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Área em Coordenadas Polares O Cálculo Diferencial e Integral realmente é algo impressionante. Quanto mais eu estudo, mas fico irado com sua empregabilidade na resolução de problemas. Houve uma revolução na matemática depois de Descartes, onde foi possível escrever e resolver equações em coordenadas cartesianas; denotar um ponto por meio de um par ordenado (x, y) e assim a construção de gráficos para ilustrar as curvas. Em algumas situações é mais conveniente usar um outro sistema de coordenadas, como as coordenadas polares.

[Figura 1: Espiral de Arquimedes: r = a +bθ] Antes de continuar a leitura deste artigo, sugiro que leiam sobre O Sistema de Coordenadas Polares no blog Fatos Matemáticos, onde o Professor Mestre Paulo Sérgio explana de maneira brilhante sobre o assunto. Se você, caro leitor, já está acostumado com este sistema, por favor, continue a leitura. Para estabelecermos um sistema de coordenadas polares no plano, primeiro denotemos um ponto fixo O que será o pólo e um raio r, que é uma semi-reta orientada com origem em O, que chamamos de eixo polar. Um ângulo na posição padrão tem vértice no pólo e o eixo polar como seu lado inicial. Seja P um ponto genérico no plano e seja r a distância entre P e o pólo. Assim:

Se P ≠ 0, então P pertence a uma única semi-reta com origem em O constituindo o lado terminal do ângulo. Este ângulo é denotado por θ e poderá ser em graus ou em radianos. Assim, o par ordenado do ponto P em coordenadas polares é indicado como:

As coordenadas polares estabelecem a posição de um ponto P em relação a uma grade, formada por círculos concêntricos com centro no pólo e semi-retas partindo deO. O valor de r localiza P num círculo de raio r; o valor de θ localiza P numa semi-reta que é o lado terminal do ângulo θ; e P é determinado pela intersecção do círculo com a semi-reta. O gráfico de uma equação polar consiste em todos os pontos P do plano que tem pelo menos um par de coordenadas polares (r, θ) satisfazendo a equação. Da mesma forma que podemos determinar a área de uma região sob a curva num plano cartesiano aplicando o conceito de integral definida, podemos determinar a área de uma região plana em coordenadas polares compreendia entre as semi-retas que determinam o ângulo θ. Considere a figura abaixo, cuja equação polar é r = f (θ), onde f é uma função contínua. Quando θ cresce de θ = α para θ = β, o ponto P = (f (θ), θ) se desloca ao longo da curva polar de (f (α), α) para (f (β), β) e o segmento de reta OP percorre uma região plana. Esta é a região compreendida pela curva polar entre as semi-retas que determinam o ângulo θ, ou seja, entre θ = α e θ = β.

[Figura 2] A região polar mais simples talvez seja o setor circular compreendido pelo círculo de raio r entre θ = α e θ = β:

[Figura 3] Sabemos que a área de um círculo de raio r é dada por:

Assim, a área do setor ocupa a fração (β – α) / 2π de todo o círculo e a área do setor será:

Geralmente, mesmo que a curva polar não seja um círculo, quando o ângulo cresce de θ para θ + dθ, ou seja, tem uma variação infinitesimal, o segmento OP percorrerá uma região infinitesimal que podemos tomá-la como um setor infinitesimal de um círculo de raio r = f (θ):

[Figura 4] Quando Δθ for infinitesimal, então a área infinitesimal do setor será dada por:

Para que tenhamos a área total da região desejada, devemos somar estes infinitésimos, isto é, integramos as áreas de todos estes setores infinitesimais, desde θ = α a θ = β. Assim, teremos:

Podemos representar esta fórmula sob a forma:

Exemplo 1: Encontrar a área do hemisfério superior da região compreendida pela curva polar cardióide, cuja equação é:

[Figura 5] Quando θ varia de 0 a π, o segmento OP percorre o hemisfério superior da região interior à cardióide. Portanto, a área A da região será dada por:

Exemplo 2: Encontrar a área da região compreendida pela lemniscata de equação:

[Figura 6] Vamos considerar somente 1/4 da lemniscata, já que é simétrica em relação ao pólo devido ao grau 2 de r. Assim, vamos considerar a porção da lemniscata para a qual:

Quando θ = 0 e r = 2, e como θ cresce, o ponto P = (r, θ) se desloca para a esquerda ao longo da parte superior da lemniscata até chegar ao pólo O, quando θ = π/4. Assim, o segmento OP percorre um quarto da área:

Este exemplo mostra que devemos saber o comportamento da curva para que possamos definir os limites de integração.

Quando utilizamos a fórmula para encontrar a área de uma região compreendida por uma curva polar r = f (θ) num intervalo Δθ, devemos estar certos que α ≤ β e que o segmento de reta radial OP, percorre apenas uma vez cada ponto no interior da região. Por exemplo, se quisermos determinar a área total no interior do limaçon r = 2 – 3sen(θ), seria incorreto integrar de 0 a 2π, pois quando θ vai de 0 a 2π, o segmento OP percorre duas vezes todos os pontos pertencentes ao laço interior.

Exemplo 3: Encontrar a área do laço interior ao limaçon de equação:

[Figura 7] Quando θ = 0, r = 2 e o ponto P (r, θ) = (2, 0) se encontra no eixo polar. Quando θ começa acrescer, r = 2 – 3sen(θ) começa a decrescer, atingindo 0 quando θ = sen–1(2/3), que é aproximadamente 41,8°. Neste ponto, o segmento OP inicia o percurso da região desejada. Quando θ atinge o valor de π/2, então r = –1 e o segmento de retaOP, cujos pontos se movem para baixo, percorre exatamente metade a área desejada. Desta forma, a área da região será:

Sendo:

e

Então:

Também ocorre com freqüência a necessidade de encontrarmos a área de uma região plana compreendida por duas curvas, como por exemplo r = f (θ) e r = g (θ) entre dois pontos sucessivos de intersecção P1 e P2, onde:

[Figura 8] Se a região compreendida pela curva r = g (θ) entre P1 e P2 está contida na região compreendida pela curva r = f (θ) entre P1 e P2, então a área desejada A é apenas a diferença de áreas das duas regiões:

Exemplo 4: Encontrar a área da região interior ao círculo r = 4 cos(θ), que seja exterior ao círculo r = 2.

[Figura 9] Os dois círculos se interceptam em P1 = (2, – π/3) e P2 = (2, π/3). A área A da região procurada é dada por:

Referências: [1] Cálculo V1 – Munem-Foulis

Veja mais: O Cálculo Integral: O Cálculo das Áreas Centro de Gravidade de Áreas Planas

Construção Geométrica da Espiral de Arquimedes com Régua e Como O Sistema de Coordenadas Polares no blog Fatos Matemáticos Recomendo que leia também:

Introdução Como foi visto na Matemática Básica, as coordenadas polares são usadas para representar pontos de um plano. Para definir um sistema de coordenadas polares, consideramos um ponto O do plano (chamado origem ou pólo) e uma semi-reta orientada com extremidade O ( o eixo polar). Dado um ponto P ≠ O do plano tomamos, θ , uma ângulo formado pelo eixo polar e OP, tendo origem no eixo polar, positivo se orientado no sentido anti-horário e negativo se no sentido horário. r, a distância de P a O r e θ são coordenadas polares de P e representamos P = (r, θ )

Dado um ponto qualquer do plano, as suas coordenadas polares não são únicas. Exemplo 1: Representar graficamente os pontos de coordenadas polares

Como estes ângulos são côngruos temos P1 = P2 = P3

As coordenadas do pólo são (0, θ ) para todo θ ∈ R . Tomamos também valores negativos para a coordenada r. Se r é negativo, o ponto de coordenadas polares (r, θ ) é tal que (-r, θ + π ) são também coordenadas deste ponto Exemplo 2: Representar graficamente o ponto de coordenadas polares

Suponhamos neste mesmo plano um par de eixos cartesianos XOY de modo que o semi-eixo OX positivo coincida com o eixo polar. Se P é um ponto qualquer do plano de coordenadas polares (r, θ ) e coordenadas cartesianas (x ,y) então x = r.cos(θ )

y = r.sen(θ )

x2 + y2 = r2

Exemplo 3: Consideremos as curvas a seguir e suas equações em coordenadas polares 3.1) O círculo da raio ro e centro na origem tem equação polar r = ro

3.2) A reta que a pela origem e faz um ângulo θ o com o sentido positivo do eixo OX tem equação polar θ = θ o

Voltar ao Índice Área de um setor circular A área de um setor circular de raio r e ângulo central θ é igual a

Proposição 1: Seja a equação polar de uma curva dada pela função contínua r = r (θ ) para α ≤ θ ≤ β tal que β - α ≤ 2π e r ≥ 0. A área da região do plano limitada pelas retas de equações polares θ = α e θ = β e a curva r = r(θ ) é igual a.

Demonstração. Para todo θ tal que α ≤ θ ≤ β , seja A(θ ) a área como indicada na figura abaixo. Vamos calcular

Para ∆ θ > 0 , tomando-se no intervalo [ θ , θ + ∆ θ ], rM e rm o maior e o menor raio, as áreas dos setores circulares com ângulo central ∆ θ e esses raios são

Para ∆ θ < 0 segue de modo análogo. Pelo teorema fundamental do cálculo

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Exemplo 4: Calcular a área limitada pela cardióide

r (θ ) = a.(1 – cos(θ ))

Observação 1: São equações de cardióides: r (θ ) = a.(1 ± cos(θ )) e r (θ ) = a.(1 ± sen(θ ))

Exemplo 5: Calcular a área limitada pelas pétalas da rosácea r = a.sen(2θ ), a > 0 Trata-se de uma rosácea de 4 pétalas. Devido a simetria das pétalas, basta calcular a área de uma delas e multiplicar por 4.

Observação 2: São equações de rosáceas: r = a.cos(nθ ) e r = a. sen(nθ ), para n =1, 2, 3..., que possuem • •

2n pétalas , se n é par n pétalas se n é ímpar

Exemplo 6: Calcular a área limitada pela lemniscata r2 = 4.cos(2θ ). Como θ deve ser tal que cos(2θ ) >0, então, na 1a volta,

Devido a simetria dos semi-laços, basta cal cular a área de um deles e multiplicar por 4.

Observação 3: São equações de lemniscatas: r2 = a.cos(2θ ) e r2 = a. sen(2θ )

Exemplo 7: Calcular a área entre a 1a e a θ 2a volta da espiral (exponencial) r = e , com 0≤ θ.

Exemplo 8: Esboce a limaçon (com laço) de equação polar r = a.(1 – 2sen(θ )) e determine uma expressão em integrais que represente a área da região do plano que se encontra no interior da curva e fora do laço.

Observação 4: São equações de limaçons: r = a ± b.cos(θ ) e r = a ± b.sen(θ ) que possuem laço se a < b

Exemplo 9: Determine uma expressão em integrais que represente a área da região do plano sombreada na figura ao lado onde temos o arco da espiral de Arquimedes de equação polar r = θ ; -π ≤ θ ≤ π .

Exemplo 10: Determine uma expressão em integrais que represente a área da região do plano interior a ambas as curvas de equações polares r =1 + cos( θ ) e r = 3cos( θ ) r =1 + cos( θ ) é equação de uma cardióide e r = 3cos( θ ) é equação de um círculo. Obtendo a interseção das duas curvas : 3cos( θ ) = 1 + cos( θ ) ⇒ cos( θ ) = 1/2 ⇒

θ = ± π /3 + 2kπ