Diapositivas Aplicaciones Del Teorema De Green. 493ty

Aplicaciones del Teorema de Green INTEGRANTES ◦ Aguilar Vásquez Andrés ◦ Bardales Sánchez, Jorge ◦ Culqui Goyzueta Andrea ◦ Narro Angulo Thania ◦ Villa Vásquez Alexis ◦

CURSO

: Calculo III

 

¿Qué es el teorema de Green? El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva.

Teorema de Green en regiones simplemente conexas 1.1Curvas de Jordán   Toda curva de Jordan C descompone el plano en dos conjuntos abiertos conexos disjuntos que tienen a C como frontera común, uno de ellos acotado (el interior de C) y otro no acotado (el exterior de C). Nótese que estos conceptos no se corresponden con el interior y el exterior topológicos del conjunto C y, por tanto, no deben ser confundidos con ellos. La demostración de este resultado en toda su generalidad no es sencilla; el primero en probar el llamado teorema de la curva de Jordán fue Oswald Veblen, en 1905 1.1 Teorema de Green

 

1.3. Conjuntos simplemente conexos   dice que S es simplemente conexo si la región interior a toda curva de Se Jordan C contenida en S es también un subconjunto de S. Si S no es simplemente conexo, se dice múltiplemente conexo.

Aplicaciones del Teorema de Green

3.1. El número de giros El valor de la integral de línea de un campo vectorial depende de la curva sobre la que se integra y del sentido en que ésta se recorre. El número de giros es un instrumento analítico que proporciona un método matemáticamente preciso para contar el número de veces que el radio vector α gira alrededor de un punto dado cuando va describiendo una curva determinada, y puede utilizarse para asignar una orientación a dicha curva.

4.2. Demostración del teorema del cambio de variables en el plano. Si W (α; P0) = +1 para todo P0 interior a C, decimos que α describe C en sentido positivo: contrario al del movimiento de las agujas del reloj. Si W (α;P0) = −1, decimos que α describe C en sentido negativo: el del movimiento de las agujas del reloj. Teorema (Cambio de variables). Sean T, S conjuntos medibles Jordan en los planos OUV y OXY , respectivamente. Sea f una función integrable sobre S. Supongamos que las ecuaciones x = X (u, v), y = Y(u, v) ((u, v) ∈ T) definen una transformación biyectiva de T en S, con inversa dada por las ecuaciones u = U(x, y), v = V(x, y) ((x, y) ∈ S). Si X, Y ∈ C 2 (T), U, V ∈ C 1 (S), y el jacobiano de la transformación:

    No se anula en T, entonces

El caso general   el apartado anterior hemos probado, con ayuda del teorema de Green, la En validez de la fórmula (2), correspondiente al teorema del cambio de variables en el caso particular en que R es un rectángulo del plano OXY, R su imagen en el plano OUV, y el integrando la función idénticamente 1. Apoyándonos en ella estableceremos ahora la validez de dicho teorema en el caso general.

Anexos 1.) Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar

x 4 dx  xydx , donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada positivamente.

2.Determinación de un área de línea. Determine el área de la región limitada por la hipocicloide que tiene la ecuación vectorial y 1 -1

1

-1

x

físico sobre una región con agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homogénea de radio interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus diámetros. y

C2 b

C1

x

4.) Limitaciones en la aplicación del Teorema de Green. Dado F(x;y)= (P;Q) = (-y i + x j) / (x2 + y2) a) Calcular su integral de línea sobre el círculo x2 + y2 = 1 b) Calcular donde D es la región encerrada por la curva del punto a). c) Discutir si estos resultados están de acuerdo o no con el Teorema de Green.  Q P   dA  x y 

  D