + 3 = 0 di titik T(1, 1, -3). 10. Tentukan persamaan bidang singgung pada bola (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 25 yang sejajar dengan bidang 4x + 3z – 17 = 0.

26

BAB IV LUASAN PUTARAN Misalkan sumbu x diambil sebagai sumbu putar dan kurva yang diputar terletak pada bidang YOZ. Persamaan kurva yang diputar adalah x  0   f ( y, z )  0 Selanjutnya diambil T(xo, yo, zo) sebarang titik pada kurva. Maka dipenuhi : xo = 0 dan f(yo , zo) = 0. Ambil T(xo, yo, zo) sebarang titik pada kurva. x  0 Maka dipenuhi  0  f ( y0 , z 0  0

Lingkaran yang dilalui T adalah perpotongan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu putar, yaitu sumbu dengan bola yang pusatnya pada sumbu x, misalkan titik O dan jari-jarinya OT. Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x = xo x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Selanjutnya dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo sehingga diperoleh persamaan luasan putarannya. Berikut ini akan dicari bermacam-macam persamaan luasan putaran.

3.1 Suatu Ellips Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X Persamaan ellips pada bidang XOY berbentuk z0  2 y2 x  a 2  b 2  1 Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada ellips. Maka harus dipenuhi zo = 0

27

2

2

xo y  o2  1 2 a b Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x0. Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x= xo x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan

x2 y 2  z2  1 a2 b2 Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putar sumbu x. Z

O

Y

X

Jika sumbu putarnya sumbu y maka persamaan ellipsoida diperoleh sebagai berikut. Persamaan ellips yang diputar adalah z0  2 y2 x  a 2  b 2  1 Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada ellips.

28

Maka harus dipenuhi z0  0  2 2 y0  x0  1  a 2 b2

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu y adalah y = y0. Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah y= yo x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan

x2  z2 y 2  2 1 a2 b Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida putaran dengan sumbu putar sumbu y. Titik–titik puncaknya adalah (a, 0, 0), (-a, 0, 0), (0, b, 0), (0, -b, 0), (0, 0, a), dan (0, 0, a).

3.2 Suatu Parabola Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X Persamaan parabola pada bidang XOY berbentuk:  z0  2  y  2 px Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada parabola. Maka harus dipenuhi zo = 0 yo2 = 2pxo Persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x= xo x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan

29

y2 + z2 = 2px. Persamaan ini merupakan persamaan paraboloida putaran dengan sumbu putar sumbu x. Z

O

Y

X

3.3 Suatu Hiperbola Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X Persamaan hiperbola pada bidang XOY berbentuk z 0  2 y2 x   a 2 b 2  1 Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada hiperbola. Maka harus dipenuhi zo = 0 2

2

xo y  o2  1 2 a b Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x0. Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x= xo x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan

x2 y 2  z2  1 a2 b2

30

Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun dua dengan sumbu putar sumbu x. Titik puncaknya ada dua yaitu (-a, 0, 0) dan (a, 0, 0).

Z

O

Y

X

Jika hiperbola pada bidang XOY tersebut diputar mengelilingi sumbu y maka diperoleh persamaan luasan sebagai berikut. Persamaan hiperbola pada bidang XOY berbentuk z 0  2 y2 x  a 2  b 2  1 Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada hiperbola. Maka harus dipenuhi zo = 0 2

2

xo y  o2  1 2 a b Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu y adalah y = y0. Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah

31

y = yo x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan

x2  z2 y2  2 1 a2 b Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun satu dengan sumbu putar sumbu y. Beberapa titik puncaknya adalah (a, 0, 0), (-a, 0, 0), (0, 0, a), dan (0, 0, -a).

Z

O

Y

X

3.4 Suatu Garis Lurus Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X a. Misalkan persamaan garis yang diputar adalah z 0   x  my  p Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada garis yang diputar. Maka harus dipenuhi zo = 0 xo = myo + p Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x0. Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2

32

Z

O

Y

X

Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x = xo x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan x2 – m2(y2 + z2) – 2px + p2 = 0. Persamaan ini merupakan persamaan kerucut.

b. Misalkan garis yang diputar menyilang sumbu x, maka persamaannya berbentuk z  k   x  my  p Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada garis yang diputar. Maka harus dipenuhi zo = k xo = myo + p Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x0. Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x = xo x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan

y 2  z 2 ( x  p) 2  1 k2 m2k 2 Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun satu.

33

Z

O

Y

X

3.5 Suatu Lingkaran Pada Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X Misalkan persamaan lingkaran pada bidang XOY berbentuk z  0  2 2 2  x  ( y  b)  r Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada garis yang diputar. Maka harus dipenuhi  zo  0  2 2 2  xo  ( yo  b)  r

Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu x adalah x = x0. Persamaan bola yang melalui titik T dan titik pusatnya di O adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x = xo x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2 Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan (x2 + y2 + z2 – r2 – b2)2 = 4b2(r2 – x2).

34

Persamaan ini merupakan persamaan torus.

Z



O



Y

X

3.6 Luasan Putaran Dengan Sumbu Putar Garis Sebarang Misalkan persamaan sumbu putarnya adalah x  x1 y  y1 z  z1   a b c

dan persamaan kurva yang diputar adalah  f1 ( x, y, z )  0   f 2 ( x, y, z )  0

Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada kurva yang diputar. Maka harus dipenuhi  f1 ( xo , yo , zo )  0   f 2 ( xo , yo , zo )  0

Lingkaran yang dilalui T adalah perpotongan bidang melalui T dan tegak lurus sumbu putar dengan bola yang pusatnya di titik P yang terletak pada sumbu putar dan berjari-jari PT. Di sini dapat diambil P(x1, y1, z1). Persamaan bidang melalui T dan tegak lurus sumbu putar adalah a(x – xo) + b(y – yo) + c(z – zo) = 0. Persamaan bola yang pusatnya di titik P(x1, y1, z1) dan berjari-jari PT adalah

35

(x – x1)2 + (y – y1)2 + (z – z1)2 = (xo – x1)2 + (yo – y1)2 + (zo – z1)2 Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah

 a( x  xo )  b( y  yo )  c( z  zo )  0  2 2 2 2 2 2 ( x  x1 )  ( y  y1 )  ( z  z1 )  ( xo  x1 )  ( yo  y1 )  ( zo  z1 )

Dengan mengeleminasi xo, yo, dan zo diperoleh persamaan luasan putaran.

Contoh z  0 Tentukan persamaan luasan yang terjadi dari perputaran parabola  2  y  4x mengelilingi garis

y  0  z  2 x  1

Jawab y  0 Persamaan sumbu putar adalah  z  2 x  1 Vektor arah dari sumbu putar ini adalah m = <-1, 0, -2>. Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada parabola. Maka harus dipenuhi zo = 0 yo2 = 4xo Persamaan bidang yang melalui T dan tegak lurus sumbu putar adalah -1(x – xo) + 0(y – yo) – 2(z – zo) = 0 atau x + 2z = xo + 2zo Persamaan bola yang pusatnya di titik P(0, 0, 1) dan berjari-jari PT = xo  yo  ( zo  1)2 adalah x2 + y2 + (z – 1)2 = xo2 + yo2 + (zo – 1)2. 2

2

Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x + 2z = xo + 2zo x2 + y2 + (z – 1)2 = xo2 + yo2 + (zo – 1)2. Selanjutnya didapat x + 2z = xo.

36

Akibatnya yo2 = 4xo = 4(x + 2z) = 4x + 8z. Dengan mensubstitusikan xo, yo, dan zo diperoleh x2 + y2 + (z – 1)2 = (x + 2z)2 + (4x + 8z) + 1 Setelah dijabarkan dan disederhanakan, diperoleh persamaan luasan yaitu: Y2 – 3z2 – 4xz – 4x – 10z = 0.

Contoh z  0 Diketahui persamaan garis g =   y  2x  1 Tentukan persamaan luasan yang terbentuk dari garis g yang diputar mengelilingi sumbu x.

Jawab Misalkan T(xo, yo, zo) sebarang titik pada garis g. z  0 Maka harus dipenuhi  o  yo  2 xo  1

Persamaan bidang yang melalui titik T dan tegak lurus sumbu x adalah x = xo. Persamaan bola yang titik pusatnya di O dan melalui T adalah x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2. Jadi persamaan lingkaran yang dilalui T adalah x = xo x2 + y2 + z2 = xo2 + yo2 + zo2. Kita mempunyai yo = 2x + 1. Selanjutnya dengan mensubstitusikan xo, yo, dan zo diperoleh persamaan x2 + y2 + z2 = x2 + (2x + 1)2 + 0. Setelah dijabarkan dan disederhanakan diperoleh persamaan luasan yang ditanyakan yaitu: -4x2 + y2 + z2 – 4x – 1 = 0.

37

Soal-soal y  0 1. Suatu ellips dengan persamaan  2 diputar mengelilingi 2  x  4 z  16  0 sumbu x. Tentukan persamaan ellipsoida putaran yang terbentuk. y0  2. Jika suatu hiperbola dengan persamaan  x 2 z 2 diputar mengelilingi   1 16 9 sumbu x. Tentukan persamaan luasan putaran yang terjadi. y  0 3. Suatu parabola dengan persamaan  2 diputar mengelilingi garis x  2 z z  0 . Tentukan persamaan luasan putaran yang terjadi.  y  x  2  x0 4. Suatu parabola dengan persamaan  2 diputar mengelilingi sumbu z.  y  2z Tentukan persamaan luasan yang terjadi. 5. Suatu garis

y  0 diputar mengelilingi garis dengan persamaan  x  z  1

x  0 . Tentukan persamaan luasan putaran yang terjadi.  2 y  3 z  3

38

BAB V LUASAN BERDERAJAD DUA Berikut ini akan diselidiki suatu luasan yang terjadi dari suatu ellips dan hiperbola yang letak dan besarnya berubah menurut aturan tertentu. 1. Pada bidang XOY terletak ellips dengan persamaan z  0  2 y2 x   a 2 b 2  1 Pada bidang YOZ terletak ellips dengan persamaan x  0  2 z2 y   b 2 c 2  1 Kedua ellips diatas mempunyai puncak-puncak yang sama pada sumbu y. Selanjutnya ellips yang terletak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan sebagai berikut. a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY, b) titik pusatnya tetap pada sumbu z, c) dua dari puncaknya selalu terletak pada ellips yang terletak pada bidang YOZ, dan d) ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan. Berarti ellips pada bidang YOZ merupakan garis arah dari ellips yang bergerak. Adapun persamaan luasan yang terjadi dapat dicari sebagai berikut. z  0  Misalkan ellips  x 2 y 2 digerakkan sehingga terletak pada bidang z =  dan  a 2  b 2  1 setengah sumbu-sumbunya adalah xo dan yo berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x dan sumbu y. Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik (0, yo, ) terletak pada ellips x  0 2 yo 2  2 2 sehingga memenuhi 2  2  1 atau z y b c  b 2  c 2  1

39

2 yo  b (1  2 ) c 2

2

Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi

2

Atau x o 

a2 b2

2

yo 

a2 b2

.b 2 (1 

xo a  yo b

2 2 2 ) = a ( 1  ). c2 c2

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z =  tersebut adalah:

 z  x2 y2   1  xo 2 yo 2  atau z    x2 y2  1  2 2  a 2 (1   ) b 2 (1   )  c2 c2 Dengan mengeleminasi  dan persamaan ellips ini, diperoleh persamaan

x2 y 2 z2   1 a 2 b2 c 2 Persamaan ini merupakan persamaan ellipsoida dengan titik pusat O dan sumbusumbunya berimpit dengan sumbu-sumbu koordinat. Jika dua diantara a, b, dan c adalah sama, maka ellipsoida tersebut merupakan suatu ellipsoida putaran. Jika a = b = c, maka ellipsoida tersebut merupakan bola. Z y0 x0

O

X

40

Y

2. Ellips yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan persamaan z  0  2 y2 x   a 2 b 2  1 dan persamaan garis arah dari ellips yang bergerak adalah hiperbola pada bidang YOZ dengan persamaan x  0  2 z2 y   b 2 c 2  1 Selanjutnya ellips digerakkan dengan aturan: a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY, b) titik pusat ellips selalu terletak pada sumbu z, c) dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan d) ellips yang digerakkan selalu tetap sebangun dengan ellips semula. Misalkan ellips digerakkan sehingga terletak pada bidang z =  dan setengah sumbu-sumbunya adalah xo dan yo berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x dan sumbu y. Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik (0, yo, ) terletak pada ellips x  0 2 yo 2  2 2 sehingga memenuhi 2  2  1 atau z y b c  b 2  c 2  1 Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi

2

atau x o 

a2 b2

2

yo 

a2 b2

.b 2 (1 

2

yo  b 2 (1 

2 ) c2

xo a  yo b

2 2 2 ) = a ( 1  ). c2 c2

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z =  tersebut adalah:

 z  x2 y2   1  xo 2 yo 2  atau

41

z    x2 y2  1  2 2   2 2  a (1  ) b (1  )  c2 c2 Dengan mengeleminasi  dan persamaan ellips ini, diperoleh persamaan

x2 y 2 z2   1 a 2 b2 c2 Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida berdaun satu dengan titik pusat O dan sumbu-sumbunya berimpit dengan sumbu-sumbu koordinat. Jika a = b maka diperoleh hiperboloida putaran. Z y0 x0

O

Y

X

3. Ellips yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan persamaan z0  2 y2 x   a 2 b 2  1 dan garis arah dari ellips yang digerakkan adalah hiperbola dengan persamaan  x0  2 z2  y    b 2 c 2  1 Aturan untuk menggerakkan adalah sebagai berikut. a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY,

42

b) titik pusat ellips selalu terletak pada sumbu z, c) dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan d) ellips yang digerakkan selalu tetap sebangun dengan ellips semula. Misalkan ellips digerakkan sehingga terletak pada bidang z =  dan setengah sumbu-sumbunya adalah xo dan yo berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x dan sumbu y. Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik (0, yo, ) terletak pada ellips  x0 2 yo 2  2 2 sehingga memenuhi - 2  2  1 atau z  y b c  b 2  c 2  1 Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi

2

atau x o 

a2 b2

2

yo 

a2 b2

.b 2 (

2

yo  b 2 (

2  1) c2

xo a  yo b

2 2 2   1 ) = a (  1) . c2 c2

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z =  tersebut adalah:

 z  x2 y2   1  xo 2 yo 2  atau z    x2 y2  1  2 2   2 2  a (  1) b (  1)  c2 c2 Dengan mengeleminasi  dan persamaan ellips ini, diperoleh persamaan

x2 y 2 z2  2  2  2 1 a b c Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida putaran berdaun dua dengan titik pusat O dan sumbunya adalah sumbu z. Jika a = b maka persamaan ini menjadi persamaan hiperboloida putaran berdaun dengan titik pusat O dan sumbunya adalah sumbu Z.

43

Z

y0 x0

O

Y

X

4. Ellips yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan persamaan z  0  2 y2 x  a 2  b 2  1 dan garis arah dari ellips yang bergerak adalah parabola pada bidang YOZ dengan persamaan x0  2  y  2 pz aturan untuk menggerakkan ellips adalah: a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY, b) titik pusat ellips selalu terletak pada sumbu z, c) dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan d) ellips yang digerakkan selalu tetap sebangun dengan ellips semula. Misalkan ellips digerakkan sehingga terletak pada bidang z =  dan setengah sumbu-sumbunya adalah xo dan yo berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu x dan sumbu y. Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik (0, yo, ) terletak pada ellips sehingga memenuhi yo2 = 2p. Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi

xo a  yo b

44

atau

xo2

a2 2 a2 = 2 yo  2 2 p b b

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z =  tersebut adalah: z  x 2 y2  1  2 a 2 p   2 p  b 2 Dengan mengeleminasi  dan persamaan ellips ini, diperoleh persamaan

x2 y 2 2 p   2 z a 2 b2 c Persamaan ini merupakan persamaan paraboloida ellips dengan titik puncak di O. Jika a = b maka persamaan ini menjadi persamaan paraboloida putaran dengan sumbu z sebagai sumbu putarnya.

Z

y0 x0

Y

O

X

5. Misalkan hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang YOZ dengan persamaan x  0  2 z2 y   b 2 c 2  1

45

dan garis arahnya berupa ellips pada bidang XOY dengan persamaan z  0  2 y2 x   a 2 b 2  1 Aturan untuk menggerakkan hiperbola adalah sebagai berikut. a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang YOZ, b) titik pusatnya selalu terletak pada sumbu x, c) hiperbolanya selalu tetap sebangun dengan hiperbola semula, dan d) titik-titik puncaknya selalu terletak pada garis arah. Misalkan hiperbola digerakkan sehingga terletak pada bidang x =  dan setengah sumbu-sumbunya yang sejajar dengan sumbu y dan sumbu z berturutturut adalah yo dan zo. Dari garis aturan diatas, titik puncak (, yo, 0) terletak pada garis arah sehingga harus dipenuhi

2

2 yo 2 2 2   1 atau y  b ( 1  ) o a 2 b2 a2 yo b c2 2 2 2 2 2 dan juga  sehingga zo  2 yo atau zo  c (1  2 ) . zo c b a Jadi persamaan hiperbola yangbterletak pada bidang x =  adalah x  y2 z2  1  2 2   2 2  b (1  ) c (1  )  a2 a2 Dengan mengeliminasi  dari persamaan hiperbola diatas dapat diperoleh persamaan

x2 y 2 z2   1 a 2 b2 c2 Persamaan ini merupakan persamaan hiperbola berdaun satu.

46

6. Misalkan hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang YOZ dengan persamaan x  0  2 z2 y   b 2 c 2  1 dan garis arahnya berupa ellips pada bidang XOY dengan persamaan z  0  2 y2 x  a 2  b 2  1 Aturan untuk menggerakkan hiperbola adalah sebagai berikut. a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang YOZ, b) titik pusatnya selalu terletak pada sumbu x, c) hiperbolanya selalu tetap sebangun dengan hiperbola semula, dan d) titik-titik puncaknya selalu terletak pada garis arah. Misalkan hiperbola digerakkan sehingga terletak pada bidang x =  dan setengah sumbu-sumbunya yang sejajar dengan sumbu y dan sumbu z berturutturut adalah yo dan zo. Dari garis aturan diatas, titik puncak (, yo, 0) terletak pada garis arah sehingga harus dipenuhi

2

2 2 yo 2 2    1 atau y  b (  1) o a2 b2 a2 y b c2 2 2 dan juga o  sehingga zo  2 yo atau zo c b

2

zo  c 2 (

2  1) . a2

Jadi persamaan hiperbola yangbterletak pada bidang x =  adalah x  y2 z2  1  2 2   2 2  b (  1) c (  1)  a 2 a2

47

Dengan mengeliminasi  dari persamaan hiperbola diatas dapat diperoleh persamaan



x2 y2 z2   1 a 2 b2 c 2

Persamaan ini merupakan persamaan hiperboloida berdaun dua dengan sumbu y sebagai sumbunya.

7. Misalkan hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan persamaan  z0  2 y2  x    a 2 b 2  1 dan garis arahnya berupa parabola pada bidang YOZ dengan persamaan x  0  2  y  2 pz Aturan untuk menggerakkan hiperbola adalah sebagai berikut. a) bidangnya selalu sejajar dengan bidang YOZ, b) titik pusatnya selalu terletak pada sumbu x, c) hiperbolanya selalu tetap sebangun dengan hiperbola semula, dan d) titik-titik puncaknya selalu terletak pada garis arah. Misalkan hiperbola digerakkan sehingga terletak pada bidang x =  dan setengah sumbu-sumbunya yang sejajar dengan sumbu y dan sumbu z berturut-turut adalah yo dan zo. Berdasarkan aturan diatas, titik puncak (, yo, 0) terletak pada garis arah sehingga yo2 = 2p. Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi atau xo2 =

xo a  yo b

a2 2 a2 yo  2 2 p b2 b

Jadi persamaan hiperbola yang terletak pada bidang z =  tersebut adalah:

48

 z   x2 y2   1  2 a 2 p   2 p  b 2 Dengan mengeleminasi  dan persamaan hiperbola ini, diperoleh persamaan

x2 y2 2 p  2 2  2 z a b c Persamaan ini merupakan persamaan paraboloida hiperbolis dengan sumbu z sebagai sumbunya.

8. Pandang persamaan ellipsoida

x2 y 2 z2   1 a 2 b2 c 2

Titik pusat ellipsoida ini adalah (0, 0, 0). Sumbu-sumbu simetrinya adalah sumbu x, sumbu y, dan sumbu z yang masingmasing panjangnya 2a, 2b, dan 2c. Titik-titik puncaknya ada enam yaitu (a, 0, 0), (-a, 0, 0), (0, b, 0), (0, -b, 0), (0, 0, c), dan (0, 0, -c). Persamaan bidang singgung pada ellipsoida dapat dicari sebagai berikut. Misalkan T(x1, y1, z1) merupakan titik singgung tersebut. Persamaan garis yang melalui T dengan bilangan-bilangan arah p, q, dan r adalah

x  x1 y  y1 z  z1    p q r Koordinat-koordinat titik-titik potong garis ini dengan ellipsoida diatas, diperoleh sebagai berikut.

( x1  p )2 ( y1  q )2 ( z1  r )2   1 a2 b2 c2 Setelah dijabarkan, persamaan diatas menjadi  p 2 q 2 r 2  2  2 px1 2qy1 2rz1   2  2  2    2  2  2   0 b c  b c   a a

Salah satu akar dari persamaan kuadrat ini adalah 1 = 0.

49

Agar garis menyinggung ellipsoida maka haruslah 1 = 2 = 0.

 2 px 2qy 2rz  Hal ini hanya terjadi untuk  2 1  2 1  2 1   0 b c   a Dengan mengeliminasi p, q, dan r diperoleh x1 ( x  x1 ) y1 ( y  y1 ) z1 ( z  z1 )   0 a2 b2 c2

Persamaan ini merupakan persamaan garis yang menyinggung ellipsoida di T. Jadi persamaan bidang singgung di T pada ellipsoida adalah x1 x y1 y z1 z  2  2 1 a2 b c

Misalkan T(x1, y1, z1) suatu titik diluar ellipsoida. Dari titik T dibuat bidangbidang yang menyinggung ellipsoida. Misalkan P(xo, yo, zo) suatu titik singgung dari bidang singgung yang melalui titik T. Berdasarkan uraian diatas persamaan bidang singgung di titik P adalah xo x yo y zo z  2  2 1 a2 b c

Karena bidang singgung melalui T, maka dipenuhi x1 xo y1 yo z1 zo  2  2 1 a2 b c

Ini berarti setiap titik singgung dari bidang singgung pada ellipsoida yang melalui T, terletak pada bidang dengan persamaan x1 x y1 y z1 z  2  2 1 a2 b c

Persamaan ini merupakan persamaan bidang kutub dari titik T terhadap ellipsoida

x2 y 2 z2   1 a 2 b2 c 2 Tampak bahwa, jika T terletak pada ellipsoida maka persamaan bidang kutub dari T merupakan persamaan bidang singgung di T. Persamaan batas bayangan ellipsoida oleh sinar-sinar yang melalui T(x1, y1, z1) adalah

50

 xx1 yy1 zz1  2  2 1  a 2 b c  x2 y 2 z2  2  2  2 1  a b c Contoh Carilah m sehingga bidang x – 2y – 2z + m = 0 menyinggung ellipsoida

x2 y2 z2   1 144 36 9 Jawab Misalkan T(xo, yo, zo) suatu titik singgung ellipsoida 2

2

2

x y z Maka dipenuhi o  o  o  1 144 36 9 Persamaan bidang singgung ellipsoida di T adalah

xxo yyo zz o   1 144 36 9

Atau xox + 4yoy + 16zoz – 144 = 0. Bidang singgung ini harus berimpit dengan bidang x – 2y – 2z + m = 0 Ini berarti harus dipenuhi atau

xo 4 yo 16 zo  144     1 2 2 m

xo =  yo = zo =

1  2

1  8

Karena titik T(xo, yo, zo) pada ellipsoida, maka

2 2 2   1 144 4(36) 64(9)

Atau  =  8. Untuk  = 8 diperoleh m = -18 dan untuk  = -8 diperoleh m = 18. Jadi nilai m yang ditanyakan adalah m = 18.

9. Pandang persamaan hiperboloida berdaun Satu

51

x2 y 2 z2   1 a 2 b2 c2 Sumbu-sumbu simetrinya adalah sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Titiktitik puncaknya yang terletak di sumbu-sumbu koordinat ada empat yaitu: (a, 0, 0), (-a, 0, 0), (0, b, 0), dan (0, -b, 0). Selanjutnya dengan cara seperti pada ellipsoida diperoleh persamaan bidang singgung pada hiperboloida berdaun satu di titik singgung T(x1, y1, z1) yaitu x1 x y1 y z1 z  2  2 1 a2 b c

Demikian juga dengan persamaan bidang kutub dari titik T(x1, y1, z1) terhadap hiperboloida bardaun satu yaitu x1 x y1 y z1 z  2  2 1 a2 b c

Berikut ini akan diubah bentuk bentuk persamaan hiperboloida berdaun satu. Misalkan persamaan hiperboloida berdaun satu adalah

x2 y 2 z2   1 a 2 b2 c2 Bentuk ini dapat dinyatakan sebagai

x2 z2 y2   1  a 2 c2 b2  x z  x atau      a c  a

z  y  y   1  1   c   b  b 

Berarti ada dua susunan garis pada hiperboloida berdaun satu yaitu  x z y    a  c    1  b     (1)   x z y          1     a c   b

 x z y    a  c    1  b     (2)   x z y          1     a c   b

dengan , , ,  parameter. Akan dibuktikan bahwa garis-garis dalam satu susunan saling bersilangan. Misalkan persamaan garis-garis dalam satu susunan tersebut adalah

52

 x z  1  a  c   11      x z   1     11    a c  

y  x z y   2      2 1      b a c  b dan   y  2  x  z    2 1  y     a c  b  b

Andaikan kedua garis tersebut berpotongan maka terdapat harga x, y, dan z sehingga (1)

x z 1  y   y 1  2   1    2 1   dengan  a c 1  b   2  b  1  2     y Berarti  1  2 1    0 atau y = b.  1  2  b 

(2)

x z 1  y   y 1  2   1    2 1   dengan  a c 1  b   2  b  1  2     y Berarti  1  2 1    0 atau y = -b.  1  2  b 

Sehingga diperoleh suatu kontradiksi yaitu b = y = -b (karena b  0. Jadi pengandaian diatas adalah salah dan haruslah kedua garis dalam satu susunan adalah bersilangan.

10. Pandang persamaan hiperboloida berdaun dua

x2 y 2 z2   1 a2 b2 c2 Hiperboloida ini hanya mempunyai satu sumbu simetri yaitu sumbu x. Titik-titik puncak ada dua yaitu (a, 0, 0) dan (-a, 0, 0). Panjang sumbu-sumbunya adalah 2a, 2b, dan 2c. Dengan cara seperti pada ellipsoida, diperoleh persamaan bidang singgung di titik T(x1, y1, z1) yaitu x1 x y1 y z1z  2  2 1 a2 b c

Demikian juga persamaan bidang kutub dari titik T(x1, y1, z1) terhadap hiperboloida berdaun dua, yaitu

53

x1 x y1 y z1 z  2  2 1 a2 b c

Jika titik T terletak pada hiperboloida berdaun dua maka bidang kutub dari T menjadi bidang singgung di T.

x2 y 2 2 p 11. Pandang persamaan paraboloida elliptis 2  2  2 z a b b Titik puncak ada satu dan sumbu simetrinya adalah sumbu z. Dengan cara seperti pada ellipsoida, diperoleh persamaan bidang singgung di T(x1,y1,z1) pada paraboloida elliptis yaitu: xx1 yy1 p  2  2 ( z  z1 ) 2 a b b

Persamaan bidang kutub dari T(x1,y1,z1) terhadap paraboloida elliptis adalah xx1 yy1 p  2  2 ( z  z1 ) 2 a b b

Jika titik T pada paraboloida elliptis maka bidang kutub dari T menjadi bidang singgung di T.

12. Pandang persamaan paraboloida hiperbolis



x2 y2 2 p   2 z, ( p  0) a 2 b2 b

Dengan cara seperti pada ellipsoida dapat diperoleh persamaan bidang singgung di titik T(x1, y1, z1) pada paraboloida hiperbolis yaitu 

xx1 yy1 p  2  2 ( z  z1 ) 2 a b b

Jika titik T pada paraboloida hiperbolis, maka bidang kutub menjadi bidang singgung.

54

Soal-soal 1. Tentukan semua titik-titik puncak ellipsoida 9x2 + 4y2 + 36z2 = 36, yang terletak di sumbu-sumbu koordinat. 2. Tentukan irisan paraboloida hiperbolis 

x2 y2 2 p   2 z, ( p  0) dengan a 2 b2 b

bidang XOY.

x2 y 2 z2 3. Tentukan irisan bidang x – 2 = 0 dengan ellipsoida   1 16 12 4 4. Tunjukkan bahwa bidang y + 6 = 0 memotong paraboloida hiperbolis

x2 y 2   6 z dalam bentuk parabola, dan tentukan puncak dan parameter 5 4 parabolanya. 5. Tentukan persamaan bidang singgung ellipsoida 4x2 + 16y2 + 8z2 = 1 yang sejajar dengan bidang x – 2y + 2z + 17 = 0.

55

DAFTAR KEPUSTAKAAN Kletenic, D., Problems in Analytic Geometry, Moscow: Peace Publisher, t.th. Moeharti Hadiwidjojo, Ilmu Ukur Analitik Bidang Bagian III, Yagyakarta: FMIPA, IKIP Yogyakarta, 1994. Moeharti Hadiwidjojo, Vektor dan Transformasi dalam Geometri, Yagyakarta: FMIPA, IKIP Yogyakarta, 1989. Purcell, Edwin J (Penterjemah: Rawuh, Bana Kartasasmita), Kalkulus Dan Geometri Analitis Jilid II, Jakarta: Erlangga, 1984. Thomas, George B., JR., Calculus and Analytic Geometry, Tokyo, Jakarta Publications Trading Company, Ltd, 1963.

56