5.- Sotelo Capitulo 4 5o5z6i

7.- Por el interior de un gran conducto circular de 0.3 m de diámetro fluye agua con velocidad que siguen la distribución señalada en la figura, según la ley V=0.0225-r2 (en m/seg. ). Determinar la velocidad media con que el agua sale por las tuberías de 0.05 m de diámetro.

Sabemos:  = 0.0225 – r , r = 0.15 m., dA = 2 r  dr 2

r

Q   d A  0



0.15

0



m3 0.0225  r 2 r dr   0.000795 Seg . 2

Dado que la tubería se bifurca en dos, el gasto equivale: Q = 2V·A

La velocidad en los tubos es:

  1  Q  V   2   2   0.05  4 

    0.2024 m  Seg .  

8.- Como se muestra en la figura, por un conducto de sección rectangular entran o.5 m 3/seg de agua. Dos caras del conducto son porosas: por la cara superior se añade agua a un gasto, por unidad de longitud, de distribución parabólica; mientras que por la cara frontal se pierde agua con una distribución lineal del gasto por unidad de longitud. En la figura se dan los dos valores máximos del gasto por unidad de longitud del conducto. a) ¿Cuál es el valor de la velocidad media en la sección de salida del conducto, si tiene 1m de longitud y el área de la sección transversal igual a 0.1m2? b) Determinar en el caso anterior la posición a lo largo del conducto donde la velocidad media se la máxima.

SOLUCION. A) La velocidad media de la salida es igual a: Qt=Qp-Ql +Qa Qt = 0.01 -0.025 +0.5 Qt = 0. 485m³/s V = Q/A = (0.485)(0.1) V = 4.48 m/s

B)

área de la parábola: 0.01 área lineal: 0.025

10.- En la tabla de abajo se muestran las medicines de velocidad verificadas con molinete, en los diferentes puntos del canal (mostrado en la figura) el cual alimenta una planta hidroeléctrica. Determinar el gasto, la velocidad media y los coeficientes  y .

vertical horizontal A B C D E

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.29 0.14 -

0.5 0.5 0.4 -

0.8 0.85 0.85 0.75 -

1 1 0.98 0.9 0.8

0.95 0.99 0.91 0.82 0.65

0.82 0.9 0.98 0.88 0.75

0.99 0.98 0.97 0.83 0.66

0.84 0.89 0.9 0.8 0.65

0.52 0.52 0.41 0.4 -

0.3 0.15 -

La velocidad media se puede determinar con el promedio aritmético de las velocidades de cada punto, con la siguiente expresión: ∑

⁄ Es necesario conocer el área de la sección transversal para aplicar la ecuación del gasto que se representa con la siguiente expresión: ; (

)

(

)( )

∑

⁄



(

)(

) ⁄

Para obtener el coeficiente  se emplea la siguiente expresión: 

∑

∑



⁄ (

)(

)

 Y para conocer el coeficiente  se emplea la siguiente expresión:

 





11.- Un chorro de agua es descargado por una boquilla, de 2.5 cm de diámetro, en dirección vertical y ascendente; suponemos que el chorro permanece circular y que se desprecian las pérdidas de energía durante el ascenso. a) Calcular el diámetro de chorro, en un punto de 4,60 m sobre la boquilla, si la velocidad del agua al salir es de 12 m/seg. b) Determinar la presión que debe de leerse en el manómetro M, si el diámetro en la tubería es de 0.10 m y el desnivel (Z1-Z2) es de 0.4 m. Considere despreciable la pérdida de energía entre las secciones 0 y 1. c) Si el chorro forma con la horizontal un ángulo de 45° y se desprecia la fricción con el aire, determinar la altura máxima que alcanzará y la magnitud de la velocidad en ese punto.

a) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y 4.60 m por encima de la misma, los puntos 1 y 2

P1



 Z1 

V12 P2 V2   Z 2  2  h12 2g  2g

Siendo el nivel de referencia el punto 1, entonces: P1=0; Z1=0; P2=0 Sustituyendo en la Ec. de Bernuolli:

V22 122  4.60  29.81 29.81

De donde obtenemos: V2 = 7.33 m/seg El gasto en la boquilla esta dado por:

Q1 = V1 A1 = (12 m/seg)( · 0.025²/4) = 0.0589 m3/seg Y además Q1 = Q2, de donde V2 = Q2 /A2 = Q1 /A1  0.0589  0.0075   V2    7.33 m / s 2 D2   ·D / 4 

Despejando el diámetro obtenemos: D2 = 0.032 mts. b) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y 0.40 m por abajo de ella, puntos 1 y 0

P1



 Z1 

V2 V12 P0   Z 0  0  h10 2g  2g

Dónde: P1 = 0, Z1-Z0 = 0.40

Sustituyendo:

0.40 

122  P0  V0 2 29.81  29.81

V0 = V1 · (D1/ D0)² = 12 (0.025 / 0.10)² = 0.75 m/s

Sustituyendo en la ecuación V0

P0

 P0



 0.40 

122  0.752 29.81 29.81

 7.71 mts. de columna de agua

c) Planteamos una Bernoulli entre la boquilla y el punto donde alcanza la altura máxima el chorro, puntos 1 y 2.

P1



 Z1 

V12 P2 V2   Z 2  2  h12 2g  2g

dónde: P1 = 0, Z1 = 0, P2 = 0

La velocidad en el punto más alto se obtiene: V2 = Vcos  Sustituyendo:

122  Z  12Cos 452 2 29.81 29.81 V = (12m/seg)(cos 45º) = 8.48 m/seg En el punto máximo

Despejando obtenemos: Z2 = 3.67 mts

12.-En una tubería de 0.30 m de diámetro escurre agua; para medir la velocidad se ha instalado un tubo de Pitot -como se muestra en la figuradonde el líquido empleado la medición tiene un  = 850 Kg/m3, Calcular la velocidad V para h=0.25m y el gasto en la tubería. Solución: Planteamos una Ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 para conocer el gasto, donde el punto 1 se selecciona debajo del manómetro y sobre del eje del tubo, y el punto 2 se selecciona en la entrada del tubo de pitot. P1

 Z1 



V12 P2 V2   Z 2  2  h12 2g  2g

Donde: Z1 = Z2; V2 = 0 ya que es una zona de estancamiento y las h12  0, por lo tanto nos queda la ecuación de la siguiente manera:

V1 P P  2 1 2g  2

Por otra parte obtenemos que la diferencia de presiones se calculara por la regla de los manómetros, esto es de la siguiente manera: P1 – h1- hgh + h2 = P2

P2  P1





h(   hg )



P2 – P1 =  (h2-h1) -hgh = h - hgh 2 h(   hg ) h(1000  850) V1   2g  1000

Resultando: Despejando V1 nos queda que es .85 m/s y el gasto seria Q=A·V Q = [( · 0.30²)/4] · .85 ] QTubo= 0.06 m3/seg

13.- Para el sifón -mostrado en la figuracalcular la velocidad del agua, el gasto y la presión en la sección 2, en el supuesto de que las perdidas fuesen despreciables.

Planteamos una Bernoulli entre el depósito y la salida de sifón, puntos 1 y 3. P1



 Z1 

V2 V12 P3   Z 3  3  h13 2g  2g

Donde : P1 = 0; V1 = 0; z3 = 0; P3 = 0; h13  0. Sustituyendo: 3.60 

V32  V3 = 8.4 m/seg 2g

Calculando el área del tubo: A

 ·0.20 2  0.031416 m 2 4

Evaluando el gasto con los datos anteriores obtenemos que: Q= 8.4(0.031426) = 0.2639 m3/seg Para conocer la presión en 2 planteamos una Bernoulli entre los puntos 2 y 3.

P2



 Z2 

V22 P3 V2   Z 3  3  h23 2g  2g

Donde: P3 = 0; Z3 = 0; h13  0 Sustituyendo:

8.4 5.48.4    29.81 29.81

PB

2

2

De la Ec. anterior botemos:

PB



  5.4 mts. de columna de agua

Pb = -54000 kg/m3

14.- En la tubería (mostrada en la figura) se a aforado un gasto de agua de 6m3/min cuando la carga es H=10m. a) Calcular las perdidas, a través del sistema, como función de la carga de velocidad KV2/2g. b) suponiendo que en el extremo de la tubería se coloca una chiflón cuya boquilla tiene un diámetro de 0.05m, calcular el gasto y la presión en la sección justo arriba del chiflón; para ello considere que las pérdidas en la tubería son: 4V12/2g + 0.05V22/2g y que H=7m. En este caso, V1 y V2 son las velocidades del agua en la tubería y en el chiflón respectivamente. c) Calcular la potencia del sistema.

Solución: a) Aplicando la ecuación de la energía en 1 y 0 se tiene: ∑ -----------------------> Ecuación 1 ⁄

(

⁄

)

⁄ Sustituimos esta velocidad en la ecuación 1 para encontrar el factor K de perdida de energía

b) Nuevamente aplicando la ecuación de energía se puede conocer la velocidad de salida y asi calcular el gasto. ∑ (

)

 ⁄ Las pérdidas de energía en la tubería son ∑ ∑

(

)(

) ⁄

Aplicamos la ecuación de la continuidad entre una sección 1 y una justo por encima del chiflón 2: ∑

⁄

Calculamos la carga hidráulica para el sistema

Aplicamos la expresión de la potencia para una turbina tomando como 1 el , para obtener la potencia (



)( (

)( )( )

)

15.- Si la bomba -de la figuradesarrolla 5CV sobre el flujo, ¿cuál es el gasto? Para dar solución al problema, seria plantear una Bernoulli entre los puntos 1 y 2 que están en la entrada y en la salida del manómetro.

P1



 Z1 

V12 P V2  Ep  2  Z 2  2  h12 2g  2g

En la ecuación anterior, salvo las cotas que son iguales (Z1=Z2), y las pérdidas que son despreciables, aparentemente las demás variables son incógnitas, quedando nuestra ecuación de la siguiente manera:

2

2

V1 0.826Q 2  4 2g D1 P1





;

V2 0.826Q 2  4 2g D2

V12 P V2  Ep  2  2 2g  2g

Ahora, por otra parte las velocidades se pueden expresar de la siguiente manera

kg · m / seg (5 CV )(75 ) Pot CV Pot  Q · · Ep  Ep   Q · Q · y la potencia de la bomba quedaría de la siguiente manera y la diferencia de presiones la calculamos con la regla de los manómetros P1+ h1+Hg(0.9) - h2 = P2 P2 – P1 = Hg + 0.9 + (h1-h2) = Hg · 0.9 -  · 0.9 Por lo tanto nos quedaría de la siguiente manera: P2  P1

 P2  P1





(0.9) Hg   



 13600   0.90  1  1000 

P2  P1  11.34 mts. de columna de agua 

0.826Q 2

0.826Q 2

.375 Q D1 D2 Sustituyendo todos los términos anteriores en nuestra Bernoulli original nos quedaría de la siguiente manera: 11.34 

4



4



304.79Q 3  11.34Q  .375 Quedándonos finalmente un polinomio de tercer grado en términos del gasto

Por ultimo dando solución a este polinomio, el gasto seria Q=0.032m3/seg.

17.- La velocidad en el punto 1, de la figura, es de 18m/seg ¿Cuál es la presión en el punto 2, si se desprecia la fricción? SOLUCION: Debido a que la trayectoria del fluido es de tipo parabólico, la velocidad en el punto más alto (1) solo presenta componente en el eje X la cuál es constante durante el recorrido. En base a lo anterior y por métodos trigonométricos, obtenemos la velocidad en la boquilla

VBoquilla 

18  25.456 m / seg. Cos 45

Planteamos una Bernoulli entre 1 y 2, para conocer la presión en 2. P1



 Z1 

V12 P V2  2  Z 2  2  h12 2g  2g

En donde: P1 = 0; Z2 = 0; h12  0

V2 = VBoquilla · (DBoquilla/ DB)² = 25.456 ( 0.10 / 0.25 )² = 4.073 m/seg

Sustituyendo:

20 

P2



182  P2  4.0732 29.81  29.81

 35.67 mts. de columna de agua

19.- Un aceite fluye por el tubo circular de 0.20 m de diámetro, que se muestra en la figura; el flujo es permanente y el gasto es de 0.114 m3/seg . El peso específico del aceite es 770 Kg/m3. La presión y condiciones de elevación son P1 = 0.56 Kg/cm² ; h1 = 1.5 m P2 = 0.35 Kg/cm² ; h2 = 6.10 m. Determinar la dirección del flujo y la disipación de energía entre los puntos 1 y 2. (Las presiones son manométricas) Q= 0.114 m3/seg Aceite = 770 Kg/m3 P1 = 0.56 Kg/cm² = 5600 Kg/m² P2 = 0.35 Kg/cm² = 3500 Kg/m²

Planteamos una Bernoulli entre los puntos 1 y 2, siendo V1 = V2 P1



 Z1 

V12 P V2  2  Z 2  2  h12 2g  2g

Sustituyendo valores:

5600 3500  1.5   6.10  h12 770 770

8.77 = 10.64 + h12

h12 = -1.87  Las perdidas salen negativas ya que se consideró que el flujo es en sentido contrario, entonces:

h21 = 1.87

20.- Una bomba eleva agua desde una cárcamo, a través de un tuvo vertical de 0.15m de diámetro. La bomba tiene una tubería de 0.10 m de diámetro, cuya descarga horizontal esta 3.25m arriba del nivel del cárcamo. Al bombear 0.036 kg/cm2, en el manómetro del lado de la succión de la bomba se lee -0.324 kg/cm2 y del lado de la descarga 1.8 kg/cm2. El manómetro colocado del lado de la descarga esta 1.50 m por arriba de el del lado de la de la succión. Calcular la potencia que la bomba entrega al agua. Solución: Aplicado la ecuación de la energia

De la ecuación anterior despejamos la velocidad, para poderla sustituir en la ecuación del gasto

√(

) (

)

⁄ Luego, ; (

)( (

))

⁄ Despejando de la ecuación del gasto la velocidad, se tiene lo siguiente: (

)

⁄ Calculamos la altura hidráulica para sustituirla en la expresión de la potencia para una bomba (

)

Sustituimos en la expresión de la potencia

 Como no nos dan como dato el  lo podemos omitir en los cálculos ( )( )( ) ⁄

21.- Una turbina genera 600 CV cuando el gasto de agua es de 0.60 m3/seg. Suponiendo una eficiencia del 87%, calcular la carga neta que actúa sobre la turbina. Solución: Se tiene que la potencia de una bomba se define por:

 De la cual considerando que 1CV=75kgm/seg se tiene que: (



(

)(

)(

) )(

)



24.- Una tubería ha sido diseñada para dotar de agua potable a una ciudad. El diseño original consistía en un túnel a través de una montaña entre los puntos 2 y 4; de acurdo a dicho diseño, no hay bombas en la región mostrada en la figura. La presión en el punto 1 de este diseño fue de 7 kg/cm 2 y el punto 5 de 3.5 kg/cm2, debido a la fricción en la tubería. El gasto es de 28 m3/ seg y la tubería es de 3m de diámetro. a) Hacer un esquema dibujando las líneas de energía y de cargas piezometricas entres los puntos 1 y 5, suponiendo que el tubo es horizontal. b) Estudios geológicos posteriores mostraron que una falla atraviesa el túnel, por lo cual se decidió construir la tubería por encima de la montaña, siguiendo la superficie del terreno y facilitar la reparación en el caso de un temblor (suponer que la montaña es de 1200m de altura y que se puede representar por un triángulo isósceles). Explicar porque es necesaria una estación de bombeo para esta segunda alternativa y calcular la potencia que las bombas transmitirán al agua para el gasto antes señalado (de 28m3/seg). La presión (manométrica) de la tubería en la sima de la montaña (punto 3) no debe quedar debajo de la atmosférica. Dibujar las líneas de energía total entre los puntos 1 y 5 para las dos alternativas, suponiendo que la presión en el punto 1 es de 7kg/cm2.

Solución: A) Para la línea de energía es necesario conocer la velocidad, por lo que la obtendremos despejándola de la ecuación de la continuidad: ; (

)

⁄

B)

25.- El agua de un gran depósito, como se muestra en la figura, tiene su superficie libre 5 m arriba del tubo de salida. Según se muestra es bombeada y expulsada en forma de chorro libre mediante una boquilla. Para los datos proporcionados, ¿Cuál es la potencia en caballos de vapor requerida por la bomba?

Dado que la trayectoria del agua es movimiento de tiro parabólico usamos las componentes de la velocidad x y y las cuales son expresadas de la siguiente manera: Vx = V cos ß Vy = V sen ß

V  Vx2  V y2 Planteamos una Bernoulli entre los puntos 3 y 2 P1



 Z1 

V12 P V2  2  Z 2  2  h12 2g  2g

Sustituyendo los datos y empleando las formulas del tiro parabólico tenemos: P1=0; P2=0; Z1=0

V12x  V12y 2g



6  V22x 2g

Nota: en el tiro parabólico la componente de la velocidad en X siempre es constante, por lo tanto; V 1x = V2x, resultando:

V1Y2 6 2g Despejando obtenemos que V1y = (2 · g · 6)1/2 = 10.85 m/seg La velocidad en la boquilla es igual a: V1y = VBoquilla sen ß ==> VBoquilla = V1y / Sen  = 10.85 / Sen 45° = 15.344 m/seg Planteamos una Bernoulli de la boquilla hasta un punto anterior a la bomba (codo). P1



 Z1 

P V2 V12  3  Z 3  3  h13 2g  2g

Donde : P1 = 0; Z3 =0;

h13  0

La velocidad en la tubería es:

V3 = VBoquilla(DBoquilla / DTubo)² = (15.344) (0.10 / 0.20)² = 3.835 m/seg

1.5 

15.3442 29.91



P3





3.8352 29.81

;

P3



 12.75 mts. de columna de agua

Por último planteamos una Bernoulli entre el depósito y un punto posterior a la bomba (codo). P4



 Z4 

P V2 V42  Ep  3  Z 3  3  h43 2g  2g

En donde: P4 = 0; V4 = 0; Z3 = 0

5  Ep  12.75 

3.8352 ; 29.81

Ep = 8.5 mts.

Pot = (1000 Kg/m3) (0.12 m3)(8.5m) = 1020 Kg-m / seg.

Pot = (1020/75) = 13.6 CV

27.- Despreciando la fricción en la tubería (mostrada en la figura) calcular la potencia  en caballos de vapor desarrollada en la turbina T, por el agua procedente de una tubería a 3kg/cm2 de presión.

Solución Como se conoce la velocidad de salida del agua podemos calcular el gasto en la tubería, de la siguiente forma, para después poder conocer le velocidad que existe dentro del tubo: [ ( )] 3 m /seg De la ecuación del gasto 1 tenemos que: (

⁄

)

Sustituimos los valores anteriores para encontrar la carga hidráulica; en la ecuación de la energía:

(

)

Para la carga hidráulica en la sección dos se tiene:

(

)

Determinamos la altura total para sustituir en la fórmula de la potencia

(

)(

)( ) ⁄ Considerando que 1CV=75kgm/seg se tiene que

28.- El agua fluye en un canal rectangular de 3m de ancho con un tirante de 0.09m; el fondo del canal se eleva gradualmente 0.06m, tal como se muestra en la figura. La superficie del agua se levanta 0.09m sobre la porción que se eleva del canal. Calcular el gasto despreciando los efectos de fricción.

EL AREA HIDRAULICA EN LAS SECCION 1 Y 2 ( )

( )

DE LA ECUACION DE BERNOULLI RESULTA QUE:

PERO:

ENTONCES:

Y DESPEJANDO Q: √

√

(

)

(

)

33.-El agua entra en una tubería desde un recipiente de grandes dimensiones y después de abandonarla incide sobre un alabe deflector que desvía el chorro a 90°, según se muestra en la fig. si sobre el alabe deflector se desarrolla un empuje horizontal de 100kg. ¿Cuál es la potencia en caballos de vapor, desarrollada por la turbina si antes de la misma la presión es de 3kg/cm2? SOLUCION.

El chorro de agua incide sobre el deflector es posible aplicar la ecuación siguiente:

Sabes que F= 100 kg por lo tanto queda: ( V=√

( (

)( ( )(

)

)

)( (

)

V= 7.4507 m/s

Q = VA = (7.4507)(π(0.075)² Q = 0.1316 m³/s

Aplicando la ecuación de la energía para determinar Ha,b P1



 Z1 

V12 P V2  Ha, b  2  Z 2  2 2g  2g

Z1 =z2=0, p1=p2= 0, v1=v2=0 entonces queda: Ha,b = 30m P= HQ = (30)(0.1316)(1000) P= 39.48 kg*m/s P = 52.64 C.V

35.- La superficie fija (mostrada en la figura) divide el chorro de agua, de tal manera que 0.0285m3/seg fluye en ambas direcciones. Para una velocidad inicial del chorro, de 14m/seg, encontrar las componentes Fx y Fy de la fuerza requerida para conservar la superficie en equilibrio; desprecie para ello las resistencias de fricción.

0.057

( )

(

) ∑

( (

(

)

)

(

) (

(

)

)

)

(((

)(

)

( (

)(

)

(

) )

))

37.- Una tubería horizontal de 6m de diámetro tiene un codo reductor que conduce al agua una tubería de 4m de diámetro, unida a 45° de la anterior. la presión a la entrada del codo es de 10kg/cm2 y la velocidad de 15m/seg. Determinar las componentes de la fuerza que han de soportar los anclajes del codo. Despreciar las pérdidas en el codo y el peso del líquido dentro del mismo.

SOLUCION: Aplicar la ecuación de caudal Aplicando la ecuación de caudal en 1

(

( )

)

CALCULO DE Aplicando la ecuación de continuidad entre 1 y 2

(

)

(

)

Aplicando la ecuación de la energía entre 1 y 2

ES DECIR:

0+

+

(

)

(

100+

(

)

(

)

)

.-cálculo del empuje hidrodinámico en el eje “x” Aplicando la ecuación de impulso y cantidad de movimiento en la dirección “x” )

F ex + F dx + Fcx + F x= e∑( Sustituyendo valores

[

( )

]

(

( )

)[

(

)

(

)

]

(

)[

(

(

)]

-CALCULO DE Aplicando la ecuación de impulso cantidad y movimiento en “y” )

F ey + F dy + Fcy + F y= e∑( Sustituyendo valores

( (

[

( )

]

)

)

(

)[

)

]

38.- ¿Qué fuerza propulsora se ejerce sobre la vagoneta en la figura?, ¿Cuál es el rendimiento de este chorro como sistema de propulsión?

Solución

(

) [( 

)(

(

)

)] (

)

40.-se pide calcular el empuje dinámico resultante sobre la bifurcación mostrada en la figura, donde: d1=0.46m d2=0.15m d3=0.30m Los ramales 2 y 3 descargan a las condiciones atmosféricas. SOLUCION. Q1=0.567 M3/SEG Q2=0.341 M3/SEG

(

)

(

)

(

)

Para la dirección en X será: [(

)(

)

(

)(

)]

Para la dirección en Y queda: (

(

)

) [(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)]

41.- La tubería mostrada cambia su diámetro de D1=a 1.50m a D2=1m y conduce un gasto de agua Q=1.8m3/seg, siendo la presión p=4kg/cm2.despreciando la perdida de energía debida al cambio de diámetro calcular la fuerza dinámica F a que está sujeta la pieza que sirve para realizar la transición.

(

)

( ) (

)

(

(

)(

(

(

)

)

)

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