Deber No2 Edo Primer Parcial 5p554g

DEBER No.2 de E.D.O. 20 de noviembre de 2017 Prof: Ing Galo Prócel MsC. Fecha de entrega: día de la prueba 2 (se indicará oportunamente) 1. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a 95ºC, se enfría y llega a 80ºC en 5 minutos mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura está a 21ºC. Determine en que momento el café estará a la temperatura ideal de 50ºC. 2. El Sábado 24 de Febrero del 2007 a las 07h00 A.M. un conserje del básico encuentra el cuerpo de un estudiante de ecuaciones diferenciales en el aula donde rindió su examen el día anterior, que se conserva a temperatura constante de 26° C. En ese momento la temperatura del cuerpo es de 28° C y pasada hora y media la temperatura es de 27.5° C. Considere la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte de 37° C y que se ha enfriado según la Ley de Enfriamiento de Newton, ¿cuál fue la hora de la muerte? 3. Supóngase que un alumno de la EPN es portador del virus de la gripe y a pesar de ella va a la escuela donde hay 5000 estudiantes. Si se supone que la razón con la que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de infectados sino también a la cantidad de no infectados. Determine la cantidad de alumnos infectados a los 6 días después, si se observa que a los 4 días la cantidad de infectados era de 50. 4. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidad puede esperarse al cabo de 16 horas, con la misma rapidez de crecimiento? 5. Un objeto que pesa 30Kg se deja caer desde una altura de 40 m, con una velocidad de 3m/s. supóngase que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser 40m/s. Encontrar la expresión de la velocidad en un tiempo t. La expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t cualquiera. 6. La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20 m/s la resistencia es de 40 Newtons. Se conoce que el motor ejerce una fuerza constante de 50Newtons. En la Dirección del movimiento el bote tiene una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg. a) Determine la distancia recorrida y la velocidad en cualquier instante suponiendo que el bote parte del reposo. b) Determine la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.

7. Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30 ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inical. Hallar la corriente para t=1/5 segundos.

200e−5t

8. Una Fem. de voltios se conecta en serie con una resistencia de 20 Ohmios y una capacitancia de 0.01 Faradios. Asumiendo que la carga inicial del capacitor es cero. Encuentre la carga y la corriente en cualquier instante de tiempo. -x

9. Calcular las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y = x - 1 + ke : k e R.

10. La población de Quito era de 200 mil habitantes en 1,950 (t = 0) y de 1 millón en 1,985 (t = 35). Si en cada instante crece con rapidez proporcional a la población existente en ese instante, ¿en qué año la población de Quito excederá los 5 millones de habitantes? 11. Según una teoría cosmológica, en el instante inicial del Universo había igual cantidad de átomos de uranio 235 (U 235) y de uranio 238 (U 238). Se estima que en la actualidad la relación de U 238 y U 235 en una muestra es de 6197 a 45. La vida media de una sustancia radioactiva es el tiempo necesario para que una cantidad de la sustancia se reduzca a la mitad. Si la vida media del U 238 se estima en 4,51 mil millones de años y la del U 235 en 0,707 mil millones de años, estime la edad del Universo.

12. Un termómetro que está inicialmente en el interior de una habitación se lleva al exterior donde la temperatura es aproximadamente constante a 150C. Después de un minuto marca 300C y después de 10 minutos marca 200C. De acuerdo a la ley de Newton ¿Cuál era la temperatura de la habitación? 13. Una masa de metal se extrae de un horno a 10000C y se pone a enfriar en un lugar cuya temperatura se mantiene aproximadamente constante a 300C. Después de 10 horas su temperatura desciende a 2000C ¿Cuánto tardará en llegar a 310C? ¿Llegará en algún instante la temperatura a ser igual a la temperatura ambiente de 300C? Justifique su respuesta. 14. A un tanque que contenía 400 litros de agua pura se bombea una solución de aguasal que contiene 0.05 kg de sal por litro, a una razón de 8 litros por minuto. La mezcla homogeneizada sale con la misma rapidez. El proceso se interrumpe al cabo de 50 minutos y a continuación se bombea agua pura a la misma razón de 8 litros por minuto (la mezcla sigue saliendo a la misma velocidad). Determine: a) La cantidad de sal en el tanque al cabo de los primeros 50 minutos. b) La cantidad de sal al cabo de 100 minutos. c) Esboce la gráfica de la solución. 15. Una sala con un volumen de 32 metros cúbicos está inicialmente llena de aire libre de monóxido de carbono. A partir del tiempo t = 0 entra a la sala aire con humo de cigarrillo a razón de 0,002m3/min con un 4 % de monóxido de carbono. El aire se mezcla rápidamente en la sala y sale a la misma razón de 0,002m3/min. a) ¿Cuánto tardará la concentración de monóxido de carbono en la sala en alcanzar el nivel del 0,0012 %, peligrosa para seres humanos? b) Si la situación persistiera, ¿qué pasaría cuando t → ∞? 16. Una fábrica está situada cerca de un río con caudal constante de 1000m3/seg que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m3 . Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 10 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 1m3/seg. Suponga que el lago tiene una salida de 1000m3/seg de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de: un día, un mes (30 días), un año (365 días). 17. Un cuerpo de 25 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. Sea v = v(t) la velocidad en el instante t. Determine el tiempo de ascenso del cuerpo suponiendo que las únicas fuerzas que actúan son la fuerza de la gravedad y la fuerza de fricción ejercida por el aire que es igual a −5 v. ¿Cuál es la altura máxima a la que sube el cuerpo? 18. Suponga que la velocidad v = v(t) con la que cae un cuerpo de 1 g de masa satisface la ecuación diferencial que describe la caída de los cuerpos. Halle la constante γ suponiendo que lim t→∞ v(t) = −400 cm/s. 19. Un cuerpo de masa m cae desde el reposo en un medio que opone una fuerza de fricción proporcional al cuadrado de la rapidez. Es decir, |fR(v)| = k v2 para alguna constante de proporcionalidad k. Plantee y resuelva el problema de valor inicial para la velocidad v = v(t) y halle además lim t→∞ v(t). 20. En cada caso halle las trayectorias ortogonales a la familia de curvas que se da (c denota una constante cualquiera): (a) y 2 − x 2 = c, (b) x 2 + y 2 = c x, (c) y = c ex, (d) e x cos y = c.

Resolver las siguientes EDO. 1.

y ''  2 y ' y 

ex 2x

2.

y ''  2 y '  5e 3x

3.

y '' 4 y '5 y  2 x  x 2

4.

y ' '  2 y '  y  3e x

5.

y ' '  y '  4 x 2 1 sen 2 x

6. 7.

y’’-5y’+6y=x ex

8.

y’’+2y’+2y=e-x cos(x)

9.

y’’- 2y’+ y= cos(x)+ 3ex + x2 – 1

y ' '  3 y '  2 y  sen(e x )

10. x2y’’ + 2xy’ + 4y = sen(ln(x)) + e2ln(x) 11. x2y’’ + xy’ + 9y = 3tan(3ln(x)) 12. (x-2)2y’’ + 3(x-2)y’ + y = ln2(x-2) – 5ln(x-2) + 6