Bioestadistica 4o3044

12. Contrastes no paramétricos 12.2 Introducción Hasta ahora todas las técnicas utilizadas para realizar algún tipo de inferencia exigían: 



bien asumir de ciertas hipótesis como la aleatoriedad en las observaciones que componen la muestra, o la normalidad de la población, o la igualdad de varianzas de dos poblaciones, etc; o bien, la estimación de cualquier parámetro como la media, varianza, proporción, etc, de la población.

El conjunto de estas técnicas de inferencia se denominan técnicas paramétricas. Existen sin embargo otros métodos paralelos cuyos procedimientos no precisan la estimación de parámetros ni suponer conocida ninguna ley de probabilidad subyacente en la población de la que se extrae la muestra. Estas son las denominadas técnicas no paramétricas o contrastes de distribuciones libres, algunos de los cuales desarrollamos en este capítulo. Sus mayores atractivos residen en que:  Son más fáciles de aplicar que las alternativas paramétricas;  Al no exigir ninguna condición suplementaria a la muestra sobre su proveniencia

de una población con cierto tipo de distribución, son más generales que las paramétricas, pudiéndose aplicar en los mismos casos en que estas son válidas. Por otro lado, esta liberación en los supuestos sobre la población tiene inconvenientes. El principal es la falta de sensibilidad que poseen para detectar efectos importantes. En las técnicas no paramétricas juega un papel fundamental la ordenación de los datos, hasta el punto de que en gran cantidad de casos ni siquiera es necesario hacer intervenir en los cálculos las magnitudes observadas, más que para establecer una relación de menor a mayor entre las mismas, denominadas rangos.

12.4 Aleatoriedad de una muestra: Test de rachas A veces al realizar un muestreo, puede llegar a influir el orden temporal o espacial en que las muestras han sido elegidas, con lo cual no estamos en las condiciones de un muestreo aleatorio simple, ya que la ley de probabilidad varía de una observación a otra. Como ilustración obsérvese la figura adjunta. También podemos denominar a este contraste como test de independencia de las observaciones de una muestra.

Consideremos una muestra de tamaño n que ha sido dividida en dos categorías y con n1 y n2 observaciones cada una. Se denomina racha a una sucesión de valores de la misma categoría. Por ejemplo si estudiamos una población de personas podemos considerar como categoría el sexo

En función de las cantidades n1 y n2 se espera que el número de rachas no sea ni muy pequeño ni muy grande. Si las observaciones son cantidades numéricas estas pueden ser divididas en dos categorías que poseen aproximadamente el mismo tamaño ( como el valor que sirve para dividir a la muestra:

), si consideramos la mediana de las observaciones

Se define la v.a. R como el número de rachas. Su distribución está tabulada para los casos

y

(tabla 7 de Downie). La aleatoriedad en la extracción de la muestra se rechaza cuando ó

.

12.4.0.1 Aproximación normal del test de rachas Si el tamaño de cualquiera de las dos muestras es mayor que 30, la distribución de R se aproxima a una normal de media

y varianza

y se considera el estadístico

Se rechaza la hipótesis nula (aleatoriedad) si

.

12.6 Normalidad de una muestra: Test de D'Agostino Consideremos n observaciones, las cuales ordenamos de menor a mayor y les asignamos su rango en función de este orden

Se calculan sobre la muestra la media, la desviación típica un estadístico T y por último el estadístico del contraste D cuya distribución está tabulada

En la tabla de la distribución del estadístico de D'Agostino, (tabla 8) D, para un nivel de significación se busca un intervalo

de modo que si

en otro caso se asume. Para realizar este test es necesario que al menos

se rechaza la normalidad y .

12.8 Equidistribución de dos poblaciones Estas son las alternativas no paramétricas del contraste de la de Student para poblaciones normales (sección §9, página ). Están concebidas para contrastar la hipótesis de que dos muestras aleatorias independientes

provienen de poblaciones que tienen idénticas distribuciones. Para aplicar estos contrastes será en primer lugar necesario contrastar si cada una de las muestras se ha obtenido mediante un mecanismo aleatorio. Esto puede realizarse mediante un test de rachas. Supongamos que el contraste de aleatoriedad de ambas muestras (cuantitativas) no permite que ésta se rechace a un nivel de significación . Entonces aplicaremos el contraste de Mann--Withney o el de rachas de Wald--Wolfowitz, que exponemos a continuación.

 

12.8.2 Contraste de rachas de Wald--Wolfowitz o 12.8.2.1 Aproximación normal del test de Wald--Wolfowitz 12.8.4 Contraste de Mann--Withney o 12.8.4.1 Aproximación normal del test de Mann--Withney

12.8.2 Contraste de rachas de Wald--Wolfowitz Si combinamos las dos muestras y disponemos el conjunto completo de todas las observaciones, ordenadas de menor a mayor, cabe esperar que bajo la hipótesis

,

las dos muestras estén muy entremezcladas, y por tanto el número de rachas, Rexp, formadas por las categorías

debe ser muy alto.

Cuando

el valor teórico del número de rachas por debajo del cual se rechaza H0,

se busca en la tabla 7 (de Downie) y entonces no se rechaza H0 si caso.

y se rechaza en otro

12.8.2.1 Aproximación normal del test de Wald--Wolfowitz Si n1>30 o bien n2>30 se aproxima R por

donde

Luego si definimos

se rechaza la hipótesis nula si

.

Si tenemos observaciones repetidas en las dos muestras se fija el criterio de colocar primero aquellas que pertenecen a la primera muestra.

12.8.4 Contraste de Mann--Withney El objetivo es el mismo que el del test anterior: contrastar la hipótesis

para dos muestras , cuantitativas independientes, tomadas de modo aleatorio. El contraste se efectúa combinando las dos muestras y disponiendo el conjunto completo de las observaciones, ordenado de menor a mayor. Se asignan después números de rango a cada observación

Se calcula después la suma de los rangos de las observaciones pertenecientes a la primera muestra y a la segunda, obteniéndose respectivamente R1 y R2, para después calcular los estadísticos

Entonces si la hipótesis H0 es cierta, U1 y U2tienen una distribución de Mann--Withney de parámetros n1 y n2que está tabulada (tabla 9) para valores en que

Para el contrate bilateral, se define y se rechaza H0 si

.

Si el contraste que pretendemos realizar es unilateral, como por ejemplo,

rechazaremos la hipótesis nula si

se rechaza H0 si

. Si el test es el contrario

.

12.8.4.1 Aproximación normal del test de Mann--Withney Cuando los tamaños de las muestras son grandes, n1,n2>40, no es posible recurrir a las tablas de Mann-Withney. En este caso utilizamos la aproximación normal

donde

y se utiliza el estadístico de contraste

rechazándose la equidistribución de ambas poblaciones utilizando los mismos criterios que con los contrastes paramétricos.

12.10 Contraste de Wilcoxon para muestras apareadas El contraste de Wilcoxon es la técnica no paramétrica paralela a el de la de Student para muestras apareadas (sección §9, página ). Igualmente dispondríamos de n parejas de valores (xi,yi) que podemos considerar como una variable medida en cada sujeto en dos momentos diferentes.

El test de Wilcoxon, al igual que los otros contrastes no paramétricos puede realizarse siempre que lo sea su homólogo paramétrico, con el inconveniente de que este último detecta diferencias significativas en un de casos que el de la

de Student.

Sin embargo a veces las hipótesis necesarias para el test paramétrico (normalidad de las diferencias apareadas, di) no se verifican y es estrictamente necesario realizar el contraste que presentamos aquí. Un caso muy claro de no normalidad es cuando los datos pertenecen a una escala ordinal. El procedimiento consiste en:

1. Ordenar las cantidades

de menor a mayor y obtener sus rangos.

2. Consideramos las diferencias di cuyo signo (positivo o negativo) tiene menor frecuencia (no consideramos las cantidades di=0) y calculamos su suma, T

Del mismo modo es necesario calcular la cantidad T', suma de los rangos de las observaciones con signo de di de mayor frecuencia, pero si hemos ya calculado T la siguiente expresión de T' es más sencilla de usar

T' = m(n+1)-T donde m es el número de rangos con signo de di de menor frecuencia. 3. Si T ó T' es menor o igual que las cantidades que aparecen en la tabla de Wilcoxon (tabla número 10), se rechaza la hipótesis nula del contraste

12.10.0.1 Aproximación normal en el contraste de Wilcoxon Si

donde

la distribución de T ite una aproximación normal

por lo que el estadístico

da como criterio el rechazar H0 si

.

12.12 Contraste de Kruskal-Wallis El contraste de Kruskall-Wallis es la alternativa no paramétrica del método ANOVA, es decir, sirve para contrastar la hipótesis de que k muestras cuantitativas han sido obtenidas de la misma población. La única exigencia versa sobre la aleatoriedad en la extracción de las muestras, no haciendo referencia a ninguna de las otras condiciones adicionales de homocedasticidad y normalidad necesarias para la aplicación del test paramétrico ANOVA. De este modo, este contraste es el que debemos aplicar necesariamente cuando no se cumple algunas de las condiciones que se necesitan para aplicar dicho método. Al igual que las demás técnicas no paramétricas, ésta se apoya en el uso de los rangos asignados a las observaciones. Para la exposición de este contraste, supongamos que tenemos k muestras representadas en una tabla como sigue,

Niveles

Observaciones de X

Nivel

x11 x12

Nivel

x21 x22 ...

Nivel

x2n2 ...

xk1 xk2

El número total de elementos en todas las muestras es:

La hipótesis a contrastar es:

x1n1

xknk

El modo de realizar el contraste es el siguiente: 

Se ordenan las observaciones de menor a mayor, asignando a cada una de ellas su rango (1 para la menor, 2 para la siguiente, ...,Npara la mayor).



Para cada una de las muestras, se calcula Ri, , como la suma de los rangos de las observaciones que les corresponden. Si H0 es falsa, cabe esperar que esas cantidades sean muy diferentes.



Se calcula el estadístico:

La regla para decidir si se ha de rechazar o no la hipótesis nula es la siguiente: 

Si el número de muestras es k=3 y el número de observaciones en cada una de ellas no pasa de 5 se rechaza H0 si el valor de Hsupera el valor teórico que encontramos en la tabla de Kruskall-Wallis --tabla número 11.



En cualquier otro caso, se compara el valor de H con el de la tabla de la con k-1 grados de libertad. Se rechaza H0 si el valor del estadístico supera el valor teórico

.

12.12.2 Comparaciones múltiples En aquellas situaciones en las que se haya rechazado la hipótesis acerca de la igualdad de las distribuciones poblacionales de las cuales hayan sido extraídas las muestras, será necesario, igual que en el caso del ANOVA, realizar contrastes a posteriori que determinen o precisen entre qué muestras existen las diferencias significativas que provocan el rechazar la hipótesis nula del contraste de Kruskal-Wallis. El procedimiento consistirá en los siguientes pasos:



En primer lugar determinaremos la cantidad:



Posteriormente calculamos el valor del percentil de la distribución



Por último calculamos la cantidad y en lo que respecta a la regla de decisión diremos que existen diferencias significativas entre dos poblaciones siempre que:

, z1-a.

donde es el rango medio de la muestra i, es decir, no itiendo posibles diferencias en otro caso.

12.14 Problemas Ejercicio 12..1. Recientes estudios sobre el ejercicio de la Medicina en centros en los que no actúan estudiantes, indican que la duración media de la visita por paciente es de 22 minutos. Se cree que en centros donde con un elevado número de estudiantes en prácticas esta cifra es menor. Se obtuvieron los siguientes datos sobre las visitas de 20 pacientes aleatoriamente seleccionados:

Duración en minutos de la visita 21'6 13'4 20'4 16'4 23'5 26'8 24'8 19'3 23'4

9'4 16'8 21'9 24'9 15'6 20'1 16'2

18'7 18'1 19'1 18'9 1. ¿Constituyen estos datos una muestra aleatoria? 2. ¿Podemos concluir en base a estos datos que la población de la cual fue extraída esta muestra sigue una distribución Normal? Ejercicio 12..2. Se realiza un estudio para determinar los efectos de poner fin a un bloqueo renal en pacientes cuya función renal está deteriorada a causa de una metástasis maligna avanzada de causa no urológica. Se mide la tensión arterial de cada paciente antes y después de la operación. Se obtienen los siguientes resultados:

Tensión arterial Antes

150 132 130 116 107 100 101 96 90

Después 90 102 80

82

90

94

78

84 93 89 8?????

¿Se puede concluir que la intervención quirúrgica tiende a disminuir la tensión arterial? Ejercicio 12..3. Se ensayaron dos tratamientos antirreumáticos istrados al azar, sobre dos grupos de 10 pacientes, con referencia a una escala convencional (a mayor puntuación, mayor eficacia), valorada después del tratamiento. Los resultados fueron:

Nivel de eficacia del tratamiento Tratamiento primero 12 15 21 17 38 42 10 23 35 28 Tratamiento segundo 21 18 25 14 52 65 40 43 35 42 Decidir si existe diferencia entre los tratamientos. Ejercicio 12..4. Puesto que el hígado es el principal lugar para el metabolismo de los fármacos, se espera que los pacientes con enfermedades de hígado tengan dificultades en la eliminación de fármacos. Uno de tales fármacos es la fenilbutazona. Se realiza un estudio de la respuesta del sistema a este fármaco. Se

estudian tres grupos: controles normales, pacientes con cirrosis hepática, pacientes con hepatitis activa crónica. A cada individuo se les suministra oralmente 19 mg de fenilbutazona/Kg. de peso. Basándose en los análisis de sangre se determina para cada uno el tiempo de máxima concentración en plasma (en horas). Se obtienen estos datos:

Normal Cirrósis Hepatítis 4

22,6

16,6

30,6

14,4

12,1

26,8

26,3

7,2

37,9

13,8

6,6

13,7

17,4

12,5

49

15'1 6,7 20

¿Se puede concluir que las tres poblaciones difieren respecto del tiempo de máxima concentración en plasma de fenilbutazona? Ejercicio 12..5. El de un laboratorio está considerando la compra de un aparato para analizar muestras de sangre. En el mercado hay 5 de tales aparatos. Se le pide a cada uno de los 7 técnicos médicos que después de probar los aparatos, les asignen un rango de acuerdo con el orden de preferencia, dándole el rango 1 al preferido. Se obtienen los siguientes datos:

Analizador de sangre Técnico I

II

III

IV

V

1

1

3

4

2

5

2

4

5

1

2

3

3

4

1

3

5

2

4

1

3

2

5

4

5

1

2

3

4

5

6

5

1

3

2

4

7

5

1

4

3

2

Utilizar el contraste adecuado para determinar si los técnicos perciben diferencias entre los aparatos. Ejercicio 12..6. Los efectos de tres drogas con respecto al tiempo de reacción a cierto estímulo fueron estudiados en 4 grupos de animales experimentales. El grupo IV sirvió de grupo control, mientras que a los grupos I, II y III les fueron aplicadas las drogas A, B y C respectivamente, con anterioridad a la aplicación del estímulo:

A

B

C

Control

17

8

3

2

20

7

5

5

40

9

2

4

31

8

9

3

35 ¿Puede afirmarse que los tres grupos difieren en cuanto al tiempo de reacción? Ejercicio 12..7. La tabla siguiente muestra los niveles de residuo pesticida (PPB) en muestras de sangre de 4 grupos de personas. Usar el test de Kruskal-Wallis para contrastar a un nivel de confianza de 0'05, la hipótesis nula de que no existe diferencia en los niveles de PPB en los cuatro grupos considerados.

Niveles de PPB Grupo I

10 37 12 31 11

Grupo II

4 35 32 19 33 18

Grupo III 15 Grupo IV

9 23

5 10 12

7 11

1 08

8

6

6 15

2

5

3

Ejercicio 12..8. La cantidad de aminoácidos libres fue determinada para 4 especies de ratas sobre 1 muestra de tamaño 6 para cada especie. Comprobar si el contenido de aminoácidos libres es el mismo para las 4 especies.

Especies de ratas I

II

III

IV

431'1 477'1 385'5 366'8 440'2 479'0 387'9 369'9 443'2 481'3 389'6 371'4 445'5 487'8 391'4 373'2 448'6 489'6 399'1 377'2 451'2 403'6 379'4 381'3 Ejercicio 12..9. Los siguientes datos nos dan el peso de comida (en Kg.) consumidos por adulto y día en diferentes momentos en un año. Usar un contraste no paramétrico para comprobar si el consumo de comida es el mismo en los 4 meses considerados.

Febrero Mayo Agosto Noviembre 4,7

4,7

4,8

4,9

4,9

4,4

4,7

5,2

5,0

4,3

4,6

5,4

4,8

4,4

4,4

5,1

4,7

4,1

4,7

5,6

Ejercicio 12..10. Se hizo un estudio neurofisiológico sobre la conducción motora tibial posterior en dos grupos de pacientes embarazadas con las siguientes determinaciones:

Conducción motora tibial posterior Primer grupo

51 40 41 53 48 50 45 58 45 44

Segundo grupo 58 43 40 45 41 42 44 52 56 48 Comprobar la igualdad o no de ambas muestras. Ejercicio 12..11. En un experimento diseñado para estimar los efectos de la inhalación prolongada de óxido de cio, 15 animales de laboratorio sirvieron de sujetos para el experimento, mientras que 10 animales similares sirvieron de controles. La variable de interés fue el nivel de hemoglobina después del experimento. Se desea saber si puede concluirse que la inhalación prolongada de óxido de cio disminuye el nivel de hemoglobina según los siguientes datos que presentamos:

Nivel de hemoglobina Expuestos

14'4 14'2 13'8 16'5 14'1 16'6 15'9 15'6 14'1 15'3 15'7 16'7 13'7 15'3 14'0

No expuestos 17'4 16'2 17'1 17'5 15'0 16'0 16'9 15'0 16'3 16'8 Ejercicio 12..12. A 11 ratas tratadas crónicamente con alcohol se les midió la presión sanguínea sistólica antes y después de 30 minutos de istrarles a todas ellas una cantidad fija de etanol, obteniéndose los datos siguientes:

Presión sanguínea sistólica Antes

126 120 124 122 130 129 114 116 119 112 118

Después 119 116 117 122 127 122 110 120 112 110 111 ¿Hay un descenso significativo de la presión sanguínea sistólica tras la ingestión de etanol? Ejercicio 12..13. Un test de personalidad, tiene dos formas de determinar su valoración suponiendo inicialmente que ambos métodos miden igualmente la extroversión. Para ello se estudia en 12 personas obteniéndose los siguientes resultados:

Medida de la extraversión Forma A 12 18 21 10 15 27 31 6 15 13 8 10 Forma B 10 17 20 5 21 24 29 7 11 13 8 11 ¿Hay diferencia entre los dos métodos?