Estado General De Esfuerzos Y Deformaciones 6j496r

Estado General de Esfuerzos y Deformaciones 2.1. Matrices de Esfuerzos y Deformaciones Unitarias. Forma Diferencial de las Ecuaciones de Equilibrio (Ecuaciones de Navier) 2.1.1 Matrices de Esfuerzos y Deformaciones Unitarias (ESPARZA) Considerando únicamente los medios continuos (conjunto de partículas con ausencia de espacio) la matriz de esfuerzos está definida por: 𝜎𝑥𝑥 (𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥

𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑧𝑦

𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 ) = 𝜎 𝜎𝑧𝑧

Al momento de aplicar los esfuerzos al sólido continuo, este reacciona mediante deformaciones unitarias, que está definida por la siguiente matriz: 𝜀𝑥𝑥 𝛾 ( 𝑦𝑥 𝛾𝑧𝑥

𝛾𝑥𝑦 𝜀𝑦𝑦 𝛾𝑧𝑦

𝛾𝑥𝑧 𝛾𝑦𝑧 ) = 𝜀 𝜀𝑧𝑧

Podemos decir que tanto la matriz de esfuerzo como la de deformación son matrices de 3x3 SIMÉTRICAS. 2.1.2 Forma Diferencial de las Ecuaciones de Equilibrio (Ecuaciones de Navier) El sistema de ecuaciones de Navier (denominadas también fórmulas vectoriales de Navier) se emplean en la rama de la mecánica de sólidos deformables con el objeto de describir el comportamiento de las partículas de un sólido deformable. Las ecuaciones de Navier proporcionan el estado de deformación de las partículas de un sólido deformable. Consideremos un volumen elemental recortado de un sólido deformable, para el cual la configuración deformada (en equilibrio) sea un prisma rectangular sometido a esfuerzos y fuerzas másicas. Sea Bx las fuerzas por unidad de volumen en dirección X, entonces las ecuaciones diferenciales de equilibrio serán: 𝜕𝜎𝑥 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝜏𝑧𝑥 + + + 𝐵𝑥 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝜎𝑦 𝜕𝜏𝑦𝑧 + + + 𝐵𝑦 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝜏𝑦𝑧 𝜕𝜎𝑧 + + + 𝐵𝑧 = 0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 2.2. Ley Generalizada de Hooke Blanco, José(2016) Resistencia de Materiales. Editorial Universidad de Almería La Ley de Hooke establece que, para cuerpos sometidos a tracción o compresión monoaxial y para pequeñas deformaciones, la tensión es proporcional a la deformación unitaria: 𝜎 = 𝐸∗𝜀

Siendo E el módulo de Young o módulo de elasticidad lineal, que refleja cuánta deformación provoca una tensión en la dirección de aplicación. Tiene unidades de tensión (típicas: MPa, kp/cm2). Para determinar hasta qué límites de tensión un material se comporta de acuerdo a Ley de Hooke se realizan los llamados ensayos de tracción. La Ley de Hooke generalizada define la relación entre los componentes del tensor de esfuerzos y el tensor de deformaciones para materiales isotrópicos, elásticos y lineal: 1



𝜀𝑥 = 𝐸 [𝜎𝑥 − 𝑣(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 )]



𝜀𝑦 = [𝜎𝑦 − 𝑣(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 )] 𝐸



𝜀𝑧 = [𝜎𝑧 − 𝑣(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )] 𝐸

𝛾𝑥𝑦 =

1

𝛾𝑥𝑧 =

1

𝛾𝑦𝑧 =

𝜏𝑥𝑦 𝐺 𝜏𝑥𝑧 𝐺 𝜏𝑦𝑧 𝐺

Donde:  𝒗 es el coeficiente de Poisson, es una magnitud adimensional. Mide cuanto se acorta/alarga un material al aplicar una tensión de compresión/tracción en un eje ortogonal al de la deformación.  G es el módulo de elasticidad transversal o módulo de cizalladura. Para materiales isotrópicos su valor está ligado al de E y 𝒗 mediante: 𝐸 𝑮=𝝁= 2(1 + 𝑣)  𝝁 también conocido como Constante Elástica de Lamé, junto con 𝝀 𝝀=

𝐸𝑣 (1 + 𝑣)(𝑣 − 2𝑣)

2.3. Esfuerzos Sobre Planos de Orientación Arbitraria. Transformación General de Esfuerzos. 2.3.1 Esfuerzos sobre Planos de Orientación Arbitraria Cervera, Miguel (2015). Resistencia de Materiales, Editorial Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería. Barcelona. España. Consideremos un prisma elemental, sometido al estado general de esfuerzos definido por la matriz 𝜎𝑥 𝜏 𝜎 = ( 𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥

𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦

𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 ) 𝜎𝑧

Donde:  𝜎𝑥 = (𝜎𝑥 ; 𝜏𝑥𝑦 , 𝜏𝑥𝑧 )  Vector esfuerzo sobre la cara X positiva  𝜎𝑦 = (𝜏𝑦𝑥 ; 𝜎𝑦 , 𝜏𝑦𝑧 )  Vector esfuerzo sobre la cara Y positiva  𝜎𝑧 = (𝜏𝑧𝑥 ; 𝜏𝑧𝑦 , 𝜎𝑧 )  Vector esfuerzo sobre la cara Z positiva En un estado tridimensional de esfuerzos, la tensión t (𝑡𝑥 , 𝑡𝑦 , 𝑡𝑧 ) que actúa sobre una orientación arbitraria definida por la cara ABC

Determinada por su vector exterior n (l, m, n), se puede escribir como: 𝜎𝑥 𝑡𝑥 𝜏 𝑡 [ 𝑦 ] = [ 𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 𝑡𝑧

𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦

𝜏𝑥𝑧 𝑙 𝜏𝑦𝑧 ] [𝑚] 𝜎𝑧 𝑛

O en forma compacta:

𝒕 = 𝝈𝒏 Donde 𝝈 es la matriz de esfuerzos Por el principio de reciprocidad de los esfuerzos tangenciales, el tensor de esfuerzos es simétrico. Luego, por definición: 

Esfuerzo Normal (𝜎𝑃𝑁 ): Su magnitud es 𝜎𝑃𝑁 = 𝑡 ∗ 𝑛 (𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟)



Esfuerzo Cortante (𝜎𝑃𝑆 ): Su magnitud es 𝜎𝑃𝑁 = √𝑡𝑥 2 + 𝑡𝑦 2 + 𝑡𝑧 2 − 𝜎𝑃𝑁 2



Vector Unitario Normal, expresado a través del Vector Gradiente: ∇𝜙 𝑛= |∇𝜙| Donde, el vector gradiente ∇𝜙 es: 𝜕𝜙 𝜕𝜙 𝜕𝜙 ∇𝜙 = 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

2.3.2 Transformación General de Esfuerzos. El estado general de esfuerzos en un punto se caracteriza mediante seis componentes independientes de esfuerzo normal y esfuerzo cortante, que actúan sobre las caras de un elemento de material ubicado en ese punto.

El estado general de esfuerzos en el punto está representado únicamente por tres componentes de esfuerzo normal( 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 𝜎𝑧 ) y tres componentes de esfuerzo cortante que actúan sobre un elemento que tiene una orientación específica en el punto. En esta sección se mostrará cómo transformar las componentes de esfuerzo de la orientación de un elemento, a otra orientación diferente, como se muestra en la imagen:

g 

La magnitud del esfuerzo normal, es: 𝑎𝑥 ′ 𝑥 𝜎𝑥′ = (𝑎𝑥 ′ 𝑥 𝑎𝑥′ 𝑦 𝑎𝑥′ 𝑧 ) 𝜎 (𝑎𝑥 ′ 𝑦 ) 𝑎𝑥 ′ 𝑧 Desarrollando matricialmente: 𝜎𝑥′ = 𝜎𝑥 𝑎𝑥 ′ 𝑥 2 + 𝜏𝑥𝑦 𝑎𝑥 ′ 𝑥 𝑎𝑥′ 𝑦 + 𝜏𝑥𝑧 𝑎𝑥 ′ 𝑥 𝑎𝑥′ 𝑧 + 𝜏𝑦𝑥 𝑎𝑥′ 𝑦 𝑎𝑥′ 𝑥 + 𝜎𝑦 𝑎𝑥′ 𝑦 2 + 𝜏𝑦𝑧 𝑎𝑥 ′ 𝑦 𝑎𝑥′ 𝑧 + 𝜏𝑧𝑥 𝑎𝑥 ′ 𝑧 𝑎𝑥 ′ 𝑥 + 𝜏𝑧𝑥 𝑎𝑥 ′ 𝑧 𝑎𝑥 ′ 𝑦 + 𝜎𝑧 𝑎𝑥 ′ 𝑧 2 Análogamente sucede para 𝜎𝑦′ y 𝜎𝑧′



También el esfuerzo cortante 𝜏𝑥′𝑧′ puede expresarse de la siguiente manera 𝜏𝑥′𝑧′ = 𝜎𝑥 𝑎𝑥 ′ 𝑥 𝑎𝑧′ 𝑥 + 𝜏𝑥𝑦 𝑎𝑥′ 𝑥 𝑎𝑧′ 𝑦 + 𝜏𝑥𝑧 𝑎𝑥 ′ 𝑥 𝑎𝑧′ 𝑧 + 𝜏𝑦𝑥 𝑎𝑥′ 𝑦 𝑎𝑧′ 𝑥 + 𝜎𝑦 𝑎𝑥′ 𝑦 𝑎𝑧′ 𝑦 + 𝜏𝑦𝑧 𝑎𝑥 ′ 𝑦 𝑎𝑧′ 𝑧 + 𝜏𝑧𝑥 𝑎𝑥′ 𝑧 𝑎𝑧′ 𝑥 + 𝜏𝑧𝑦 𝑎𝑥 ′ 𝑧 𝑎𝑧′ 𝑦 + 𝜎𝑧 𝑎𝑥 ′ 𝑧 𝑎𝑧′ 𝑧

Análogamente sucede para 𝜏𝑥′𝑦′ y 𝜏𝑦′𝑧′ 

Por lo tanto, en base a la matriz A (M. Transformación de Coordenadas) 𝑎𝑥 ′ 𝑥 𝑎𝑥 ′ 𝑦 𝑎𝑥 ′ 𝑧 𝐴 = (𝑎𝑦′ 𝑥 𝑎𝑦′ 𝑦 𝑎𝑦′ 𝑧 ) 𝑎𝑧′ 𝑥 𝑎𝑧′ 𝑦 𝑎𝑧′ 𝑧 Las ecuaciones anteriores se escriben consistentemente como: 𝜎 = 𝐴𝜎𝐴𝑇 Donde: 𝜎 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑥𝑦𝑧 𝜎 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑥 ′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ 𝐴 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴𝑇 = 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛

2.4. Esfuerzos y Direcciones Principales (Diagonalización de la Matriz 𝜎) Se denominan direcciones principales en un punto de una pieza cargada a las direcciones en las que hay que orientar las caras de un paralelepípedo diferencial alrededor de dicho punto, de modo que los esfuerzos cortantes sean nulos en todas las caras de dicho paralelepípedo. A los esfuerzos normales en las direcciones principales se les llama esfuerzos principales. El cálculo de los esfuerzos y direcciones principales equivale a una diagonalización de la matriz de esfuerzos en el punto.

Sea 𝑁 = (𝑙1 , 𝑚1 , 𝑛1 ) el vector unitario normal paralelo al eje principal 1, su vector esfuerzo será: 𝜎 = 𝜎 ∗ 𝑁 … (𝛼) Debido a que los esfuerzos cortantes son nulos  𝜎 = 𝜆𝑁 , quedándonos (𝛼) : 𝜆𝑁 = 𝜎 ∗ 𝑁 Expresado en términos de matriz: 𝜎𝑥 𝜆𝑙1 𝜏 𝑚 (𝜆 1 ) = ( 𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 𝜆𝑛1

𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑧𝑦

𝜏𝑥𝑧 𝑙1 𝜏𝑦𝑧 ) (𝑚1 ) 𝜎𝑧 𝑛1

Desarrollando el producto matricial, obtenemos las ecuaciones que determinan el sistema lineal homogéneo: (𝜎𝑥 −𝜆)𝑙1 + 𝜏𝑥𝑦 𝑚1 + 𝜏𝑥𝑧 𝑛1 = 0 {𝜏𝑦𝑥 𝑙1 + (𝜎𝑦 −𝜆)𝑚1 + 𝜏𝑦𝑧 𝑛1 = 0 𝜏𝑧𝑥 𝑙1 + 𝜏𝑧𝑦 𝑚1 + (𝜎𝑧 −𝜆)𝑛1 = 0 Expresado matricialmente: (𝜎𝑥 − 𝜆) 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝑙1 0 (𝜎𝑦 − 𝜆) 𝜏𝑦𝑧 ) (𝑚1 ) = (0) ( 𝜏𝑦𝑥 𝑛1 0 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 (𝜎𝑧 − 𝜆) En consecuencia, por condición requerida: (𝜎𝑥 − 𝜆) 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 (𝜎𝑦 − 𝜆) 𝜏𝑦𝑧 | = 0 | 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 (𝜎𝑧 − 𝜆)

La matriz que define el estado Principal de Esfuerzos es una matriz diagonal: 𝜎1 Σ= (0 0

0 𝜎2 0

0 0) 𝜎3

Al formular la ecuación característica se obtiene un polinomio de la forma: 𝜆3 − 𝐼1 𝜆2 + 𝐼2 𝜆3 + 𝐼3 = 0 … (𝛽) Donde 𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 son el primer, segundo y tercer invariante de esfuerzos 𝐼1 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 𝐼2 = 𝜎𝑥 𝜎𝑦 + 𝜎𝑦 𝜎𝑧 + 𝜎𝑧 𝜎𝑥 − 𝜏𝑥𝑦 2 − 𝜏𝑥𝑧 2 − 𝜏𝑦𝑧 2 𝐼3 = 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 + 2𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 − 𝜏𝑥𝑦 2 𝜎𝑧 − 𝜏𝑦𝑧 2 𝜎𝑥 − 𝜏𝑥𝑧 2 𝜎𝑦 Resolviendo la ecuación (𝛽) obtendremos las tres soluciones 𝜆1 , 𝜆2 , 𝜆1, las cuales serán reemplazadas en la matriz en orden de mayor a menor en la diagonal hacia abajo. 𝜆1 (0 0

0 𝜆2 0

0 0 ) ; 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛: 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 = 𝜆1 + 𝜆2 + 𝜆3 𝜆3

2.5. Esfuerzos Octaédricos. Estados Medios y Desviador de Esfuerzos. Elipsoide de Esfuerzos 2.5.1 Esfuerzos Octaédricos Considérese un elemento de esfuerzo que tienen unos esfuerzos principales 𝜎1 , 𝜎2 , 𝜎3 . Se corta dicho elemento por un plano que forme ángulos iguales con cada uno de los tres esfuerzos principales. Dicho plano se denomina plano octaédrico. Las resultantes 𝜎𝑜𝑐𝑡 𝜏𝑜𝑐𝑡 en dicho plano serán las siguientes.

 

Esfuerzo Normal: 1 𝜎𝑜𝑐𝑡 = (𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 ) 3 Esfuerzo Cortante: 2

𝜏𝑜𝑐𝑡 = √𝜎𝑃 − 𝜎𝑜𝑐𝑡 2 … (𝜃) 𝜎1 𝜎2 𝜎3 , , ) √3 √3 √3

Donde: 𝜎𝑃 = ( 

Reemplazando en (𝜃): 𝜏𝑜𝑐𝑡 =

√2 √𝜎1 2 3

+ 𝜎2 2 + 𝜎3 2 − 𝜎1 𝜎2 − 𝜎2 𝜎3 − 𝜎1 𝜎3

2.5.2 Estado Medio y Desviador de Esfuerzos

2.5.3 Elipsoide de Esfuerzos García Juan (2006) Elasticidad y resistencia de materiales. Recuperado de: https://www.editorial-club-universitario.es/pdf/2138.pdf Para un determinado punto del sólido elástico y un determinado estado tensional, el elipsoide de tensiones de Lamé representa los extremos de todos los vectores tensión en dicho punto. Dichos vectores tensión son los obtenidos para cada uno de los infinitos planos con los que se puede “cortar” el sólido elástico, en dicho punto.

La ecuación del elipsoide de esfuerzos será la siguiente: 𝜎𝑃𝑥 2 𝜎𝑃𝑦 2 𝜎𝑃𝑧 2 + 2 + 2 =1 𝜎1 2 𝜎2 𝜎3

2.6. Esfuerzos Cortantes Máximos Dada la matriz de esfuerzos en el estado principal (Σ): 𝜎1 Σ= (0 0

0 𝜎2 0

0 0) 𝜎3

Al rotar el prisma, la componente de esfuerzo normal 𝜎𝑁 , será: GRAFICA 𝜎𝑁 = 𝜎1 l2 + 𝜎2 m2 + 𝜎1 n2 Y por lo tanto la componente de esfuerzo cortante: 𝜏 2 = 𝜎1 2 𝑙 2 + 𝜎2 2 𝑚2 + 𝜎3 2 𝑛2 − (𝜎1 l2 + 𝜎2 m2 + 𝜎1 n2 ) Para hallar los valores extremos debemos dar solución usando los Multiplicadores de Lagrange, con los cuales obtendremos las siguientes soluciones 𝜎2 − 𝜎3 2 𝜎3 − 𝜎1 𝜏= 2 𝜎1 − 𝜎2 𝜏= 2

𝜏=

Debido a que por condición: 𝜎1 > 𝜎2 > 𝜎3 Entonces: 𝜏𝑚𝑎𝑥 =

|𝜎3 − 𝜎1 | 2

2.7. Estado Plano de Esfuerzos 2.7.1 Transformación de Esfuerzos Bidireccionales Componentes de esfuerzo normal y cortante: Suponiendo que el área seleccionada es ∆𝐴, entonces las caras horizontal y vertical del segmento tiene un área de ∆𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 y ∆𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃, respectivamente:

En la segunda figura se muestra el diagrama de cuerpo libre resultante. Realizando la sumatoria de fuerzas a lo largo de los ejes X’ e Y’ obtendremos: 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2 2 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 𝜏𝑥′𝑦′ = − 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝜃 2

𝜎𝑥′ =

El esfuerzo normal en la dirección Y’ será: 𝜎𝑦′ =

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2 2

2.7.2 Esfuerzos Principales Para determinar el esfuerzo normal máximo y mínimo, es necesario diferenciar la siguiente ecuación: 𝜎𝑥′ =

𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2 2

Con respecto a 𝜃 e igualar a cero: 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 𝑑𝜎𝑥′ (2 𝑠𝑒𝑛2𝜃) + 2𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 0 =− 𝑑𝜃 2 Al resolver esta ecuación resulta la orientación 𝜃 = 𝜃𝑃 de los planos donde ocurre el esfuerzo normal máximo y mínimo tan 2𝜃𝑃 =

2𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

Los Esfuerzos Principales serán: (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) ± √(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 )2 + 4𝜏𝑥𝑦 2 𝜎1 =

2

2.7.3 Esfuerzo Cortante Máximo

2.7.4 Representación Gráfica del Estadio Plano de Esfuerzos. Circunferencias de Mohr 2.8. Recipientes Sometidos a Presión. Recipientes de Doble Curvatura. Ecuación de Laplace