Contoh Soal Bangun Ruang 345o67

Contoh-contoh Soal Dimensi Tiga A. Jarak titik ke titik Diketahui kubus ABCD. EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. misalkan P merupakan perpotongan diagonal bidang ADEH. Hitung jarak titik P dan titik B ! Penyelesaian :

Jadi, jarak titik B ke titik P adalah = Panjang BP

Jadi, jarak titik B ke perpotongan bidang ADEH adalah 2√6 B. Jarak Titik ke Garis Diketahui Kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 5 cm . Titik O adalah pertengahan FH. Hitunglah jarak titik C ke garis FH. Penyelesaian : * Perhatikan ∆CFG siku-siku G, CG=FG=5 cm

*Perhatikan ∆COF siku-siku O, CF=5√2 cm dan OF=5/2 √2 cm

Jadi, jarak titik C ke garis FH = 5/2 √(6 ) cm C. Jarak Titik Ke Bidang Diketahui balok ABCD-EFGH dengan AB = 10 cm, AD = 8 cm, dan AE = 6 cm. Titik O adalah titik potong diagonal-diagonal bidang alas AC dan BD. Hitunglah jarak titik O ke bidang BCFG dan ke bidang EFGH ! Penyelesaian : Perhatikan Balok ABCD .EFGH diatas ! Jarak O ke bidang BCFG adalah a. Perhatikan ∆BRO, siku-siku di R

b.Perhatikan ∆BCG, siku-siku di C

BR = 5 cm c. Perhatikan ∆BRO, siku-siku di R

Maka, jarak titik O ke bidang BCFG adalah OR= 4cm Jarak O ke Bidang EFGH adalah OT = AE = 6cm, karena OT sejajar dengan garis AE dan tegak lurus EFGH D. Jarak Garis ke Garis Diketahui balok ABCD.EFGH memiliki panjang 8 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 6 cm. Hitung jarak antara garis CD dan garis EF ! Penyelesaian : Perhatikan Balok ABCD.EFGH ! Garis CD // Garis EF Jarak CD dan EF = Panjang CF

Jadi, jarak antara garis CD dan EF adalah 2√13 cm E. Jarak Garis Ke Bidang Balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk-rusuk AB = 5 cm, BC = 4 cm, dan AE = 3 cm. Hitunglah jarak antara garis AE dan bidang BCGF! Penyelesaian : Garis AE dan bidang BCGF merupakan garis dan bidang yang sejajar. Jarak antara garis AE dan bidang BCGF ditentukan oleh panjang ruas garis AB, sebab AB tegak lurus garis AE dan juga tegak lurus bidang BCGF. Jadi, jarak anatar garis AE dan bidang BCGF yang sejajar itu sama dengan panjang rusuk AB = 5 cm F. Jarak bidang Ke bidang Diketahui, kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak bidang AFH ke bidang BDG. Penyelesaian :

Jarak bidang AFH ke bidang BDG di wakili oleh PQ PQ = 1/3 CE Perhatikan ∆ABC, siku-siku di B

Perhatikan ∆EAC, siku-siku di A

Jadi, jarak bidang AFH ke bidang BDG adalah 2√3 cm Soal No. 1 Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke bidang BDG adalah... Pembahasan Perhatikan gambar berikut. Posisi titik E dan bidang BDG Garis merah adalah jarak yang akan dicari, dimana garis tersebut harus tegak lurus dengan bidang BDG. Tambahkan garis-garis bantu untuk mempermudah Perhatikan segitiga EQG yang akan digunakan sebagai acuan perhitungan.

Panjang-panjang yang diperlukan adalah PQ = 8 cm, sama panjang dengan rusuk kubus. EG = 8√2 cm, diagonal bidang kubus. Mencari panjang GQ dengan phytagoras, dengan QC adalah setengah dari diagonal sisi = 4√2

Kemudian pada segitiga EPQ berlaku

ER tidak lain adalah jarak titik E ke bidang BGD.

Soal No. 2 Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Titik I terletak di tengah-tengah rusuk BC. Tentukan jarak titik I ke bidang AFGD Pembahasan Sketsanya seperti berikut Dari segitiga KLI diperoleh jarak titik I ke bidang AFGH, yaitu panjang dari I ke J dengan data-data yang diperlukan: LI = 10 cm, sama dengan panjang rusuk kubus. KI = 10 cm, sama panjangnya dengan rusuk kubus KL = 10√2 cm, sama panjangnya dengan diagonal sisi kubus, ingat a√2

Sehingga

Soal No. 3 Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik P adalah titik tengah EH, Q adalah titik tengan BF, R adalah titik tengah CG dan S adalah titikpotong garis ACdan BD. Tentukan jarak titik S ke bidang PQR Pembahasan Posisi titik P, Q, R dan S pada kubus sebagai berikut: Acuan hitung adalah segitiga PST, tambahkan titik-titik lain jika perlu.

Tentukan panjang ST, PS dan PT dengan phytagoras, akan ditemukan bahwa ST = 3√2 cm dan PT = √45 cm

Misalkan UT = x, maka PU adalah √45 − x, dan US namakan sebagai t Dari segitiga STU

Dari segitiga PSU

Eliminasi dan substitusikan hingga di dapat panjang t Nilai t adalah

Contoh Soal 1 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak titik B ke bidang BDG dan titik A ke bidang AFH. Penyelesaian: Untuk memudahkan menyelesaikan soal ini kita gambar dulu bentuk kubusnya, seperti gambar di bawah ini. P merupakan titik perpotongan antara diagonal AC dan BD maka, Panjang AC yakni: AC = s√2 AC = 12√2 cm Panjang PC yakni: PC = ½AC = 6√2 cm Panjang PG (dengan teorema Pythagoras) yakni: PG2 = PC2 + CG2 PG2 = (6√2)2 + 122 PG2 = 72 + 144 PG = √216 PG = 6√6 cm Dengan menggunakan kesebangunan segitiga maka ΔX sebagun dengan ΔPCG, maka: PC/PG = CX/CG 6√2/6√6 = CX/12 √2/√6 = CX/12 CX = 12√2/√6 CX = 12/√3 CX = 4√3 cm

Contoh Soal 2 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik B ke bidang AFH. Penyelesaian: Kita gambar dulu bentuk kubusnya, maka akan tampak seperti gambar di bawah ini: P merupakan titik perpotongan antara diagonal EG dan FH dan CX merupakan jarak antara bidang AFH dengan titik C, maka, Panjang AC yakni: AC = s√2 AC = 6√2 cm Panjang EP yakni: EP = ½AC = 3√2 cm Panjang = AP yakni: AP2 = AE2 + EP2 AP2 = 62 + (3√2)2 AP = √54 AP = 3√6 cm Perhatikan ΔA, merupakan segitiga sama kaki dengan tinggi sama dengan panjang rusuk kubus. Dengan menggunakan perbandingan luas segitiga maka: L.ΔA = L.ΔA ½ AC.AE = ½ AP.CX CX = AC.AE/AP CX = 6√2 . 6/3√6 CX = 12/√3 CX = 4√3 cm Berikut beberapa konsep yang digunakan pada pembahasan :

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H ke garis AC adalah ... Pembahasan : Jarak titik H ke garis AC adalah OH. rusuk = a = 8 OH = a2√6 = 82√6 = 4√6

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dan ED dan titik Q adalah titik potong FH dan EG. Jarak titik B ke garis PQ adalah ... Pembahasan : Jarak titik B ke garis PQ adalah BR. rusuk = a = 4 BP = BQ = a2√6 = 42√6 = 2√6 PQ = √PS2+SQ2=√22+22=2√2 BPQ sama kaki sehingga : PR = RQ = 12PQ = 12(2√2) = √2 Perhatikan segitiga BPR siku-siku di R BR = √BP2−PR2 BR = √(2√6)2−(√2)2 BR = √22

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah ... Pembahasan : Jarak titik M ke garis AG adalah MO a=8 Perhatikan bahwa garis MN dan AG berpotongan tegak lurus dan sama besar di titik O, sehingga MO = 12. MN MO = 12. a√2 MO = 12. 8√2 MO = 4√2

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6√3 cm. Jarak Bidang ACH dan EGB adalah ... Pembahasan : Jarak bidang ACH dan EGB = jarak garis OH dan BR = jarak titik P dan Q ⇒ PQ. rusuk = a = 6√3 OH = BR = a2√6 = 9√2 OR = a = 6√3 HF = a√2 = 6√6 HR = 12 × HF = 3√6 DF = a√3 = 18

Perhatikan bidang BDHF OHRB adalah jajar genjang dengan alas OH dan tinggi PQ Ingat : luas jajar genjang =alas×tinggi Luas jajar genjang OHRB = 2 × luas ⊿ OHR OH × PQ = 2 × 12×HR×OR OH × PQ = HR × OR 9√2 × PQ = 3√6 × 6√3 ⇒ PQ = 6 atau DP = PQ = QF = 13 × DF DP = PQ = QF = 13 × 18 ⇒ PQ = 6 Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk kubus adalah 12 cm. Titik P terletak pada perpanjangan rusuk DC sehingga : DP = 1 : 3. Jarak titik P dengan bidang BDHF adalah ... Pembahasan :

Jarak titik P ke bidang BDHF = jarak titik P ke garis BD ⇒ PQ. rusuk = a = 12 : DP = 1 : 3 ⇒ DC : = 2 : 1 DC = 12 ⇒ = 6 DP = DC + = 12 + 6 =18 BD = a√2 = 12√2

Perhatikan segitiga BDP Dengan menggunakan rumus luas segitiga diperoleh : 12 × BD × PQ = 12 × DP × BC BD × PQ = DP × BC 12√2 × PQ = 18 × 12 ⇒ PQ = 9√2

Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jarak titik H ke bidang ACF adalah ... Pembahasan : Jarak titik H ke bidang ACF = jarak titik H ke garis OF = jarak titik H ke titik P ⇒ HP. rusuk = a = 4 OF = OH = a2√6 = 2√6 FH = a√2 = 4√2 OQ = a = 4

Perhatikan segitiga OFH HP dan OQ merupakan garis tinggi, sehingga dengan menggunakan rumus luas segitiga akan diperoleh persamaan sebagai berikut ; 12×OF×HP = 12×FH×OQ OF × HP = FH × OQ 2√6 × HP = 4√2 × 4 ⇒ HP = 83√3 HP = 23 × HB HP = 23 × a√3 HP = 23 × 4√3 HP = 83√3

Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jarak titik B ke CE adalah ... Pembahasan : Jarak B ke CE adalah BP a=6 BC = a = 6 BE = a√2 = 6√2 CE = a√3 = 6√3

Perhatikan Δ BCE siku-siku di B BP = BC×BECE BP = 6×6√26√3 BP = 2√6

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT = ... Pembahasan : Jarak C ke AT adalah AT = CT = 6 AC = 4√2

Perhatikan Δ ACT AP = AT2+AC2−CT22×AT AP = 62+(4√2)2−622×6 AP = 83 Perhatikan Δ APC siku-siku di P = √AC2−AP2 = √(4√2)2−(83)2 = 43√14

Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah ... cm. Pembahasan : Jarak DH ke AS adalah HS, karena HS tegak lurus terhadap DH dan AS. rusuk = a = 6 HF = a√2 = 6√2 HS = 12. HF HS = 12. 6√2 HS = 3√2

Diketahui sebuah kubus ABCD. EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan BDHF adalah ... Pembahasan : Misalkan sudut yang dibentuk oleh BG dengan BDHF adalah β. rusuk = a BG = EG = a√2 PG = 12 × EG = a2√2 Perhatikan Δ BPG siku-siku di P sin β = PGBG = a2√2a√2 = 12 Karena sin β = 12, maka β = 30°

Diketahui kubus dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah α, maka sin α adalah ... Pembahasan : Sudut antara AG dengan bidang alas ABCD adalah α. rusuk = a = 6 CG = a = 6 AG = a√3 = 6√3 Perhatikan Δ ACG siku-siku di C sin α = CGAG = 66√3 = 13√3

Balok ABCD. EFGH dengan panjang AB = BC = 3 cm dan AE = 5 cm. P terletak pada AD sehingga AP : PD = 1 : 2 dan Q terletak pada EG sehingga FQ : QG = 2 : 1. Jika α adalah sudut antara PQ dengan ABCD, maka tan α adalah ... Pembahasan : Sudut antara PQ dengan ABCD adalah α. QR = 5 PS = 3 BS = SR = RC = 1 PR = √PS2+SR2=√32+12 PR = √10 Perhatikan Δ PQR siku-siku di R tan α = QRPR = 5√10 = 12√10

Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST, dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3√2 cm. Tangan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ... Pembahasan : Misalkan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah θ. QR = RS = ST = QT = 3 PQ = PR = PS = PT = 3√2 RT = a√2 = 3√2 Perhatikan bahwa PRT adalah segitiga sama sisi karena PR = RT = PT = 3√2 sehingga θ = 60° tan θ = tan 60° = √3

Pada kubus ABCD. EFGH sudut θ adalah sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD. Nilai dari sin θ adalah ... Pembahasan : Sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD adalah θ. misalkan rusuk = a AE = a EO = a2√6 Perhatikan Δ AOE siku-siku di A sin θ = AEEO =aa2√6 = 2√6 = 13√6

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α adalah ... Pembahasan : Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α rusuk = a = 4 EG = a√2 = 4√2 EO = 12 × EG = 2√2 AO = a2√6 = 2√6 Perhatikan Δ AEO siku-siku di E sin α = EOAO = 2√22√6=√2√6 = 13 √3

Diketahui bidang 4 beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah ... Pembahasan : Misalkan sudut antara bidang ABC dan ABD adalah θ. Karena bangun diatas merupakan bidang empat beraturan, pastilah ke-4 bidangnya merupakan segitiga sama sisi. rusuk (a) = 8 DC = a = 8 PC = PD = a2√3 = 4√3 Perhatikan Δ PCD, dengan aturan cosinus diperoleh : cos θ = PC2+PD2−DC22×PC×PD cos θ = (4√3)2+(4√3)2−822×4√3×4√3 cos θ = 13 Kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 12 cm, tangen sudut antara bidang AFH dengan bidang CFH adalah... Pembahasan : Misalkan sudut antara bidang AFH dan CFH adalah θ. Perhatikan segitiga A AP = = a2√6 = 122√6 = 6√6 AC = a√2 = 12√2 Dengan aturan cosinus Cos θ = AP2+2−AC22.AP. Cos θ = (6√6)2+(6√6)2−(12√2)22.6√6.6√6 Cos θ = 216+216−288432 Cos θ = 13 Cos θ = 13 sisi samping = 1 sisi miring = 3 sisi depan = √32−12 = √8 = 2√2 tan θ = depansamping = 2√21 = 2√2 Jadi, tangen sudut antara bidang AFH dan CFH adalah 2√2.

Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan... Pembahasan : CM = EM = a2√5 = 42√5 = 2√5 CE = a√3 = 4√3 MN = a√2 = 4√2 Karena MN dan CE berpotongan tegak lurus dan sama besar di titik Q, maka MQ = 12×MN = 2√2 Perhatikan segitiga CEM, ∠M adalah sudut tumpul karena CE2 > CM2 + EM2, sehingga jarak titik E ke CM adalah jarak dari titik E ke perpanjangan CM yaitu EP.

Dengan menggunakan rumus luas segitiga pada segitiga CEM akan diperoleh persamaan sebagai berikut : 12×CM×EP = 12×CE×MQ CM × EP = CE × MQ 2√5 × EP = 4√3 × 2√2 (kali √5) 10 × EP = 8√30 EP = 45 √30 Yang ditanyakan adalah jarak titik E ke CM, bukan jarak titik E ke perpanjangan CM. CM adalah ruas garis, dengan titik-titik ujungnya C dan M. Jadi, jarak titik E ke CM adalah jarak terdekat dari titik E ke ruas garis CM, yaitu EM = 2√5 Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke garis FD adalah... Pembahasan : Jarak titik E ke garis FD adalah EP. Perhatikan segitiga DEF siku-siku di E EF = 8 DE = 8√2 DF = 8√3

EP = DE×EFDF EP = 8√2×88√3 EP = 83√6

Diketahui kubus ABCD EFGH dengan AB = 16 cm. Nilai sinus sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah... Pembahasan : Misalkan sudut yang dibentuk oleh AH dengan BDHF adalah θ. rusuk = a = 16 cm AH = AC = a√2 = 16√2 AP = 12×AC = 8√2 Perhatikan Δ AHP siku-siku di P sin θ = APAH = 8√216√2 = 12

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Jika α adalah sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF, nilai sin α = ... Pembahasan :

AC = a√2 = 6√2 AP = 12 . AC = 3√2 AO = a2√6 = 3√6 Perhatikan segitiga AOP siku-siku di P. sin α = APAO = 3√23√6 = 13√3

Diketahui kubus KLMN.OPQR dengan panjang rusuknya 6 cm. Jarak titik M ke bidang LNQ adalah ... Pembahasan : Jarak M ke LNQ = jarak M ke QS, yaitu MT.

SM = 12. KM = 3√2 MQ = 6 SQ = a2√6 = 3√6 Perhatikan segitiga SMQ siku-siku di M. Pada segitiga siku-siku, jarak dari titik sudut siku-siku ke sisi miringnya adalah hasil kali dari kedua sisi siku-siku dibagi sisi miring. Jadi, MT = SM⋅MQSQ = 6⋅3√23√6 = 2√3 atau MT = 13. MO = 13. 6√3 = 2√3 Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak dan panjang rusuk alas 4 cm. Jarak titik A ke TB adalah ... Pembahasan : Jadi, jarak titik A ke TB adalah AP. Perhatikan segitiga sama sisi ABT dengan panjang sisinya 4 cm. Pada segitiga sama sisi yang panjang sisinya a, jarak dari titik sudut ke sisi di depannya adalah a2√3. Jadi, jarak titik A ke TB adalah AP = 42√3 = 2√3

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk tegak 6√2 cm dan panjang rusuk alas 6 cm. Jarak titik A ke TC adalah ... Pembahasan : Jarak titik A ke TC adalah AP. AC = a√2 = 6√2 Karena AC = TC = AT, maka ACT adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6√2. Jadi, AP = 6√22√3 = 3√6

Diketahui limas alas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak = rusuk alas = 4 cm. Sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah ... Pembahasan : Misalkan sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah α. AC = 4√2 AO = 12. AC = 2√2 AT = 4 Perhatikan segitiga AOT siku-siku di O. cos α = AOAT = 2√24 = 12√2 Karena cos α = 12√2 maka α = 45°

Diketahui limas segienam beraturan T.ABCDEF rusuk alasnya 6 cm dan tinggi limas 6√3 cm. Nilai sinus sudut antara rusuk tegak dan bidang alas limas adalah ... Pembahasan : Misalkan sudut antara rusuk tegak dengan bidang alas adalah α. Perhatikan segitiga COT siku-siku di O. CT = √(CO)2+(OT)2 CT = √(6)2+(6√3)2 CT = 12 sin α = OTCT = 6√312 = 12√3 atau tan α = OTCO = 6√36 = √3 Karena tan α = √3, maka α = 60° Jadi, sin α = sin 60° = 12√3

Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuknya 12 cm dan α adalah sudut antara bidang BDG dan ABCD. Nila sin α adalah ... Pembahasan :

CG = a = 12 OG = a2√6 = 6√6 Perhatikan segitiga OCG siku-siku di C. sin α = CGOG = 126√6 = 13√6

Latihan Soal Dimensi Tiga Kelas XII IPS SMA

Karya Alfiana Yasmin