Capitulo 1 221qr

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nuesÍros ntoesÍros e inoLtielos ulLtmnos rel="nofollow">,

La Teoría de Máquinas y Teoría de Mecanismos son asignaturas que pertenecen a lo que se ha llamado en denominar Teoría de Máquinas y Mecanismos TMM. En la actualidad. el IFToMM es el organismo internacional que se ocupa más directamente de los temas relacionados con la Cinemática y Dinámica de Máquinas. El objetivo de este trabajo es el de completar y ampliar algunos aspectos de estas asignaturas que, o bien no han sido tratados anteriormente, o por su dificultad requieren un¿i presentación más amplia en fbnna de problemas. Se ha procurado que los problemas visualicen el cclmportantiento cinemático (posición, velocidad y aceleración) y dinámico (fuerzas y pares) de los elementos. o eslabones de la máquina en su conjunto. como parte fundamental de cualquier sistema mecánico actual. No se ha pretendido ser exhaustivo en la presentación de todos los tópicos qlle nos encontramos en el estudio de las máquinas y mecanismos sino tratar aquellos aspectos que. en nuestra experiencia docente, hemos considerado más interesantes. Presentamos en este libro un desarrollo teórico-práctico de la parte correspondiente al diseño preliminar de máquinas y mecanisrnos. Esta parte introductoria básica podría servir como apoyo a las asignaturas de Teoría de Máquinas (titulación de Ingeniero lndustrial) y Teoría de Mecanismos (titulación de Ingeniero Técnico Mecánico) actuales o sus equivalentes en posteriores refbrmas de los planes de estudio. La estructura de los capítulos del libro se ha hecho según el siguiente esquema:

o Conceptos básicos de TMM. o Lista de problemas resueltos: Se presenta una colección que va desde los problemas sencillos y teóricos a las aplicaciones más reales.

más

Al principio de cada capítulo, se tratarán los conocimientos descriptivos de la Teoría de Mríquinos v Mecanismos. en el marco de la Ciencia y de la Técnica, junto con los objetivos didácticos propuestos, base teóricr necesaria para proceder a una resolución satisf'actoria de los problemas de menor a mayor diflcultad.

O

ITES-Paraninfo

ii

Presentación

La programación de los contenidos teórico-prácticos se ha realizado pensando en el alurrno. en su adecuada asimilación de los distintos conceptos, con un aumento en la dificultad de los contenidos y unii adecuada dosificación de la herramienta matemática a utilizar. La fbrmación en el campo de la TMM del futuro Ingeniero se realiza de una manera progresivu y se da una visión p¿rnorámica de la realidad profesional introduciendo desde el primer momento el ámbito inclustrial y su problemática.

La fbrmación previa que cabe suponer en el alumno para el mayor aprovechamiento de los problemas de este libro está relacionada con las siguientes materias: Física, Cálculo, Algebra y Expresión Gráflca. También debemos referirnos a los contenidos científicos de asignaturas como: Elementos de Máquinas, Diseño Mecánico. Tecnología de Fabricación, Cálculo de Máquinas. Teoría de Vehículos, Ferrocarriles y Transportes, que utilizarán en mayor o menor medida los conocimientos desarrollados en este libro de problemas. La Teoría de Máquinas se ocupará de describir: ¿Qué es una máquina'?, ¿qué elementos la componen?, y ¿cómo funcionan dichos elementos'l: y así, se podrá determinar ¿qué requerirnientos debe cumplir? y ¿a qué solicrtaciones va a estar sometida? En una última fase, y a partir de los modelos y soluciclnes descrit¿is, se podrán diseñar y calcular los mecanismos. de fbrma que cumplan esos requerimientos y soporten esas solicitaciones. Este carácter fundamental justifica que en esta materi¿I. adernás de tratar los contenidos propios de esta asignatura. se usen y arnplíen los conocirnientos adquiridos en otras. conro cs el estuilio de la cinemática y la dinámica del sólido rígido, estudiados en las asignaturas de Física. El estudio de la cinemática y dinámica de mecanisrnos y máquinas y su aplicación a problemas se ha estructurado sigr.riendo las líneas:

1.

'

2. 3.

- E S- Paran i nfo

Fundamentos de la TMM: después de una introducción y Llna presentación de la evolución histórica, se introducen los conceptos de máquina, mecanismo, par cinemático, etc. A con-

tinuación. se estudia la cinemática del movimiento plano, con atención al análisis de trayectorias, velocidades y aceleraciones. Finalmente, se realiza un breve repaso de la dinámica del sólido rígido. Análisis de mecanismos articulados. Se aborda el estudio de la cinemática y dinámica de mecanismos, presentando los métoclos analíticos y gráficos de análisis. Para terminar "stosel equilibrado de máquinas. con Estudio de las bases teóricas de la cinemática y dinámica de las transmisiones por en-rranajes.

En este capítulo".. 1.1. Introducción 1.2. Conceptos básicos 1.2.1. Máquina 1.2.2. Eslabón 1.2.3. Par elemental. Junta o cierre

{el nar

1.2.4. Eslabones simples y compuestos. Manivela, biela

1.2.5. Cadena cinemática. Mecanismo 1.2.6. lnversiones de un mecanismo 1.3. Codificación de los mecanismos 1.4. Grados de libertad de un mecanismo i. +.

i.

nór

¡.".-i"-sj"t;Jr'ffi

1.5. Cuadrilátero articulado

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Teorema de Grashof

1.5.3. Ángulos de transmisión

na

@ ITES-Paraninfo

:

J-cción a la Teoría de Máquinas v Mecanismos

1.1. lrurnooucctóN El estudio de la cinemática y dinámica de mecanismos y máquinas, junto con su parte introductoria, se ha estructurado siguiendo las líneas enmarcadas a continuación:

o Fundamentos de la TMM:

después de una introducción y una presentación de la evolución histórica, se presentan los conceptos de máquina, mecanismo, par cinemático, etc. . Se repasan y ponen al día los conceptos relacionados con las resistencias pasivas en los pares cinenráticos de los mecanismos. Se presenta y justifica el empleo de articulaciones con resistencias pasivas lubricadas (fricción despreciable) y se estudian los fundamentos de la lubricación. o A continuación, se estudia la cinemática del movimiento plano, con atención al análisis de trayectorias, velocidades y aceleraciones. Se aborda el estudio de la cinemática de los mecanismos articulados, presentando los métodos analítico-gráficos de análisis. o Se realiza un breve repaso de las ecuaciones fundamentales de la dinámica del sólido rígido, poniendo especial hincapié en la obtención de las reacciones en los pares y apoyos mediante métodos analítico-gráficos. Se analiza el problema de la trepidación y pares de vuelco en el eslabón tierra del mecanismo, como introducción al equilibrado de mecanismos planos y ejes

de máquinas.

o Estudio o

de la cinemática y dinámica de las transmisiones por engranajes. Se presenta la teoría general de engranajes, fabricación y normalización, para a continuación dar paso al estudio cinemático y dinámico de distintos tipos de engranajes y trenes. Se plantea el análisis completo de un mecanismo complejo: topología, cinernática. dinámica y sistema de tmnsmisión.

1.2. Corucepros

BÁstcos

La Teoría de Máquinas y Mecanismos trata el estudio del comportamiento de un erupo importante de Sistemas Mecánicos, en cuanto a sus movimientos absolutos y relativos entre los elementos del sistema mecánico, así como las fuerzas de interacción entre ellos de manera que generen movimientos y transmitan fuerzas útiles en el entorno de uso. Existen dos maneras de abordar el estudio de las máouinas:

o Análisis de máquinas. o Síntesis de máquinas. El primero desarrolla el comportamiento cinemático y dinámico de máquinas prefijadas y

el

segundo trata de definir la estructura de la máquina para que realice determinados movimientos a partir de fuerzas previamente definidas. En este libro nos ocuparemos fundamentalmente del análisis de máquinas, abordándose los conceptos de la síntesis de máquinas sólo en aquellos casos que lo requieran. Para el análisis de máquinas, en primer lugar, se inicia el estudio de la Cinemática de las máquinas y mecanismos, para continuar con la Dinámica, es decir, el estudio de las fuerzas involucradas, a las cuales se les suele clasiflcar en dos grandes grupos: fuerzas estáticas y fuerzas dinámicas, dentro de estas últimas podemos considerar las inerciales como aquellas que en multrtud de ocasiones deberemos considerar como las de mayor interés. En todo el estudio se considerarán los elementos que constituyen a la máquina o mecanlsmo corno sólidos rígidos, obviando los comportamientos debidos a la elasticidad y resistencia de materiales que se considerarán en otras disciplinas. En la literatura técnica los sólidos rígidos que constitu¡ren las máquinas toman diversos nombres: eslabón, elemento, miembro o barra, cualquiera de ellos se usará en el desarrollo de los problemas del libro, aunque el término eslabón será el más

comúnmente usado.

Introducción a la Teoría de Máquinas v Mecanismos

1.2.1.

MÁourrun

Una Máquina es un agruparniento de elementos sólidos rígidos, adecr-radamente dispuestos para mantenerse en o permanente y permitiendo el movimiento relativo entre ellos. siendo capaz de transmitir movimientos y esfuerzos desde unos elementos a otros (réctse Figura | . l). En la Figura I . La. se presenta la superestructura de una máquina genérica. mientras qlte en lar Figr"rra 1. I .b. se detallan sistemas de la infiaestructura, donde se observa la multitud de sistemas y subsistemas mecánicos en conjunción con los de otras disciplinas: eléctricos, electrónicos. control. térmicos. etc.

SISTEI\,{A DE SUSTENTACION

(a)

(b)

Figura 1.1. Esquema general conjunto mecánico (a: macro), (b: micro).

Cuando consideramos el estudio de las características de la transmisión del movimiento en la nráquina. es habitual utilizar el término E.stu¿lio tlel Mer:ani.smo para ref'erirnos al estLrdio de las características geomé trico-cinemáticas. Es usltal designar como N{áquina aquella en la que los aspectos ref-erentes a las interacciones de las fuerzas. aplicadas entre los distintos elementos de la rnáquina. son de importancia, así couto. se designa corno Mecanismo a aquel en el que las fuerzas no son el objeto principal de su funcionamiento y sí lo es la transmisión de movimiento entre los eslabones. El estudio de los movimientos y fuerzas entre los dif-erentes elementcls constituyentes de un¿l Mácluina o Mecanismo puede ser tratado mediante la aplicación de la Mecánica. En el írnlbito de la Teoría de Máquinas y Mecanismos vamos a poner especial empeño en el desarrollo de nuevos conceptos que sirvan para un estudio m¿is eficiente de las máquinas habitu¿rlmente us¿rdas en la industria. Ello nos llevará a restringir en muchos c¿tsos dicho estudio a los mecanismos planos, los cuales son de común Ltso en lii maquinaria industrial, es decir aquellos cuyos eslabones. y por tanto cualquier punto de la m/ic¡uina. evolucionan siempre en planos paralelos. Prácticamente, la totalidad de las máquinas pueden ser estudiadas como una concatenación y superposición de mecanisntos planos en las tres direcciones clel espacio. Lo anterior nos permite realizar el modelo en el plano de trabajo del comportamiento del mecanismo. Si analizamos los movimientos de los eslabones de una mácluina diferenciamos movimientos típicos. El movimiento de rotación alrededor de un eje entre dos elementos del mecanismo consee utivos es el rnás utilizado en los mecanismos planos. El movirniento de traslación rectilíneo es un caso singular de una rotación de radio de giro inflnito. Además de los ¿rnteriores movimientos comentados, hemos de considerar el helicoidal y el esférico. movimientos que usan las tres dimensiones del espacio. El movimiento helicoidal permite la adición de una rotación a una traslación rectilínea. y el movimiento esférico permite la rotación alrededor de un punto de un elemento respecto a otro. En l¿r Figura 1.2 se pueden observar algunos de estos movimientos entre dos eslabones. @ ITES-Paraninfo

':'3cucción a la Teoría de Máquinas y Mecanismos

Par de rotación o de revolución

Figura

1.2.

Movimientos típicos de un eslabón.

Si caracterizamos el movimiento de los eslabones de una máquina por el moclo de sus movimientos. podemos considerar tres modos de funcionamiento:

o Modo con movimiento continuo. o Modo con movimiento de vaivén.

r

Modo con movimiento intermitente.

Estos tres diferentes

modos de funcionamiento penniten la realización de movimientos en los elementos del mecanismo: sin interrupción ni parada (eje de motor en rotación constante, eslabón 2 en la Figura 1.3'a), modo con ciclo de avance y retroceso con tiempo de paracla infinitesimal (cuadrilátero articulado con balancín, cleslizadera del mecanismo cle biela manivela. eslabón 5 de la Figura l'3'b) y con paradas temporizadas (mecanismo de Ginebra. válvula con tiempo cle apertura y

cierre finito, eslabón cruz de malta en la Figura 1.3.c).

(

Figura

1.3.

c.)

Modos de funcionamiento de los eslabones de una máquina. a) Manivela O"A, modo

continuo. b) Deslizadera 5, modo de vaivén. c) Cruz de Malta, modo intermitente.

Una vez presentadas las características principales del funcionamiento de los mecanismos planos, se pasará al estudio de sus elementos y sus agrupamientos funclamentales (pares, cadenas cinemáticas, mecanismos, etc.) para producir la transmisián del movimiento y cle la l,uerza entre los eslabones de la máquina. -:araninfo

lntroducción a la Teoría de Máquinas v Mecanismos

1.2.2. EsLneóN vs. PtEzA Al componente básico de un mecanismo por complejo que sea se le denomina de diferentes maneras: elemento, eslabón, miembro o barra. La denominación de barra es debida a que habitualmente, para facilitar el estudio del mecanismo, se suele sustituir el elemento o eslabón real por un grafo descriptivo con fbrma de bana, es decir, un segmento rectilíneo que se une a su vez, al menos, a un elemento del mecanismo. Ello no impide asumir que todo eslabón, elemento, miembro o barra tiene asociado un plano de dimensiones adecuadas para disponer en é1 los puntos de interés para el análisis cinemático y dinámico. En la Figura 1.4 se presenta un eslabón denominado biela, el cual está constituido por cuatro piezas unidas por tornillos de fijación, formando un sólido rígido del mecanismo motor de una máquina. El concepto de pieza se encuadra dentro del concepto de eslabón en un subnivel inferior a é1, un conjunto de piezas unidas rígidamente según un plano de montaje constituye un eslabón.

Figura

1.4.

Eslabón tipo Biela, formado por un conjunto de piezas: tornillos, arandelas, cabeza de biela, casquillos.

1.2.3. P¡n elen¡ENTAL.

Jururn O CIERRE DEL PAR

La agrupación de dos elementos de un mecanismo se denomina: junta, par, par elemental o par cinemático cuando cumple dos condiciones de funcionamiento: o permanente según un punto, línea o superficie y la posibilidad de permitir el movimiento relativo entre los dos elementos del par. Con el concepto de par elemental nos aseguramos la conexión de los eslabones de una máquina y hacemos que la máquina forme un conjunto compacto. En la Figura 1.5 se presentan un par de traslación, un par de rotación y un par de rodadura.

2 rueda sin deslizar sobre

'1

1-2 Par elemental de rodadura

2-3 Par elemental de traslación

Figura

1.5.

Par de traslación: eslabones: @guía, @corredera, Par de rotación: @soporte, @manivela. Par de rodadura: @soporte, @disco.

O

ITES-Paraninfo

La clasificación de los pares según las diferentes características de la unión de los clos elementos. en cuanto a: tipcl de o, tipo de movimiento relativo. graclos de libertacl. etc.. permite la clenonrinación específica del par (réan.se diversas clasificaciones en los esquemas de la Figura 1.6).

Clasificación según el movimiento relativo entre sus puntos . Par de primer grado o lineal

Clasificación según el movimiento relativo entre sus puntos . Par de segundo grado o superficial

a) Par prismático: describe una l,nea recta b) Par de rotación: el punto describe una

a) Par plano: describe un plano b) Par cilíndrico: describe un cilindro c) Par esférico: describe una esfera

circunferencia c) Par helico¡dal: descnbe una hélice

i'

pr¡smático

v

*

qr¡'''-'t#*' Par

ii /4h

Par de rotac¡ón

:

Par plano

Par

c¡l¡ndrico

Par esférico

. Par de tercer grado o espacial

. Clasificación según el número oe Darras o (orden del par o de la junta): . Par binario. par formado por dos barras

. Par ternario: par de tres barras Par P-ario. par formado oor P barras Clasificación según la superficie de contaclo . Par superior (de contaclo lineal o puntual) . Par inferior (de o superficial)

Figura

1.6. Tabla de clasificación de pares

elementales.

Técnicamente. para mantener el o permanente entre los dos elementos clel par es necesaria la utilización cle diversos tipos de cierres de junta. tales como: cierre de fbrma, crerre de tuerza o el cierre de enlace. En la Figura 1.7 se muestran la condición de par y jLrnta. y ejernplos cle cacla un0 de los tipos.

1.2.4.

ESLNAONES SIMPLES Y COMPUESTOS. MRITIIVCTR, BIELA

La situacirin rnírs habitual de un eslabón en un mec¿,rnismo es la de aquel que tiene una pareja de pares elernentules en sus extrernos. lo cual le perrnite conectarse con el elemento anterior y el posterior y transnlitir tle esta luanera el movimiento y la fuerza, a este tipo cle eslabón se denomina eslabón o elemento simple. Aquellos eslabones que tienen más cle dos pares elementales se clenominan eslabones o elementos compuestos. Los eslabones simples conectaclos al soporte por uno cle sus pares se denominan manivelas. Su nrovimiento es cle rotación. Los eslabones simples. conectados por sus pares elementales a otros dos eslabones, se denominan en -[eneral bielas. Su rnovimiento es lei superposiciórl de una rot¿lción y una trasl¿rción. En la Figura 1.8 se observan eslabones compuestos ternarios y eslabones simples binarios. S-raraninfo


Par elemental o cinemático . Dos contiguos . En o permanente . Con movimiento relativo entre ellos

1. Cierre de forma: El o está asegurado por la forma de los dos del par (cilindro-émbolo)

Cierre del par o junta Asegura el o entre los dos , limitando el movimiento entre ellos

2.

3.

Cierre de fuerza:

El o está asegurado por lafuerza que ejerce un elemento elástico interpuesto (leva-seguidor)

Cierre de enlace o de cadena:

El o está asegurado por medio de otro miembro del mismo mecanismo (engrane de dos ruedas dentadas)

Seguidor

. Rueda dentada: 2 . Rueda dentada: 3

2

Figura

1.7.

Par y cierre de par. Tipos de cierre.

4 eslabones simples (binarios). 2 eslabones compuestos (ternarios).

Figura

1.2.5. Cnoerur

1.8. Tipos

de eslabones: simples (binarios), compuestos.

crNEMÁTrcA. MEcANrsMo r/s. ESTRUcTURA

Una concatenación de eslabones mediante pares cinemáticos da lugar a una cadena cinemática, la cual puede ser cerrada o abierta, según los eslabones formen bucles o no. La utilización práctica de las cadenas cinemáticas hace necesario que a uno de los eslabones se le restrinja su movimiento completamente, convirtiéndose en el eslabón tierra o soporte, la cadena cinemática pasa a denominarse: Mecanismo. Dicho mecanismo puede tener diferentes grados de libertad (t:éase el Apartado 1.4) que definen su movilidad. Cuando al analizar la movilidad de un mecanismo obtenemos un número de grados de libertad nulo (GDL) consideraremos que no son verdaderos mecanismos pues el movimiento relativo entre sus eslabones y por tanto en sus pares no existe y los denominaremos estructuras. Los mecanismos básicos usados en máquinas son habitualmente de

I GDL, por su sencillez.

con un único actua@ ITES-Paraninfo

-:,..ión

a la Teoría de Máquinas v Mecanismos

dot generamos movimientos y fuerzas determinadas. En la Figura 1.9 se muestran ejemplos de cadenas cinemáticas cerrada y abierta y mecanismos con distintos grados de libertad (0, 1,2).

MECANISMO: cadena cinemática con un miembro fijo (TIERRA). ESTRUCTURA (0 gdl)

N/ECANISMo (1 gdl) IVECANISMO DESI\4ODRÓMICO cuando fijada la posición de un punto, todos los demás tiene posiciones definidas.

IVECANISIt/O (2 gdl)

quinto qrado

-tr

cuarto grado

pnmer graoo "lineal"

I I

segunoo graoo

tercer graoo "espacial"

MOVILIDAD DE UN MECAN SMO: - Punto P ligado a un miembro del par - Se estudia el movimiento .especto a nrrn m omhrn

Figura

1.2.6.

1.9.

rlol nrr

Cadenas cinemáticas: cerrada, abierta. Mecanismos.

ltr¡veRsrorrrES DE uN MEcANtsMo

La elección del eslabón al que restringir su rnovirniento. cn uni-r eadena cinemática genérica es arbitrario. lllego Lln¿r cadena cinemática de 1y' eslabones da lugar a N mecanismos según el eslabón tierr¿r qLle se el¡a. cada uno de los l/ posibles mecanismos generados se denomina una inversión. En la Fi-uut'a 1.10, que muestra la transformación de un mecanismo biela m¿rnivela cn dil'erentes invelsiones. Debemos expresar que los rnovimientos relativos de los eslabones según cada par cinernático. perr.nanecen iguales. mientras que los n.tovimientos absolutos si carnbian.

1.3. CoorrrcacróN

DE

Los MEcANtsMos

Es habitual referenciar el mecanismo por un código de letras según los tipos de pal' plesentes en el rnecanismo -qeneral. El pal plismáticcl (traslación) P. el par de lot¿ición R. el par cilíndrico C. el par

esférico S, etc. En el caso de una máquina biela manivela 'a'i

nfo

l¿t

codiflcación sería: PRRR. etc. En la

lntroducción a Ia Teoría de Máquinas v Mecanismos

9

caoena ctnemailca

\l-l

eslabón 2 = TIERRA

eslabón 1 = TIERRA \.J'

(A v

eslabón 3 = TIERRA

eslabón 4 = TIERRA

Figura 1.10. Inversiones cinemáticas de un mecanismo biela manivela.

Figura l.l I se presenta un mecanismo biela manivela excéntrico: tiene I p¿rr de rotacií)n en r: I pistón con soporte, I par prisrnírtico pistón-émbolo y 2 pares de lotación en la manivela. coclificación PRRR. 'l-as cadenas cinemáticas nás sencillas de un grado cle libertad son: la manivela y la corredera (.t:éuse Figura l.l2), las cualcs constan de dos eslabones conectados por Lln par de rotación (rnanivela) o de traslación (corredcra). Dentro de las ciidenas cinemáticas cerradas. aquellas en las clue al tttenos un eslabón es inicio y final de cadena, la nrás interesante es Lln mecanismo arnpliafflente Llsado en las máquinas denomin¿rdo cuadrilátero articulado. mecílnismos de I GDL que a partil dcl conocimiento del estado de uno de sus eslabclnes móviles se obtiene el est¿tdo de toclos los demás. E,s lmport¿tnte en este punto considel'ar que en el estudio de los rnecanismos que vamos a rcalizar deja a ttn lado los problemas de c¿ilculo, diseño cl firbricación de los eslabones y se centra en la -reometría del eslubón y \u nrovinlicnt().

corredera

Figura 1.11.

Máquina biela manivela excéntrica.

Figura

1.12. Cadenas cinemáticas sencillas: manivela v corredera.

O

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¡ntroducc¡ón a la Teoría de Máquinas v Mecanismos

Con las definiciones hechas hasta el momento tenemos la capacidad de representar gráficamente. mediante elementos gráficos elementales en el plano, el comportamiento de una máquina cuyos elementos constitutivos realizan movimientos en planos paralelos, y proceder a su análisis. O, al revés. a partir del esquema gráfico sintetizado de los mecanismos pasar al diseño de la rnáquina correspondiente.

Dado que los eslabones más utilizados son aquellos que tienen dos pares elementales, utilizaremos como representación gráfica del eslabón un segmento que una los dos pares. Si el eslabón tuviera tres o más pares utilizaríamos como representación gráfica un triángulo en cuyos vértices se dispondrían los pares y en los eslabones con un número superior de pares la figura geométrica plana corresoondiente (t'éctse la Fisura I .1 3). Cadena cinemática que posee: 4 eslabones simples (binarios) 2 eslabones compuestos (ternarios)

Cadena cinemática que posee: 4 eslabones simples (binarios) 7 pares de rotac¡ón 1 par de traslación

7 pares de rotación

Figura 1.13. Representación gráfica de mecanismos: pares de rotación y traslación.

La representación gráfica de los pares de rotación lo haremos mediante un círculo en el punto La representación gráfica de los pares de traslación lo haremos mediante un grafb representativo del o guía deslizadera. En la Figura 1. I 3 se observa que el par de trasl4ción con guía circular: deslizadera-guía se podría sustituir por un eslabón manivela con eje en el centro de la circunferencia que define a la guía y articulado con el eslabón biela. dando lugar al concepto de mecanismo equivalente. La utilización de grafos para analizar la cinemática de una cle o eje con rótula.

máquina nos permite utilizar variaciones. de manera que exista más de un mecanistno que puede dar lugar a diferentes interpretaciones como máquina, dando lugar a los mecanismos equivalentes, siempre que en esa operación los movimientos relativos de los pares cinemáticos no varíen. En algunos casos deberemos tener en cuenta el anterior concepto: meclnismos de gran complejtdad a priori se pueden entender y analizar de manera sencilla transfbrmándolos en sus mecanismos equivalentes. Véase la Fisura 1.14.

.

Un mecanismo, en una deierminada posición, es cinemáticamente equivalente a otro, si posee las mismas características de velocidad y aceleracion

Expansión de pares cinemáticos: conservan el movimiento relativo variando la forma.

Figura 1.14. Mecanismos equivalentes. -!S-Paraninfo

lntroducción a la Teoría de Máquinas v

Mecanismos

11

En ntuchos casos, en el estudio de una máquina hay grupos de eslabones y de pares asociaclos qlle no necesit¿rn ser representados en detallet por e.jemplo, un apoyo por rodamiento a bolas no necesita a los ef'ectos del análisis cinemático representar los pares cinemáticos internos. pues corno fícilmente se ve. puede ser sustituido por un par de rotiición. De la misma manera, para hacer el anítlisis de un necanistno con engrrnljes. sustituiremos los pares entre los dientes por el o de dos rnedas de fricción del diántetro primitivo correspondiente.

1.4. Gnnoos

DE LTBERTAD DE uN MEcANtsMo

En cualquier t'necanismo que analicemos uno de los aspectos de mayor interés, qlle nos permitirá entender su funcion¿tmiento. es el conocimiento del número de variables independientes a deflnir para conocer en cualquier instante el estado de cualquier eslabón y por tanto del mecanrsrno. es decir. el número de -erados de libertad (GDL) o la movilidad del mecanislno. Un eslabón. b¿trra o elemento de un mecanismo en el espacio tiene seis graclos de libertad. si restringintos su n'lovimiento al plano pasa a tener tres grados de libertad: uno podría ser el giro en el plano. y los otros dos las coorclenadas de un punto del eslabón. De lo anterior podemos decir que: un mecanismo de N eslabones tiene inicialmente 6N GDL en el espacio o 3N GDL en el plano proporcionaclo por los eslabones individualmente considerados. Como los eslabones están conectados mediante pares. deberemos estudiar cómo ¿if'ectan los pares elenentales usados al grado de libertad del rnecanismo, es clecir. qué restricciones intloducen. En un par ele¡nental, conexión entre dos eslabones definida anteriormente. puede deflnirse tantbién el concepto de -erados de libertad del par o cle la junta GDL'.,.. es decir, los graclos de libertad que permiten los movimientos relativos posibles en cada par (traslación. rotación. etc.). Se prescntan a continuación los GDL'", de dif-erentes tipos de pares:

. Par de rotación: permite un movimiento relativo I GDL.

de rotación según un e.je en el espacio

o Par de traslación: permite un mo.,,imiento relativo de traslación según una dirección en espacio, luego tiene

I

CDLp",. o Par helicoidal: pennite un movimiento relativo de rotación más traslación según

tiene

I CDL'",.

r.rn

el

eje. luego

Par plano: permite el ntovintiento relativo de traslación según las dos direcciones del plano. luego tiene 2 GDL'... Par esférico: perrnitc movimientos relativos de rotación según los tl'es e.jes. luego ticne 3 CDLp... o Par cilíndrico: permite un movimiento relativo de rotación segúrn un eje del espacitl y un lnovimiento según dicho eje, luego tiene 2 GDLp,, .

Luego, en el espitcio 3D. la conexión de dos eslabones mediante un par, es decir, la introducción de un par elemental disminuye los GDL de la agrup¿rción desde los inicialcs 6 GDL hasta (6-GDL'.,), Iue-uo:

GDLp",: I disminuye los GDL del mecanismo GDL'",

-

en (6-1).

2 disminuye los GDL del rnecanismo en (6-2), etc.

Podemos analizar el problerna del número de grados de libertad de un mecanismo 3D analizando cómo varían los grados de libertad iniciales de N eslabones libres. ¿rl ir introduciendo los pares elerncntales, y por tanto disrninuyendo GDL al mecanismo.

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PrPz,...,Pr, los6¡/GDLinicialesdisminui-

Si introducimosparescondiferentesgradosdelibertad: rán según la siguiente tabla:

GDL

: P, pares de GDL',, : P. pares de CDL.". : P, pares de GDL..,

(6-1) Pr

I

2

-

(6-2)

P2

5

-

(6-5)

Ps

(Está claro que no tienen sentido juntas de 6 GDL.". o superior.) Podemos decir que, en general, el cálculo de los GDL de un mecanismo en el espacio de ,^/ eslabones con uno restringido a tierra (0 GDL) y P' pares de GDL',,.: I, P, pares de GDLpn,:2, etc., es:

GDL

: 6(¡/ l) -

(6- I )

P,

6-2)

P2

(6-5)

Ps

(Fórmula de Kutzbach, 3D)

Para el caso de mecanismos planos 2D con juntas de I o 2 GDLp,,,. se utiliza la fórmula anterior sustituyendo 6 por 3, está claro que no tienen sentido juntas de 3 GDL'", o superior:

GDL:

3(N

-

r)

-

(3-l)Pr

-

G-2)P2

(6-s)

es decir:

GDL

:

3(N

- l)

2P1

- P2

(Fórmula de Kutzbach Gruebler, 2D)

Véase en la Figura 1.1-5 la definición de mecanismos según el número de GDL.

I

CRITERIO DE GRÜBLER (GRUEBLER)

4

: I

GDL=

3 (N- 1)-2-\1 1 0 = <0

I

>

t

=

Si GDL Si GDL I Si GDL I Si GDt

j i I

fr = n.o Pares 'l GDL fz = n.o Pares 2 GDL N = n.o de elementos

mecanismo G-GDL. mecanismo desmodrómico. estructura estáticamente determinada estructura hiperestática.

Figura 1.15. Fórmula de Gruebler.

Existen casos singulares en que 1a anterior fórmula nos da un valor menor que los grados reales, y esto es debido a que no hemos expresado las dimensiones de los eslabones, ni el posible paralelismo de los ejes de las juntas de rotación o de las guías de las juntas de traslación. Un ejemplo típico es el que se muestra en la Figura 1.16, donde al aplicar la fórmula se obtienen características de estructura (GDL : 0), cuando el mecanismo claramente tiene I GDL. En la lista de problemas resueltos se analizarán qué movilidades podemos obtener a partir de l/ eslabones y de diferentes tipo de pares utilizados para conectar los eslabones.

1.4.1.

APUCRCIÓN. SírurESIS DE GRUEBLER

utilización de las fórmulas anteriores que nos procuran el número de GDL de ttn mecanismo a partir del número de eslabones, el número de pares con GDL.", (1 ,2,3,4 o 5), nos permite hacer una primera aproximación a la síntesis numérica. A continuación, se aplicará la fórmula de

L¿r

TE S-

Paran i nfo


13

MECANISMo (1 gdl)

Figura 1.16. Mecanismo tipo donde la fórmula de Gruebler no ofrece un resultado correcto, caso singular.

Gruebler a mecanismos desde 2 barras a cuatro barras, para obtener las diferentes configuraciones de interés.

o La aplicación de la f'órmula de Gruebler para un mecanismo de dos barras (uéuse la Figura l. l7), N - 2, en el plano da como resultado:

GDL-3(2-t)-2Pt-P. GDL :3 - 2Pt - P2 para conectar las dos barras es necesario, al menos, un par elemental.

Figura 1.17. Dos barras unidas con un par de rotación.

Analicemos todas las oosibles configuraciones:

Pt:1 Pr :0 Pt-l Pt ) |

P::0 GDL:l P:.:l GDL:2 Pz:l GDL:0 Pr2 | GDL < 0

manivela

maniveladeslizadera estructura

estructura hiperestática

La aplicación de la fórmula de Gruebler para un mecanismo de tres barras, N

:

3, en el plancr

da como resultado:

GDL

: 3(3-r)

GDL-6

2Pt

- P,

2Pt-P2

Se necesitan, al menos, dos pares elementales para ligar las tres barras y como máximo tres. @ ITES-Paraninfo

|

':':cucción a la Teoría de Máquinas v Mecantsmos

Analicemos todas las posibles configuraciones:

Pt:2

P:

Pt: I :0 Pr : 3 Pr

- 0

GDL: 2

dos manivelas o dos desliz¿rderas o una deslizadera y una nlvela.

Pz- |

GDL:3

brazo articulado de dos eslabones rnás deslizadera o deslizadera más brazo articulaclo dc un eslabón más desliz¿rdera.

P:.-2 P: - 0

GDL:4 GDL : 0

doble manivela másdeslizadera.

Pz: 1 GDL: I Pt:2 Pt: 1 Pz:2 GDL: 2

m¿t-

estructura con tres pares de rotación o con tres p¿rres de traslaclon.

biela manivela. doble manivela rnás deslizadela, doble deslizader¿r más doble apoy().

Pr :0

o

P:.:3

GDL:3

tripleapoyo.

Del anírlisis anterior observamos la aparición de un mecanismo de interés de I GDL, el mecanismo biela manivela. La aplicación de la fórmula de Gruebler p¿lra Lln mecanismo cle cllatro barras. GDL : 4, en el plano da como resultado:

GDL:3(4-l) - 2P, P. GDL:9-2Pt

P.

Se necesitan. al menos. tres pares elementales para ligar las cuatro barras

y como nláximo

cLlatro.

Analicernos todas las posibles configuraciones:

Pt:3

Pr

- 0

GDL:3

brazo articulado de tres eslabones, deslizadera de tres GDL, etcetefa.

Pt:2 Pt: I

Pt- | Pt:2

GDL: 1 GDL: -5

brazo articulado de tres eslabones y deslizadera, etc.

brazo articulado de tres eslabones. deslizadera de tres GDL. etcetera.

Pr :3 Pt-4

P::0 P::0

GDL-3 GDL: I

variossistemasarticulados.

o cu¿rtro deslizaderas en ángulo, o tres deslizaderas y una rotación, o dos cleslizaderas y dos rotaciones. etc. cuadrilátero articulado.

De los casos estudiados para 2, 3 y 4 eslabones, se han detectado 3 mecanismos con I GDL, que corresponden a la manivela (2 eslabones), al mecanismo biela manivela (3 eslabones) y al cuadrilátero articulado (4 eslabones). Estos dos últirnos son los de mayor uso en máquinas. ya que penniten la transfbrmación de un movinriento de rotación en otro de rotación o traslación. A continr-lación. sc estudiarán las condiciones que deben cumplirse, mediante la ley Grashof. para que tengamos mecanismos: manivela-manivela, balancín-balancín, manivela-balancín.

1.5.

CunoRn-Áreno ARTTcULADo

Hemos encontrado que el mecanismo fbrmado por cuatro eslabones articulados, uno de ellos tierra. tiene un grado de libertad I GDL. Es común en un cuadrilátero designar a los eslabones contiguos n tierra manivelas de entrada y salida y al eslabón interrnedio biela (L'éase la Figura 1.18). Al ser un -lS-Paraninfo


15

MANIVE

oo Figura 1.18. Definición del cuadrilátero articulado.

mecanismo con I GDL permite transformar un movimiento genérico de rotación en un complicado movimiento de traslación más rotación en la biela o en otro de rotación con nuevas calacterísticas en la manivela de salida. De la observación del comportamiento de los cuadriláteros articulados se deducen dos tipos de movimientos de las manivelas: el de giro completo (movimiento de manivela) y el giro parcial o de vaivén (rnovimiento de balancín).

Puntos muertos La existencia de movimientos de balancín en el cuadrilátero articulado implica la existencia de posiciones singulares, por ejemplo, aquellas que ocurren cuando una manivela alcanza el ángulo máximo o mínimo en el movimiento de vaivén: debido a que el cuadrilátero articulado tiene I GDL al fijar el movimiento de una de sus manivelas todo el mecanismo permanece. en ese instante. parado y tenemos un punto muerto. En la Figura l.l9 se muestra el cálculo geométrico de los puntos de ángulo máximo y mínimo de los eslabones balancín. Para ello se calcularán las circunferencias que pasan por los ejes de las manivelas y balancines, en su caso, con radio la suma y resta de las longitudes de la biela con las de la manivela y balancín correspondiente. En el caso del mecanismo manivela balancín una vez alcanzado el punto muerto, en un balancín dado, por alineación de la biela con el otro eslabón (manivela o balancín) sólo podremos continuar el movimiento mediante un retroceso del ángulo del balancín considerado hasta alcanzar de nuevo una nueva alineación de la biela con el otro eslabón (manivela o balancín). Se observa que ante un montaje dado hay posiciones geométricas de punto muerto inalcanzables, salvo cambio de montaie del cuadrilátero articulado.

\r¡

\_v_/

o

(D

(1)

Figura 1.19. Cálculo geométrico de los puntos muertos en un mecanismo articulado de cuatro eslabones manivela balancín v doble balancín. @ ITES-Paraninfo

' .:,:.

ón a la Teoría de Máquinas y Mecanismos

1.5.1. TeoReun

DE GRASHoF

En el rnecanismo de cuatro barras de la Figura l.l13 podemos estudiar las relaciones que deben cr-rnrplir liis lon-eitudes de sus eslabones para producir los dif'erentes tipos de movinientos de sus m¿rni'u'elas v blela mcdiante el Teorema de Grashof.

Clasificación de los mecanismos de cuatro barras Los mecanismos articulados de cuatro barras se pucden cl¿rsificar en dos categorías atendiendo a si al-euno de sus elementos puede ef'ectuar una rotación completa: CLASE I: Al menos una de las barras del mecanisrno pr"rede realizar una rotación completa (lret tuti.¡ntr¡s de ntattitelo). CLASE II: Ninsun¿r de las barras del mec¿rnislro puede realizar una rotación cornpleta Qnectutisntr¡s tle balqttcítt\. El Teorema de Grashof proporciona un medio peira averiguar la clase a la que pertenece un nrecanistro ¿u'ticulado de cuatro barras con sólo conocer sus dimensiones v disoosición. Si un cuadrilírtero no cr,rrnple clicho teorema. pcrtcnece a la clase Il.

Definición del Teorema de Grashof Ett uu c'Ltutlt'ilútero drticultulo. ul tuettr¡s uttu tle sus borra.s ut'Íuorá tt¡ntr¡ ntuttit'elo. ett ulcttttu rle lus di.spo.sicione.s posible.s. si .se ter|ficu que la.swno de lus lortgitudes de lus bttrrus ntolor l ntettor es igucLl o irtfbrior u lu sLttnu de las ktttg.itrttles de las ofrus dt¡s.

En un cu¿idrilátero afticulado que cumple el Teorerna cle Gr¿rshof.

aden'ríis:

¡

Si el soporte del rnecanismo es la bal'ra nrcnor. las dos barras contiguas a é1, actúan de rnanivcItts (mec'ottísntr¡s tle rktble-ttttutite1¿r). Clase L

¡

Si el soporte del mecanisnro es

Llna de l¿rs barras conti-euas a la mcnor. l¿r birrra menor ¿rctúa de nritnivela y slr opuesta de balancín (mecuttistnr¡s de ntcutirelu-baluttcítt). Clase I.

o Cuando un mccanislro no cnr.nple una de las condiciones antcriol'es, las dos barriis c¡ue giran respccto al soporte se comportan como balancines (tnec'attistttt¡s de clol:¡le-btrlctttcín¡. Cllsc ll. Porolelogratnt¡ orÍiculqtlo; Mecanisrno clonde cada barra es igual a su opuesta (la barr¿r soporte es igual a la biela. y la manir"ela L. (barra condr,rctora) es igual a la m¿rnivela la (barra conclucida). En este tipo dc uiccanisr.nos las dos barras contiguas al soporte sor-r manivelas (tttecuttist¡tr¡s tlc tk¡blettttutit'elu). En l¿r Tabla

l.l

se discuten l¿is dit'erentes conf iguraciones Grashof posibles pal'a Lln cuadril/rtero

a|ticulado cltyo soporte es de longitud Lr y la biela es de longitud 1.. l¿r

Hay clos casos particulares de interés. cllando las dos manivelas clel cuadrilírtero articulado tienen y se lnontan de manera que:

rnisrna longitud

o

¡

!-:,-:rinfo

E,l movimiento sifatorio en una sea an/rlogo en la otra. relación de transrnisión unidad positivn (manivelas paralelas). el ratio entre las velociclades angulares de las rnanivelas de salida y entr¿rda es lii unidad con signo pclsitivo. El movinriento ciratorio en una es el contral'io en h otra. relación de tr¿rnsrnisión r-rnidacl negativa (manivelas antiparalelas o antirotativas). el ratio entlc l¿rs velocidades angr-rlares de las tnanivel¿rs de salida y entracla es la unidad con signo negativo.

Introducción a la Teoría de Máouinas v

Tabla

Mecanismos 17

1.1. Configuraciones Grashof de un cuadrilátero articulado.

DOBLE-MANIVELA

/L^

mani vela-biel¿r-nrani vela

Lr+Lr
\IA\IYELA-IiALANCIIi rnanivela-biela-balancín

L,+Lr
t4 \ \ ..=v_ --

DOBI,E-BALANCIN b¿rlancín-biela-balancín

Lr+Lr barra fija o soporte CD

PARALELOGRAMO r,f LI

I

i

\

Lr

-

Li

-

RTICULADO Ll

siendo

(Lr

\.C./\.e,/ '--'-/

f

A

:L3) y (Lr-L1)

BC y AD tienen el mismo sentido de -siro

---=--

C^--.--/,t

ANTIPARALELOGRAMO ARTICULADO L,

Lr+L,:L3*La

l

\

siendo

\

e,/

(Lr

:L:) y (Lr:Lr)

BC y AD tienen sentidos de giro opuestos

@ ITES-Paraninfo

:

-:: .^ a la Teoría de Máauinas v Mecanismos La aplicación del Teorema de Grashof al mecanismo biela manivela. permite obtener las condiJr!)nes -seométricas de funcionamiento (aéctse la Figura 1.20).

rlre

URE

t¡A tr!:

¿BAnRAS SPI-]F9TA9

r{!uAtr

5?

¿LÁ SARRA i,1Ft'l0R

F:

Lq f IJAl

¿LA B'.RÉA

FÍ

'dEI.]OR aoilfrcu.{

¡.

Figura 1.20. Clasificación según el Teorema Grashof del cuadrilátero articulado.

1.5.2. Cunvls

DE BIELA.

CunvnS DE ACOPLADOR

Es de gran interés para el uso del cuadrilátero articulado en maquinaria analizar el comportamiento de los rnovimientos de puntos de los diferentes eslabones constitutivos. Sobre el movimiento en las manivelas y el eslabón sopofie poco hay que decir, pero en cuanto al movimiento de los puntos de la biela y del plano de trabajo asociado a ella se observa su gran complejidad. Podemos observar distintas f'ami-

lias de curvas: curvas lobulares de dif'erente cornplejidad. curvas con tramos casi rectilíneos, etc. Existen ¿rtlas de curvas de biela o de acoplador que nos permiten seleccionar la geometría del cuadrilátero articulado que nos procura la curva más aproximada a la deseada. En la Figura l.2l se presenta un mecanrsmo con las curvas de acoplador de una serie de puntos de diferentes eslabones. Una aplicación muy interesante del cuadrilátero articulado es aquella que resulta de hacer la rnanivela de salida de longitud infinita (degeneración de la manivela) y su conversión en una deslizadera rectilínea. El movimiento resultante de la biela se puede estudiar mediante los dos puntos extrerros. El punto de la biela articulado con la manivela de entrada describe círculos. mientras que el punto articulado con la deslizadera result¿inte de la degeneración describe una recta. Si la anterior recta la alineamos de nranera que pase por el eje de entr¿rda y la deslizadera, esta última describe un movimiento muy cercano al annónico. la componente arrnónica depencle del factor Rr.2l siendo R cl radio del eje de entrada y L la longitud de la biela (rác.se la Figura 1.22).Para obtener un movi-

rniento annónico deberemos hacer lo rnás pequeño posible el factor anterior. un rnecrnismo que cumple lo anterior es el denominado yugo escocés. en el clue la biela se hace de longitud infinita (réase la Figura I .23).

Interferencia entre eslabones. Montaje

El estudio geométrico del movimiento realizado no considera los

problemas del montaje de los mecanismos. Uno de los primeros problemas con que se encuentra uno al intentar materializar el mecanismo desarroll¿ido es el de los cruces o interferencias entre los eslabones v eso lo deberemos

S-raraninfo


Figura 1.21. Curvas de acoplador: las cabezas de las manivelas describen circunferencias y los de la biela 3 describen curvas cerradas tioo riñón, ocho, etc.

pu

19

ntos

Cuadrilátero articulado degenerado

cenlnco

/@ ( o,^,

\r',r, ,D,

\o

Figura 1.22. Mecanismos biela manivela céntrico. R es el radio de la manivela, L es la longitud de la biela.

o

@

*-*'

Figura 1.23. Mecanismo: yugo escocés.

solusionar l'ecllniendo al concepto de plano de trabajo del eslabón. Definiremos convcnicnteutente los planos de trabajo. uno por eslabón. para que el mecanismo f-uncione correctarnente. buscando en muchos c¿lsos las simetrías y un orden de planos que disponga los eslabones de mayol' movilidad lcr más separados posibles.

1.5.3

TÉCIruCnS DE ANÁLISIS DE MECANISMoS: ANALíTICA, COMPLEJA, GRÁFICA

En este punto. deberemos analizar qué técnicas podemos utilizar para conocer lii posición y por tanto la velocidad y aeeleración de cualquier punto del mecanismo. La aolicación de la cinemática del @ ITES-Paraninfo

-:':J-cción a la Teoría de Máquinas v Mecanismos

.tilido rígido a los mecanismos es el cuerpo de conocimientos a aplicar. pero en Teoría de Máquiv Mecanismos vamos a desarrollar una serie de conceptos y técnicas que nos permitan un mhs fácil y' rápido análisis y solución del estado de movimiento de cualquier eslabón y punto del mecanisrlo. La utilización del cálculo de vectores para definir la posición de los eslabones de un mecanisnto. así como. de las velocidades y aceleraciones. nos permite considerar dos grupos de técnic¿rs: lrs analíticas y las gráficas. Las técnicas analíticas vectoriales utilizan el análisis',,ectorial de los bucles cerrados de los e slabones del mecanismo para obtener ecuaciones vectoriales de la movilidad del mecanismo. De nas

los sisterl¿rs de ecuaciones vectoriales planteados podemos pasar a sus correspondientes sistemas dc ecuaciones escalares que mediante su resolución nos pemitan obtener las características de los eslabones incógnita en función de los datos de la geometría del mecanismo.

Técnicas analíticas Valt'tos a aplicar lo anterior al caso de un mecanismo fundamental, el cuadrilátero articulado, se-

cún la Figura

1.2r1.

X

----_> Figura

1.24. Representación vectorial de un mecanismo

de cuatro barras

Siguiendo como referencia la notación utilizada, se observa que, evidentemente, la suma de provecciones de las componentes vectoriales en el eje X debe ser cero:

L,.cosz-|L.'cosf

(l.l)

Lj.cosó+Lr-0

Además. la suma de las proyecciones de las componentes vectoriales en el eje

l¿is

I

tarnbién debe

ser cero:

l,, .sen y" * L..cos Si las Ecuaciones

(l.l) y (1.2) tl

se reorganizan

. cos2

lJ

-- (h.cos

L].sen] ll Si las Ecuaciones

: fi+ fl+ | -::-

)araninfo

(l

/

Lj.cos ó -

0

(1.2)

y se elevan al cuadrado resulta:

@ L, .cos t

: (h.sen / -

La)2

L, .sen z)2

(l

3)

(l ,l)

3) y (l.zl) se suman, el resultado sería:

L1.Lr.cos

(> L,.Lt.cosz.cos ó- L,.L.,.sen t.sen Q- L,. L*'cosa

(1.-5)

lntroducción a la Teoría de Máquinas y

Mecanismos

21

Para simplificar esta ecuación puede realizarse un cambio de variables con la siguiente asigna-

crón de parámetros:

:L^

Rr

L1

R2

:L^ Ll

R¡-

oi+ ri+ r1 -

¡2

L1

/-' L1' L1

Resultado del carnbio de variables de la Ecuación (1.5) es la expresión:

R' .cos

7"

-

Rt 'cos

@

* R, :

cos

(z

(

ó¡

1.6)

La Ecuación (1.6) es conocida como la EcLtoc'ión de Frettdenstein para los mecanismos de cuatro barras, probablemente la técnica de síntesis más utilizada en los problemas de diseño donde se requiere el movimiento coordinado entre el eslabón de entrada y el de salida. Técnicas analíticas: síntesis de Bloch Otro método para hallar la posición. velocidad y aceleración de los puntos en los eslabones de un mecanisno, podemos tarnbién utilizar otra técnica analítica basada en el álgebra de los números complejos. Una ventaja de esta técnica consiste en la facilidad de la diferenciación en el plano complejo. El análisis pol componentes reales e imaginarias nos permitirá generar el conjunto de ecuaciones que resuelven el problema. La síntesis de Bloch consiste en satisfacer requisitos cinemáticos aplicando la técnica de los números complejos. Por este procedimiento, conociendo las velocidades angulares (t,)., t,t. y ¿,r+) y las aceleraciones angulares (e,, c-, y c.) de las barras 2, 3 y 4 de un cuadrilatero articulado como el representado en la Fi-eura 1.24, se pueden calcular las dimensiones de las cuatro barras. En efecto. si se consideran las barras como vectores y se hace uso de la forma compleia en coordenadas polares, se obtiene:

L+L.+Lj+L+:0 L1.gJ"t

I

Lr.¿J(':

I

L..¿J'':

,L1)

I La.eJ,'t:e

Si la Ecuación (1.7) se deriva respecto al tiempo, resulta:

Lr.e)r.ej". + L. .{,)1' rr't' ¡ L,.t,tr.

¿,

1",

:

(1.8r

0

Si a su vez, la Ecuación (1.8) se deriva respecto al tiempo, se obtiene:

L..

(t:2 +

j

.

tt¡|.') .

ei". + L.. ( er + .j . ui) . ei". + La. (t:a + .j . rtfi) . ei".

Pasando las Ecuaciones (1.7).

Lt+L. 0lL..ot,

-

(le)

0

(l.B) y (1.9) a la forma vectorial, se obtiene:

*L. *L1 'o-t¡

!L+ lLa.t'ta

O + L..(e: f j.r'l) -l L..(t1 + j .r,l) -l Lr.(t:a

:0 -0 + .i .rtfi¡ : g

(

1.10)

@ ITES-Paraninfo

:: :^ a la Teoria

de Máquinas y Mecanismos

Si l¿ts Ecuaciones (1.10) se dividen pol L, se podrá calcular Lz, Lt.L.iL, y LtiLt. Aclernás. si -J rorlsidera la longitud de la barra | (O.Ol conto l¿i Lrnidad (L,: l), se podrían obtener las lon-rtucles de un cuadr-ilátero semejante. Tar-nbién. al hacer e I discrirninantc igual a la unidad (A : l). los vectores qlle se obtienen. al resolver el sistema. serán ser.nejantes y apareccrán girados un mismo hngulo. Resumiendo: el nteeanismo ser'á homólogo al de referencia. Resolviendo el sistenta de Ecuaciones (1.10). planteaclo anteriormente. resulta:

L,: -tL.+L.+Lr¡

L. : ,').,.(t;., * .j 'r'tt) - (,)j.(í)r + .j .t,l): (,)+.Íi-¡ -- (,):' t:t -l j ' (t)J' (t)t. ((t)z rDa) L.: r,t..(r;* * i .r,rt) (,)1.(¿:2 + .j .t'É) - u)¡.r)1 (0r. t)¡ I .l . 02. trtr. (¡¡¡, - ¡,¡.) Lr: t,t.'(¡;. -l-.¡ .r'tl) t,¡..(í:,,+ j.r'l): (t)t.i;2 (t)¡ . tt f J . (!)1. (t)2. (,)2 (r¡) Los sistemas de ecu¿tciones obtenidos al resolvcr los mecanisn'los por sencillos que sean. genesistemas de ecu¿tciones no lineales de difícil lesolución. La utilización de mé1odos ntaterláticos de iteración, Newton Raphson, f acilita la solución introduciendo nurnerosos concepros nrarenráticos: número de iteraeiones. convergencia, error, ctc. Existen en la bibliogt'afía nurnerosos [ítulos clue desarroll¿rn las técnicas analíticas. las cuales finalntente scln intcgt'adas en progl'¿lmas de ordenadol en len-eua.jes comcl el Fortran o si¡nilares o cn los paquetes dc sintulación más al,anzados Mathcad. Adams. etc. t'¿rn

Técnicas gráficas Ett cuanto a l¿rs técnicas gráficas, las quc v¿ul.ros ¿r clesarrollar y utilizar en el transcurso clc cste tcrto. podetnos decir que utilizan la geornetría de los esl¿rbones cn conjunción con las propiedades geontétricas cle las velocldades y acelelaciones para resolver el ploblema cinem¿itico del nrec¿ir.tisnro par¿i cada uno de los instantes de interés. Se utilizarír el álgebra vectolial y los conocimientos tlc la -ueornetría descriptiva como base de la técnic¿t grífica. Para concluir, podemos decir que las dos técnicas son complementarias siempre. El uso de las técnic¿rs ¿rnalític¿is reqr,riere en muchos casos de las técnicas gráficas para validar las soluciones cncontradas en las iteracioncs. Las tócnicas gráficas en el caso de rnceanisrnos con movirniento en planos paralelos son en muchos casos de gran ayuda y permiten un anírlisis gráfico rápido y sencillo. generando i¡nas soluciones cinemáticas qlre nos permiten una rápida interrelación entre l¿is rra-unitudes de los diversos puntos del mecanisrno. También será aplicable al carnpo de la dinárnica. permitiendo un rápido estudio cualitativo y cuantitativo de l¿t influenci¿i de las fuerzas sobre cada eslabón y su interrelación con las de los otros eslabones del mecanisn'ro. En los CapítLrlos 2 y 3 se aplicar'án diversas técnicas -uráficas en la resolución de problernas de cinenrática y clin/rmica.

PnoeLeMAS RESUELToS >

1.1

Encontrar los mecanismos que resultan de todas las inversiones con difcrcncia tooolósica de la cadena cinemática de Stephenson (Figura 1.2-5).

Resolucró¡¡ Las correspondientes inversiones de la cadena cinemírtica cle Stephenson permiten obtener tantos mecanismos cclmo tenga. La solución se presenta en la Figura L26.

::-r:'aninfo


23

Figura 1.25. Cadena cinemática de Stephenson.

La posición de tierra del eslabón zl es equivalente a la del eslabón 2, por simetría. Lo mislno ocurre con la posición de tierra del eslabón 6. que es equivalente a la del -5.

/1\ \i/

Eslabón 1 = TIERRA

r¡

Eslabón 2 = TIERRA

c

Eslabón 3

=TIERRA

Eslabón 5 =TIERRA

Figura 1.26. Inversiones de la cadena cinemática de Steohenson. @ ITES-Paraninfo

ltroducc¡ón a la Teoría de Máquinas v Mecanismos

> 1 .2.

Calcular el núunero de grados de libertad del mecanismo de la Fisura L27.

Figura

1.27. Mecanismo pistón.

Resolucrótr¡ Se aplicará la fórmula de Grübler para el cálculo del número de grados de libertad del nrecanismo.

GDL

: 3(N l)

2Pr

- P,

(Fórmula de Kutzbach Gruebler. 2D)

Se calculan el número de pares de uno y de dos grados de libertad (Figura 1.28), en este caso ha¡r 4 pares cle I GDL, de los cuales 3 son de rotación y uno de traslación.

repil :3(N l) 2P, P2:3(4-t) 2. 4-o: tr sc trata de un mecanismo DESMODRÓVICO.

Figura

1.28. Posición de los pares de un grado de libertad.

el número de grados de libertad de los siguientes mecanismos. De nuevo, se aplica la fórmula de Grübler, y pueden verse en ta Figura 1.27. En los tres casos los pares son de un grado de libertad.

CalcLrlar

(A) I cnl l:3(N Se tTata

- l)

2p,

-

p2:3(1-t)

2.

l0-0:

tr,

de una ESTRUCTURA HIPERESTÁTICA.

(B) repil:3(¡/

- r)

2p,

-

p2- 3(4-t) - 2. 4-0: [-1,

se trata cle un mecanismo DESMODRóH¡ICO.

(c)

rept--]

: 3(N t) - 2pt p::

3(11-1)

- 2 . t4-0 :A,

se trata de un mecanismo de DOS GRADOS DE LIBERTAD.

lntroducción a Ia Teoría de Máquinas v Mecanismos

A

()\

(a)

(c)

Figura

1.29. Mecanismos.

PE 3-4 PE 3.7

B

A

o\ Oz

(a)

@ PE89 PE 8,1 PE 6-

E

tel \Y/

PE 4-5

@

PE 3-a

K \1-l

Figura

B

"',áí

Os

',K \t-l

v

PE 9.1

e

(c.,

1.30. Posición de los pares en los mecanismos. @ ITES-Paraninfo

ltroducc¡ón a la Teoría de Máquinas y Mecanismos

> 1'4.

Calcular el número de graclos de libertad de los siguientes mecanismgs.

rodadura +

deslizamiento

olu: ,fu7 r¡ v

/:\ \?

f

(a)

Figura

(A)

i GDL

l: 3(¡/- l) -

2p,

1.31. Mecanismos.

-p, :

3(3_t)

- 2. 2_l

-lrl

se trara de un mecanismo DESMODRóMCO.

(B) repil

: 3(¡/ - l)

2p,

- p):

3(1-t)

-2

3-l

: ffl

en este caso el PE 2-3 tiene 2 GDL. Se trata de un mecanismo de DOS GRADOS DE LIBERTAD.

PE 1-2

J,6.to' 7nm

e

\O

o (a)

Figura

1

.5.

1.32.

Utilizando la notación cle la Tabla láteros.

a) L, : 80 mm L.: 40 mm b) l' : 70 mrn t, :60 mm c) l,, : 80 mm L" :60 mm d) L' :40 mm L, : 60 mm

l-r:.aninfo

(b)

Pares: a) de 1 GDL 1-2, 2-3y 2 GDL 3-1; b) de 1 cDL 1-2, 3-4, 4-1 y 2 GDL2_3.

l.l,

especifica a qué clase pertenecen los siguientes cuadri_

: 60 mm Zj :40 mm L1 :60 mm l', - 80 mm L.,

La:70 mm La: 60 mm La:60 mm La:90 mrn

lntroducción a la Teoría de Máouinas v

Mecanismos 27

Resolucró¡r El procedimiento a seguir aparece representado en la Figura

a)

1.20.

En primer lugar, se comprueba si el mecanismo cumple el teorema de Grashof.

Lt+L1 Lt + L. - 80 + 60: 140

',!

L2+L1

L2+ L1:40 + 70:

Lt+h >

I l0

L2+L1

Se comprueba que se cumple el teorema de Grashof. El siguiente paso es comprobar si las barras opuestas son iguales

(Lt: Lty Lz:

Lr); esta

condición no la cumple.

fijo (L,). ¿La barra menor es contigua a la tija? Esto sí que es cierto, puesto que el eslabón 2 se ¿La barra menor es fija? La barra menor es L2 y no se corresponde con el eslabón

encuenlra unido en h) con el eslabón L,. Por lo tanto. se trata de un mecanismo de MANIVELA-BALANCIN.

b)


Ll+Lj? b+L4 Lt + L':70 + 40: ll0

L. + Lt:60 + 60:

120

L.+L1 < L2+L1 Se comprueba que NO se cumple el teorema de Grashof.

Es un DOBLE BALANCIN.

c)


Lt+Lj? L2+Ll Lt + Lj:

B0

+ 60: 140

L2+ Lt:60 + 60:

Ll+L7>

120

L.lL+

Se comprueba que se cumple el Teorema de Grashof. El siguiente paso es comprobar si las barras opuestas son iguales (Lt Lt y l*); sólo se cumple para el segundo caso. ¿La barra menor es fija? El eslabón fijo es el de mayor longitud. ¿La barra menor es contigua a la fija? Esto sí que es cierto. puesto que el eslabón 2 y el 4

:

se encuentran unidos con el eslabón 1,. Por lo tanto. se trata de un mecanismo de

d)

Lz:

MANIVELA-BALANCÍN.

En primer lugar. se comprueba si el mecanismo cumple el Teorema de Crashof.

Lt+L|? L"+L1 Lt + L1:40 +

B0: 120

L2+

Lt+L1 < L2+L4 Se comprueba que NO se cumple el Teorema de Grashof. Se trata de un mecanismo de DOBLE BALANCÍN.

L,:60

+

90:

150

Capitulo 1 221qr

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