Diapositivas De Vectores 3p4x3p

VECTORES PRFESOR: MIGUEL A. RIVERA M

Sistema Internacional SI (MKS)

Sistema Segesimal CGS

Sistema Inglés

L

Metro m

Centímetro Cm

Pie ft

M

Kilogramo Kg

Gramo gr

slug

T

Segundo S

Magnitud Fundamental Dimensión

Longitud Masa Tiempo

Segundo Segundo S S

MAGNITUD MAGNITUD

Es cualquier

Que se puede

Puede ser Vectorial

Escalar

Si posee Una Dirección

Si solo posee Un

Sentido

Elemento Físico Físico Elemento

medir Que es lo mismo

comparar Valor numérico Y una Unidad

Con un

Patrón Establecido

Algunas cantidades pueden ser descritas totalmente por un número y una unidad de medida Camarones

50 Km

En el grafico se puede observar la leyenda 50 Km Esta magnitud se expresa con solo un número y una unidad

Las cantidades que se definen con un número y una unidad se llaman CANTIDADES ESCALARES

A las cantidades escalares que se miden con las misma unidades, se les puede aplicar las reglas de las operaciones de la aritmética. 50 Km + 72 Km + 26 Km = 148 Km 55 Gl – 30 Gl = 25 Gl.

Otras cantidades físicas, como el desplazamiento, la velocidad, la fuerza, etc., además de un número y una unidad, también tienen dirección y sentido. Estas cantidades se llaman VECTORIALES o VECTOR En algunos casos la dirección y el sentido quedan determinados por un ángulo y un punto cardinal

Rumbo Noreste Rumbo Norte

Rumbo Este

Ve ct or

r o t c Ve β

Dirección y Sentido

Sentido NO

Plano cartesiano N or

Ve Dirección ct or 120º

O

NE Sentido ct e V Dirección 30º

E

S

Plano Cartesiano

α

Los vectores se representan gráficamente por una flecha

•

Una flecha representa una magnitud por su tamaño

• Una flecha tiene dirección: es el ángulo que forma con el eje positivo X • Una flecha tiene sentido: lo indica la saeta de su extremo final.

Detener Deformar

Mover

Tirar

Empujar

A todas estas acciones de deformar, tirar, empujar, mover, detener, se les llama FUERZA

En la diapositiva anterior observamos lo siguiente: •

DEFORMAR: el monacho acciona sobre el telón.

•

TIRAR: el monacho acciona sobre la tapa del buzón.

•

EMPUJAR: el monacho acciona sobre el morral.

•

MOVER: los monachos actúan sobre los trompos.

• DETENER: el monacho actúa sobre la cuerda y la cuerda sobre la bomba. “Podemos concluir que para que exista fuerza deben interactuar, mínimo, dos cuerpos.”

Observe que el peso de los discos deforma la barra.

W

W

El peso de los cuerpos tiene dirección vertical y siempre tiene sentido hacia abajo porque es la fuerza con que la tierra los atrae. Toda fuerza es un vector porque tiene magnitud, sentido y dirección, por eso se representa con una flecha.

La unidad con que se mide la fuerza en el SI es Kg·m/s2. A esta unidad se le ha dado el nombre de Newton (N) en honor al físico y matemático inglés ISAAC NEWTON por haber descubierto las leyes del movimiento. En el sistema ingles la fuerza se mide en libras (lb) La fuerza es una magnitud deriva de las tres fundamentales cuya ecuación dimensional es: M·L·T-2

Con los vectores, como cualquier otra magnitud, se pueden realizar operaciones matemáticas. Existen varios métodos para sumar vectores: Suma Geométrica: es un procedimiento que consiste en desplazar los vectores, uno a continuación del otro, respetando de cada uno su dirección y sentido B A

C C

B

A A + B + C

Dados los vectores: C

B

A

D

E

Para sumarlos procedemos como en el caso anterior: C

Observe que el polígono se cierra A

B D

E

Cuando un polígono se cierra al sumar vectores, la suma Vectorial es igual a Cero.

Observe la siguiente situación: Se requiere mover el bus F1 no mueve el bus F1 F2

F1 más F2 tampoco mueven el bus

Las tres fuerzas aplicadas al tiempo hacen que el bus se mueva Podemos concluir que cuando las fuerzas tienen igual Sentido se suman como cantidades escalares

Las tres imágenes presentan fuerzas de sentido contrario: El perro tira hacia delante y el niño hacia atrás, pero el perro avanza. ¿por qué? La cometa tira hacia arriba y el niño hacia abajo. No hay avance. ¿por qué? El pez tira hacia abajo y el pescador hacia arriba, el pez sale. ¿por qué?

Concluimos que cuando dos vectores tienen sentido opuesto se restan como escalares.

Sobre un bloque de 200 Kg de masa, colocado sobre una mesa que produce una fuerza de fricción FR = 45 N, se aplican dos fuerzas F1 y F2 como nos indica la siguiente gráfica. F2 = 95 N F1= 100 N FR = 45 N

La fuerza neta que actúa sobre el bloque es la indicada en:

240 N

240 N

150 N

150 N

Sobre un bloque de 200 Kg de masa, colocado sobre una mesa que produce una fuerza de fricción FR = 45 N, se aplican dos fuerzas F1 y F2 como nos indica la siguiente gráfica. F2 = 95 N

F1= 100 N FR = 45 N

La fuerza neta que actúa sobre el bloque es la indicada en:

195 N

195 N

50 N

50 N

Dos Vectores son rectangulares cuando forman un ángulo de 90º, es decir, cuando son 2 B perpendiculares. 2 +

Ejemplo:

B

Se necesita mover el bloque B

2

+B A FN = 2

A

FN

=

A

A ¿Cómo se suman estas fuerzas?

1º : Trazamos paralelas a cada Fuerza, por el extremo de la otra, para formar un paralelogramo y luego trazamos la diagonal, la cual es la suma de los dos vectores. 2º : Para calcular la fuerza neta aplicamos el teorema de Pitágoras

¿Cuál es la resultante de una fuerza de 5 N dirigida horizontalmente a la derecha y una de 12 N dirigida verticalmente hacia abajo? β

5 N

FN

12 N

θ

• Trazamos paralelas a las dos fuerzas para formar un rectángulo • Trazamos la diagonal del rectángulo que es la fuerza resultante • Aplicamos el teorema de Pitágoras

FN =

( 5N )2 + (12N)2 =

2 = 13N = 169 N 25N + 144 N

2

2

¿ Cómo podemos conocer la dirección de la fuerza neta?

β

5 N

Sabemos que la dirección de un vector es el ángulo positivo que forma el con el eje X, para el caso β.

12 N

FN

12 N

θ

Pero podemos calcular el ángulo θ y luego por sustracción calcular el ángulo β, porque β + θ = 360º

12N Tan θ = = 2,4 5N

⇨ Tan-1 2,4 = 67,38013505

por lo tanto β = 360º - 67,38º = 292,62º Estas unidades se pueden convertir a grados, minutos y segundos así: θ = 67,38º

67,38013505

º ‘ “

67º 22’ 48’’

Este es el valor del ángulo θ

β = 360º - θ = 360º - 67º 22’ 48” = 292º 37’ 12” 360 º ‘ “

- 67

º ‘ “

22

º ‘ “

48

º ‘ “

=

“En todo triángulo la medida de los lados es directamente proporcional a los senos de los ángulos opuestos”. B c A

a

b a c = SenA SenB = SenC

C b Esta proporción se puede convertir en tres equivalentes, así:

a b = SenA SenB

a c = SenA SenC

b c = SenB SenC

Mediante este teorema podes sumar vectores de dos en dos, aplicando el método del triángulo obtusángulo.

B

a

c

C b

A

En el triángulo ABC, se conocen el ∠ A = 25º, ∠ C = 30º y a = 3 cm. Calculemos los elementos que faltan conocer: a, c y ∠ B Solución: Sabemos que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, por lo tanto: ∠ B + 25º + 30º = 180º Despejando:

∠ B = 180º - 25º - 30º

Ahora aplicamos el teorema del seno:

⇨ ∠ B = 125º

3 cm. c = Sen 25º Sen 30º

3 cm. x Sen 30º c= c ≈ 3,55 cm. Sen 25º b 3 cm. 3 cm. x Sen 125º = b = b ≈ 4,9 cm. Sen 125º Sen 30º Sen 30º

Despejando:

“En todo triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman” B c A

a b

C

a2 = b2 + c2 - 2bcCosA b2 = a2 + c2 - 2acCosB c2 = a2 + b2 - 2abCosC

Calcular la fuerza que mueve el cuerpo

0 N 3 = F1

40º F2=35 N

Dos vectores que forman ángulos diferentes de 90º se suman de dos maneras: Por el método del paralelogramo o por el método del triángulo. Método del Triángulo

Método del Paralelogramo 0 N 3 = F1

40º

FN = F1 + F2 FN = F1 + F2

F2=35 N F2=35 N

0 N 3 = F1

En el método del Paralelogramo observe: 0 N 3 = F1

40º

FN = F1 + F2 140º

F2=35 N

Si prolongamos F2 El triángulo formado por FN, F2 y la paralela de F1, en el paralelogramo, es congruente con el triángulo formado por FN, F1 y F2

40º

En el método del triángulo observe: FN = F1 + F2 140º

F2=35 N

40º

0 N 3 = F1

Se puede concluir que:

El método del triángulo es un caso especial del método del paralelogramo y por lo tanto por cualquiera de los dos se pueden hace los cálculos.

FN = F1 + F2 140º

F2=35 N

40º

0 F 1=3

N

Como sólo se conoce los vectores F1 y F2 y el ángulo formado por ellos, tenemos que utilizar el teorema del Coseno

b c a c a b = = = SenB SenC SenA SenC SenA SenB b2 = a2 + c2 - 2acCosB a2 = b2 + c2 - 2bcCosA c2 = a2 + b2 - 2abCosC ¿Cuál de las seis ecuaciones anteriores podemos utilizar?

FN = F12 + F22 _ 2F1F2Cos 140º FN =

Reemplazando

(35 N)2 + (30 N)2 _ 2(35 N)(30 N)(Cos 140º )

FN ≈ 60 N

Se trata ahora de calcular los ángulos que hacen falta del triángulo FN = F1 + F2 140º

A F2=35 N

60 N 30 N = Sen 140º Sen A SenA = 0,321393

∠ B = 180º - 140º 18,75º

B Como conocemos los tres 0 N lados y un ángulo, se 3 = F1 puede aplicar el teorema 40º del Seno.

SenA =

30 N x Sen140º 60 N

Sen-1 ANS = 18,75º ⇨ ∠B= 21,25º

El vector F se puede descomponer en dos vectores que Fy son sus proyecciones en los ejes de coordenadas PROCEDIMIENTO: FX 1. Se trazan perpendiculares a los ejes de coordenadas por los extremos del vector. F

2. Los vectores Fx y Fy son las componentes rectangulares del vector F

El vector F forma con el eje X el ángulo agudo β FY FY La línea punteada perpendicular a X es β congruente con FY por lo tanto la podemos reemplazar FX Ahora tenemos un triángulo rectángulo formado por los vectores F (hipotenusa), FX (cateto adyacente al ∠ β) y FY (cateto opuesto al ∠ β) Luego FY = F sen β FY F

Entonces :

y

Sen β = FX F Cos β = F

Por tanto

FX = F Cos β

Estas dos ecuaciones nos permiten calcular las componentes rectangulares de cualquier vector

N 60

FY

75º

FX

FY

Calcular las componentes rectangulares de una fuerza de 60 N que forma con la horizontal un ángulo de 75º Solución: Trazamos un esquema que interprete el problema ¿Se puede aplicar el teorema de Pitágoras? Ahora aplicamos las ecuaciones anteriores Fy =F·Senθ FY = 60 N Sen 75º ≈ 58 N FX = F·Cosθ FY = 60 N Cos 75º ≈ 15,5 N

Se usa para sumar dos o más de dos vectores al mismo tiempo así: F F1

170º

260 º

30º

F2 Para sumar estos vectores se requiere descomponer cada uno de ellos en sus componentes rectangulares.

AY B = 13 BY 170º N BX

A = 15 N 43º AX

AY = 10,2 N BY = 2,3 N BX = 12,8 N

AX = 10,9 N

1. Descomponer los vectores en sus componentes rectangulares. 2. Calcular el valor de dichas componentes, mediante las ecuaciones AX = A·Cosθ y AY = A·Senθ. Este cálculo se hace por cada Vector. AX = 15 N·Cos 43º = 10,9 N

BX = 13 N·Cos 170º = 12,8 N

AY = 15 N·Sen 43º = 10,2 N

BY = 13 N·Sen 170º = 2,3 N

AY = 10,2 N BY = 2,3 N

FN

Σ Y = 12,5 N θ Σ X = - 1,9 N

AX = 10,9 BX = 12,8 N N 3. Se suman algebraicamente los vectores de cada eje. Σ X = AX – BX = 10,9 N – 12,8 N ⇨ Σ X = - 1,9 N Σ Y = AY + BY = 10,2 N + 2,3 N ⇨ Σ Y = 12,5 N 4. Se suman los dos vectores rectangulares Σ X y Σ Y mediante el teorema de Pitágoras F = ∑ + ∑ N

FN =

(1,9 N) 2 + (12,5 N ) 2

2 x

2

y

= 12,6 N

La dirección del FN, se calcula Utilizando la Tangente de θ